几何多结论专项突破 2024-2025学年人教版八年级数学上册

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几何多结论专项突破
几何多结论(一) 全等三角形
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,△ABC 的角平分线AD,BE 相交于点 P,过点 P 作 PF⊥AD 交 BC 的延长线于点 F,交 AC 于点 H.下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③AH+BD=AB;④S梯形ABDE= S△ABP.其中结论正确的有( )
A.1 个 B.2个 C.3个 D.4 个
2.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,M为BC 的中点,CE⊥AM 于点 E,其延长线交 AB 于点D,连接DM.下列结论:①∠AMC=∠DMB;②DC+DM=AM;③∠ADC=∠BDM;④CE=BD;⑤∠AMD=2∠DCM.其中结论正确的个数有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
3.如图,在△ABD 中,AD=BD,C 为△ABD 外一点,DF⊥BC 交BC 的延长线于点F,CD 平分∠ACF,DE⊥AC 于点E.则下列结论:①△ADE≌△BDF;②AE=CE+CB;③∠ADB=∠ACB;④∠DCF+∠ABD=90°.其中结论一定成立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
几何多结论(二) 等腰三角形
类型一 全等与面积
1.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,过点C 作CD⊥AB 于点 D,过点 B 作 BM⊥AC 于点 M,连接MD,过点 D 作DN⊥MD,交 BM于点 N,CD 与 BM 相交于点 E.若 E 是 CD的中点,下列结论:①∠AMD=45°;②NE-EM=MC;③EM:MC: NE=1:2:3;④S△ACD=2S△DNE·其中结论正确的有 .(填序号)
类型二 全等与截长补短
2.如图,在 Rt△ABC 中,AB=AC,D 为 Rt△ABC 外一点,且 BD⊥CD,AB 与 CD 交于点E,DF 平分∠BDA 交AB 于点 F.当∠ACD=15°时,下列结论:①∠ADC=45°;②AD=AF;③AD+AF=BD;④BC-CE=2DE.其中结论正确的是( )
A.①③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④
类型三 全等与定角、定值
3.如图,△ABC 是等边三角形,F 为AC 的中点,点 D 在线段BC 上,连接DF,以 DF 为边在DF 的右下方作等边△DEF,ED 的延长线交AB 于点 H,连接 EC.当点 D 在线段BC 上(不与点 B,C 重合)运动时,下列结论:①∠AHE 与∠AFD 互补;②∠FEC= 是定值； 是定值.其中结论正确的是 .(填序号)
突破 50 几何多结论(一)
全等三角形
1. C 解: =135°,故①正确;②由△ABP≌△FBP,可得 PA = PF,②正确;
③由△PDF≌△PHA,得 AH =DF,
∴AB = BF = BD + DF = BD +AH,故③正确;过点 P 作PM⊥PE交AB 于点 M,PN⊥PD 交AB 于点 N,∠APE = ∠BPD = 45°,△AEP ≌ △AMP, △BDP ≌△BNP,
∴△EPM 和△DPN 都为等腰直角三角形,过点 D 作DR⊥BE 于点R,过点 N 作 NQ ⊥ PM 于点 Q,证△DPR≌△NPQ,DR=NQ,
2S△ABP,,故④错误.故选 C.
2. B 解:过点 B 作 BG⊥CB 交 CD 的延长线于点G,过点 B 作 BH⊥CG于点H，
易证△ACM≌△CBG(ASA),
∴AM=CG,CM=BG,∠CMA=∠CGB.
∵CM=BM,
∴BG=BM,
∵∠ABC=45°,
可证△BDG≌△BDM(SAS),
∴ ∠DGB = ∠DMB,∠BDG =∠BDM,DM=DG,
∴ ∠AMC = ∠DMB, ∠ADC =∠BDG=∠BDM. AM=CG=CD+DG=CD+DM,故①②③正确;
∵△ACM≌△CBG,
∴CE=BH.
∵BD>BH,
∴BD>CE,故④错误;
∵∠AMD + ∠BMD + ∠AMC =180°= 2 (∠DCM + ∠AMC ),∠AMC=∠BMD,
∴∠AMD=2∠DCM,故⑤正确,故选 B.
3. C 解:①证 Rt△ADE≌Rt△BDF(HL),故①正确;
②由①知△ADE≌△BDF,∴AE=BF.可证△CDE≌△CDF,
∴CE=CF,
∴AE=BF=CB+CF=CB+CE,故②正确；
③由①可证∠DBF=∠DAE,由“蝶型”可证∠ADB =∠ACB,故③正确；
④设∠DCF=∠DCE=α,
则∠ACB = ∠ADB = 180°— 2α,∠ABD=∠DAB=α,
∴∠DCF+∠ABD=2α≠90°.④错误.故选 C.
突破 51 几何多结论(二)等腰三角形
1.①②③解:∵∠ABC=45°,CD⊥AB,
∴△BCD 为等腰直角三角形，
∴BD=CD,
∵DN⊥DM,
∴∠MDN=90°,
∴∠BDN=∠CDM,
∵BM⊥AC,
∴∠BMC=90°,
∴∠DBE=∠DCA,
∴△BDN≌△CDM,
∴DN=DM,
∴∠DMN=45°,
∴∠AMD=45°,故①正确;
过点 D 作 DH⊥BE 于点 H,
∵ E 为 CD 的 中 点,△DEH ≌△CEM,
∴DH=CM,ME=HE,由①知DN=DM,
∴HN=MH,
∴CM=DH=HM=2EH,
∴NE-EM=2EH=CM.
故②正确;由②得 EM : MC : NE=1: 2:3,故③正确;设 Scem=a,则S△CDM=S△BDN=2a,
∴S△DNE=3a,S△BDE=5a=S△ACD,
④不正确.
填①②③.
2. C 解:过点 A 作AP⊥AD,交 CD于点P,证△ADB≌△APC,∴AD=AP,
∴∠ADC =∠ABC = 45°,故 ① 正确；
∵∠ACD=∠ABD=15°,DF 为∠BDA 的平分线,
∴∠ADF=∠BDF=67.5°,
∵∠AFD=∠BDF+∠DBF=82.5°,
∴AD≠AF,故②错误;在 BD 上截取 DH=AD,连接 FH,证△ADF≌△HDF(SAS),
∴∠DHF=∠DAF=30°,AF=HF,
∵∠DHF = ∠HBF + ∠HFB =30°,
∴∠HBF=∠BFH=15°,
∴BH=HF,
∴BH=AF,
∴BD=BH+DH=AF+AD,故③正确;延长CD 至点G,使 DG=DE,连接 BG,证△BDG≌△BDE(SAS)
∴∠BGD=∠BED=75°,
∴∠GBC=180°-∠BCD-∠BGD=75°,
∴∠GBC=∠BGC=75°,
∴BC=CG,
∴BC=CG=2DE+EC,
∴BC-EC=2DE,
故④正确.故选 C.
3.①②③ 解:在 CB 上截取 CM=CF,连接 FM.
∵△DEF 为等边三角形,
∴∠EDF=∠A=60°,
∴∠AHE+∠AFD=180°,故①正确；
∴△CMF 为等边三角形,
∴∠CFE=∠MFD,
∴△CFE≌△MFD,
∴∠FEC=∠FDM,故②正确;
∵△ABC 是等边三角形,
∴AC=BC,
∵F 为AC 的中点,
∵△CMF 为等边三角形,
∴CF=CM,
是定值，故③正确；根据已知条件无法确定∠AHD的度数，
不是定值，故④错误.