24.3正多边形和圆(共两课时)

24.3 正多边形和圆(1)
教学目标 知识技能 使学生经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法．
数学思考 使学生丰富对正多边形的认识，通过设计图案，发展学生的形象思维.
解决问题 使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生的实践能力和创新精神.
情感态度 通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心．
重点 了解圆与正多边形的关系；掌握用量角器等分圆心角来等分圆，从而得到正多边形和尺规作圆内接正方形和正六边形的方法．
难点 对正n边形中“n”的接受和理解.
正多边形和圆正多边形的概念:等分圆周的方法：
问题与情境 师生行为 设计意图
活动一：复习提问1.什么样的图形叫做正多边形？ 展示图片（课本P113页图片），你还能举出一些这样的例子吗？2.正多边形与圆有什么关系呢？ （引出课题）活动二：等分圆周问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？ 教师提出问题，学生进行回答：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．并举出生活中的例子．教师可再展示一些图片让学生欣赏．学生根据教师提出的问题进行思考，回忆圆的有关知识，进而回答教师提出的问题．即等分圆周，就可以得到圆内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．教师提出问题后，学生认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充．教师在学生归纳的基础上进行补充，并以正五边形为例进行证明． 复习正多边形的概念，为今天的课程做准备． 激发学生的学习兴趣．培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．
问题与情境 师生行为 设计意图
活动三：如何等分圆周呢？问题： 已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形．　　　　 教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：如图， ∵ ∴ ∴ 同理可证：∴ 五边形是正五边形． ∵A、B、C、D、E在⊙O上， ∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行作图，方法不限． 以下为解决问题的参考方案：(上课时教师归纳学生的方法)　　(1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠=∠CAO=30°，如图1．②用量角器度量，使∠=∠=∠=120°，如图2．(2)尺规作图：用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结、、即可，如图3．　　(3)计算与尺规作图结合法：由正三角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长= R=2（cm），用圆规在⊙O上截取长度为2（cm）的弦、，连结、、即可． 使学生理解、体会圆与正多边形的内在联系．充分发展学生的发散思维．让学生充分利用手中的工具，实际操作，认真思考，从而培养学生的动手能力．
问题与情境 师生行为 设计意图
在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．如：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆具有旋转不变性．正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转，都能和原来的图形重合．结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念． 同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．活动四：实际应用参照图5，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘． 在学生作图的基础上，教师归纳出等分圆周的方法： 1.用量角器等分圆：　　依据：同圆中相等的圆心角所对应的弧相等．　　操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大． 2.用尺规等分圆：（1）作正四边形、正八边形．　　教师组织学生，分析、作图．归纳：只要做出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……（2）作正六、三、十二边形．　教师组织学生，分析、作图．归纳：先做出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．教师提出问题后，学生认真思考，并在笔记本上试着作图，再与同学进行交流． 教给学生等分圆周的方法，尤其是尺规作正方形、正六边形． 使学生体会随着正多边形边数的增多，正多边形越来越接近圆．
