夹角模型专项突破2024-2025学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 夹角模型专项突破2024-2025学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 778.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-31 07:33:51 | ||
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文档简介
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夹角模型专项突破
突破21 夹角模型(一) 双内角平分线
类型一 三角形两内角平分线
1.如图,BE,CF 是△ABC 的角平分线,∠A=40°,BE,CF 相交于点 D,则∠CDE的度数是( )
A.100° B.90° C.80° D.70°
2.在△ABC中,∠B,∠C 的平分线相交于点O,∠BOC=150°,则∠A 的度数为 .
类型二 三角形三内角平分线
3.如图,已知 P 为△ABC 三条内角平分线AD,BE,CF 的交点,DG⊥PC 于点G，则下列选项中的角一定与∠PDG 相等的是( )
A.∠ABE B.∠DAC C.∠BCF D.∠CPE
类型三 三角形两内角的三等分线
4.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB 的三等分线交于点E,D,若∠BEC=120°,则∠BDC 的度数为 .
类型四 四边形一组对角的角平分线
5.如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,BE 平分∠ABC,交AD 于点E,DF 平分∠ADC,BE,CD 的延长线交于点G.
(1)∠ABC+∠ADC 的度数是 ;
(2)求证:∠G=∠CDF.
6.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC 与∠ADC 互补,∠DAB 和∠BCD 的平分线交于点O，设∠ABC=x°，则∠AOC的度数用x的代数式表示为 .
类型五 多边形一组邻角的角平分线
7.如图,在六边形ABCDEF 中,∠A+∠F+∠E+∠D=α,∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P,则∠P 度数为( )
突破22 夹角模型(二) 双外角平分线
类型一 双外角平分线
1.如图,在△ABC 中,BO,CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的外角平分线,∠A+∠O=130°,则∠A 的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
类型二 双外角平分线十单内角平分线
2.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD 分别平分△ABC的外角∠EAC,内角∠ABC,外角∠ACF,以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°- 其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.②③④
类型三 双外角平分线+双内角平分线
3.如图,在△ABC 中,BD,CD 分别平分∠ABC,∠ACB,BG,CG 分别平分三角形的两个外角∠EBC,∠FCB,则∠D 和∠G 的数量关系为( )
B.∠D+∠G=180°
突破23 夹角模型(三) 内外角平分线
类型一 三角形的内外角平分线
1.如图,BP 是△ABC 的角平分线,CP 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线,若∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
类型二 多重三角形的内外角平分线
2.如图,在△ABC中, 分别是内角∠CAB，外角∠CBD 的三等分线，且 在 中， 分别是内角. 外角. 的三等分线，且. …以此规律下去，若∠C=m,则.∠E 的度数为 .
类型三 四边形的内外角平分线
3.如图,DF 为四边形ACDB 外角∠BDE 的平分线,CF 平分∠ACD,若∠A=140°,∠B=110°,则∠CFD 的度数是 .
4.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=x,∠C=y,∠ABC 的平分线与∠ADC 的外角平分线交于点Q，则∠Q 的度数是 (用含x，y的代数式表示).
突破24 夹角模型(四) 高与角平分线
类型一 共顶点的高与角平分线
1.如图,在△ABC 中,∠A=35°,∠B=75°,CD 是AB 边上的高,CE 是△ABC 的角平分线,DF⊥CE 于点 F.
(1)求∠ECB 的度数;
(2)求∠CDF 的度数.
类型二 不共顶点的高与角平分线
2.如图,在△ABC中,BE 是AC 边上的高,AD 是△ABC 的角平分线,AD 交BE 于点F,∠ABC=54°,∠C=76°,求∠EFD的度数.
3.如图1,在△ABC中,CD 是AB边上的高,∠A=∠DCB.
(1)试说明:∠ACB=90°;
(2)如图2,如果 AE 是角平分线,AE,CD 相交于点 F,那么∠CFE 与∠CEF 的大小相等吗 请说明理由.
