7.4 事件的独立性 课件（共24张PPT）2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共24张PPT)
7.4 事件的独立性
第七章 概率
1.通过实例理解两个事件相互独立的含义.
2.通过古典概型理解两个相互独立事件的概率乘法公式.
3.会用相互独立事件的概率公式计算一些事件的概率.
常言道:三个臭皮匠,顶个诸葛亮.某一问题,若已知诸葛亮独自解出的概率为0.8,臭皮匠老大独自解出的概率为0.5,臭皮匠老二独自解出的概率为0.45,臭皮匠老三独自解出的概率为0.4,问三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率与诸葛亮一人解出问题的概率比较,谁大 记事件A:老大独立解出问题;事件B:老二独立解出问题;事件C:老三独立解出问题;事件D:诸葛亮独立解出问题.那么臭皮匠三人中有一人解出的可能性即P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.5+0.45+0.4=1.35>0.8=P(D),所以,合三个臭皮匠之力,成功的可能性就胜于诸葛亮.这个解释有道理吗
这个解释显然是错误的,因为事件发生的概率的值不可能大于1.
问题:端午节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院，甲准备在三天内随机选一天去，记事件A:“甲选的是第一天”;乙准备在前两天中随机选一天去，记事件B:“乙选的是第一天”.
(1)直觉上，你觉得事件A是否发生会影响事件B发生吗
(2)求出P(A)，P(B)，P(AB)并观察这三个值有什么关系.
(1)甲选第一天，对乙选第一天是没有影响的，即事件A是否发生不影响事件B发生.
(2)P(A)=，P(B)=，P(AB)=，
P(AB)=P(A)P(B).
概念生成
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件.
两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即
P(AB)=P(A)P(B).
讨论:对于任意两个随机事件A，B，如果事件A与事件B相互独立，那么事件A与，与B，与是否也相互独立 能否结合P(AB)=P(A)P(B)加以说明
∵A=AB+A，AB、A互斥，
∴P(A)+P(AB)=P(A)，
∴P(A)=P(A)-P(AB)，
又P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P()，
P(A)=P(A)P().
∴A与互斥，
同理与B互斥，与互斥.
归纳总结
相互独立事件的性质：如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立.
思考：1.事件A与B相互独立可以推广到n个事件的一般情形吗？
2.公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形吗？
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立．
公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
例1 下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件
(1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券中一等奖与该张奖券中二等奖;
(2)甲、乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖;
(3)甲组有3名男生、2名女生，乙组有2名男生、3名女生.现从甲、乙两组中各抽选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”;
(4)容器内装有大小、质地相同的5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.
解:(1)1张奖券不可能既中一等奖又中二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件.
(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件.
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件.
(4)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；
若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，
前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件
归纳总结
判断两个事件是否相互独立的方法:
(1)定义法:事件A，B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B).
(2)利用性质:A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立.
(3)互斥参照法:互斥（对立）一定不独立.
例2 甲、乙两人独立破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求:
(1)两人都译出密码的概率；
(2)两人都译不出密码的概率；
(3)恰有一人译出密码的概率；
(4)至多有一人译出密码的概率；
(5)至少有一人译出密码的概率.
解:记“甲独立译出密码”为事件A，“乙独立译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)=，P(B)=.
即两人都译出密码的概率为.
(1)设事件C表示“两人都译出密码”，则C=AB.因为A与B相互独立，所以
(2)设事件D表示“两人都译不出密码”，则D=.因为A与B相互独立，所以与也相互独立.因此，
即两人都译不出密码的概率为.
(3)设事件E表示“恰有一人译出密码”，事件E看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件，所以E= AUB，且两个事件A与B彼此互斥，因此
即恰有一人译出密码的概率为.
(4)设事件F表示“至多有一人译出密码”
方法1 事件F可以看作事件“两人都译不出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以F=D∪E，且D与E彼此互斥，因此
方法2 事件F的对立事件为“两人都译出密码”，所以=C，因此
即至多有一人译出密码的概率为.
(5)设事件G表示“至少有一人译出密码”.
方法1 事件G可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件，所以G=C∪E，且C与E彼此互斥，因此
即至少有一人译出密码的概率为.
方法2 事件G的对立事件为“两人都译不出密码”，所以=D，因此
即至少有一人译出密码的概率为.
归纳总结
1.复杂事件概率的转化方法和求解步骤:
(1)转化方法:
①将所求事件分解成一些彼此互斥的事件的和;
②将所求事件分解成一些彼此相互独立的事件的积;
③尝试先求对立事件的概率.
(2)求解步骤:
①列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们;
②厘清各事件之间的关系，列出关系式;
③准确运用概率公式进行计算.
事件A，B发生的情形 概率计算公式
A，B同时发生
A，B都不发生
A，B至少有一个不发生
A，B至少有一个发生
A，B恰有一个发生
2.与相互独立事件A，B有关的概率计算公式:
P()=P()P()=(1-P(A))(1-P(B))=1-P(A)-P(B)+P(A)(B)
P(AB)=P(A)P(B)
P(AB)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P()=P(A)+P(B)-2P(A)P(B)
P(ABAB)=1-P()=1-P()P()=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
P(B A)=1-P(AB)=1-P(A)P(B)
1.（多选）下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A.一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为3或4”
D.掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
AC
2.袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(　　)
A．A与B，A与C均相互独立
B．A 与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
A
3.暑假期间，甲同学外出旅游的概率是 ，乙同学外出旅游的概率是 ，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是(　　)
A． B． C． D．
C
根据今天所学，回答下列问题：
(1)什么是相互独立事件
(2)相互独立事件的概率乘法公式是什么
(3)复杂事件概率的求法和步骤分别有哪些