第2 0 教时
课题
数学活动——勾股定理
课型
新授
年级
初二
学科
数学
备课时间
9．11
知识技能目标
了解勾股定理发现的历史，了解多种拼图方法验证勾股定理，收集勾股数，观察勾股数，构造勾股数，了解勾股数的一些特性
过程方法目标
感受解决同一个问题方法的多样性，进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。
情感态度目标
经历克服困难和取得成功的过程，获得一些研究问题的经验和方法
重点
难点
重点：使用拼图的方法验证勾股定理
难点：使用拼图的方法验证勾股定理，掌握勾股数的一些特性及构造勾股数
教学
方法
合作、讨论法
教具
多媒体或投影
教
学
步
骤
一、了解勾股定理的历史
勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。?
二、勾股定理的验证方法：
【证法1】（赵爽证明）
据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达500多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。
教
学
步
骤
以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
从图上可以看到，小正方形EFGH的边长为（b-a），大正方形ABCD的面积为c2，四个小三角形的面积和为，中间小正方形EFGH的面积为（b-a）2，
【证法2】（课本的证明）
?做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即
整理得 .
【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
赵爽的这个证明可谓别具匠心,极富创新意识.他用几何图形的截,割,拼,补来证明代数式之间的恒 等关系,既具严密性,又具直观性,为中国古代以形证数,形数统一,代数和几何紧密结合,互不可分的??独特风格树立了一个典范.以后的数学家大多继承了这一风格并且有所展
教
学
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骤
从图上可以看到， 四边形ABCD是直角梯形，上底为a，下底为b，高为（a+b），面积为：
由△ADE≌△BEC得，
∠DEA=∠ECB
可得ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于
所以
所以.
【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。
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【证法4】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.
由AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD得 ，
ΔFAB ≌ ΔCAD，
ΔFAB的面积等于，
又因为ΔCAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，
所以矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积=.
因为 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
所以 ，即 .
勾股定理还有很多的方法可以验证，请同学们课后收集。
三、勾股数的一些特性
考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股数实际上早已进入了人类知识的宝库． 我们再回过头来看看勾股数：
设（a，b，c）是一组勾股数，即a2+b2=c2（a、b、c均为正整数）
（1）当a为奇数时，则b、c是两个连续的正整数，且b+c=a2。
如：（5，12，13） 12+13=52；（7，24，25）， 24+25=72 ……
欧氏的方法自然是最优雅的方法之一，从中可以明显地感受到严密的逻辑。
了解勾股数的一些特性
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（2）当a为大于4的偶数时，则b、c是两个连续的奇数或偶数，且b+c=。
如：（6，8，10），8+10=
（8，15，17），15+17=
以上性质不是所有的勾股数都具备的，如（9，12，15）就不具备以上性质。
四、勾股数的计算公式
（1）约公元前580～前500年，古希腊人毕达哥拉斯给出的计算公式：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1 （n为正整数）
（2）约公元前427～前347年，古希腊哲学家柏拉图给出的计算公式：a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （n为大于1的正整数）
（3）公元前250年前后，古希腊数学家丢番图给出的计算公式：
a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2 (m>n,m、n为正整数)
运用以上3个公式可以算出无数组的勾股数，但不是所有的勾股数，比如，公式（1）不能算出（8，15，17）；公式（2）不能算出（5，12，13）；公式（3）不能算出（9，12，15）.
五、课堂小结
构造勾股数
板
书
设
计
数学活动——勾股定理
一、了解勾股定理的历史
二、勾股定理的验证方法：
三、勾股数的一些特性
四、勾股数的计算公式
教
后
记
班级
初二（ ）
姓名
学号
成绩
学科
数学
课题
数学活动——勾股定理
预计完成时间
一、填空
1、1、在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 .
2、 满足的三个正整数，称为 . 举一组这样的数_________.
