(共22张PPT)
第一部分 考点梳理
第五章 图形的变换与作图
第29课时 轴对称与中心对称
知识点1 轴对称与中心对称的定义及性
质
定义 性质
轴
对
称 轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部
分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴 （1）对应点所连的线段被
垂直平分；
（2）
相等，
相等；
（3）成轴对称的两个图形是全等图形
对称轴
对应线段
对应角
定义 性质
轴
对
称 成轴对称：对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能完
全重合，那么这两个图形关于这条直线（成轴）对称 （1）对应点所连的线段被
垂直平分；
（2）
相等，
相等；
（3）成轴对称的两个图形是全等图
形
对称轴
对应线段
对应角
中心对称的定义
中心对称：把一个图形绕着某一点
旋转 后能与另一个图形重合，
那么就说这两个图形关于这一点成中心
对称，这个点叫做 .关于某
点成中心对称的两个图形，对称点的连
线都经过对称中心，并且被对称中
心 .
180°
对称中心
平分
中心对称图形：把一个图形绕着某
一点旋转 后，能与原来位置的
图形重合，这个图形就叫做中心对称图
形，这个点就是它的对称中心.
180°
知识点2 平面直角坐标系中点的对称规
律
平面内点A的坐标为（x，y），则
（1）点A关于x轴对称的点的坐标
为 ；
（2）点A关于y轴对称的点的坐标
为 ；
（3）点A关于原点对称的点的坐标
为 .
（x，－y）
（－x，y）
（－x，－y）
名师指津
1. 解决折叠问题的关键是找图形在折叠
过程中的不变量，利用勾股定理建立方
程，求线段长度.
2. 在几何图形中求线段和的最小值往往
转化成两点之间线段最短或垂线段最短
等来解决，具体方法是利用轴对称，实
现化折为直.
常见模型：将军饮马问题、过河修桥问
题、瓜豆问题、胡不归问题等.
考点一 轴对称和中心对称图形的定义
及性质
例1 （1）（2024·深圳）下列用七巧板
拼成的图案中，为中心对称图形的是
（ C ）
C
A B C D
（2）（2024·泰安）下列图形中，是中
心对称图形的个数有（ C ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
（3）（2024·福建）小明用两个全等的
等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图
案.如图，其中△OAB与△ODC都是等腰
三角形，且它们关于直线l对称，点E，
F分别是底边AB，CD的中点，
OE⊥OF. 下列推断错误的是（ B ）
A. OB⊥OD
B. ∠BOC＝∠AOB
C. OE＝OF
D. ∠BOC＋∠AOD＝180°
B
考点二 平面直角坐标系中点的对称与
最短路径
例2 （1）如图1，在平面直角坐标系
xOy中，△ABC关于直线y＝1对称，已
知点A的坐标是（4，4），则点B的坐
标是（ C ）
C
A. （4，－4） B. （－4，2）
C. （4，－2） D. （－2，4）
图1
（2）（2024·青海）如图2，一次函数y
＝2x－3的图象与x轴相交于点A，则点
A关于y轴的对称点是 .
图2
（－ ，0）
例3 （1）（2024·广安）如图1，在
ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC
＝30°，点M为直线BC上一动点，则
MA＋MD的最小值为 ；
图1
（2）如图2，点P是∠AOB内部任意一
点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线
OA和射线OB上的动点，∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值为 cm；
图2
5
（3）如图3，在边长为2的等边△ABC
中，D是BC边的中点，点E在线段AD
上，连接BE. 在BE的下方作等边△BEF，连接DF. 当△BDF的周长最小
时，∠DBF的度数是 .
