第三章 导数及其应用
第12课时 导数在研究函数中的应用
教学目标：
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；
2.能够判别极大值、极小值；会用导数求函数的极大值、极小值；
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
教学重点：
导数在研究函数中的应用
教学难点：
导数在研究函数中的应用
教学过程：
Ⅰ.回顾复习
Ⅱ.基本训练
1.函数的单调减区间为 .
2.函数的极大值是 .
3.函数在上的最大值为 .
Ⅲ.典型例题
例1：已知a为实数,.
(1)求导数;
(2)若=0,求在［-2,2］上的最大值和最小值.
变式练习：已知函数
(1)求的单调递减区间;
(2)若在区间上的最大值为20, 求它在该区间上的最小值.
例2：设三次函数在处有极大值4,在处有极
小值0, 且函数图象过原点,求此函数的解析式.
变式练习：函数在处有极值,其图象在处的切
线平行于直线,求函数的极大值与极小值的差.
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
1.若函数, 当x＝时, 函数取得极大值, 则的值为 .
2.函数在处有极值10, 则点为 .
3.若函数在内单调递减，则实数的取值范围是 .
4.设函数若对于任意都有成立, 求实
数的取值范围.
Ⅵ.课后作业
书本P90 4,7第三章 导数及其应用
第6课时 函数的和、差、积、商的导数(1)
教学目标：
1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；
2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数；
3.能够综合运用各种法则求函数的导数.
教学重点：
函数的和、差、积、商的求导法则
教学难点：
用定义推导函数的和、差、积、商的求导法则
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
函数的和、差、积、商的求导法则:
Ⅲ.数学应用
例1：求下列函数的导数
(1)y =x2+sinx (2)
(3) (两种方法)
练习：(1) (2)
例2：求下列函数的导数
⑴ ⑵
(3) (4) y=·cosx
练习：⑴y= (2)y=
(3)y=
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P73 习题1,2,4
1.求下列函数的导数?
(1) (2)
(3) (4)
2.求下列函数的导数
(1) (2)
(3) (4)
3.求曲线在处的切线的方程.第三章 导数及其应用
第8课时 函数的单调性
教学目标：
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
教学重点：
利用导数判断函数单调性
教学难点：
利用导数判断函数单调性
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
1.函数的导数与函数的单调性的关系：
2.用导数求函数单调区间的步骤：
Ⅲ.数学应用
例1：确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函
数，哪个区间内是减函数.
练习：确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内
是增函数，哪个区间内是减函数.
例2：确定函数的单调减区间.
练习：确定下列函数的单调区间
(1) (2)
(3) (4)
思考：证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.
证法一：
证法二：(用导数方法证)
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P76 1,2,3
1.函数在定义域内是 函数.
2.函数在区间 内是增函数.
3.函数的递减区间是 .
4.若在内是减函数,则的取值范围为 .第三章 导数及其应用
第5课时 常见函数的导数
教学目标：
掌握初等函数的求导公式
教学重点：
用定义推导常见函数的导数公式
教学难点：
用定义推导常见函数的导数公式
教学过程：
Ⅰ.问题情境
本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）y=x （2）y=x2 （3）y=x3
问题：，，呢？
问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？
Ⅱ.建构数学
基本初等函数的求导公式：
Ⅲ.数学应用
例1：求下列函数导数.
(1) (2) (3)y=sin
(4) (5)y=sin(+x)
变式练习：求下列函数导数.
(1)y=cos(2π－x) (2) (3)
例2：若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标.
变式练习：1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.
2.求曲线y=x2过点(0,-1)的切线方程.
3.已知直线,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短.
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P71 2,3,4
1.求下列函数的导数
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
2.已知,则= .
3.设，则它的导函数为 .
4.过曲线上的点的切线方程为 .第三章 导数及其应用
第7课时 函数的和、差、积、商的导数(2)
教学目标：
1.理解两个函数的积的导数法则、和(或差)的导数法则，学会用法则求复杂形式的
函数的导数；
2.能够综合运用各种法则求函数的导数.
