(共33张PPT)
第一部分 考点梳理
第二章 方程组与不等式组
第8课时 一元一次不等式（组）及其应用
知识点1 不等式的相关概念与基本性质
不等式
的相关
概念 不等式 一般地，用不等号连接的式子叫做不等式使不等式成立的未知数的值
叫做不等式的解一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集
不
等
式
的
相
关
概
念 一元一 次不等
式 只含有 个未知数，且未
知数的次数是 的不等
式，称为一元一次不等式
1
1
不
等
式
的
相
关
概
念 一元一
次 不等式
组 关于相同未知数的几个
合在一起就
组成一个一元一次不等式组
不等式 组的解
集 几个不等式的解集的
，叫做由它们组成的不
等式组的解集
一
元一次不等式
公共
解
不
等
式
的
性
质 基本 性质1 如果a＞b，那a±c
b±c
基本 性质2 如果a＞b，c＞0，
那么ac bc，
基本 性质3 如果a＞b，c＜0，
那么ac bc，
＞
＞
＞
＜
＜
不
等
式
的
性
质 其他性
质 若a＞b，则b a；
若a≥b，且b≥a，则a b；
若a＞b，b＞c，则a c；
若a＞b，c＞d，则a＋c .b＋d
＜
＝
＞
＞
知识点2 解一元一次不等式的一般步骤
去分母， ，移项，
，化系数为1.
去括号
合
并同类项
知识点3 由两个一元一次不等式组成的
不等式组的解集有四种情况（已知a＜
b）
（1）的解集是 ；
x＞b
（2）的解集是 ；
（3）的解集是 ；
x＜a
a＜x＜b
（4）的解集是 .
口诀：同大取大，同小取小，大小
小大中间找，大大小小无处找.
无解
知识点4 不等式（组）的应用
利用不等式（组）解决实际问题，
关键是要抓住题目中表示不等关系的语
句，如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不
高于”等来列出不等式（组），问题的答
案不仅要根据解集，还要根据使实际问
题有意义来确定.
名师指津
1. 关于一元一次不等式的解法可以类比
一元一次方程，只有最后一步不同：用
未知数的负系数去除不等式两边时，不
等号的方向要改变.
2. 在数轴上表示不等式的解集要注意“实
心点”与“空心圈”的区别.
3. 已知不等式（组）的解集确定不等式
（组）中字母的取值范围有以下三种方
法：（1）借助数轴确定；（2）逆用不
等式（组）解集确定；（3）分类讨论确
定.此类问题要特别注意界点的取舍，这
是难点，也是易错点，可采用代入验证
的方法判断界点取舍问题.
4. 在利用不等式（组）解决实际问题中
的方案选择、优化设计以及最大利润等
问题时，为防止漏解和便于比较，我们
常用分类讨论的思想方法，对方案的优
劣进行探讨.
考点一 不等式的性质与不等式（组）
的解集
例1 （1）（2024·广州）若a＜b，则
（ D ）
A. a＋3＞b＋3 B. a－2＞b－2
C. －a＜－b D. 2a＜2b
D
（2）（2024·湖北）不等式x＋1≥2的解
集在数轴上表示为（ A ）
A B
A
C D
（3）解不等式组
时，不等式①和不等式②的解集在数轴
上表示正确的是（ C ）
A B
C
C D
考点二 一元一次不等式（组）的解法
例2 （1）解不等式 －1＜x－
，并把解集在数轴上表示出来；
[答案] 解：去分母，得3x＋3－6＜6x－4x－6，移项、合并同类项，得x＜－3.
在数轴上表示解集如答案图.
（答案图）
（2）解不等式组
把解集在数轴
上表示出来，并写出它的所有负整数解.
解不等式 ＞x－4，得x＜2，
则不等式组的解集为－3≤x＜2.
在数轴上表示解集如答案图，它的所有负整数解为－3，－2，－1.