图3
30°
考点三 图形的折叠
例4 （1）如图1，在△ABC中，∠A
＝22°，D为AB边中点，E为AC边上
一点，将△ADE沿着DE翻折，得到
△A'DE，连接A'B. 当A'B＝A'D时，
∠A'EC的度数为 ；
图1
16°
（2）如图2，在三角形纸片ABC中，
AB＝AC，∠B＝20°，点D是边BC上
的动点，将三角形纸片沿AD对折，使
点B落在点B'处，当B'D⊥BC时，
∠BAD的度数为 ；
图2
25°或115°
（3）（2024·苏州）如图3，在△ABC
中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝
10，点D，E分别在AC，AB边上，AE
＝ AD，连接DE，将△ADE沿DE翻
折，得到△FDE，连接CE，CF. 若
△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则
AD＝ .
图3
1. （2024·成都）在平面直角坐标系xOy
中，点P（1，－4）关于原点对称的点
的坐标是（ B ）
A. （－1，－4）
B. （－1，4）
C. （1，4）
D. （1，－4）
B
2. 垃圾分类功在当代，利在千秋，下列
垃圾分类指引标志图形中，既是轴对称
图形又是中心对称图形的是（ D ）
A B C D
D
3. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝
140°，∠B＝∠D＝90°，在直线
BC，DC上分别找一点M，N，使得
△AMN的周长最小，则此时∠MAN的
度数为 .
（第3题）
100°
4. 如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的
直线折叠，使点D落在射线CA上的点E
处，折痕CP交AD于点P. 若∠ABC＝
30°，AP＝2，则PE的长等于 .
（第4题）
＋(共29张PPT)
第一部分 考点梳理
第五章 图形的变换与作图
第32课时 几何（网格、尺规）作图
知识点1 网格作图
利用平移、旋转、对称（轴对称和中心
对称）、位似等在正方形网格中作图称
为网格作图.
知识点2 尺规作图
在几何里用没有刻度的直尺和圆规来画
图，称为尺规作图.最基本、最常用的尺
规作图，称为基本作图.
知识点3 五种基本尺规作图
基本
作图 图示 作法
作一
条线段等 于已
知线段
①画射线AB；
②用圆规在射线AB上截取AC＝MN，线段AC就是所求作的线段
基本
作图 图示 作法
作一
个角等于 已知
角
①作射线O'A'；
②以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
③以点O'为圆心，OC长为半径作弧，交O'A'于点C'；
④以点C'为圆心，CD长为半径作弧，交前弧于点D'；
基本
作图 图示 作法
作一
个角等于 已知
角
⑤过点D'作射线O'B'，
∠A'O'B'就是所求作的角
基本
作图 图示 作法
作已
知 角的 平分
线
①以点O为圆心，适当长为
半径作弧，分别交OA，
OB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，
大于 DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交
于点C；
③作射线OC，OC就是所
求作的角平分线
基本
作图 图示 作法
作已
知线段的 垂直平分线 ①分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点C，D；
②作直线CD，直线CD就
是线段AB的垂直平分线
基本
作图 图示 作法
经过一 点作已 知直线的垂线
过直线上一点作已知直线的垂线 ①以点C为圆心，适当长为半径向点C两侧作弧，分别交直线AB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；
③作直线CF，直线CF就是所求作的垂线
基本作图 图示 作法
经过一 点作已 知直线的垂线
过直线外一点作已知直线的垂线 ①任意取一点K，使点K和点C在AB的两侧；
②以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D，E；
③分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；
④作直线CF，直线CF就是所求作的垂线
考点一 网格作图
（1）在网格中画出△ABC向下平移3个
单位长度后得到的图形△A1B1C1；
例1 在如图所示的正方形网格中，每个
小正方形的边长均为1个单位长度，
△ABC的三个顶点都在格点上.
[答案] 解：（1）如图，△A1B1C1为所求作.
（2）在网格中画出△ABC关于直线m对
称的图形△A2B2C2；
[答案] 解：（2）如
图，△A2B2C2为所
求作.
（3）求△ABC的面积.
[答案] 解：（3）
S△ABC＝4×3－
×1×3－ ×4×1－
×2×3＝5.5.
例2 （2024·安徽）如图，在由边长为1
个单位长度的小正方形组成的网格中建
立平面直角坐标系xOy，格点（网格线
的交点）A，B，C，D的坐标分别为
（7，8），（2，8），（10，4），
（5，4）.
