人教A版（2019）必修一高一数学期中练习（一-三章）（含答案）

必修一数学期中练习（一-三章）
一、选择题
1．命题，的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．若集合，，且，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．已知函数，则当时，y的最大值和最小值分别是（　　）
A．5， B．5，1 C．5， D．1，
4．已知且，则的最小值为（　　）
A．4 B．6 C． D．8
5．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足 ，则f(2)＋f(3)＋f(5)＝（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．4
6．已知函数的定义域为R，函数是奇函数，．当时，．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”，若函数，存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，对任意的都有，且，则下列说法不正确的是（　　）
A． B．是奇函数
C．是上的增函数 D．
二、多项选择题
9．设分别为的三边的长，则（　　）
（1）关于的方程与没有公共实根
（2）关于的方程与有公共实根
A．是（1）的充分非必要条件
B．是（2）的充分非必要条件
C．是（1）的必要非充分条件
D．是（2）的充要条件
10．已知，则下列正确的是（　　）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．最大值为8 D．的最大值为6
11．下列各结论中正确的是（　　）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数在定义域内是增函数；
C．命题“”的否定是“”；
D．函数的值域为．
12．定义在上的函数同时满足①；②当时，，则（　　）
A． B．为偶函数
C．，使得 D．
三、填空题
13．已知集合，集合，则　 　．
14．函数的最大值等于　 　.
15．已知正实数a，b，c，，则的最大值为　 　，的最小值为　 　．
16．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，由此可以推广得到：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，利用题目中的推广结论，若函数的图象关于点成中心对称，则　 　.
四、解答题
17．已知集合．
（1）求集合真子集的个数；
（2）求
18．已知函数．
（1）若函数为奇函数，求实数的值；
（2）当，时，求函数在区间上的最小值．
19．经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到）
（2）为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
20．已知函数.
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）当时，解不等式；
（3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
21．问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足，求的最小值；
（2）若实数a，b，x，y满足，求证：；
（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
22．若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数的图象，是否存在实数，使集合恰含有2个元素？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
2．B
解：由，即，解得，
所以，
又，
因为，
当时，显然不满足题意，
当时，也不符合题意，
当时，
所以，解得；
3．A
由，开口向上且对称轴为，
又，故当有最大值为5，当有最小值为.
4．D
解：因为且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以，当时，的最小值为8.
5．B
6．A
7．B
解：当时，，设，，
关于原点对称的函数解析式为，
当时，，，故，
故，，
要想存在“隐对称点”，则，与，有交点，
联立得，，即，
因为，当且仅当时取等号，
故实数m的取值范围是.
8．C
9．A,D
10．B,C
解：A、因为，所以，
，解得，
当且仅当，即时等号成立，
则，故A错误；
B、，，
，
当且仅当时等号成立，故B正确；
D、，
整理得，，
当且仅当时等号成立，故D错误；
C、，
由D选项的分析可知：，故C正确.
11．A,D
解：由题可知，则，即的定义域为，则A对；
由定义域为，且在和都单调递增，但在定义域上不单调，则B错；
由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，则C错；
令，故，即的值域为，则D对.
12．A,C,D
解：对于A中，因为，
令，可得，即，
又因为时，，即，
则，即，可得，
所以，所以A正确；
对于B中，由选项A可得，
令，可得，解得，所以，
所以函数不是偶函数，所以B错误；
对于C中，因为，
当时，
，
且，符合上式，所以，
令，则，
即存在，使得，所以C正确；
对于D中，令，
则，
即，即函数是以1为周期的周期函数，
因为时，，则，
结合周期性可知，对任意，均有，
所以
又由C项可得，
令，即，即，
当时，上式不成立；
当时，上式化简得，此时方程无解；
当时，上式化简得，此时方程无解；
可得对于任意，，
所以，对于任意，都有成立，所以D正确.
13．
14．
解：∵函数，
∴函数在上是增函数，故当时，函数取得最大值为.
15．；
解：因为，且，所以，
当且仅当时等号成立，故的最大值为；
因为，且，所以，
则，
而，当且仅当 ，即 时取等号，
故，
当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为.
16．
17．（1）3
（2）
18．（1）解：函数的定义域为，
若函数为奇函数，则成立，即，
即恒成立，因为，所以；
（2）解：当，时，函数，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
则函数取得最小值为4.
19．（1）当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时；
（2）汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.
20．（1）解：当时，由，得到，所以，不合题意；
当时，由，得到，
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：当时，，即，
可得，因为，
①当时，即，不等式的解集为；
②当时，，因为，
所以，不等式的解集为；
③当时，，又因为，
所以，不等式的解集为，
综上所述：，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（3）解：由题意可知，
对任意，不等式恒成立，
即，因为时，恒成立，
可得，设，则，所以，
可得，
因为，当且仅当是取等号，
所以，当且仅当是取等号，
故实数m的取值范围为．
21．（1）解：因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是；
（2）证明：，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且同号时等号成立，此时满足；
（3）解：令，，由得，
，
又，所以，构造，
由，可得，因此，
由（2）知，
取等号时，且同正，
结合，解得，即，．
所以时，取得最小值．
22．解：（1）因为是定义再上的奇函数，而且当时，，
所以当时，．
所以．
（2）因为当时，为二次函数，对称轴为，图象开口向下，所以在上递减，
设，因为在上递减，
所以，即，解得．
所以在内的“倒域区间”为．
（3）因为在时，函数值的取值区间恰为，其中，，
所以，即，同号，所以只需考虑或，
当时，根据的图象知，最大值为1，，，
所以，由（2）知在内的“倒域区间”为；
当，最小值为，，，
所以，同理知在内的“倒域区间”为．
所以．
依题意：抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．
因此，应当使方程在内恰有一个实数根，
并且使方程在内恰有一个实数．
由方程在内恰有一根知；
由方程在内恰有一根知，
综上知：．
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