（答案图）
[答案] 解不等式4（x＋1）≤7x＋13，得
x≥－3，
考点三 含参数的不等式（组）问题
例3 （1）若关于x的不等式组
的解集为－1＜x＜1，则
（a＋1）（2b－1）的值为 ；
（2）已知关于x的不等式（a＋2）x＜
1的解集为x＞ ，则a的取值范围
为 ；
－10
a＜－2
（3）（2024·成都）已知一元一次不等
式组的解集为x＜6，
则a的取值范围是 ；
（4）若关于x的不等式组
无解，
则a的取值范围为 ；
a≥6
a≤4
（5）（2024·南昌）若关于y的不等式组
有解，
则满足条件的整数m的最大值为 ；
（6）关于x的不等式组的
整数解有5个，
则a的取值范围是 ；
7
－4≤a＜－3
（7）已知关于x的不等式组
的解集中至少有4个整数
解，则整数a的最小值是 .
考点四 不等式（组）应用题
3
例4 （1）将一筐橘子分给若干个小朋
友，如果每人分4个橘子，那么还剩下9
个橘子；如果每人分6个橘子，那么最后
一个小朋友分到橘子，但将少于3个.由
以上可知共有 个小朋友分 个
橘子；
7
37
（2）（2024·贵州）为增强学生的劳动
意识，养成劳动的习惯和品质，某校组
织学生参加劳动实践.经学校与劳动基地
联系，计划组织学生参加种植甲、乙两
种作物.如果种植3亩甲作物和2亩乙作物
需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙
作物需要22名学生.
根据以上信息，解答下列问题：
①种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要
多少名学生？
[答案] 解：①设种植1亩甲作物和1亩
乙作物分别需要x，y名学生，根据题
意，得
解得
答：种植1亩甲作物需要5名学生，种植1
亩乙作物需要6名学生.
②种植甲、乙两种作物共10亩，所需学
生人数不超过55人，则至少种植甲作物
多少亩？
[答案] 解：②设种植甲作物a亩，则种植乙作物（10－a）亩，根据题意，得5a＋6（10－a）≤55，解得a≥5.
答：至少种植甲作物5亩.
1. 若a＞b，则下列不等式一定成立的
是（ C ）
A. ＜
B. －2a＞－2b
C. 2－a＜2－b
D. ＞1
C
2. （2024·雅安）不等式组
的解集在数轴上表示为（ C ）
A B
C
C D
3. （2024·内蒙古）对于实数a，b定义
运算“※”为a※b＝a＋3b，例如5※2＝
5＋3×2＝11.则关于x的不等式x※m＜
2有且只有一个正整数解时，m的取值范
围是 .
0≤m＜
4. （1）解不等式 ＋ ＞ ，并把它
的解集在数轴上表示出来；
解：去分母，得2（2－x）＋5＞3（x－2），去括号，得4－2x＋5＞3x－6，
移项、合并同类项，得－5x＞－15，
系数化为1，得x＜3，
在数轴上表示解集如答案图.
（答案图）
（2）解不等式组
并写出它的所有整数解.
解：解不等式2x－7＜3（x－1），得x
＞－4，
解不等式5－ （x＋4）≥x，得x≤2，
∴原不等式组的解集为－4＜x≤2.
∴它所有的整数解为－3，－2，－1，
0，1，2.(共24张PPT)
第一部分 考点梳理
第二章 方程组与不等式组
第7课时 分式方程及其应用
知识点1 分式方程
分母中含有 的方程叫做
分式方程.
未知数
知识点2 解分式方程
解分式方程的基本思想是把分式方
程转化为整式方程，其一般步骤是：
（1）去分母：分式方程两边同时乘方程
中各分母的 ，把分式方
程转化为整式方程.
注：最简公分母：①系数取最小公倍
数；②出现的字母取最高次幂；③出现
的因式取最高次幂.
最简公分母
（2）解方程：解整式方程，得到方程
的根.
（3）验根：将整式方程的解代入
，如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解；否
则，这个解不是原分式方程的解，是原
分式方程的增根.如果分式本身约分了，
也要代进去检验.
（4）得出结论.
最简
公分母
知识点3 增根与无解
在分式方程变形时，扩大了未知数
的取值范围，所以可能产生不适合原方
程的根，使方程中的分母为 ，此
时这个根就是分式方程的增根，因此解
分式方程要验根.
