60°角用法重难点突破（含解析） 2024-2025学年人教版八年级数学上册

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60°角用法重难点突破
60°角用法(一) 构等边
类型一 构旋转全等
1.如图,在△ABC中, 以 BC 为边向上作等边 ,连接AD,若. 则 的值为 .
类型二 构对称全等
2.如图,在四边形ABCD 中, 则 的度数为 .
3.如图，在 中， 和 的平分线交于点 D.求证：
4.如图,D 为 外一点， 求 AC 的长.
60°角用法(二) 构“369”
类型一 构“369”，用性质
1.如图,在△ABC中,∠B=60°,AB=10,P 是BC上一点,AP=AC,PC=6,则PB 的长为 .
2.如图,在△ABC 中,P 是 BC上一点,PB=2PC,∠ACB=45°,∠APB=60°.求∠ABC的度数.
C
类型二 构“369”，用全等
3.如图,在四边形 ABCD 中,连接AC,BD,AB=AC=10,∠ACD=60°,BD=4CD,∠BDC+2∠ADB=180°.求CD 的长.
4.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,D 为△ABC 内一点,过点 D 的直线分别交AB,AC 于点E,F,且AF=EF,DF=CF,连接CD.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)连接BD,若BD平分∠ABC,求证:DE=DF.
60°角用法(三) 构模型
类型一 对角互补
1.如图,AB=AC,∠BAC=90°,△ABD 为等边三角形,∠BAC 的平分线交CD 于点E,M 为线段CD 右侧一点,∠CMB=60°.求证:EM平分∠CMB.
2.如图,D 为△ABC 内一点,∠ABC=60°,∠ADC=120°,AD=CD.求证:BD=CD.
C
类型二 一线三等角
3.如图,在△ABC 中,∠B=60°,△ACE 为等边三角形,D 为 BC 延长线上一点,连接 DE,若DE∥AB,且 求 的值.
类型三 夹半角
4.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AC 平分∠DAB,点 E 在AB 上,连接DE,CE,且∠DAB=∠DCE=60°,若DE=a,AD=b,AE=c,则BE 的长为 .(用含a,b,c 的式子表示)
类型四 手拉手(隐60°)
5.如图,在等边△ABC中,D,E分别为BC,AC上的点,BD=CE,AD,BE 交于点F.若CF⊥AD,求证:AF=2BF.
类型五 十字架(隐60°)
6.如图,在等边△ABC中,∠DAE=120°,且AD=AE,BE交AC 于点M.求 的值.
突破28 60°角用法(一) 构等边
1.3 解:在AC 上截取AE=AB,连接BE,
则△ABE 为 等 边 三 角 形, 可 得△ABD≌△EBC(SAS),
∴CE=AD=2AB.
∵AE=AB,
∴AC=3AB,
2.60° 解:延长AD 至点E,使AE=AB,连接BE,BD,则△ABE 为等边三角形，∴∠E=60°.
∵AD+BC=AB=CD,
AB=AE=AD+DE,
∴BC=DE.
又∵BE=AB=CD,BD=DB,
∴△BDC≌△DBE(SSS),
∴∠C=∠E=∠60°.
3.证明:在AB 上截取AE,使AE=AC,连接CE.
∵∠A=60°,
∴△ACE 为等边三角形,
∴∠ACE=60°,CE=AC.
∵∠A=60°,∠ABC=40°,
80°,
∵ CD 平 分 ∠ACB, BD 平 分∠ABC,
∴∠BCE=∠DBC,∠BCD=∠ABC.
又∵BC=CB,
∴△BCD≌△CBE(ASA),
∴BD=CE.
∵CE=AC,
∴BD=AC.
4.解:延长AC 至点E,使AE=AB,连接 BE.
∵∠A=60°,
∴△ABE 为等边三角形,
∴∠E=∠D=60°.
∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+
∴∠BCE=∠BCD,
∴△BCD≌△BCE(AAS),
∴CE=CD=3.
∵AE=AB=8,
∴AC=AE-CE=8-3=5.
突破 29 60°角用法(二)构“369”
1.2 解:过点 A 作AH⊥BC 于点 H.
∵AP=AC,
∵∠B=60°,
∴∠BAH=30°,
∴PB=BH-PH=5-3=2.
2.解:过点 B 作 BH⊥AP 于点 H,连接 CH.
∵∠APB=60°,∠BHP=90°,
∴∠PBH=30°,
即 PB=2PH.
又∵PB=2PC,
∴PH=PC,
30°,
∴∠ACH=∠ACB-∠PCH=45°
∵∠PAC=∠APB--∠ACB=60°
∴∠ACH=∠PAC,
∴AH=CH=BH,
∴△ABH 为等腰直角三角形，
∴∠ABH=45°,
∴∠ABC=∠ABH+∠PBH=45°
3.解:过点 A 分别作AG⊥BD 于点G,AH⊥CD 交CD 的延长线于点 H.
∵∠BDC+∠BDH=180°,∠BDC+2∠ADB=180°,
∴∠BDH=2∠ADB,
∴∠ADB=∠ADH,
∴AG=AH,
∴Rt△ADG≌Rt△ADH(HL),
∴DH=DG.
