2024-2025学年江苏省决胜新高考高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省决胜新高考高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题：，的否定形式为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，若，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.二项式的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
4.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，水面高度均为的圆锥、圆柱容器的底面半径相等，高均为不考虑容器厚度及圆锥容器开口现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，则倒入前后圆柱容器内水的体积之比为( )
A. B. C. D.
6.若曲线关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
7.已知，均为锐角，且，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两组数据，，，和，，，，满足为常数，则这两组数据一定相同的是( )
A. 平均数 B. 极差 C. 方差 D. 中位数
10.已知函数在上单调递增，则的值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知在矩形中，，，为的中点将沿翻折折到构成四棱锥的翻转过程中，下列说法正确的是( )
A. 一定存在某个位置，使得
B. 若为线段的中点，则平面
C. 若为线段的中点，则点在球面上运动
D. 与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.某大学名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到所学校，每所学校至多接收名同学若同学确定到甲学校，则不同的安排方法共有______种
14.设函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求证：曲线的图象关于点对称；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，已知．
求证：；
若，，求的面积．
17.本小题分
比亚迪汽车集团监控汽车零件企业的生产过程，从汽车零件中随机抽取件作为样本，测得质量差零件质量与标准质量之差的绝对值的样本数据如下表：
质量差单位：
件数单位：件
求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；
已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第条生产线与第条生产线生产的零件件数之比为：若第，条生产线的废品率分别为和，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
求抽取的零件为废品的概率；
若抽取出的零件为废品，求该废品来自第条生产线的概率．
参考数据：若随机变量，则，，．
18.本小题分
如图，三棱锥中，，平面平面，，，为棱的中点，为棱上的点．
证明：平面；
若二面角的正弦值为，求点到平面的距离．
19.本小题分
已知函数在点处的切线经过原点．
求的值；
若存在，使得，求证：；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：根据题意，函数，其定义域为，
则，
所以曲线的图象关于点对称；
由知，，
所以，
所以不等式，
可得．
因为，
当且仅当即时等号成立，
所以在上单调递增，
所以，即，
解得或，即的取值范围为或
16.证明：记的内角，，所对的边分别为，，，已知，
由正弦定理，知，
所以，即为，
所以，
又，所以，
即，
所以，
因为，，
所以或，即或舍去；
解：由，得，
所以，即，
由余弦定理，得，
即，解得，
所以，
又由，可得，
得，
所以的面积．
17.解：由题意可知，由表中的数据：，
又由，则，
所以；
根据题意，设事件“随机抽取一件该企业生产的汽车零件为废品”，
设事件“随机抽取一件零件为第条生产线生产”，
设事件“随机抽取一件零件为第条生产线生产”，
第条生产线与第条生产线生产的零件件数之比为：，则，，
第，条生产线的废品率分别为和，则，，
所以；
因为，
所以，
所以．
18.解：证明：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，
所以，
又，，所以，
所以，
因为，平面，，
所以平面．
过点作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，
所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由知，平面，又平面，
所以，
在直角中，，，则，
又，所以，
所以，，，，
，，，
设，则，
所以所以，
设平面平面的法向量为，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
设二面角的大小为，
则，
解得．
此时为的中点，，
平面的法向量为，
所以点到平面的距离．
19.解：因为，
所以函数在点处的切线斜率为，
因为，
所以切线方程为，即，
因为切线经过原点，
所以，
所以．
证明：因为，
所以，
令，解得，
令，解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
因为，，
所以存在，，且，，
要证，即证，
因为，
只需证，
因为，
即证，
令，
即，
所以，
因为，
所以，
所以在区间上单调递增，
所以，
所以，即，
所以．
证明：要证，即证，
即证，
因为，
所以只需证，
令，
只需证，即证，
由，
因为，
所以，
令，得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
所以，
所以，
所以原不等式得证．
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