产生增根的两个条件：①是分式方
程去分母后整式方程的解；②使最简公
分母的值为零.
零
无解的两种情况：①方程去分母后
整式方程无解；②为增根.
知识点4 分式方程的应用
分式方程的应用与一元一次方程的
应用类似，不同的是分式方程的应用题
的验根有两次：
（1）检验所求的解是不是原分式方程
的解；
（2）检验所求的解是否符合题意.
名师指津
1. 分式方程有增根与无解并不是同一概
念.分式方程无解可能有两种情形：一是
有增根产生，二是变形后的整式方程无
解，比如ax＝b（a＝0，b≠0）.
2. 在含参数的分式方程问题中，要特别
注意分母不为零的隐含条件，一定要注
意增根所对应的参数的值一定要排除.
3. 分式方程应用题的验根是易错点，注
意解分式方程应用题需要验根两次.
考点一 分式方程的解法
例1 （1）（2024·泸州）分式方程
－3＝ 的解是（ D ）
A. x＝－ B. x＝－1
C. x＝ D. x＝3
D
（2）解方程：
① ＝ ＋1；
[答案] 解：方程两边同乘3（x＋1），
得3x＝x＋3（x＋1），解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，3（x＋1）≠0，
∴x＝－3是原分式方程的解.
② －1＝ .
[答案] 解：方程两边同乘（x＋2）（x
－2），
得（x－2）2－（x＋2）（x－2）＝
16，解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，（x＋2）（x－
2）＝0，
∴x＝－2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解.
考点二 含参数的分式方程
例2 （1）若关于x的方程 ＝ ＋
1有增根，则m的值是（ D ）
A. 3 B. 0或3
C. 7 D. －7
D
（2）（2024·达州）若关于x的方程
－ ＝1无解，则k的值为
；
（3）若关于x的分式方程 －2＝
的解为正数，则k的取值范围为
；
－1或
2
k＞－
2且k≠－1
（4）若关于x的不等式组
的解集为x＞1，且
关于y的分式方程3－ ＝ 有非负整
数解，则所有满足条件的整数m的值之
和是 .
－7
考点三 分式方程的应用
例3 （1）（2024·绥化）一艘货轮在静
水中的航速为40km/h，它以该航速沿江
顺流航行120km所用时间，与以该航速
沿江逆流航行80km所用时间相等，则江
水的流速为（ D ）
A. 5km/h B. 6km/h
C. 7km/h D. 8km/h
D
（2）（2024·南开）春风轻拂，万物复
苏，青团成为这个季节不可或缺的美食.
它不仅是一种食物，更是一种情感的寄
托，承载了人们对春天的赞美和怀念.某
甜品店开业当天推出了爆珠榴莲和麻辣
牛肉两种青团.
①上午，两种青团共卖出300个，销售额
为2800元，其中爆珠榴莲的单价为10
元，麻辣牛肉的单价为8元，求卖出两种
青团各多少个；
[答案] 解：①设卖出爆珠榴莲x个，则
卖出麻辣牛肉（300－x）个，根据题
意，得
10x＋8（300－x）＝2800，解得x＝
200，
∴300－x＝100.
答：卖出爆珠榴莲200个，卖出麻辣牛肉
100个.
②下午，该店调整了两种青团的价格，
结果爆珠榴莲的单价比麻辣牛肉的单价
贵3元，售出爆珠榴莲的个数比麻辣牛肉
的个数多50％，爆珠榴莲的销售额为
1050元，麻辣牛肉的销售额为400元，求
爆珠榴莲的单价是多少元.
[答案] 解： ②设麻辣牛肉的单价是m元，则爆珠榴莲的单价是（m＋3）元，根据题意，得
＝ ×（1＋50％），解得m＝4，
经检验，m＝4是原方程的解，且符合
题意，
∴m＋3＝7.
答：爆珠榴莲的单价是7元.