教学重点：
灵活应用函数的和、差、积、商的求导法则
教学难点：
函数的积、商的求导法则的综合应用
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
函数的差、积、商的求导法则：
Ⅲ.数学应用
例1：求下列函数的导数
（1） （2）y=
（3） （4）
（5） （6）
练习：求下列函数的导数
（1） （2）
（3） （4）
例2：在曲线上求一点P，是过点P点的切线与直线平行.
练习：1.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式.
2. 求满足下列条件的函数
(1) 是三次函数,且
(2)是一次函数,
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P73 习题5,6,7
1.函数的导数为 .
2.已知，若，则的值为 .
3.曲线的平行于直线的切线方程为 .
4.已知函数为偶函数，它的图像过点，且在处的切线方程为，求函数的表达式.第三章 导数及其应用
第1课时 平均变化率
教学目标：
感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，
体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
教学重点：
平均变化率的实际意义与数学意义
教学难点：
对生活现象作出数学解释
教学过程：
Ⅰ.问题情境
（1）情境
某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：
（2）问题1：“从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？”
问题2：“AB段与BC段哪一段速度较快？”
Ⅱ.建构数学
平均变化率:
Ⅲ.数学应用
例1：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示(见书本),试分别计算从出生到第3
个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
变式练习：水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙, s后容器甲中水的体积
(单位),计算第一个10s内V的平均变化率.
例2：已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率:
(1) (2) (3) (4)
变式练习：已知函数,,分别计算在区间,上
及的平均变化率.
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P59 习题2，3，4
1.甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，已用5个月
时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？
2. 已知函数,分别计算在下列区间上的平均变化率:
(1) (2) (3) (4)第三章 导数及其应用
第3课时 瞬时速度与瞬时加速度
教学目标：
理解瞬时速度与瞬时加速度的定义，掌握如何由平均速度和平均加速度“逼近” 瞬时
速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△x无限趋近于0的含义；
2.运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度.
教学重点：
瞬时速度与瞬时加速度的定义
教学难点：
瞬时速度与瞬时加速度的求法
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
1.平均速度：
2.位移的平均变化率：
3.瞬时速度：
4.瞬时加速度：
Ⅲ.数学应用
例1：一跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的，假设s后运动员相对于水面的高度为，试确定s时运动员的速度.
练习：一质点的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），试求该质点在s的瞬时速度.
例2：设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设s时的速度为，求s时轿车的加速度.
练习：1.一块岩石在月球表面上以的速度垂直上抛，s时达到的高度为（单位：）.
（1）求岩石在s时的速度、加速度；
（2）多少时间后岩石达到最高点.
2.质点沿轴运动，设距离为，时间为s，，则当时，质点的平均速度为 ；当时，质点的瞬时速度为 ；当时，质点的平均加速度为 ；当时，质点的瞬时加速度为 .
Ⅳ.课时小结
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P64 1,2
1.
2.自由落体运动的位移m与时间s的关系为（为常数）.
（1）求时的瞬时速度；
（2）分别求s时的瞬时速度.第三章 导数及其应用
第11课时 导数在实际生活中的应用
教学目标：
1.进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；；
2.初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.
教学重点：
解有关函数最大值、最小值的实际问题
教学难点：
解有关函数最大值、最小值的实际问题
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
Ⅲ.数学应用
例1：在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
变式练习：在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x).
（1）如果C(x)＝，那么生产多少单位产品时，边际 最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
(2)如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？
例2：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
变式练习：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
1.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.
2.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大
3.一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？
4.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
Ⅵ.课后作业
书本P84 习题1,3,4第三章 导数及其应用
第9课时 极大值与极小值
教学目标：
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够判别极大值、极小值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤.
教学重点：
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤
教学难点：
对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
1.极大值：
2.极小值：
3.极值：
4.判别f(x0)是极大、极小值的方法：
求可导函数f(x)的极值的步骤：
Ⅲ.数学应用
例1：求y=x3－4x+的极值.
