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八上数学第十二章《全等三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，△ABC≌△AEF，AB和AE，AC和AF是对应边，那么∠EAF等于（ ）
A．∠ACB B．∠BAC C．∠F D．∠CAF
2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．47° B．60° C．63° D．70°
3．（3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．全等三角形对应角相等
B．全等三角形对应边上的高相等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
4．（3分）如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠B D．AB＝BC
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝24°，D为BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，经过测量得DE＝DC，则∠DAC的度数为（ ）
A．24° B．66° C．57° D．33°
6．（3分）如图，若AB＝AC，AD＝AE，BD＝EC，BH＝HC，则图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
7．（3分）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（ ）
A．1000m B．800m C．200m D．1800m
8．（3分）已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6，三角形ABC的面积为8，则边EF上的高是（ ）
A． B．2 C．6 D．12
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD，分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积为（ ）
A．无法确定 B．10 C．15 D．30
10．（3分）右图为边长相等的6个正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．60° B．90° C．100° D．135°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ ．
12．（3分）已知△ABC≌△PMN，如图，则x＝ ，y＝ 度．
13．（3分）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是 ．
14．（3分）如图，已知∠A＝∠DCE＝90°，BE⊥AC于点B，DC＝EC，BE＝20cm，AB＝9cm，则AD＝ ．
15．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 ．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BE＝CD．
17．（6分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD．
18．（6分）如图，点C、E、B和F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥ED．
19．（8分）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
20．（8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；
（3）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．
（1）求证：OC是∠AOB的平分线；
（2）若点C的坐标为（2a，3a﹣3），求a的值．
22．（10分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，BC＝DC，AC＝EC．
（1）求证：AB＝DE；
（2）设AB与ED相交于点F，连接CF，求证：CF平分∠BFE．
23．（11分）问题情境：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？请你给出证明；
变式拓展：如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗？为什么？
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．
24．（12分）如图1，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足（a+b）2+（a﹣4）2＝0．
（1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，求点P的坐标；
（2）如图2，连接OH，求证：∠AHO＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．中小学教育资源及组卷应用平台
八上数学第十二章《全等三角形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，△ABC≌△AEF，AB和AE，AC和AF是对应边，那么∠EAF等于（ ）
A．∠ACB B．∠BAC C．∠F D．∠CAF
【思路点拔】根据全等三角形的性质可得∠EAF＝∠BAC．
解：∵△ABC≌△AEF，
∴∠EAF＝∠BAC，
故选：B．
2．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．47° B．60° C．63° D．70°
【思路点拔】根据∠1是a的对角即可解答．
解：∵∠1是a的对角，a的对角是70°，
∴∠1的度数是70°．
故选：D．
3．（3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．全等三角形对应角相等
B．全等三角形对应边上的高相等
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
【思路点拔】根据全等三角形的性质对A、B进行判断；根据全等三角形的判定方法对C、D进行判断．