1. （2024·德阳）分式方程 ＝ 的解是
（ D ）
A. 3 B. 2
C. D.
D
2. 某农场开挖一条长360米的水渠，开工
后每天效率是原计划每天效率的1.5倍，
结果少花3天完成任务.若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（ A ）
A. － ＝3
B. － ＝3
C. ＝ ×1.5
D. ＝ ×1.5
A
3. （1）若关于x的方程 ＋ ＝1有
增根，则这个增根为x＝ ，m的值
为 ；
（2）若关于x的分式方程 ＋1＝
的解为正整数，则满足条件的整数
a的值为 .
2
5
－3
4. 解方程：
（1） ＝ －2；
解：（1）方程两边同乘（x－2），
得1－x＝－1－2（x－2），解得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，
∴x＝2是原方程的增根，∴原方程无解.
（2） － ＝ .
解：（2）方程两边同乘x（x＋1），得x＋1－3x＝2，
解得x＝－ .
检验：当x＝－ 时，x（x＋1）≠0，
∴x＝－ 是原方程的解.(共40张PPT)
第一部分 考点梳理
第二章 方程组与不等式组
第5课时 一次方程（组）及其应用
知识点1 等式的基本性质
内容
性
质
1 等式两边
，所得结果仍
是等式.
若a＝b，则a±c＝
性
质
2 等式两边
，所得结
果仍是等式.
若a＝b，则ac＝ ；
若a＝b，则 ＝ （c≠0）
同时加上（或减去）同
一个数（或式子）
b±c
同时乘同一个数（或除
以同一个不为0的数）
bc
内容
其
他
性
质 若a＝b，则b＝a（对称性）；
若a＝b，b＝c，则a c（传
递性）
等式的基本性质是解方程的依据，在使
用时要注意等式性质成立的条件.
＝
知识点2 一次方程（组）的相关概念和
解法
概念 解法
一
元 一
次 方
程 只含有 未知
数，并且未知数的次
数 ，且系
数 的方
程，叫做一元一次方
程 去分母，去
括号，移
项，合并同
类项，系数
化为1
一个
是1
不为0
概念 解法
二
元 一
次 方
程 含有
，并且所含未知
数的项的次数
的方程，叫做二
元一次方程 －
两个未知
数
都是
1
概念 解法
二元
一次 方程
组 含有两个未
知数的两
个
所组成
的一组方
程，叫做二
元一次方程
组 （1）代入消元
法：将其中一个
方程中的某个未
知数用含有另一
个未知数的代数
式表示出来，并
代入另一个方程
中，从而消去一
个未知数，简称
代入法；
一次方
程
概念 解法
二元
一次 方程
组 含有两个未知数的两个
所组成的一组方程，叫做二
元一次方程组 （2）加减消元法：通过方程两边分别相加（或
减）消去其中一个未知数，简称加减法
一次方
程
概念 解法
二元
一次 方程
组的 解 二元一次方
程组中各个
方程的
，叫
做这个二元
一次方程组
的解 －
公
共解
知识点3 关于x的方程ax＝b的解的情况
（1）当a≠0时，有唯一解x＝ ；
（2）当a＝0，b＝0时，解为任意实数；
（3）当a＝0，b≠0时，无解.
知识点4 列一次方程（组）解应用题的
一般步骤
（1）审题；
（2）设未知数；
（3）列方程（组）；
（4）解方程（组）；
（5）检验并写答案.
知识点5 几种常见的实际问题
常见的实际
问题 数量关系
经
济
问
题 商品销售 问题 利润＝售价－进价
利润率＝ ×100％
售价＝标价×折扣
售价＝进价×（1＋利润
率）
常见的实际
问题 数量关系
行
程
问
题 基本量之 间的关系 路程＝速度×时间
相遇问题 全路程＝甲走的路程＋
乙走的路程
追及问题 路程差＝快走的路程－
慢走的路程
常见的实际
问题 数量关系
行
程
问
题 水流（航
行） 问题 v顺＝v静＋v水，v逆＝v静
－v水
常见的实际
问题 数量关系
工
程
问
题 基本量之 间的关系 工作效率＝
其他常用 量关系 （1）通常把工作总量看
作“1”；（2）甲、乙合
做的工作效率＝甲的效
率＋乙的效率
名师点津
1. 解方程一方面要熟悉解法步骤，另
一方面要注意各个步骤的易错点，比
如：①漏乘（不含分母的项）；②移
项不变号；③分数线的括号功能；④
最后一步系数化为1的时候，颠倒分子
和分母的位置.
