2024-2025学年贵州省贵阳市第三实验中学高三（上）质检数学试卷（二）（含答案）

2024-2025学年贵州省贵阳市第三实验中学高三（上）质检数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条供
3.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
4.若向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知正实数，满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 没有最大值
7.已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有( )
函数的图象关于点中心对称
函数的单调增区间为
函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
函数在上有个零点，则实数的取值范围为
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. 若与垂直，则 B. 若，则的值为
C. 若，则 D. 若，则与的夹角为
10.在中，，，分别为，，的对边，下列叙述正确的是( )
A. 若，则为等腰三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，则
11.已知函数，且当时，，则( )
A. 只有个极值点 B. 在上是增函数
C. 当时， D. 实数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为______．
13.已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为______．
14.已知函数，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的图象的对称中心和对称轴；
当时，求的最值．
16.本小题分
已知，，分别为的三个内角，，的对边，且．
求及的面积；
若为边上一点，且，求的正弦值．
17.本小题分
已知锐角中，角，，的对边分别为，，，若．
证明：；
若，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，其中．
Ⅰ当时，求函数的极值；
Ⅱ若，，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
当函数仅有两个零点，时．
(ⅰ)求实数的取值范围；
(ⅱ)求证：．
参考答案
1.
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8.
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13.．
14.
15.解：由题意，得．
令，解得，
所以函数的对称中心为．
令，，
所以函数的对称轴方程为；
当时，，
所以，
当即时，函数取得最小值为；
当即时，函数取得最大值为．
16.解：由余弦定理得，
整理得，即，
因为，解得，
所以；
由正弦定理得：，
所以，
在三角形中，因为，则，
所以．
17.证明：因为，
由正弦定理得，
所以，
所以，即，
而，，则或，
即或舍去，故B；
解：因为是锐角三角形，
所以，解得，
所以，
由正弦定理，可得，
则，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以的取值范围是．
18.解：Ⅰ，则，
令，解得或．
所以当时函数单调递减；
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减，
所以函数的极小值为，极大值为．
Ⅱ，
若，即时，，函数单调递减，
则，不符合题意．
若，令函数，则的图象开口向下，且与轴有两个交点，
令，则，，
因为，且，，
所以不可能是函数的极大值．
则，即．
当，即时，
若，则，函数单调递减；
若，则，函数单调递增．
所以，符合题意．
当，即时，
若，则，函数单调递减；
若，则，函数单调递增；
若，则，函数单调递减；
又，故只需即可，解得，所以，
综上，的取值范围为．
19.解：，
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得或，
当，即时，在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，在上单调递增；
当，即时，在和上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
时，只有一个零点；
当时，在上单调递增，在上恒小于，不存在两个零点；
当时，时，，在上单调递减，在上单调递增，不存在两个零点；
当时，，，
取，，，
，
，即，
．
(ⅱ)证明：设，由(ⅰ)知，
为零点，，
，
，
令，
，
当时，，
在上单调递减，
，，
，
，
，
，
在上单调递减，
，
．
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