解：A．全等三角形对应角相等，所以A选项不符合题意；
B．全等三角形对应边上的高相等，所以B选项不符合题意；
C．有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，所以C选项符合题意；
D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等，所以D选项不符合题意；
故选：C．
4．（3分）如图，AE∥DF，AE＝DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠A＝∠B D．AB＝BC
【思路点拔】根据平行线的性质可得∠A＝∠D，再根据等式的性质可得AC＝BD，然后根据SAS来证明△EAC≌△FDB，即可解答．
解：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC，
∴AC＝BD，
∵AE＝DF，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
故选：A．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝24°，D为BC上一点，过点D作DE⊥AB于点E，经过测量得DE＝DC，则∠DAC的度数为（ ）
A．24° B．66° C．57° D．33°
【思路点拔】由“HL”可证Rt△ADC≌Rt△ADE，可得∠CAD＝∠BAD∠BAC＝33°．
解：∵∠C＝90°，∠B＝24°，
∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣24°＝66°，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAC＝∠BAD∠BAC＝33°，
故选：D．
6．（3分）如图，若AB＝AC，AD＝AE，BD＝EC，BH＝HC，则图中全等三角形有（ ）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【思路点拔】共有四对．分别为△ABD≌△ACE，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△ABE≌△ADC要从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，一个个进行验证，做到由易到难，不重不漏．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AB＝AC，BD＝EC，
∴△ABD≌△ACE．（SAS）
∴AD＝AE，
∵AF⊥BC，AF＝AF，
∴△ADF≌△AEF．（HL）
∵AB＝AC，AF＝AF，
∴△ABF≌△ACF．（HL）
∵BE＝CD，AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABE≌△ADC．（SSS）
所以共有四对全等三角形．
故选：C．
7．（3分）如图所示，有三条道路围成Rt△ABC，其中BC＝1000m，一个人从B处出发沿着BC行走了800m，到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为（ ）
A．1000m B．800m C．200m D．1800m
【思路点拔】根据角平分线的性质得出DC＝D点到AB的距离，进而解答即可．
解：∵AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC，
∴DC＝D点到AB的距离，
∵BC＝1000m，BD＝800m，
∴DC＝200m，
∴D点到AB的最短距离＝200m，
故选：C．
8．（3分）已知△ABC≌△DEF，BC＝EF＝6，三角形ABC的面积为8，则边EF上的高是（ ）
A． B．2 C．6 D．12
【思路点拔】首先根据条件可知S△ABC＝S△DEF，再利用三角形的面积公式求出边EF上的高即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴S△ABC＝S△DEF，
∵三角形ABC的面积为8，
∴三角形DEF的面积也为8，
设EF上的高长为x，
x EF＝8，
x，
故选：A．
9．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD，分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积为（ ）
A．无法确定 B．10 C．15 D．30
【思路点拔】先利用基本作图得到BG平分∠ABC，然后根据角平分线的性质和三角形的面积公式求解．
解：由作法得BG平分∠ABC，
过G作GH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，
∴GH＝CG＝3，
∵AB＝10，
∴△ABG的面积AB CG10×3＝15．
故选：C．
10．（3分）右图为边长相等的6个正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3等于（ ）
A．60° B．90° C．100° D．135°
【思路点拔】观察图形可知∠1与∠3互余，∠2是直角的一半，利用这些关系可解此题．
解：观察图形可知：△ABC≌△BDE，
∴∠1＝∠DBE，
又∵∠DBE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°．
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝∠1+∠3+∠2＝90°+45°＝135°．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝ 6 ．
【思路点拔】根据题中条件由SAS可得△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质可得AC＝DF＝6．
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF＝6．
故答案为：6．
12．（3分）已知△ABC≌△PMN，如图，则x＝ 19 ，y＝ 17 度．
【思路点拔】只要找准找准全等三角形的对应边、对应角，然后根据全等三角形的性质可得结果，此题易做．
解：△MNP中，∠M＝180﹣45﹣118＝17°
∵△ABC≌△PMN，
∴MP＝AB，∠B＝∠M（全等三角形的对应边相等，对应角相等），
∴2x＝AB＝38，
∴x＝19，y＝17°．