2. 解二元一次方程组时要根据方程组的
特点灵活选择方法，当方程组中一个未
知数的系数的绝对值是1或一个方程的常
数项为0时，用代入法较方便；当方程组
中同一个未知数的系数的绝对值相等或
成整数倍时，用加减法较方便；利用加
减法解二元一次方程组时，选择方程组
中同一个未知数的系数绝对值较小的未
知数消元，这样会使运算量较小.
3. 列方程解应用题的关键是找出题中蕴
含的等量关系，当题目中没有明确等量
关系时，可以选择题中一个量（如：时
间、路程、销售额等），用两种方式表
示“它”，中间用“＝”连接即可.当有多种
思路可以列出不同方程时，所选用的可
用两种方式表示的量需是题目中现成给
出的，或者容易直接表示的量，用最简
便快捷的思路解题.
4. 方程的应用问题题目往往文字多，阅
读量大，需耐心读题，准确把握那些表
示数量关系的词语，比如“多、少、总
共、降价、达到、一半、翻一番、打八
折、增长了40％、与去年持平、保持不
变、提高、降低”等表示和差倍分的关键
词语.
考点一 等式的性质与一次方程（组）
的相
关概念
例1 （1）下列等式的变形，正确的是
（ C ）
A. 若m＋n＝2n，则m＝2n
B. 若x＝3，则4x＝9
C. 若a＝b，则a＋2c＝b＋2c
D. 若x＝y，则 ＝
C
（2）（2024·贵州）小红学习了等式的
性质后，在甲、乙两台天平的左右两边
分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所
示，天平都保持平衡.若设“■”与“●”的质
量分别为x，y，则下列关系式正确的是
（ C ）
A. x＝y B. x＝2y
C. x＝4y D. x＝5y
C
（3）若方程（k＋2） ＋6＝0是关
于x的一元一次方程，则k＋2025
＝ ；
（4）如果是方程x－3y＝－3的
一组解，那么代数式2025－2a＋6b
＝ .
2025
2031
考点二 一元一次方程的解法
例2 （1）把方程 ＝1－ 去分母
后，正确的结果是（ C ）
A. 2x－1＝1－（3－x）
B. 2（2x－1）＝1－（3－x）
C. 2（2x－1）＝8－（3－x）
D. 2（2x－1）＝8－3－x
C
（2）解方程：
① ＝1＋ ；
[答案] 解：去分母，得2（2x＋1）＝6
＋（1－3x），
去括号，得4x＋2＝6＋1－3x，
移项，得4x＋3x＝6＋1－2，
合并同类项，得7x＝5，
系数化为1，得x＝ .
② － ＝2.
[答案] 解：原方程可变形为2x＋15－
＝2，
去分母，得3（2x＋15）x＋45－（10x
－1）＝6，
去括号，得6x＋45－10x＋1＝6，
移项、合并同类项，得－4x＝－40，
系数化为1，得x＝10.
考点三 二元一次方程（组）的解法
例3 （1）二元一次方程2x＋y＝8的
正整数解有（ B ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
（2）若（2x＋y－3）2＋
＝0，则x－y的值是 ；
B
9
（3）解方程组：
Ⅰ.
[答案] 解：由①，得y＝3x＋4，③
将③代入②，得x－2（3x＋4）＝－3，
解得x＝－1.
将x＝－1代入③，得y＝3×（－1）＋4
＝1，
∴原方程组的解为
Ⅱ.
[答案] 解：方程组整理得
①－②，得－2y＝6，解得y＝－3.
将y＝－3代入①，得2x＋9＝9，解得x
＝0，
∴原方程组的解为
考点四 含参数的一次方程（组）
例4 （1）已知关于y的方程 ＋m＝
1与y－m＝3的解相同，则m＝ ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程组
的解满足x－y＝10，
则a的值为 .