练习：1.在x = 2处有极大值，则常数c 的值为_________.
2.求的极值.
例2：已知函数，当时，有极大值3,
（1）求的值；
（2）求函数的极小值.
练习：已知函数的极大值为6,极小值为2,
求的递减区间.
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P80 习题1,3
1.函数有极 值 .
2.是f（x）的导函数，的图象如右图所示，则f（x）的图象只可
能是 .
3.求下列函数的极值.
（1） （2）
（3） （4）第三章 导数及其应用
第4课时 导数
教学目标：
1.理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；
2.理解导数的几何意义；
3.理解导函数的概念和意义.
教学重点：
导数的求解方法和过程, 导数的灵活运用
教学难点：
导数概念的理解
教学过程：
Ⅰ.问题情境
1.求函数在点（2，4）处的切线斜率.
2.直线运动的汽车速度V与时间t的关系是，求时的瞬时速度.
Ⅱ.建构数学
导数的概念：
导数的几何意义：
Ⅲ.数学应用
例1：求下列函数在相应位置的导数
（1）， （2），
（3），
练习：求在处的导数.
例2：函数满足，则当x无限趋近于0时，
（1）
（2）
练习：设f(x)在x=x0处可导，
（1）无限趋近于1，则=___________
（2）无限趋近于1，则=________________
（3）当△x无限趋近于0，所对应的常数与的
关系为_______________
例3：若，求：
（1）和； （2）.
练习：已知函数，求在处的切线.
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P67 习题2,4
1.求下列函数在已知点处的导数
（1）在处的导数；
（2）在处的导数；
（3）在处的导数
2.质点运动方程为(位移单位:m,时间单位:s),分别求时的速度第三章 导数及其应用
第2课时 曲线上一点处的切线
教学目标：
1.理解曲线在一点处的切线的概念；
2.理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法；
3.掌握“局部以直代曲”和“用割线的逼近切线”的思想方法.
教学重点：
理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义，掌握曲线在
一点处切线斜率及切线方程的求法
教学难点：
理解曲线在一点处的切线的定义，特别是对“无限逼近”、“局部以直代曲”的理解
教学过程：
Ⅰ.问题情境
1.什么叫做平均变化率？
2.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点附近的曲线的研究）
（1）观察“点附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？
（2）“几乎成了一条直线”，这么一条特殊的直线有明确位置么？（趋势）又为什么说是“几乎”？（逼近）
Ⅱ.建构数学
1.割线逼近切线
2.割线斜率逼近切线斜率
Ⅲ.数学应用
例1：已知，求曲线在处的切线斜率．
练习：已知+1，求曲线在处的切线斜率.
例2：已知，求曲线在处的切线方程．
练习：已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．
思考：已知，求曲线在处的切线斜率是多少？
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P62 1,2,3,4
1.已知，求曲线在处的切线斜率和切线方程．
2.
放大
放大
放大
放大第三章 导数及其应用
第10课时 函数的最大值与最小值
教学目标：
1.理解函数的最大值和最小值的概念；
2.掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤.
教学重点：
利用导数求函数的最大值和最小值的方法
教学难点：
函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系
教学过程：
Ⅰ.问题情境
Ⅱ.建构数学
1.最大值：
2.最小值：
3.利用导数求函数的最值步骤：
Ⅲ.数学应用
例1：求函数在区间上的最大值与最小值
变式练习：求下列函数在所给区间上的最大值和最小值
（1）
（2）
（3）
例2：求在区间上的最大值与最小值.
变式练习：已知在时有极大值6，在时有极小值，求的值；并求在区间上的最大值和最小值.
Ⅳ.课时小结:
Ⅴ.课堂检测
Ⅵ.课后作业
书本P80 练习2(2),3
1.下列说法正确的是
A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数y=x3－3x2－8x+5在区间[－4, 4]上的最大值是 .
3.求下列函数在所给区间上的最大值和最小值
（1）
（2）
（3）
4.把长度为L cm的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的
面积最大