13．（3分）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD＝AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是 DC＝BC或∠DAC＝∠BAC ．
【思路点拔】添加DC＝BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC＝∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．
解：添加条件为DC＝BC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
若添加条件为∠DAC＝∠BAC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故答案为：DC＝BC或∠DAC＝∠BAC
14．（3分）如图，已知∠A＝∠DCE＝90°，BE⊥AC于点B，DC＝EC，BE＝20cm，AB＝9cm，则AD＝ 11cm ．
【思路点拔】由“AAS”可证△ECB≌△CDA，可得BE＝AC，BC＝AD，即可求解．
证明：∵∠ECB+∠DCA＝90°，∠DCA+∠D＝90°，
∴∠ECB＝∠D，
在△ECB和△CDA中，
，
∴△ECB≌△CDA（AAS），
∴BE＝AC，BC＝AD，
∵BE＝20cm，
∴AC＝20cm，
∴AD＝AC﹣AB＝11cm，
故答案为：11cm．
15．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 4 ．
【思路点拔】根据角平分线的性质定理可得DF＝DE；最后根据三角形的面积＝底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可．
解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴S△BCD BC×DF4×2＝4
故答案为：4．
三．解答题（共9小题，满分75分）
16．（6分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BE＝CD．
【思路点拔】利用SAS证得△ADC≌△AEB后即可证得结论．
解：在△ADC和△AEB中，
∵，
∴△ADC≌△AEB（SAS），
∴BE＝CD．
17．（6分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD．
【思路点拔】先证出∠ABC＝∠ABD，再由ASA证明△ABC≌△ABD，得出对应边相等即可．
证明：∵∠3＝∠4，
∴∠ABC＝∠ABD，
在△ABC和△ABD中，，
∴△ABC≌△ABD（ASA），
∴AC＝AD．
18．（6分）如图，点C、E、B和F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BC＝EF，求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥ED．
【思路点拔】（1）根据平行线的性质推出∠C＝∠F，根据SAS推出△ABC≌△DEF；
（2）根据△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF，即可得到AB∥ED．
解：（1）∵AC∥DF，
∴∠C＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，
∴AB∥ED．
19．（8分）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB∥DE．
【思路点拔】（1）由SAS容易证明△ABC≌△DEF；
（2）由△ABC≌△DEF，得出对应角相等∠B＝∠DEF，即可得出结论．
证明：（1）∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，
∴∠ACB＝∠DFE＝90°，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）由（1）得：△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，
∴AB∥DE．
20．（8分）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M
（1）求证：AP平分∠CAB；
（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数；
（3）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN．
【思路点拔】（1）利用基本作图得到AE＝AF，PE＝PF，则可根据“SSS“判断△AEP≌△AFP，从而得到∠EAP＝∠FAP；
（2）利用平行线的性质可计算出∠BAC＝66°，然后利用角平分线的定义可计算出∠MAB的度数；
（3）利用CD∥AB得到∠BAM＝∠CMA，加上∠CAM＝∠BAM，所以∠CAM＝∠CMA，则CA＝CM，则可利用“AAS”判断△CAN≌△CMN．
（1）证明：连接PE、PF，如图，
由作法得AE＝AF，PE＝PF，
而AP＝AP，
∴△AEP≌△AFP（SSS），
∴∠EAP＝∠FAP，
即AP平分∠CAB；
（2）解：∵CD∥AB，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣114°＝66°，
∵AP平分∠CAB，
∴∠MAB∠BAC＝33°；
（3）解：∵CD∥AB，
∴∠BAM＝∠CMA，
∵∠CAM＝∠BAM，
∴∠CAM＝∠CMA，
∴CA＝CM，
∵CN⊥AM，
∴∠CNA＝∠CNM，
在△CAN和△CMN中
∴△CAN≌△CMN（AAS）．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB；再分别以点A、B为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点C．
（1）求证：OC是∠AOB的平分线；
（2）若点C的坐标为（2a，3a﹣3），求a的值．
【思路点拔】（1）由OA＝OB，BC＝AC，OC为公共边，利用SSS得出三角形BOC与三角形AOC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证；
（2）由（1）得到OC为角平分线，利用角平分线性质即可解决问题．
（1）证明：在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC为∠AOB的平分线；
（2）解：∵OC为∠AOB的平分线，
∴2a＝3a﹣3，
∴a＝3．