11
考点五 一次方程（组）的应用
例5 （1）（2024·广州）某新能源车企
今年5月交付新车35060辆，且今年5月交
付新车的数量比去年5月交付的新车数量
的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交
付新车x辆，根据题意，可列方程为
（ A ）
A
A. 1.2x＋1100＝35060
B. 1.2x－1100＝35060
C. 1.2（x＋1100）＝35060
D. x－1100＝35060×1.2
（2）（2024·齐齐哈尔）校团委开展以
“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为
奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱
全部用于购买单价分别为8元和10元的两
种笔记本（两种都要购买）作为奖品，
则购买方案有（ B ）
A. 5种 B. 4种
C. 3种 D. 2种
B
（3）“百兴”商场从某加工厂购进A，
B两种商品，A种商品的购价为每件50
元，B种商品的购价为每件60元，购进
B种商品的数量比购进A种商品数量的2
倍多4件，购进A，B两种商品共用
1600元.
①购进A，B两种商品各多少件？
②“百兴”商场再次从该加工厂购进A，
B两种商品，购进A，B两种商品的数量
与原来购进A，B两种商品的数量都相
同，此时，该加工厂将A种商品每件加
价10元，B种商品打折出售，且此次购
进A，B两种商品所需总钱数是原来购
进B种商品所需总钱数的 倍，则B种商
品打几折出售？
[答案] 解：①设购进A种商品a件，则购
进B种商品（2a＋4）件，根据题意得
50a＋60（2a＋4）＝1600，解得a＝8.
∴2a＋4＝20.
答：购进A种商品8件，购进B种商品
20件.
②设B种商品打y折出售，根据题意，得
（50＋10）×8＋60× ×20＝
×60×20，
解得y＝8.
答：B种商品打8折出售.
1. 下列等式变形正确的是（ B ）
A. 如果 x＝6，那么x＝3
B. 如果x－3＝y－2，那么x＝y＋1
C. 如果mx＝my，那么x＝y
D. 如果 x＋2＝y－1，那么x＋2＝3y－
3
B
2. （1）若关于x的方程 －x＝1的解
是正整数，则符合条件的所有整数a的
和为 ；
31
（2）甲、乙两人共同解方程组
由于甲看错了方
程①中的m，得到方程组的解为
乙看错了方程②中的n，得
到方程组的解为则该方程组
正确的解是 .
3. 解方程（组）：
（1）x－ ＝1＋ ；
解：去分母，得6x－3（x－2）＝6＋2
（2x－1），
去括号，得6x－3x＋6＝6＋4x－2，
移项，合并同类项，得－x＝－2，
系数化为1，得x＝2.
（2）
解：原方程组可化为
①－②×2，得y＝10，
把y＝10代入②，得2x＋10＝1，
解得x＝－4.5，
∴原方程组的解为
4. （2024·北京）为防治污染，保护和改
善生态环境，自2023年7月1日起，我国
全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以
下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”
要求A类物质排放量不超过35mg/km，
A，B两类物质排放量之和不超50mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50％，B类物质排放量降低了75％，A，B两类物质排放量之和为40mg/km，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
解：设技术改进后该汽车的A类物质排
放量为
xmg/km，则B类物质排放量为（40－
x）mg/km，
由题意，得 ＋ ＝92，解得
x＝34.
∵34＜35，
∴这次技术改进后该汽车的A类物质排
放量符合“标准”.(共32张PPT)
第一部分 考点梳理
第二章 方程组与不等式组
第6课时 一元二次方程及其应用
知识点1 一元二次方程的定义
只含有 未知数，并且
，这样的
方程就是一元二次方程.
一元二次方程的一般表达式为
，其中 是
二次项， 叫做二次项系
数； 是一次项， 叫做一次
项系数； 是常数项.
