2024-2025学年广东省广州市天河区高三（上）数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市天河区高三（上）数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数据，，，，，且满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差
3.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知为第一象限角，为第四象限角，，，则( )
A. B. C. D.
5.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则( )
A. B. C. D.
6.数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，，它们的终边分别与单位圆交于点，，设线段的中点的纵坐标为，若，则角的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下说法正确的是( )
A. 两个变量的样本相关系数越大，它们的线性相关程度越强
B. 残差点分布在以横轴为对称轴的水平带状区域内，该区域越窄，拟合效果越好
C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为“与没有关联”
D. 若随机变量，，则
10.已知函数的定义域为，集合，，在使得的所有中，下列成立的是( )
A. 存在，当时有
B. 存在是增函数
C. 存在是奇函数
D. 存在，使恒大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知函数，若曲线在处的切线的斜率为，则实数的值为______．
12.若的展开式中，项的系数为，则的最大值为______．
13.袋子里有四张卡片，分别标有数字，，，，从袋子中有放回地依次随机抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知数列的前项和公式为，数列满足．
求数列的通项公式；
若，求数列的通项公式．
15.本小题分
三角形中，内角，，对应边分别为，，，面积．
求的大小；
如图，若为外一点，在四边形中，边长，，，求的最小值．
16.本小题分
已知函数．
若，求证：当时，；
若是的极大值点，求的取值范围．
17.本小题分
小张参加某项专业能力考试该考试有，，三类问题，考生可以自行决定三类问题的答题次序，回答问题时按答题次序从某一类问题中随机抽取一个问题回答，若回答正确则考试通过，若回答错误则继续从下一类问题中再随机抽取一个问题回答，依此规则，直到三类问题全部答完，仍没有答对，则考试不通过已知小张能正确回答，，三类问题的概率分别为，，，且每个问题的回答结果相互独立．
若小张按照在先，次之，最后的顺序回答问题，记为小张的累计答题数目，求的分布列；
小张考试通过的概率会不会受答题次序的影响，请作出判断并说明理由；
设，为使累计答题数目的均值最小，小张应如何安排答题次序？并说明理由．
18.本小题分
如果函数，满足：对于任意，，均有为正整数成立，则称函数在上具有“级”性质．
判断在区间上是否具有“级”性质，并说明理由；
若在区间上具有“级”性质，求的取值范围；
已知函数在定义域上具有“级”性质，求证：对任意，，当时，都有成立．
参考答案
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14.解：由，可得，
当时，，对也成立，
所以，；
，
，
即有，
则，
，
上面两式相减可得
，
可得．
15.解：因为面积，
由余弦定理可得，所以，
所以，
可得，
在中，，
所以；
在和中，
由正弦定理可得，
设，，则，，，
故两式相除可得，
即，
即，
故当时，即时，此时取最大值，
所以取最小值．
16.解：证明：若，
此时，
可得，
令，
可得，
当时，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
即在上单调递增，
所以，
即在上单调递增，
则；
易知，
令，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增，
即在上单调递增；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，
又，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，
则当时，，单调递增，
此时无极值点，不符合题意；
当时，，
又，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以是函数的极大值点，符合题意．
综上所述，的取值范围为．
17.解：按的顺序答题，的可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
小张考试通过的概率会受答题次序的影响，理由如下：
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
由得
．
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
则，，，
所以
，
，
由于的值不一定为，所以，不一定相等，
所以小张考试通过的概率会受答题次序的影响．
应按的顺序答题，理由如下：
设，，，，
，，，
根据可知，，
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
同理可得，
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
同理可得，
，，
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
同理可得．
若按的顺序答题，设为此时小张的累计答题数目，
同理可得，
，，
所以累计答题数目的均值最小的，是、、中最小的一个，
，
，
所以，
，
所以，
所以最小的是，
所以应按的顺序答题．
18.解：对于函数，由于，，所以，
故，
所以函数具有“级”性质．
由于在区间上具有“级”性质，
不妨设，
所以，故，
进而，且，
故在上单调递增，在上单调递减，
，，
因此，在上恒成立，
故在上恒成立，
令，，
则，，
由于，均为单调递增函数，因此单调递增，单调递减，
又，故存在，，即，，
当，，单调递减，当，，单调递增，
故，取极大值也是最大值，故，因此，
又在上恒成立，故在上单调递减，
故当时，取最小值，，
因此，即，
综上可得，，即的取值范围是
证明：由题意可知，，
将区间进行等分，记，，，，，
，
故，得证．
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