导角模型专项突破2024-2025学年人教版八年级数学上册

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导角模型专项突破
突破17 导角模型(一) 余角与补角
类型一 互余导角
1.如图，脊柱侧弯测量示意图，cobb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一.一次体检中，若测得某人 cobb角∠O=45°，则图中与∠O 相等的角有( )
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4 个
类型二 互补导角
2.如图,在四边形ABCD 中, ,点 E 在边AD 上,连接 BE,若∠D 与∠EBC互补,则∠EBA 的度数为 .
类型三 等角导互余
3.如图,在四边形ABCD中,. ,点E在AB 上,连接CE,DE.
(1)若 ,则∠CED 的度数是 ;
(2)若∠1=∠2,求证:
类型四 等角导互补
4如图,在四边形 ABCD 中,点 E 和点 F 和分别在边CD 和 BC 上,并且
(1)请判断直线 AD 和直线BE 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若 BE 是∠ABC 的平分线, 求 的度数.
突破 18 导角模型(二) 一线三等角
类型一 一线三垂直
1.如图,点 C 在BD 上,∠B=∠D=∠ACE=90°.若∠A=50°,求∠DCE 和∠E 的度数.
类型二 同侧一线三等角
2.如图,P 是∠BAC 内一点,∠B=40°,∠C=30°,过点 P 作直线EF,分别交AB,AC 于点E,F.若∠BEP=∠BPC=∠PFC,求∠A 的度数.
3如图,∠ABC 的平分线BE交AD 于点E,连接CE,若∠A=∠D=∠BEC,且∠BCD=70°,求∠BCE 的度数.
C
类型三 异侧一线三等角
4.如图,点E,F 在BC 的延长线上,∠DEF=∠ACF=∠ABD,∠A=20°,∠D=50°,求∠ABD 的度数.
突破 19 导角模型(三) 8字形
类型一 8字形
1.如图,AC,BD 交于点 E,∠ACD 的平分线交 BA 的延长线于点F,若∠B=∠ACD,求证:
类型二 8字形+角分线
2.如图,直线AP 平分∠BAD,CP 平分∠BCD 的邻补角∠BCE,则∠P与∠B,∠D 的数量关系是( )
A.2∠P--∠B+∠D=180° B.2∠P-∠B-∠D=180°
C.2∠P+∠B-∠D=180° D.2∠P+∠B+∠D=360°
3. AB,CD 相交于点O,∠A=48°,∠D=46°.
(1)如图1,若BE 平分∠ABD 交 CD 于点 F,CE 平分∠ACD 交 AB 于点 G,求∠BEC 的度数;
(2)如图2,若直线 BM 平分∠ABD 交CD 于点 F,CM 平分∠DCH 交直线BF 于点 M,求∠BMC 的度数.
突破 20导角模型(四) 燕尾形
类型一 单燕尾形
1.形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”.如图，是一个燕尾形，已知∠ADC=105°,∠ABC=63°,∠A=22°,则∠C 的度数为 .
类型二 双燕尾形
2.小茗同学设计了如图所示的一个零件,如果∠A=52°,∠B=25°,∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°,那么∠F 的度数是 .
类型三 燕尾形+双角平分线
3.如图,∠ABD 和∠ACD 的平分线交于点E,∠A+∠D=220°,求∠BEC 的度数.
4.如图,点 D 为∠BAC 内一点,连接 BD,CD,∠B>∠C,0°<∠BDC≤180°,∠BAC,∠BDC 的平分线交于点E.
(1)若∠B=50°,∠C=20°,求∠E;
(2)直接写出∠B,∠C,∠E 之间的数量关系是 .
突破 17 导角模型(一)余角与补角
1. D 解:∵BD⊥OA,AC⊥OB,∴∠ACO = ∠ACB = ∠BDO =∠BDA=90°.
∵∠O=45°,
∴∠CAO=90°-∠O=45°,∠DBO=90°-∠O=45°,
∴∠APD=90°-∠CAO=45°,
∴∠APD=∠BPC=45°,
∴图中与∠O 相等的角有:∠CAO,∠DBO,∠APD,∠BPC,共有 4 个.故选 D.
2.44° 解:∵∠A+∠C=136°,∴∠ABC + ∠D = 360°— 136°=224°.
∵∠D 与∠EBC互补,
∴∠D+∠EBC=180°,
∴∠EBA=224°-180°=44°.
故答案为 44°.
3.解:(1)∵∠1=35°,∠2=25°,∠B=90°,
∴∠BEC=180°-∠B-∠2=180°—90°—25°=65°,∠CED=180°-∠1-∠CEB=180°-35°-65°=80.故答案为 80°;
(2)∵∠1=∠2,∠B=90°,
∴∠2+∠BEC=90°,
∴∠1+∠BEC=90°,
∴∠CED=180°-90°=90°,
∴∠3+∠4=180°-∠CED=180°-90°=90°.
4.解:(1)AD∥BE.理由:
∵∠ABC=∠1,
∴AB∥EF,
∴∠ABE=∠2.
∵∠2+∠A=180°,
∴∠ABE+∠A=180°,
∴AD∥BE;
(2)∵AD⊥CD,
∴∠D=90°.
∵AD∥BE,
∵∠BEC=∠D=90°.
∵∠FEC=55°,
∴∠2=∠BEC-∠FEC=35°.
由(1)知∠ABE=∠2,
∴∠ABE=35°.