一个
未
知数的最高次数是2
整式
ax2
＋bx＋c＝0（a≠0）
ax2
a
bx
b
c
知识点2 一元二次方程的解法
直接
开 平方
法 适合于（x＋a）2＝b（b≥0）或 （ax＋b）2＝（cx＋d）2形式的
方程
因式 分解
法 基
本 思
想 把方程化成ab＝0的形式，
得a＝0或b＝0
因式 分解
法 方
法 规
律 常用的方法主要是提公因式
法，运用平方差公式、完全
平方公式等分解因式
公式
法 求
根 公
式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝
0（a≠0），当b2－4ac≥0
时，x＝
一
般 步
骤 （1）将方程化成ax2＋bx＋
c＝0（a≠0）的形式；
（2）确定a，b，c的值；
（3）①若b2－4ac 0，
则代入求根公式，得x1，x2；
②若b2－4ac 0，则方
程无实数根
≥
＜
配
方
法 基
本 思
想 通过配成完全平方的形式解一元二
次方程
一
般 步
骤 （1）化二次项系数为1；
（2）把常数项移到方程的另一边；
（3）在方程两边同时加上一次项
系数一半的平方；
（4）把方程整理成（x＋a）2＝b
的形式；
（5）当b 时，运用直接开平
方法解方程；当b＜0时，无解
≥0
知识点3 一元二次方程根的判别式
当b2－4ac 0时，方程有两个
不相等的实数根；
当b2－4ac 0时，方程有两个
相等的实数根；
当b2－4ac 0时，方程没有实
数根.
＞
＝
＜
知识点4 一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0
（a≠0）有两根x1，x2，则有x1＋x2
＝ － ，x1x2＝ .
－
知识点5 一元二次方程的实际应用
平均
增长 率
（下降 率）
问题 （1）增长率＝ ×100％；
（2）设a为原来量，x为平均
增长（下降）率，n为增长（下
降）次数，b为增长（下降）后
的量，则a（1±x）n＝b
面
积
问
题 （1）如图1，矩形ABCD的长为
a，宽为b，空白部分的宽为x，则
阴影部分的面积为（a－2x）（b
－2x）；
（2）如图2，矩形ABCD的长为
a，宽为b，阴影部分的宽为x，则
空白部分的面积为（a－x）（b－
x）；
面
积
问
题 （3）如图3，矩形ABCD的长为
a，宽为b，阴影部分的宽为x，则
空白部分的面积为（a－x）（b－
x）
利润
问题 利润＝售价－成本；
总利润＝单件利润×销量；
利润率＝ ×100％
握
手、
单循环赛 问题 握手、单循环赛总次数为
（n为人数或队伍数）；
送礼物总份数为n（n－1）（n
为人数）
名师指津
1. 二次项系数、一次项系数及常数项都
是方程在一般形式下定义的，所以求一
元二次方程的各项系数时，必须先将方
程化为一般形式.
2. 关于解方程，要依据一元二次方程的
结构特点，灵活选用“因式分解法、配方
法、公式法”几种方法.对于一元二次方
程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.
（1）若b＝0，直接开平方；
若c＝0，采用因式分解法；
（2）当b，c都不为0时，一般遵循“先
分解因式→后配方法→再公式法”的顺
序，具体来说：
①如果能在有理数范围内分解因式，用
因式分解法计算量小；
②当方程的一次项系数为偶数，且常
数项的绝对值很大时，可以考虑用配
方法；
③如果不能在有理数范围内分解因式，
且方程的一次项系数为奇数时，配方法
可能计算量较大，此时宜选用公式法来
解，而公式法是万能法.
3. 运用根的判别式及根与系数的关系
（韦达定理）解题时，特别注意一元二
次方程ax2＋bx＋c＝0的隐含条件a≠0.
考点一 一元二次方程的相关概念
例1 （1）若关于x的一元二次方程
（m－3）x2＋x＋m2－9＝0的常数项等
于0，则m的值为（ C ）
A. 0 B. 3
C. －3 D. －3或3
（2）若一元二次方程x2－2x－5＝0的
一个解为a，则a（2a－3）＋a（1－a）的值为 .
C
5
考点二 一元二次方程的解法
例2 （1）（2024·贵州）一元二次方
程x2－2x＝0的解是（ B ）
A. x1＝3，x2＝1
B. x1＝2，x2＝0
C. x1＝3，x2＝－2
D. x1＝－2，x2＝－1
B
（2）解下列一元二次方程：
①2（x－3）2－18＝0；
[答案] 解：整理，得（x－3）2＝9，
开方，得x－3＝±3，解得x1＝6，x2＝
0.