问题与情境 师生行为 设计意图
活动五：方案设计 某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉。为了美观，种植要求如下：　　（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃。（注意：面积相等必须由数学知识作保证）　　（2）花卉总面积等于广场面积　　（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边。　　请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）活动六：课堂小结 1.本节课中，你有什么收获与大家交流？ 2. 布置作业：P116页：练习；P117页：2，4.并与大家交流． 教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．　　教师巡视，对画的好的学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．学生归纳总结本节课的内容，教师作补充．教师布置作业，学生记录． 应用等分圆周的方法作图．发展学生作图的能力，对学生进行美的教育，发展学生作图能力．巩固本节课所学的内容．
扩展资料：
1.我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“九五顶五九，八五两边分”，它的意义如图：如果正五边形的边长为10，作它的中垂线，取=15.4，在上取=9.5，则=5.9，过点作，在上取==8．连结、、、即可．
　　
　　例：用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形．
分析：要画边长20mm的正五边形，关键在于计算出口诀中各部分的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形相似，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例．由已知知道要画正五边形的边=20mm．请同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形．
2.尺规作正五边形
（1） 在⊙O中作互相垂直的两条直径和；
（2） 取半径的中点，以点为圆心，为半径作弧，交于点；
（3） 以点为圆心，为半径作弧，交⊙O于、N；
（4） 分别心M、N为圆心，以AE为半径作弧，交⊙O于P、Q．
则D、M、P、Q、N就是⊙O的五等分点．
3. 小圆覆盖大圆
　　“覆盖问题”在实际中经常遇到，如三颗同步通信卫星就可以覆盖整个地球，一个物体能否覆盖住另一个物体等等．下面举一个日常生活中的问题：在一场演出中，根据需要必须用灯光照亮舞台中一个半径为2米的圆形区域，但不巧，当时没有这样的灯，舞台监督要求用另一种可照半径l米的灯光代替，使其灯光照到指定区域的每一点．那么这样至少需几盏代用灯？
　　我们用数学语言叙述即最少需要几个半径为l的圆才能完全覆盖半径为2的圆？(各圆可相互叠放)
设半径为2的圆的圆心是O，在圆周上作正六边形ABCDEF，其边长都是2．再分别以各边中点为圆心作六个半径为l的圆(见图)各圆的圆周除相交于A，B，C，D，E，F
各点外，还相交于Al，Bl，Cl，Dl，El，Fl各点并构成边长为l的正六边形的顶点．涂线部分只要以O为圆心并以半径l作圆即可覆盖，一共要七个圆．
　　不难看出只用六个小圆是不行的．大圆的圆周必需有六个小圆才能盖满，这时中央的小圆是不可缺少的．
24.3 正多边形和圆(2)
教学目标 知识技能 熟练掌握正三边形、正方形、正六边形的有关计算．
数学思考 通过正多边形的有关计算，培养学生的计算能力，特别是解三角形的能力．
解决问题 通过对例题的研究，发展学生“转化思想”和解题能力．
情感态度 通过对正三边形、正方形、正六边形的研究，揭示正多边形的内在规律，激发学生的兴趣和探究精神．
重点 正三角形、正方形、正六边形的有关计算．
难点 正确地转化和综合应用几何知识准确计算．
正多边形的有关计算六角亭问题的解答 探究活动
问题与情境 师生行为 设计意图
