射洪中学高2023级高二上期第一学月考试
数学试题
（时间：150分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知直线过点，B（3，4），则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，空间四边形OABC中，， ，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
3．下列是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D．抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
4．经过点的直线在轴上的截距是（ ）
A． B． C．10 D．2
5．已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量=(2m-3,n-1),=(1,-1)的夹角为，则为钝角的概率是（ ）
A． B． C． D．
8.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH 上，且若G，B，P，D四点共面，则m为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列四个结论正确的是（ ）
A．任意向量，，若=0，则=0或=0或<，>=
B．若空间中点O，A，B，C满足= ，则A，B，C三点共线
C．空间中任意向量都满足()=()
D．若，则
10．已知某篮球运动员共投篮两次，记事件A=“第一次投篮投中”，事件B=第二次投篮投中”，事件C="两次投篮均投中”，则下列说法正确的是
A . ，互为互斥事件 B.与C互为互斥事件
C. D.与C互为对立事件
11．已知正方体棱长为2，点P在线段上运动，则（ )
A．直线AP与D所成角的取值范围是
B.三棱锥的体积为定值
C.
D. PB+PD的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知直线的方向向量为，点A(1,2,-1)在上，则点P(2,-1,2)到的距离为_______.
13．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为__________
14.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）如图，在长方体中，，，分别的中点．
（1）求证：平面；
（2）判断与平面是否垂直，并说明理由．
▲
16．（15分）已知直线，直线
（1）若//，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
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17．（15分）新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞賽成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图；
（1）试估计这名学生成绩的第百分位数；
（2）若采用分层抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率．
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18．（17分）如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10个棋子，其中A棋1个，B棋2个，C棋3个，D棋4个，
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；
②A棋胜B棋，C棋；B棋胜C棋，D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；
③相同棋子不分胜负，
（1）若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？
（2）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
（3）已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？
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19．（17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD, PD=DC=2AD=2,E是PC的中点.
（1）求三棱锥E-ABC的体积；
（2）求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在一点F，使直线EF与平面EDB所成角的正弦值为，若存在，求出求线段BF的长；若不存在，说明理由.
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试卷第1页，共3页射洪中学高2023级高二上期第一学月考试
数学答案
一、单选题
1、C 2、B 3、C 4、A 5、D 6、A 7、D 8、C
二、多选
9、AB 10、BD 11、ACD
三、填空
12、 13、2.8 14、
四、解答题
15、【解析】
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得．（2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量数量积计算判断即得．
【小问】详解】
在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
由AD=2, - M,N分别的中点，得，显然平面的一个法向量
则，于是，有平面，而MN 平面所以MN／／平面
【小问2详解】
由（1）知，，则有，而于是向量与向量不垂直，即直线MN与不垂直，而,所以MN与平面不垂直.
16、答案：(1)a=2(2)a=6或a=0.
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参．
【详解】（1）因为 所以整理得
解得a=2或a=-4.
当a=-4时， 重合；
当a=2时， ，符合题意.故a=2.
（2）因为，所以2a-a(a-4)=0,
解得a=6或a=0.
解：由频率分布直方图可得
成绩小于80的频率为10×(0.002+0.016+0.022+0.030)=0.79
成绩在［80,90）的频率为10×0.020=0.2，因为0.7<0.75<0.99
所以这100名学生成绩的第75百分位数在［80,90）内，
所以随机抽取的100名学生成绩的第75百分位数为
（3）因为成绩在［70,80），［80,90），[90,100]的学生人数所占比例为3:2:1,
所以从成绩在［70,80），［80,90），［90,100］所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人．
记抽取成绩在［70,80）的3人为a，b，c，成绩在［80,100］为D，E，F．
从这6人中随机抽取2人的所有可能为：(a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(a,F),(b,c),(b,D),(b,E)
(b,F),(c,D)2(c,E),(c,F)(D,E),(D,F),(E,F)，共15种，
抽取的2人成绩都在[80,100]的是(D,E),(D,F),(E,F），共3种，
抽取的2人成绩都在［80,100］的概率为·
【答案】（1）；（2）；（3）小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大
【解析】（1）依题意，一共有10个棋子，其中C棋3个，所以小玲摸到棋的概率等于（2）因为C棋胜D棋，D棋4个，所以小玲在这一轮中胜小军的概率是；
（3）若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
由此可见，小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大.
19、答案：（1）略
（2）如图，以向量 为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，D(0,0,0) B(1,2,0),E(0,1,1)，
则
设平面EDB的法向量
则，令y=-1- x=2, z=1-
所以平面EDB的法向量
平面PAD的一个法向量为,
设平面EDB和平面PAD的夹角为θ，则所以平面EDB平面PAD的夹角的余弦值为
(3) D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1), P(0,0,2),
-
由（2）知平面EDB的法向量,
设直线EF与平面EDB的夹角为α，
则
整理得
解得或,
时， - 时， 则BF的长为或