②x2＋2x－3＝0；
解：整理，得x2＋2x＝3，
配方，得（x＋1）2＝4，∴x＋1＝
±2，
解得x1＝－3，x2＝1.
③2x（x－2）＝1；
解：整理，得2x2－4x－1＝0，
∴Δ＝（－4）2－4×2×（－1）＝24
＞0，
∴x＝ ＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ .
④4x（x－2）＝2（2－x）.
解：移项，得4x（x－2）＋2（x－2）＝0，
合并同类项，得
（4x＋2）（x－2）＝0，
∴4x＋2＝0或x－2＝0，
解得x1＝－ ，x2＝2.
考点三 一元二次方程根的判别式及
根与
系数的关系
例3 （1）（2024·上海）以下一元二次
方程有两个相等实数根的是（ D ）
A. x2－6x＝0
B. x2－9＝0
C. x2－6x＋6＝0
D. x2－6x＋9＝0
D
（2）（2024·西附）关于x的一元二次方
程x2＋2mx＋m2＝0的根的情况为（ C ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 无法确定
C
（3）关于x的一元二次方程（m－2）
x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取
值范围是（ D ）
A. m≤4
B. m≥4
C. m≥－4且m≠2
D. m≤4且m≠2
D
（4）（2024·乐山）若关于x的一元二次
方程x2＋2x＋p＝0两根为x1，x2，且
＋ ＝3，则p的值为 － ；
（5）（2024·西附）设a，b是方程x2＋
x－2026＝0的两个实数根，则（a－1）
（b－1）的值为 .
－
－2024
考点四 一元二次方程的应用
例4 （1）一份摄影作品[七寸照片（长7英寸，宽5英寸）]，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍.设照片四
周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（ D ）
D
A. 2（7＋x）（5＋x）＝7×5
B. （7＋x）（5＋x）＝2×7×5
C. 2（7＋2x）（5＋2x）＝7×5
D. （7＋2x）（5＋2x）＝2×7×5
（2）某大型果品批发商场经销一种高档
坚果，原价每千克64元，连续两次降价
后每千克49元.
①若每次下降的百分率相同，求每次下
降的百分率；
[答案] 解：①设每次下降的百分率为
a，根据题意，得64（1－a）2＝49，
解得a1＝1.875（舍去），a2＝0.125＝
12.5％.
答：每次下降的百分率为12.5％.
②若该坚果每千克盈利10元，每天可售
出500千克.经市场调查发现，在进货价
不变的情况下，商场决定采取适当的涨
价措施，若每千克涨价1元，日销售量将
减少40千克.现该商场要保证销售该坚果
每天盈利4500元，那么每千克应涨价多
少元？
[答案] 解： ②设每千克应涨价x元，
由题意，得
（10＋x）（500－40x）＝4500，
整理，得2x2－5x－25＝0，
解得x1＝5，x2＝－2.5（舍去）.
答：该商场要保证销售该坚果每天盈利
4500元，那么每千克应涨价5元.
1. 下列是一元二次方程的是（ C ）
A. 2x＋1＝0 B. x＋y＝5
C. x2＋3x＋2＝0 D. x＋ ＝2
C
2. （2024·绥化）小影与小冬一起写作
业，在解一道一元二次方程时，小影在
化简过程中写错了常数项，因而得到方
程的两个根是6和1；小冬在化简过程中
写错了一次项的系数，因而得到方程的
两个根是－2和－5.则原来的方程是
（ B ）
A. x2＋6x＋5＝0
B. x2－7x＋10＝0
C. x2－5x＋2＝0
D. x2－6x－10＝0
B
3. 若关于x的一元二次方程（m－1）x2
－4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则
m的取值范围为 .
4. 某市举行中学生足球联赛，每两个队
之间都要进行一场比赛，共要比赛66场.
若有x支球队参赛，则可列方程
.
m＜5且m≠1
x
（x－1）＝66
