第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元测试（含解析）（新人教2019版必修一）

单元测试——第二章 一元二次函数、方程和不等式（新人教2019版必修一）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．若，则成立的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．若等式成立，则大致位于区间（ ）
A． B． C． D．
4．持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（ ）．
A． B．
C． D．
5．若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
6．已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
9．若，，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知关于x的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
11．下列不等式一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12．已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ．
13．已知，则的最小值为 ，此时 .
14．已知不等式的解集为或,则不等式的解集是
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.）
15．已知，求证：.
16．设，求二次函数的最大值．
17．在中，角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的最小值.
18．某电子厂生产某电子元件的固定成本是4万元，每生产x万件该电子元件，需另投入成本万元，且已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这种电子元件能全部售完.
(1)求该电子厂这种电子元件的利润y（万元）与生产量x（万件）的函数关系式；
(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值.
19．已知集合（，且）．若集合，同时满足下列两个条件，则称集合，具有性质．
条件（1）：，，且，都至少含有两个元素；
条件（2）：对任意不相等的，，都有，对任意不相等的，，都有．
(1)当时，若集合，具有性质，且集合中恰有三个元素，试写出所有的集合；
(2)若集合，具有性质，且，，求证：；
(3)若存在集合，具有性质，求的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D C A A B BD BD
题号 11
答案 CD
1．B
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确
【分析】对于ACD，利用不等式的性质分析判断，对于B，举例判断.
【详解】对于A，因为，且，所以，故A正确；
对于B，当时，满足，此时，不满足，故B错误；
对于C，因为，所以，又，所以，故C正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：B.
2．B
【知识点】探求命题为真的充要条件
【分析】结合充要条件的概念列出不等式即可.
【详解】充分性：因为当时，，所以成立的充分条件为，充分性成立；
必要性：若，当时，成立，必要性成立．
故若，则成立的充要条件是．
故选：B
3．A
【知识点】由不等式的性质证明不等式、判断零点所在的区间
【分析】先证明，然后使用反证法证明即可.
【详解】由于，
而，故.
假设，则，矛盾；
假设，则
，矛盾.
故，选项A正确.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用反证法确定的大致区间.
4．D
【知识点】用不等式表示不等关系
【分析】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得．
【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，
故选：D．
5．C
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】通过配凑，直接利用基本不等式即可求解.
【详解】由为正实数，且
则利用基本不等式可得：
，
当且仅当，即时等号成立.
因此的最小值为3.
故选：C.
6．A
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】因为，故，即，
当且仅当时，等号成立，所以.
故选：A.
7．A
【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求和的最小值
【分析】首先过呢据条件化简得到，法一，根据基本不等式，即可求解；法二，根据条件等式，变形得，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】，
法一：，当且仅当时，上式等号成立，
又，可得时，的最小值为.
故选：A.
法二：，当且仅当时，上式等号成立，
又，可得时，的最小值为.
故选：A.
8．B
【知识点】判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式
【分析】根据给定条件，解一元二次不等式，并求出的范围，再利用充分不必要条件的意义求解作答.
【详解】由得，
所以，
所以或或，
所以或或，即，
由于，
所以，不等式成立的一个充分不必要条件是.
故选：B
9．BD
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式证明不等关系
【分析】对于A、B，利用基本不等式，对于等式进行部分整理，可得答案；
对于C、D，根据题意以及选项B，结合不等式性质，可得答案.
【详解】对于A，由，则，
由，当且仅当时等号成立，
可得，解得，故A错误；
对于B，由，
当且仅当时，等号成立，则，故B正确；
对于C、D，由，
由题意以及选项B可知：，且，
故C错误，D正确；
故选：BD.
10．BD
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数
【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出的关系，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可.
【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为或，
∴，A选项错误；
BC选项，已知和3是关于x的方程的两根，
由根与系数的关系得，
则，
不等式，即，又，解得，B正确；
且，C错误；
D选项，不等式，即，即，
解得或，D正确．
故选：BD
11．CD
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用
【分析】运用基本不等式，应注重条件的满足“一正”，如A，B项排除；同时应关注等号成立条件是否满足，如D项；有时还要进行拼凑项，如C项.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.
故选:CD.
12．
【知识点】利用不等式求值或取值范围
【分析】根据不等式性质即可求的取值范围，化简，再利用不等式的性质求解即可.
【详解】由，，
则两式相加得，故，
因为，
所以，，
则两式相加得.
故答案为：，.
13． 3 2
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】将式子拆开后用基本不等式即可求解最小值及取得最小值时自变量的值.
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时取等号.
所以函数的最小值为3，当且仅当时取等号，
故答案为：3；2
14．
【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式
【分析】首先根据题意得到为方程的根，从而得到，再解不等式即可.
【详解】因为不等式的解集为或，
所以，且为方程的根.
所以，
所以，解得.
故答案为：
15．证明见解析
【知识点】作差法比较代数式的大小、由不等式的性质证明不等式
【分析】结合立方和公式及，利用作差法即可证明.
【详解】，
因为，所以，又，所以，
所以.
16．4
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】由不等式，推得
于是，当且仅当，即时，取得最大值，最大值为.
17．(1)
(2).
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、数量积的运算律、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）利用正弦定理可得，再结合余弦定理得，从而可求解.
（2）结合的面积可求得，再由.，平方后得，，再结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得，即，
由余弦定理可得，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，所以.
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
18．(1)
(2)最大值为18万元.
【知识点】利用二次函数模型解决实际问题
【分析】（1）利润等于总收入减去总成本.
（2）分段函数问题分段讨论.
【详解】（1）当时，；
当时，.
故该电子厂这种电子元件的利润y（万元）与生产量x（万件）的函数关系式为
（2）当时，函数图像的对称轴方程为，
所以在上单调递增，
则（万元）.
当时，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即当时，y取得最大值18.
因为，所以当时，y取得最大值18，则利润的最大值为18万元.
答：该电子厂这种电子元件利润的最大值18万元.
19．(1)，，；
(2)证明见解析；
(3)32.
【知识点】并集的概念及运算、集合新定义、判断元素与集合的关系、交集的概念及运算
【分析】（1）根据性质可得答案；
（2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①，记“对任意不相等的，，都有”为条件②，分析条件①②中的元素可得答案；
（3）一方面求出时，可构造集合、使其具有性质；一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，可得答案.
【详解】（1）所有的集合为，，；
（2）记“对任意不相等的，，都有”为条件①，
记“对任意不相等的，，都有”为条件②．
由条件②得．
由，和条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，与矛盾，
所以，即
（3）的最大值为32．证明如下：
一方面，当时，可构造集合，
具有性质；
另一方面，当时，可证明不存在具有性质的集合，．
证明如下：
由（2）知，，且当，时，，
此时不存在具有性质的集合，．
由条件①得2，3不能同时属于集合．
下面讨论2和3一个属于集合，一个属于集合的情况：
（1）当，时，由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，即，．
因为，，，，
由条件②得，，
即，．
由条件①得，，即，．
由条件②得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，．
（2）当，时，由条件②得4，5不能同时属于集合，
下面分三种情形：
情形一：若，，由条件①得，即．
由条件②得，，即，．
由条件①得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，．
情形二：若，，由条件①得，，
即，．
由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，．
情形三：若，，由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，即．
由条件②得，即．
由条件②得，即．
由条件①得，与矛盾，
此时不存在具有性质的集合，
综上，的最大值为32．
【点睛】此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.