类型三 角平分线+垂线
4.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,P 为AD 延长线上一点,PE⊥BC 于点E,∠ACB=70°,∠B=24°,求∠P 的度数.
5. (1)如图1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,P 为线段AD 上的一点,过点 P 作 PE⊥AD 于点 P 交直线 BC 于点 E,当∠B=50°,∠BCA=70°时,∠PED 的度数为 ;
(2)如图2,AD 平分△ABC 的外角∠CAF,P 是 AD 上一点,PF⊥AD 交 BA 的延长线于点 F,交 AC 的延长线于点G,若∠B=α,∠BCA=β,求∠PED 的度数(用含有α,β的式子表示).
6.如图,AE 是△ABC 的角平分线,CD⊥AE,垂足为F,与AB 交于点D.
(1)如图1,若∠BAC=80°,∠B=30°,求∠BCD 的度数;
(2)如图 2,点 G 在线段BC 上,且∠BDG=∠BAC.求证:∠GDC 与∠CAE 互余.
突破 21 夹角模型(一)双内角平分线
1. D 解:∵∠A=40°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°.
∵BE,CF 是△ABC的角平分线,
70°.故选 D.
2.120° 解:∵∠BOC=150°,∴∠OBC+∠OCB=180°—150°=30°.
∵∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴∠ABC +∠ACB = 2(∠OBC +∠OCB)=60°,
∴∠BAC=180°-60°=120°.
3. A 解:∵AD,BE,CF 是△ABC 三条内角平分线，
∴∠ABE+∠CAD+∠ACP= (∠ABC+∠BAC+∠ACB)=90°.
∵∠DPG=∠CAD+∠ACP,
∴∠ABE+∠DPG=90°.
∵DG⊥PC,
∴∠PGD=90°,
∴∠PDG+∠DPG=90°,
∴∠ABE=∠PDG.故选 A.
4.150° 解:在△BEC中,
∵∠BEC=120°,
∴∠EBC+∠ECB=60°.
∵∠ABC,∠ACB 的三等分线交于点E,D,
30°,
∴ ∠BDC = 180° (∠DBC +∠DCB)=150°.故答案为150°.
5.解:(1)∵∠A +∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°;
(2)∵BE平分∠ABC,
∵∠C=90°,
∴∠EBC+∠G=90°.
∵DF 平分∠ADC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠EBC+∠CDF=90°,
∴∠G=∠CDF.
6. (270 - x)°解: ∵∠BAD 与∠BCD 的平分线交于点O，
∵∠ABC 与∠ADC 互补,∠ABC=x°,
∴∠ADC=(180-x)°.
∵∠B+∠DAB+∠D+∠DCB=360°,
∴∠DAB+∠DCB=360°—x°-(180-x)°=180°,
90°,
∴ ∠AOC = 360°— ∠ABC —(∠OAB+∠OCB)=360°--x°-90°=(270-x)°.
7. A 解:∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D+∠E+∠F=(6-2)×180°=720°,
∠A+∠F+∠E+∠D=α,
∴∠ABC+∠BCD=720°-α.
∵∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点 P，
∵∠P+∠PBC+∠PCB=180°,
-180°,故选 A.
突破22 夹角模型(二)双外角平分线
1. D 解:依 题 意,得∠1 = ∠2 = (∠ACB+∠A),∠3=∠4 =
∵∠A+∠O=130°,
∴∠A=80°.故选 D.
2. C 解:∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB.
∵AD平分∠EAC,
∴AD∥BC,故①正确;
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠DBC=2∠ADB=∠ACB,故②正确;
设∠ABD=α,则∠ABC=∠ACB=2α,∠DAC=∠ACB=2α,∠ACF=180°-2α,
∴∠ACD = 90°= α,∠ADC =∠DCF=∠ACD=90°—α=90°—∠ABD,故③正确;
∵ BD 平 分 ∠ABC, CD 平 分∠ACF,
故④正确，故选 C.
3. B 解:∵BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,
∵BG，CG 分别平分三角形的两个外角∠EBC,∠FCB,
∴ ∠DBG = ∠DBC + ∠GBC =
同理可得∠DCG=90°,
∴∠D+∠G=180°.故选 B.