22．（10分）如图，AC⊥BC，DC⊥EC，BC＝DC，AC＝EC．
（1）求证：AB＝DE；
（2）设AB与ED相交于点F，连接CF，求证：CF平分∠BFE．
【思路点拔】（1）根据SAS证明△ACB≌△ECD，得出AB＝DE即可；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥DE于点H，根据三角形全等的性质得出S△ABC＝S△CDE，AB＝DE，根据，得出CG＝CH，即可证明结论．
证明：（1）∵AC⊥BC，DC⊥EC，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
∵BC＝DC，AC＝EC，
∴△ACB≌△ECD，
∴AB＝DE；
（2）过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥DE于点H，如图所示：
∵△ACB≌△ECD，
∴S△ABC＝S△CDE，AB＝DE，
∴，
∴CG＝CH，
∴CF平分∠BFE．
23．（11分）问题情境：如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F，PE与PF相等吗？请你给出证明；
变式拓展：如图2，已知∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，P是OC上一点，∠EPF＝60°，PE边与OA边相交于点E，PF边与射线OB的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：
①PE与PF还相等吗？为什么？
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】问题情境：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论；
变式拓展：①过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．证明△PMF≌△PNE（ASA），可得结论；
②结论：OE﹣OF＝OP．证明△POM≌△PON（AAS），推出OM＝ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM＝EN，可得结论．
问题情境：证明：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N．
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝∠MON＝90°，
∴∠MPN＝360°﹣3×90°＝90°，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中，
，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE；
变式拓展：①解：结论：PE＝PF．
理由：过点P作PM⊥OB于M，PN⊥OA于N，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN，
∵∠PMO＝∠PNO＝90°，∠MON＝120°，
∴∠MPN＝360°﹣2×90°﹣120°＝60°，
∵∠MPN＝∠EPF＝60°，
∴∠MPF＝∠NPE，
在△PMF和△PNE中，
，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PF＝PE；
②解：结论：OE﹣OF＝OP．
理由：在△OPM和△OPN中，
，
∴△POM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON，
∵△PMF≌△PNE（ASA），
∴FM＝EN，
∴OE﹣OF＝EN+ON﹣（FM﹣OM）＝2OM，
在Rt△OPM中，∠PMO＝90°，，
∴∠OPM＝30°，
∴OP＝2OM，
∴OE﹣OF＝OP．
24．（12分）如图1，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足（a+b）2+（a﹣4）2＝0．
（1）如图1，若C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，求点P的坐标；
（2）如图2，连接OH，求证：∠AHO＝45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【思路点拔】（1）要求点P的坐标，只需求出OP的长度，如图1，易证△OAP≌△OBC，即可得到OP＝OC＝1；
（2）要证∠OHP＝45°，只需证明HO平分∠CHA，过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图2，只需证到OM＝ON，只需证明△COM≌△PON即可；
（3）连接OD，如图3，易证△ODM≌△ADN，从而有S△ODM＝S△ADN，由此可得S△BDM﹣S△ADN＝S△BDM﹣S△ODM＝S△BODS△AOB＝4．
解：（1）如图1，
∵（a+b）2+（a﹣4）2＝0．
∴a+b＝0，a﹣4＝0，
∴a＝4，b＝﹣4，
则OA＝OB＝4．
∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90°
∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
在△OAP与△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP＝OC＝1，
则P（0，﹣1）；
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图2．
在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP∠CHA＝45°；
（3）S△BDM﹣S△ADN的值不发生改变，等于4．
理由如下：
连接OD，如图3．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD＝∠AOD＝45°，OD＝DA＝BD，
∴∠OAD＝45°，∠MOD＝90°+45°＝135°，
∴∠DAN＝135°＝∠MOD．
∵MD⊥ND即∠MDN＝90°，
∴∠MDO＝∠NDA＝90°﹣∠MDA．
在△ODM与△ADN中，
，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S△ODM＝S△ADN，
∴S△BDM﹣S△ADN
＝S△BDM﹣S△ODM
＝S△BOD
S△AOB
AO BO
4×4
＝4．