活动一：创设情景，引出新知问题：如图1，这是一个漂亮的六角亭，已知它地基是半径为4m的正六边形，你能求出地基的周长和面积吗？活动二：复习引入 填空：1.正多边形的内角和公式是 ；2.正多边形的每个内角等于 ；3.正多边形的每个外角等于 ；4．正多边形的每个中心角等于 ；5.正多边形的每个内角 它的每个外角．活动三：观察图形，归纳规律　问题1：每个图形的半径，分别将它们分割成什么样的三角形？它们有什么规律？问题2：作每个正多边形的边心距，又有什么规律？ 教师提出问题后，学生思考并说明不能解决这个问题，从而引出今天的课题：正多边形的有关计算．教师提出问题后，学生认真思考，回答教师提出的问题．教师关注学生是否在倾听．教师引导学生观察，学生回答．　　观察：三角形的形状，三角形的个数．　　归纳：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．教师引导学生观察，学生回答．观察、归纳：这些边心距又把这个等腰三角形分成了个直角三角形，这些直角三角形也是全等的． 由实际问题引出课题，既说明数学知识的应用性，同时由漂亮的六角亭图片激发学生的学习兴趣． 复习原有知识，为今天的学习做好准备．发展学生观察图形、分析问题，归纳规律的能力．发展学生观察图形、分析问题，归纳规律的能力．
问题与情境 师生行为 设计意图
通过师生共同探讨，得出：正多边形的有关计算可以转化为直角三角形的计算． 活动四：解决六角亭的问题： 已知正六边形的半径为4米，求这个正六边形的边长、周长和面积．　 教师引导学生观察六角亭，并把它转化为正多边形的有关计算．教师引导学生分析解题思路：　　，由半径a6 、r6． P6、S6．　解： 连结OA、OB；过O作OG⊥AB，垂足为G，得Rt△OGA． ∴　　∵=60°　　∴△AOB是等边三角形∴==4，==2在中，由勾股定理得：==∴P6=6·=6×4=24，∴=×4×===2441.6　∴六角亭的地基周长为24米，面积约为41.6米．　学生完成解题过程，教师关注学生解直角三角形的能力． 教师巡视，对解题能力较弱的学生给予指点，对于做得好的学生给予表扬． 并说明：运用所学知识能解决生活中的很多问题． 将实际问题转化为数学问题，渗透数学建模思想． 培养学生的运算能力和综合运用几何知识的能力．培养学生应用数学的意识．
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活动五：探究活动问题：已知圆的半径为R，求它的内接正三角形、正方形的边长、边心距及面积．活动六：总结收获，布置作业本节课中你最大的收获是什么？请与大家分享． 教师可继续提问：如：若知道六角亭的边心距，你能求出亭子的周长和面积吗？若亭子地基若是正五边形、正四边形或正八边形呢？学生思考教师提出的问题，并进行讨论、交流，教师在此基础上，归纳出解决正多边形有关计算问题的基本方法：解决正多边形的有关计算问题是转化为直角三角形的问题．教师在此基础上指出：正n边形的边长为,半径为,边心距为,中心角为,周长为,面积为．且有：=n,　= 在上述问题的基础上，教师引导学生应用上述方法解决新的问题． 　学生以小组进行研究，教师指导学生观察各种正多边形的特点，根据特点解答问题，学生写出解题过程，在投影前展示，表扬好的方面，指出不足，在此基础上，教师引导学生归纳出：（1）正六边形的60°，因此可化为六个等边三角形，从而得到：；（2）正三边形（等边三角形）的120°，因此可化为三个30°，30°，120°的等腰三角形， 从而得到：；（3）正四边形（正方形）的90°，因此可化为四个等腰直角三角形，从而得到：．（4）对于这几种正多边形的计算，只要知道边数和其余元素中的一个，就可以求出其它的元素 学生自由发言，发表自己的见解和收获． 由特殊到一般，为今后解直角三角形埋下伏笔． 体现转化思想，教给学生解决问题的方法：化未知为已知,并随时总结所得到的规律． 在教学中随时对学生进行学法指导，教学生知识，更教学生学习的方法． 复习、归纳、总结，巩固本节课所学的知识．
问题与情境 师生行为 设计意图
2.布置作业：A组：（1）P117页：1（写出过程），3；（2）继续完成探究活动；（3）归纳正三边形、正方形、正六边形的有关计算公式．B组：（1）归纳正三角形、正方形、正六边形的有关计算公式． （2）P117页：1，5，6，7，8．课后探究：探究活动　　已知下列图形分别为正方形、正五边形、正六边形，试计算角、、的大小．　　探究它们存在什么规律？你能证明吗？　　（提示：） 知识：正三角形、正方形、正六边形的元素的计算问题．思想：转化思想． 能力：计算能力；观察、分析、研究、归纳能力．教师在此基础上指出：对于正三边形、正四边形和正六边形的计算，以及任意正多边形的计算，在以后都会用解直角三角形的方法解决． 教师布置作业，学生记录作业． 为学有余力的学生布置． 为以后的学习打下伏笔． 巩固本节课所学的知识．把课上的知识延伸到课下．
图3
教学过程设计
教学过程设计
图5
教学任务分析
板书设计
课后反思
教学过程设计
图2
图1
教学过程设计
图4
教学任务分析
板书设计
课后反思
教学过程设计
图1
教学过程设计
教学过程设计
教学过程设计