突破23 夹角模型(三)内外角平分线
1. C 解:∵BP 是△ABC 中∠ABC的平分线,CP 是∠ACM 的平分线,∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=100°,
∴∠A = ∠ACM ∠ABC = 60°,∠ACB=180°-∠ACM=80°,
∴∠BCP = ∠ACB + ∠ACP =130°.
∵∠PBC=20°,
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°,
∴∠A+∠P=90°.故选 C.
2. m 解：
同理可得
3.35° 解:延长CA,DB 交于点G.
∵∠CAB=140°,∠ABD=110°,
∴∠GAB=40°,∠GBA=70°,
∴∠G=180°—∠GAB-∠GBA=70°,
∴∠GDE--∠GCE=70°.
∵ CF, DF 分 别 平 分 ∠ACE,∠GDE,
∵∠F=∠FDE--∠FCE,
×70°=35°.
解:设 BQ 与AD交 于 点 N. 由题 意,得∠DNQ =
∴∠Q=180°--∠DNQ-∠QDN=
突破 24 夹角模型(四)高与角平分线
1.解:(1)∵在△ABC 中,∠A =35°,∠B=75°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-35°-75°=70°.
又∵CE 是∠ACB 的平分线,
35°;
(2)∵CD⊥BD,∠B=75°,
∴∠BCD=90°-∠B=90°-75°=15°,
∴∠DCF =∠ECB--∠BCD =35°-15°=20°.
∵DF⊥CE 于点 F,∠DCF=20°,
∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-20°=70°.
2.解:∵∠ABC=54°,∠C=76°,
∴∠BAC=180°-54°-76°=50°.
∵AD平分∠BAC,
25°.
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠EFD=∠CAD+∠AEB=25°+90°=115°.
3.解:(1)∵CD 是AB 边上的高,
∴∠CDA=90°,
∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠A=∠DCB,
∴∠ACB =∠ACD+∠BCD
=∠ACD+∠A=90°;
(2)∠CFE=∠CEF.理由如下:
∵AE 平分∠CAB,
∴∠CAE=∠BAE.
∵∠CDA=∠BCA=90°,∠DFA=180°—(∠CDA+∠BAE),∠CEA=180°-(∠BCA+∠CAE),
∴∠CEF=∠DFA.
∵∠DFA=∠CFE,
∴∠CFE=∠CEF.
4.解:在△ABC中,∠ACB=70°,∠B=24°,
∴∠BAC=180°—∠ACB-∠B=86°.
∵AD 平分∠BAC,
在△ACD 中,∠ACD=70°,∠CAD=43°,
∴∠ADC=180°-∠ACD--∠CAD=67°,
∴∠PDE=∠ADC=67°.
∵PE⊥BC 于点E,
∴∠PED=90°,
∴∠P=90°-∠PDE=23°.
5.解:(1)∵∠B=50°,∠BCA=70°,
∴∠BAC=60°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠ADC =∠B+∠DAB
=50°+30°=80°,
∴∠E=90°-∠ADC=10°;
(2)∵∠B=α,∠BCA=β,
∴∠CAF=α+β.
∵AD 平分△ABC的外角∠CAF,
∵∠ACB=∠D+∠DAC,
-α).
6.解:(1)∵∠BAC=80°,∠B=30°,∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=70°.
∵AE 平分∠BAC,
∵CD⊥AE,
∴∠AFC=90°,
∴∠ACD=180°-∠AFC--∠CAE=50°,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=20°;
(2)∵∠BDG=∠BAC,
∴DG∥AC,
∴∠GDC=∠ACD.
∵CD⊥AE,
∴∠AFC=90°,
∴∠CAE+∠ACD=180°-∠AFC=90°,
∴∠GDC+∠CAE=90°,即∠GDC 与∠CAE 互余.
