2024-2025学年上海市杨浦区同济大学第一附中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市杨浦区同济大学第一附中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，是不同的直线，，是不同的平面，则下列条件能使成立的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.如图，在正方体中，、分别为、的中点，则下列直线中与直线相交的是( )
A. 直线
B. 直线
C. 直线
D. 直线
3.已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是( )
A. ：：： B.
C. D.
4.正四面体的体积为，为其中心，正四面体与正四面体关于点对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.不等式的解集为______．
6.对于正实数，代数式的最小值为______．
7.两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的______条件．填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”
8.若圆柱的高为，底面积为，则这个圆柱的侧面积为______结果保留
9.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为______．
10.若正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且高为，则其体积为______．
11.在中，已知，则 ______．
12.若三个向量，，共面，则实数的值为______．
13.已知二面角为，是平面内的一点，到的距离为，
则在内的射影到的距离为______．
14.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为______．
15.某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷，遮阳篷是一个直角边长为的等腰直角三角形，斜边朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成角，则当遮阳篷与地面所成的角大小为______时，所遮阴影面面积达到最大．
16.在四面体中，，，，设四面体与四面体的体积分别为、，则的值为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
求函数在区间上的最大值和最小值．
18.本小题分
据黑鞑事略记载：“穹庐有二样：燕京之制，用柳木为骨，正如南方罘思，可以卷舒，面前开门，上如伞骨，顶开一窍，谓之天窗，皆以毡为衣，马上可载草地之制，以柳木组定成硬圈，径用毡挞定，不可卷舒，车上载行”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善，穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体如图，已知该圆锥的高为米，圆柱的高为米，底面直径为米．
求该蒙古包的表面积不含底面；
求该蒙古包的体积．
19.本小题分
如图，长方体中，，与底面所成的角为．
求四棱锥的体积；
求异面直线与所成角的大小．
20.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且．
求证：；
求点到侧面的距离；
在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则
称函数为“函数”．
若函数为“函数”，求实数的值；
若函数，为“函数”，求实数的取值范围；
已知为“函数”，设若对任意的，，当时，都有成立，求实数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.必要不充分
8.
9.：
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：由题意得
，
则的最小正周期；
，
，
当时，即时，的最大值为，
当时，即时，的最小值为．
18.解：蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体，
且该圆锥的高为米，圆柱的高为，底面直径为，
，又，
故该蒙古包的表面积为；
由题意可得该蒙古包的体积为：
．
19.解平面，
与底面所成的角为，又易知，
，
四棱锥的体积为；
连接，则易得，
异面直线与所成角为，
在中，由题意及可知，，
，
异面直线与所成角的大小为．
20.解：证明：由点在底面上的投影为的中点，知平面，
又平面，，
是以为斜边的等腰直角三角形，，
，平面，
平面，．
，是中点，侧面是菱形，，
是以为斜边的等腰直角三角形，，，，
由知直线，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
，点到平面的距离为：
．
假设在线段上存在点，且，
则，
直线与侧面所成角的余弦值为，
，，
解得，
，，
存在满足条件的点，且．
21.解：由为“函数”，得，
即，解得，故实数的值为；
函数，为“函数”可知，存在实数，使得成立，
，即，
由，得，整理得．
当时，，符合题意；
当时，由，即，
解得且，
综上，实数的取值范围是；
由为“函数”，得成立，
即，从而，则，
不妨设，则由成立，即，
得，
令，则在上单调递增，
又，
作出函数图象如图：
由图可知，，故实数的最大值为．
第1页，共1页