∵BE 是∠ABC 的平分线,
∴∠EBF=∠ABE=35°,
∴∠C=90°-∠EBF=55°.
突破 18 导角模型(二)一线三等角
1.解:∵∠B=∠ACE=90°,∴∠DCE+∠ACB=∠A+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠A=50°.
∵∠D=90°,
∴∠E=90°-∠DCE=40°,
∴∠DCE=50°,∠E=40°.
2.解:∵∠BPF=∠BPC+∠CPF=∠B+∠BEP,∠BEP=∠BPC,∴∠CPF=∠B=40°.
同理可得∠BPE=∠C=30°,
∴∠BPC=180°-∠BPE-∠CPF
=180°-30°-40°=110°,
易知∠BPC=∠A+∠B+∠C,
∴∠A=110°-30°-40°=40°.
3.解:由∠A=∠BEC 可得∠CED=∠ABE.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠CED=∠CBE.
又 ∵ ∠D = ∠BEC, ∠CBE +∠BEC+∠BCE=∠CED+∠D+∠DCE=180°,
∴∠BCE=∠DCE,
35°.
4.解:∵∠ACF =∠ABD,∠ACF =∠A+∠ABC,∠ABD=∠DBE+∠ABC,
∴∠DBE=∠A=20°,
∴∠DEF =∠DBE+∠D=20°+50°=70°.
∵∠ABD=∠DEF,
∴∠ABD=70°.
突破19 导角模型(三) 8字形
1.证明:∵∠BAC +∠B =∠AED,∠ACD+∠D=∠AED,
∴∠BAC+∠B=∠ACD+∠D.
∵∠B=∠ACD,
∴∠BAC=∠D,
∴∠D --∠F =∠BAC - ∠F =∠ACF.
∵CF 平分∠ACD,
2. B 解:设∠PAB =∠OAP =x,∠ECP=∠PCB=y,设 AD,PC 交于点G.
∵∠AOB=∠COD,∠AGP=∠CGD,
∴∠B +∠BAO=∠D +∠OCD,∠P+∠PAG=∠D+∠PCD,
①②
由①-2×②,
得∠B-2∠P=-∠D-180°,
∴2∠P-∠B-∠D=180°.
故选 B.
3.解:(1)∵∠D +∠OBD =∠A+∠ACD=∠BOC,又∵∠A=48°,∠D=46°,
∴∠OBD=∠ACD+2°.
∵ BE 平 分 ∠ABD, CE 平 分∠ACD,
+1°,
∵∠D+∠DBF+∠BFD=180°=∠BEC+∠OCG+∠CFE,∠BFD=∠EFC,
∴∠BEC=∠D+1°=47°;
(2)∵∠ACD+∠DCH=180°,CM平分∠DCH 交直线BF 于点M,
∵∠MFC=∠D+∠DBF=∠D+ ∠ACD+1°,∠MFC+∠DCM+∠BMC=180°,
∴∠BMC=180°-∠MFC-∠DCM
突破 20 导角模型(四) 燕尾形1.20° 解:连接BD 并延长至点E.
∵∠1=∠A+∠ABD,∠2=∠C+∠CBD,
∴∠ADC=∠1+∠2=∠A+∠C+∠ABC.
∵∠ADC = 105°,∠ABC = 63°,∠BAD=22°,
∴∠C=∠ADC-∠ABC-∠BAD=105°—63°—22°=20°.故答案为20°.
2.70° 解:连接AD,连接 AE 并延长到点M，连接AF 并延长到点 N.
∵∠BEM=∠BAE+∠B,∠DEM=∠DAE+∠ADE,
∠DFN = ∠DAF + ∠ADF,∠CFN=∠CAF+∠C,
∴∠BEM +∠DEM +∠DFN +∠CFN=∠BAE+∠B+∠DAE+∠ADE + ∠DAF + ∠ADF +∠CAF+∠C,
即∠BED+∠CFD=∠A+∠B+∠EDF+∠C,∴72°+∠CFD=52°+25°+35°+30°,
∴∠CFD=70°.故答案为70°.
3.解:延长 BE 交AC于点 F.
∵ BE 平 分 ∠ABD, CE 平 分∠ACD,
∴ 可 设 ∠ABE = ∠DBE = x,∠ACE=∠DCE=y,则∠BEC=∠EFC+∠ACE,∠EFC=∠A +∠ABE,
∴∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE=∠A+x+y,
∴∠A=∠BEC-(x+y).
同理可得∠D=∠BEC+∠DBE+∠DCE=∠BEC+x+y,
∴∠A+∠D=∠BEC-(x+y)+∠BEC+x+y=2∠BEC=220°,
∴∠BEC=110°.
4.解:(1)设 AE,BD 交于点 F,延长ED 交 AC 于点G.
∵ AE 平 分 ∠BAC, DE 平 分∠BDC,
∴可设∠BAE=∠CAE=x,∠BDE=∠CDE=y.
∵∠B+∠BAE=∠BDE+∠E=∠BFE,
∴50°+x=y+∠E①.
∵∠E+∠CAE=∠DGC,∠CDE=∠DGC+∠C,
∴∠CDE=∠E+∠CAE+∠C,∴y=∠E+x+20°②,将②代入①,得50°+x=∠E+x+20°+∠E,解得∠E=15°;
同(1)可得∠B+x=y+∠E①,y=∠E+x+∠C②.
将②代入①，
得∠B+x=∠E+x+∠C+∠E,
∴∠B-∠C=2∠E,