夹角模型专项突破
突破21 夹角模型(一) 双内角平分线
类型一 三角形两内角平分线
1.如图,BE,CF 是△ABC 的角平分线,∠A=40°,BE,CF 相交于点 D,则∠CDE的度数是( )
A.100° B.90° C.80° D.70°
2.在△ABC中,∠B,∠C 的平分线相交于点O,∠BOC=150°,则∠A 的度数为 .
类型二 三角形三内角平分线
3.如图,已知 P 为△ABC 三条内角平分线AD,BE,CF 的交点,DG⊥PC 于点G，则下列选项中的角一定与∠PDG 相等的是( )
A.∠ABE B.∠DAC C.∠BCF D.∠CPE
类型三 三角形两内角的三等分线
4.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB 的三等分线交于点E,D,若∠BEC=120°,则∠BDC 的度数为 .
类型四 四边形一组对角的角平分线
5.如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,BE 平分∠ABC,交AD 于点E,DF 平分∠ADC,BE,CD 的延长线交于点G.
(1)∠ABC+∠ADC 的度数是 ;
(2)求证:∠G=∠CDF.
6.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC 与∠ADC 互补,∠DAB 和∠BCD 的平分线交于点O，设∠ABC=x°，则∠AOC的度数用x的代数式表示为 .
类型五 多边形一组邻角的角平分线
7.如图,在六边形ABCDEF 中,∠A+∠F+∠E+∠D=α,∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P,则∠P 度数为( )
突破22 夹角模型(二) 双外角平分线
类型一 双外角平分线
1.如图,在△ABC 中,BO,CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的外角平分线,∠A+∠O=130°,则∠A 的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
类型二 双外角平分线十单内角平分线
2.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD 分别平分△ABC的外角∠EAC,内角∠ABC,外角∠ACF,以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°- 其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.②③④
类型三 双外角平分线+双内角平分线
3.如图,在△ABC 中,BD,CD 分别平分∠ABC,∠ACB,BG,CG 分别平分三角形的两个外角∠EBC,∠FCB,则∠D 和∠G 的数量关系为( )
B.∠D+∠G=180°
突破23 夹角模型(三) 内外角平分线
类型一 三角形的内外角平分线
1.如图,BP 是△ABC 的角平分线,CP 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线,若∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
类型二 多重三角形的内外角平分线
2.如图,在△ABC中, 分别是内角∠CAB，外角∠CBD 的三等分线，且 在 中， 分别是内角. 外角. 的三等分线，且. …以此规律下去，若∠C=m,则.∠E 的度数为 .
类型三 四边形的内外角平分线
3.如图,DF 为四边形ACDB 外角∠BDE 的平分线,CF 平分∠ACD,若∠A=140°,∠B=110°,则∠CFD 的度数是 .
4.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=x,∠C=y,∠ABC 的平分线与∠ADC 的外角平分线交于点Q，则∠Q 的度数是 (用含x，y的代数式表示).
突破24 夹角模型(四) 高与角平分线
类型一 共顶点的高与角平分线
1.如图,在△ABC 中,∠A=35°,∠B=75°,CD 是AB 边上的高,CE 是△ABC 的角平分线,DF⊥CE 于点 F.
(1)求∠ECB 的度数;
(2)求∠CDF 的度数.
类型二 不共顶点的高与角平分线
2.如图,在△ABC中,BE 是AC 边上的高,AD 是△ABC 的角平分线,AD 交BE 于点F,∠ABC=54°,∠C=76°,求∠EFD的度数.
3.如图1,在△ABC中,CD 是AB边上的高,∠A=∠DCB.
(1)试说明:∠ACB=90°;
(2)如图2,如果 AE 是角平分线,AE,CD 相交于点 F,那么∠CFE 与∠CEF 的大小相等吗 请说明理由.
类型三 角平分线+垂线
4.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,P 为AD 延长线上一点,PE⊥BC 于点E,∠ACB=70°,∠B=24°,求∠P 的度数.
