2024-2025学年河南省部分名校高二（上）段考数学试卷（10月份）（一）（含答案）

2024-2025学年河南省部分名校高二（上）段考数学试卷（10月份）（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.图中条直线中斜率最小的是( )
A. B. C. D.
2.已知向量与平行，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
4.将直线绕点逆时针旋转后所得直线的方程为( )
A. B. C. D.
5.已知平面，均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面与的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与平行，且、之间的距离与点到的距离均为，则在轴上的截距为( )
A. B. C. D.
7.如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是( )
A. B. C. D.
8.如图，在正四面体中，为棱的中点，为棱上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线：不经过第四象限，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.在空间直角坐标系中，已知点，，，其中，，，，若四边形为菱形，则( )
A. B. C. D.
11.已知点和，是直线：上的动点，则( )
A. 存在，使最小
B. 存在，使最小
C. 存在，使最大
D. 存在，使最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.已知，平面内三点，，共线，则 ______．
14.已知正四棱柱的体积为，侧面积为，动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，，设向量，．
若，求实数的值；
若向量与共线，且，求的坐标．
16.本小题分
已知直线的方程为，直线经过点和．
若，求的值；
若当变化时，总过定点，求．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，且，为棱的中点．
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．
求直线的倾斜角的取值范围．
是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？
设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，过点且以为方向向量的直线方程可表示为，过点且以为法向量的平面方程可表示为．
若直线与都在平面内，求平面的方程；
在三棱柱中，点与坐标原点重合，点在平面内，平面以为法向量，平面的方程为，求点的坐标；
若集合中所有的点构成了多面体的各个面，求的体积和相邻两个面所在平面的夹角的余弦值．
参考答案
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15.解：空间中三点，，，向量，，
，，
则，
由，
故，
解得；
，，
向量与共线，且，则，
即或．
16.解：直线的方程为，直线经过点和．
由题意得，，的斜率为，的斜率为．
，
，即，
解得或．
方程可改写为：，
由，得，
过定点，
．
17.解：证明：如图，取中点，连接，，设，
因为为等边三角形，
则，
则，，，
所以，
即，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
取中点，连接，由可知，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，故，
取，则，，即，
设直线与平面所成的角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：由图可知，点在第一象限，设点，
因为，，则，
所以，，解得，即点，
由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大，
当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：
当点在线段上运动时，直线与线段不包括端点没有公共点，
当点在线段不包括点上运动时，直线与线段不包括端点有公共点，
且直线的斜率为，直线的倾斜角为，
综上所述，直线倾斜角的取值范围是．
由可知，、，则直线的斜率为，
假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，
此时，，则，
此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意，
因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上．
当轴时，此时，为线段的垂直平分线，
此时，；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中，
直线的方程为，即，
联立，可得，
即点，
联立，可得，
即点，
所以，
所以，
因为，则，所以，
所以．
综上所述，的取值范围是．
19.解：由题意可知，直线的一个方向向量为，
直线的一个方向向量为，
设平面的法向量为，
则，则，即，
解得，
取，则，
易知直线过点，
所以平面的方程为，
即．
根据题意，设点，则，
因为平面以为法向量，
则，
又因为点在平面内，则，
联立可得，，故点的坐标为．
如下图所示：
易知多面体交各坐标轴于点、、、、
、，
正方形的边长为，
所以，正方形的面积为，
而正四棱锥的高为，
则，
所以多面体的体积为，
易知平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
平面的方程为，该平面的一个法向量为，
所以，，
因此，多面体相邻两个面所在平面的夹角的余弦值为．
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