2024-2025学年湖北省武汉市江汉三中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省武汉市江汉三中高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( )
A. 当时，的图象是一条直线
B. 幂函数的图象都经过点，
C. 幂函数的图象有可能出现在第四象限
D. 若幂函数在区间上单调递减，则
4.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的定义域为，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.关于的不等式的解集为，则下列说法正确的个数是个．
；关于的不等式的解集为；；关于的不等式的解集为．
A. B. C. D.
7.基本不等式是均值不等式“链”中的一环时，而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立那么函数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.函数的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 是的充分不必要条件
C. 的单调减区间为
D. 若命题“，”是假命题，则的取值范围为
10.已知，，，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知定义在上的函数满足以下条件：，当时，；对任意实数，恒有，则( )
A.
B. 恒成立
C. 若对恒成立，则的取值范围为
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.几何原本中的几何代数法用几何方法研究代数问题成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”如图，为线段上的点，，，为的中点，以为直径作半圆过点作的垂线，交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段______的长度是，的调和平均数．
13.以知是定义在区间上的奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知集合，，．
求；
若满足，求实数的取值范围．
15.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求函数的解析式；
判断函数在上的单调性，并用定义证明；
求函数在上的值域．
16.本小题分
学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导、全科辅学功能、多国语言学习、标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习、情境学习、随身学习机外教、单词联想记忆、同步教材讲解、互动全真题库、权威词典、在线图书馆等多种模式，以及大内存和卡内存自由扩充功能根据市场调查，某学习机公司生产学习机的年固定成本为万元，每生产万部还需另投入万元设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元；当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元．
写出年利润万元关于年产量万部的函数解析式；
当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
17.本小题分
已知二次函数，且．
求的解析式．
若在上的最大值为，求的值以及的最小值．
若，集合，集合，是否存在实数、，使得，若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于中的任意两个不同的元素，，若都不能整除，则称集合是的“好子集”．
分别判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由；
证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，，都有；
求集合的“好子集”所含元素个数的最大值．
参考答案
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14.解：根据题意，集合，
而，解可得，
则，，，
故A，；
根据题意，若，则，
若，即时，，符合题意；
若，即时，，
此时有，
又由，解可得，
综合可得：，即的取值范围为．
15.解：函数是定义在上的奇函数，
则，即有，
且，则，解得，
则函数的解析式：，，
因为满足，所以是奇函数，
即．
证明：设任意，满足，
则，
由于，则，，即，
又，
则有，即，
则在上是增函数．
由知，函数在上是增函数，
所以，即，
所以函数在上的值域为．
16.解：由题意，当生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元，
得，解得；
当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元，
所以，解得．
当时，；
当时，；
综上，利润函数为．
当时，单调递增，所以；
当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，
所以此时的最大值为．
由知，当时，取得最大值为万元．
17.解：，，
，
，，
；
，开口向上，对称轴为，
或者，
，此时的对称轴为，
的最小值为；
，开口向上，对称轴为，
在区间上单调递增，，
令，，则，，
，
当时，在上单调递增，
，
解得：，，即，，
当时，无解；
当时，在上单调递减，
则，
解得，或者，舍，
此时，．
综上：即或，满足条件．
18.解由于整除，所以集合不是集合的“好子集”；
由于不能整除，不能整除，不能整除，
所以集合是集合的“好子集”；
反证首先，由于是“好子集”，所以，
假设存在中的任意两个不同的元素，，使得，
则与同为奇数或同为偶数，从而是偶数，
此时，能整除，与是“好子集”矛盾，
故若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，，都有；
设集合是集合的一个“好子集”，
令：，，
由知，
于是：．
从而：
所以：．
另一方面：取证明是好子集，
此时集合有个元素，且是集合的一个“好子集”，
故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为．
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