∵AB=AC,
∴Rt△ABG≌Rt△ACH(HL),
∴BG=CH,
∠ABD=∠ACD=60°,
∴∠BAG=30°,
设 DH=DG=x,
则CD=5-x,BD=5+x.
∵BD=4CD,
∴5+x=4(5-x),解得x=3,
∴CD=5-3=2.
4.证明:(1)设∠ACD=x.
∵DF=CF,
∴∠FDC=∠ACD=x,
∴∠AFE=2x.
∵AF=EF,
∴∠A+∠ACD=90°,
∴CD⊥AB;
(2)过点 D 分别作 DG⊥AB 于点G,DH⊥BC 于点 H,过点 F 作 FK⊥CD 于点K,
∴DG=DH,DK=CK.
∵CD⊥AB,
∴∠BGC=90°,
∴DG=DK.
又∵∠DGE=∠DKF=90°,∠EDG=∠FDK,
∴△DEG≌△DFK,
∴DE=DF.
突破30 60°角用法(三) 构模型
1.证明:连接BE,过点 E 分别作EG⊥BM 于点G,EH⊥MC 交 MC 的延长线于点 H.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE=45°,
∵AB=AC,AE=AE,
∴△ABE≌△ACE,
∴BE=CE.
AD=AC,
∴∠ACD=∠ADC=15°,
∴∠AEC=∠AEB=120°,
∴∠BEC=120°,
∴∠BEC+∠CMB=180°,
∴∠ECH=∠EBG.
又∵BE=CE,∠BGE=∠H=90°,
∴△ECH≌△EBG,
∴EG=EH,
∴EM平分∠CMB.
2.证明:延长 BC 至点E,使 BE=AB,连接AE,DE,
过点 D 分别作 DG⊥BC 于点 G,DH⊥AE 于点 H.
∵∠ABC=60°,
∴△ABE 为等边三角形,
∴∠AEC=60°,
∴∠ADC+∠AEC=180°,
∴∠DCG=∠DAH.
∵AD=CD,
∠DHA=∠DGC=90°,
∴△DAH≌△DCG,
∴DH=DG,
∴ED平分∠AEB,
∴∠DEB=∠DEA,
∴△DEB≌△DEA,
∴AD=BD,
∴BD=CD.
3.解:延长 CD 至点 F,使 DF =DE,连接EF.
∵DE∥AB,
∴∠EDF=∠B=60°,
∴△DEF 为等边三角形.
∵△ACE 为等边三角形,
∴∠F=∠ACE=∠B=60°.
∵∠ACD=∠ACE+∠ECF=∠B+∠BAC,
∴∠ECF=∠BAC.
又∵AC=CE,
∴△ABC≌△CFE,
∴AB=CF.
设 DE=2a,
∴AB=3a.
∵BC=EF=DF=DE=2a,
CF=AB=3a,
∴CD=CF-DF=a,
解:过点 C 作CF⊥AD,交 AD 的延长线于点 F,延长 DF 至点 G,使 FG=BE,连接CG.
∵AC 平分∠BAD,CF⊥AF,CB⊥AB,
∴CF=CB,∠EBC=∠GFC.
∵BE=GF,
∴△CBE≌△CFG(SAS),
∴∠BCE=∠FCG,CG=CE.
∵∠DAB=60°,
∴∠FCB=120°.
∵∠DCE=60°,
∴∠DCF+∠BCE=60°,
∴∠DCG=∠DCE=60°.
又∵CG=CE,
∴△ECD≌△GCD(SAS),
∴GD=DE.
∵Rt△ACF≌Rt△ACB(HL),
∴AF=AB,
∴b+a-BE=c+BE,
5.证明:延长AD 至点G,使FG=FB,连接 BG,CG.
∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCE=60°.
∵BD=CE,
∴△ABD≌△BCE,
∴∠CBE=∠BAD,
∴∠BFD = ∠BAD + ∠ABF =∠CBF+∠ABF=∠ABC=60°,
∴△BFG 为等边三角形,
∴BF=BG,∠FBG=∠ABC=60°,
∴∠ABF=∠CBG,
∴△ABF≌△CBG,
∴AF=CG,
∠BGC=∠AFB=120°,
∴∠CGF=60°,
∴CF⊥AD,
∴∠CFG=90°,∠GCF=30°,
即AF=2BF.
6.解:在 AC 上截取 CF = BD,连接BF 交AD 于点G.
∵△ABC 为等边三角形,
∴AB=BC,∠ABD=∠C=60°,
∴△ABD≌△BCF,
∴BF=AD,∠CBF=∠BAD,
∴∠AGF = ∠BAD + ∠ABG =∠CBF+∠ABG=∠ABC=60°,
∴∠AGB=∠DAE=120°,
∴BF∥AE,
∴∠E=∠MBF.
∵BF=AD=AE,
∠AME=∠FMB,
∴△EAM≌BFM,
∵BD=CF,BC=AC,
∴CD=AF=2AM,