5. (1)如图1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,P 为线段AD 上的一点,过点 P 作 PE⊥AD 于点 P 交直线 BC 于点 E,当∠B=50°,∠BCA=70°时,∠PED 的度数为 ;
(2)如图2,AD 平分△ABC 的外角∠CAF,P 是 AD 上一点,PF⊥AD 交 BA 的延长线于点 F,交 AC 的延长线于点G,若∠B=α,∠BCA=β,求∠PED 的度数(用含有α,β的式子表示).
6.如图,AE 是△ABC 的角平分线,CD⊥AE,垂足为F,与AB 交于点D.
(1)如图1,若∠BAC=80°,∠B=30°,求∠BCD 的度数;
(2)如图 2,点 G 在线段BC 上,且∠BDG=∠BAC.求证:∠GDC 与∠CAE 互余.
突破 21 夹角模型(一)双内角平分线
1. D 解:∵∠A=40°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°.
∵BE,CF 是△ABC的角平分线,
70°.故选 D.
2.120° 解:∵∠BOC=150°,∴∠OBC+∠OCB=180°—150°=30°.
∵∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴∠ABC +∠ACB = 2(∠OBC +∠OCB)=60°,
∴∠BAC=180°-60°=120°.
3. A 解:∵AD,BE,CF 是△ABC 三条内角平分线，
∴∠ABE+∠CAD+∠ACP= (∠ABC+∠BAC+∠ACB)=90°.
∵∠DPG=∠CAD+∠ACP,
∴∠ABE+∠DPG=90°.
∵DG⊥PC,
∴∠PGD=90°,
∴∠PDG+∠DPG=90°,
∴∠ABE=∠PDG.故选 A.
4.150° 解:在△BEC中,
∵∠BEC=120°,
∴∠EBC+∠ECB=60°.
∵∠ABC,∠ACB 的三等分线交于点E,D,
30°,
∴ ∠BDC = 180° (∠DBC +∠DCB)=150°.故答案为150°.
5.解:(1)∵∠A +∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠A=∠C=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°;
(2)∵BE平分∠ABC,
∵∠C=90°,
∴∠EBC+∠G=90°.
∵DF 平分∠ADC,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠EBC+∠CDF=90°,
∴∠G=∠CDF.
6. (270 - x)°解: ∵∠BAD 与∠BCD 的平分线交于点O，
∵∠ABC 与∠ADC 互补,∠ABC=x°,
∴∠ADC=(180-x)°.
∵∠B+∠DAB+∠D+∠DCB=360°,
∴∠DAB+∠DCB=360°—x°-(180-x)°=180°,
90°,
∴ ∠AOC = 360°— ∠ABC —(∠OAB+∠OCB)=360°--x°-90°=(270-x)°.
7. A 解:∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D+∠E+∠F=(6-2)×180°=720°,
∠A+∠F+∠E+∠D=α,
∴∠ABC+∠BCD=720°-α.
∵∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点 P，
∵∠P+∠PBC+∠PCB=180°,
-180°,故选 A.
突破22 夹角模型(二)双外角平分线
1. D 解:依 题 意,得∠1 = ∠2 = (∠ACB+∠A),∠3=∠4 =
∵∠A+∠O=130°,
∴∠A=80°.故选 D.
2. C 解:∠EAC=∠ABC+∠ACB=2∠ACB.
∵AD平分∠EAC,
∴AD∥BC,故①正确;
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC.
∵BD 平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠DBC=2∠ADB=∠ACB,故②正确;
设∠ABD=α,则∠ABC=∠ACB=2α,∠DAC=∠ACB=2α,∠ACF=180°-2α,
∴∠ACD = 90°= α,∠ADC =∠DCF=∠ACD=90°—α=90°—∠ABD,故③正确;
∵ BD 平 分 ∠ABC, CD 平 分∠ACF,
故④正确，故选 C.
3. B 解:∵BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,
∵BG，CG 分别平分三角形的两个外角∠EBC,∠FCB,
∴ ∠DBG = ∠DBC + ∠GBC =
同理可得∠DCG=90°,
∴∠D+∠G=180°.故选 B.