3、 如果梯子底端离建筑物9m，那么15m长的梯子可达到建筑物的高度是 .
4、已知两边为5、6，则第三边长________．
二、选择题
5、下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
6、下列三角形中，一定是直角三角形的有 （ ）
①有两个内角互余的三角形； ②三边长为、、（m>n>0）的三角形；③三边的比为3：4：5的三角形； ④三个内角的比是1：2：3的三角形；
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
7、等腰三角形腰长，底边，则面积 （ ）
A、 B、 C、 D、
8、三角形三边满足，则这个三角形（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形
9、如图一直角三角形纸片，两直角边，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A、 B、 C、 D、
三、解答题
10、已知⊿ABC中，AB = 10，BC = 21，AC = 17，求BC边上的高.
11、4个全等的直角三角形的直角边为a、b斜边为c，现在将它们适当的拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可回答问题？
（1）当a=5，b=12时，正方形ABCD的
面积为 ；正方形CFGI的面积
为 .
（2）不用勾股定理你能得出正方形AEGH
的面积为多少吗？
（3）你利用此图能验证勾股定理吗？试一试.
★12、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=600，∠D=1500，已知四边形的周长为32，求四边形ABCD的面积.（精确到0.01）
课件49张PPT。数学活动 ——勾股定理 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。” 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。?2002年，在北京举行的国际数学家大会会标赵爽的“弦图” 早在公元3世纪，我国数学家赵爽就用左边的图形验证了“勾股定理”
思考:你能验证吗？(4)(3)
(2)(1)(a-b)2(a-b)2=a2+b2－2ab = c2－2abbCa想一想：这四个直角三角形还能怎样拼？证明一(a+b)2=a2 + b2 + 2ab = c2+2ab可得: a2 + b2 = c2证明二证明三 “总统”证法 ?(a + b)(b + a) = ?c2 + 2×?ab
a2 + 2ab + b2 = c2 +2 ab
? a2 + b2 = c2aabbcc证明四：欧几里得证明 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L. 证明证明证明证明证明 考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块版板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数．这说明，勾股数实际上早已进入了人类知识的宝库． 我们再回过头来看看勾股数：设（a，b，c）是一组勾股数，
即a2+b2=c2（a、b、c均为正整数）（1）当a为奇数时，则b、c是两个连续的正整数，且b+c=a2。
如：（5，12，13） 12+13=52；
（7，24，25）， 24+25=72 ……以上性质不是所有的勾股数都具备的，如（9，12，15）就不具备以上性质。勾股数的计算公式 （1）约公元前580～前500年，古希腊人毕达哥拉斯给出的计算公式：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1
（n为正整数）（2）约公元前427～前347年，古希腊哲学家柏拉图给出的计算公式：a=n2-1，b=2n，c=n2+1 （n为大于1的正整数）（3）公元前250年前后，古希腊数学家丢番图给出的计算公式：
a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2 (m>n,m、n为正整数)运用以上3个公式可以算出无数组的勾股数，但不是所有的勾股数，比如，公式（1）不能算出（8，15，17）；公式（2）不能算出（5，12，13）；公式（3）不能算出（9，12，15）.证明五c2a2b2? a2 + b2 = c2a2b2a2c2对比两个图形,你能直接观察验证出勾股定理吗？证明六 印度婆什迦羅的證明? c2 = b2 + a2a2b2证明九证明九证明九证明九证明九c2? a2 + b2 = c2证明九证明九拼图游戏证明九拼图游戏无字证明 abc无字证明青出青朱出入图证明十注意：
面积 I :面积II :面积III = a2 : b2 : c2 IIIIII注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 证明十IIIIII注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 证明十注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 证明十注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 证明十注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 证明十注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III
因此，a2 + b2 = c2 。 证明十 例 .在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.例题分析(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.方法小结３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为 ( )A 2、4、6Ｃ 4、6、8BＢ 6、8、10Ｄ 8、10、12再见
