2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳县塘沟高级中学高二（上）第二次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年沭阳县塘沟高级中学高二（上）第二次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在轴上截距为，倾斜角为的直线方程为( )
A. B.
C. D.
2.抛物线：的焦点到其准线的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知点在圆的内部，则直线与圆的位置关系( )
A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定
4.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是( )
A. B. C. D.
5.已知直线与直线平行，则的值是( )
A. B. 或 C. D. 或
6.已知，是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点且倾斜角为，是，在准线上的射影，则下列命题不正确的是( )
A. B.
C. D. 为直角三角形
7.几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族．点是椭圆族上任意一点，如图所示，椭圆族的元素满足以下条件：长轴长为；一个焦点为原点；过定点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.双曲线的一条渐近线方程为，、分别为该双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 直线过定点
B. 圆上的动点与定点所连线段的中点的轨迹方程为
C. 若圆与圆有唯一公切线，则
D. 圆上存在两个点到直线的距离为
10.“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”，若黄金双曲线的左右两顶点分别为，，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点设双曲线的离心率为，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. 直线与双曲线的一条渐近线垂直 D.
11.如图，曲线：为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用如图，苜蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆驶入环道后再自右侧切向汇入主路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状，给出下列结论正确的是( )
A. 曲线只有两条对称轴
B. 曲线仅经过个整点即横、纵坐标均为整数的点
C. 曲线上任意一点到坐标原点的距离都超过
D. 过曲线上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．
13.已知点，直线：，则点到直线的距离的取值范围为 ．
14.已知、是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
求顶点，的坐标；
求的面积．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，过坐标原点的圆圆心在第一象限的半径为，且与轴正半轴交于点．
求圆的标准方程；
设点是直线上的动点，，是圆的两条切线，，为切点，求四边形面积的最小值．
17.本小题分
已知直线：和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．
已知直线：，直线：，求原点到直线，的有向距离，；
已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由；
18.本小题分
某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，单位：十米，下同，为的中点，椭圆的焦点在对称轴上，、在椭圆上，平行交与，且在的右侧，为灯光区，用于美化环境．
若椭圆的离心率为，且，求的长；
若学校的另一条道路满足，，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路的距离都不小于，求半椭圆形的小湖的最大面积：椭圆的面积为．
19.本小题分
如图，已知抛物线，焦点为，准线为直线，为抛物线上的一点，过点作的垂线，垂足为点当的横坐标为时，为等边三角形．
求抛物线的方程；
过点的直线交抛物线于，两点，交直线于点，交轴于．
若，，求证：为常数；
求的取值范围．
参考答案
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15.解：设，因为边上的中线所在直线方程为，
边上的高所在直线方程为，
所以，解得，即的坐标为．
设，因为边上的中线所在直线方程为，
边上的高所在直线方程为，
所以，解得，即的坐标为．
因为，，所以．
因为边所在直线的方程为，即，
所以点到边的距离为，即边上的高为，
故的面积为．
16.解：设圆的标准方程为，
由题意得，，
所以，解得，，圆心得坐标为．
圆的标准方程为．
四边形得面积，
在中，，要使四边形面积最小，则最小即可．
此时，，所以，
四边形面积的最小值为．
17.解：直线：和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，．
由直线：，直线：，
根据点到直线的有向距离公式可得，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，舍去；
当直线的斜率存在时，直线的方程为，即，
假设，
化简可得，解得或，
所以直线的方程为或．
18.解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，
设椭圆的方程为，
由题意可得，
又，所以，所以椭圆方程为，
所以，因为，所以，
所以，解得或舍去，
所以．
由题意可知，，
所以直线的方程为，
设平行于直线且与椭圆相切的直线：，，
因为椭圆上任意一点到道路的距离都不小于，
所以当椭圆的面积最大时，直线与直线之间的距离为，
可得，解得或舍去，
设椭圆方程为，
联立，消去可得，
，令得，所以舍去负值，
所以半椭圆的面积为，即半椭圆形的小湖的最大面积为百平方米．
19.解：据题意知，，为等边三角形，其边长为，，
所以，解得
所以抛物线的方程
设，，直线的方程为
所以；
，
所以；
因为；
所以，所以
由得
所以，，
；
所以
所以的取值范围为
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