突破23 夹角模型(三)内外角平分线
1. C 解:∵BP 是△ABC 中∠ABC的平分线,CP 是∠ACM 的平分线,∴∠ABC=2∠ABP=40°,∠ACM=2∠ACP=100°,
∴∠A = ∠ACM ∠ABC = 60°,∠ACB=180°-∠ACM=80°,
∴∠BCP = ∠ACB + ∠ACP =130°.
∵∠PBC=20°,
∴∠P=180°-∠PBC-∠BCP=30°,
∴∠A+∠P=90°.故选 C.
2. m 解：
同理可得
3.35° 解:延长CA,DB 交于点G.
∵∠CAB=140°,∠ABD=110°,
∴∠GAB=40°,∠GBA=70°,
∴∠G=180°—∠GAB-∠GBA=70°,
∴∠GDE--∠GCE=70°.
∵ CF, DF 分 别 平 分 ∠ACE,∠GDE,
∵∠F=∠FDE--∠FCE,
×70°=35°.
解:设 BQ 与AD交 于 点 N. 由题 意,得∠DNQ =
∴∠Q=180°--∠DNQ-∠QDN=
突破 24 夹角模型(四)高与角平分线
1.解:(1)∵在△ABC 中,∠A =35°,∠B=75°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-35°-75°=70°.
又∵CE 是∠ACB 的平分线,
35°;
(2)∵CD⊥BD,∠B=75°,
∴∠BCD=90°-∠B=90°-75°=15°,
∴∠DCF =∠ECB--∠BCD =35°-15°=20°.
∵DF⊥CE 于点 F,∠DCF=20°,
∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-20°=70°.
2.解:∵∠ABC=54°,∠C=76°,
∴∠BAC=180°-54°-76°=50°.
∵AD平分∠BAC,
25°.
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=90°,
∴∠EFD=∠CAD+∠AEB=25°+90°=115°.
3.解:(1)∵CD 是AB 边上的高,
∴∠CDA=90°,
∴∠A+∠ACD=90°.
∵∠A=∠DCB,
∴∠ACB =∠ACD+∠BCD
=∠ACD+∠A=90°;
(2)∠CFE=∠CEF.理由如下:
∵AE 平分∠CAB,
∴∠CAE=∠BAE.
∵∠CDA=∠BCA=90°,∠DFA=180°—(∠CDA+∠BAE),∠CEA=180°-(∠BCA+∠CAE),
∴∠CEF=∠DFA.
∵∠DFA=∠CFE,
∴∠CFE=∠CEF.
4.解:在△ABC中,∠ACB=70°,∠B=24°,
∴∠BAC=180°—∠ACB-∠B=86°.
∵AD 平分∠BAC,
在△ACD 中,∠ACD=70°,∠CAD=43°,
∴∠ADC=180°-∠ACD--∠CAD=67°,
∴∠PDE=∠ADC=67°.
∵PE⊥BC 于点E,
∴∠PED=90°,
∴∠P=90°-∠PDE=23°.
5.解:(1)∵∠B=50°,∠BCA=70°,
∴∠BAC=60°.
∵AD 平分∠BAC,
∴∠ADC =∠B+∠DAB
=50°+30°=80°,
∴∠E=90°-∠ADC=10°;
(2)∵∠B=α,∠BCA=β,
∴∠CAF=α+β.
∵AD 平分△ABC的外角∠CAF,
∵∠ACB=∠D+∠DAC,
-α).
6.解:(1)∵∠BAC=80°,∠B=30°,∴∠ACB=180°-∠BAC-∠B=70°.
∵AE 平分∠BAC,
∵CD⊥AE,
∴∠AFC=90°,
∴∠ACD=180°-∠AFC--∠CAE=50°,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=20°;
(2)∵∠BDG=∠BAC,
∴DG∥AC,
∴∠GDC=∠ACD.
∵CD⊥AE,
∴∠AFC=90°,
∴∠CAE+∠ACD=180°-∠AFC=90°,
∴∠GDC+∠CAE=90°,即∠GDC 与∠CAE 互余.