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转
180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
[答案] 解：
（1）如图，
△A1B1C1即为所
求作.
（2）直接写出以B，C1，B1，C为顶点
的四边形的面积；
[答案] 解：（2）易知DB＝DB1，DC＝
DC1，∴四边形BC1B1C是平行四边形，
∴ ＝2 ＝2× ×10×4
＝40.
（3）在所给的网格图中确定一个格点
E，使得射线AE平分∠BAC，写出一个
点E的坐标.
[答案] 解：（3）E（6，6）.（答案不
唯一）
考点二 尺规作图
例3 （1）如图1，在△ABC中，
∠BAC＝80°，∠ACB＝70°.根据图
中的尺规作图痕迹，下列说法中错误的
是（ D ）
D
A. BE＝EC
B. DE＝ BD
C. ∠BAQ＝40°
D. ∠EQF＝30°
图1
（2）（2024·辽宁）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＞AB，AD＝a，AB＝10.以点A为圆心，AB长为半径作弧，与BC相交于点E，连接AE. 以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为 （用含a的代数式表示）；
a－10
图2
（3）（2024·湖南）如图3，在锐角三角
形ABC中，AD是边BC上的高，在
BA，BC上分别截取线段BE，BF，使
BE＝BF；分别以点E，F为圆心，大
于 EF的长为半径画弧，在∠ABC内，
两弧交于点P，作射线BP，交AD于点
M，过点M作MN⊥AB于点N. 若MN
＝2，AD＝4MD，则AM＝ .
6
图3
考点三 尺规作图的综合运用
例4 在学行四边形的相关知识
后，小虹进行了拓展性研究.她发现，如
果作平行四边形一条对角线的垂直平分
线，那么这条垂直平分线在该四边形内
部的线段被这条对角线平分.其解决问题
的思路为通过证明对应线段所在两个三
角形全等即可得出结论.
请根据她的思路完成以
下作图和填空：
用直尺和圆规作平行四边形ABCD的对
角线AC的垂直平分线，交DC于点E，
交AB于点F，垂足为O. （只保留作图
痕迹）
如图，四边形ABCD是平行四边形，AC
是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O.
求证：EO＝FO.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠ECO＝① .
∵EF垂直平分AC，
∴② .
又∵∠EOC＝③ ，
∴△COE≌△AOF（ASA），
∴EO＝FO.
∠FAO
OA＝OC
∠FOA
再进一步研究发现，过平行四边形的对
角线中点的所有与该四边形一组对边相
交所得的线段均具备此特征，请你依照
题目中的相关表述完成下面命题的填
空：过平行四边形的对角线中点的直线
④
.
[答案] 解：作图如图所示.
与其一组对边相交所得的线段被这
条对角线平分
1. （2024·内蒙古）如图，在△ABC中，
∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆
心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D. 若△ACD的面积为8，则△ABD的面积为（ B ）
A. 8 B. 16
C. 12 D. 24
（第1题）
B
2. （2024·济宁）如图，△ABC三个顶点
的坐标分别是A（1，3），B（3，4），C（1，4）.
（1）将△ABC向下平移2个单位长度得
到△A1B1C1，画出平移后的图形，并直
接写出点B1的坐标；
（第2题）
解：（1）如答
案图所示，
△A1B1C1即为所
求作.B1（3，2）.
（答案图）
（2）如答案图所示，△A2B1C2即为所
求作.
点C1运动到点C2所经过的路径长为
＝π.
（2）将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°得到△A2B1C2，画出旋转后的图形，并求出点C1运动到点C2所经过的路径长.
（答案图）
（第2题）
3. （2024·南开）如图，四边形ABCD是
矩形，E为AD上一点，CE＝BC.
（第3题）
（1）尺规作图：过点B作CE的垂线
BF，垂足为F（只保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，为了证明BF
＝BA，小马同学有如下想法：先证明
△DCE≌△FBC，再利用矩形的性质，
得到结论，请根据小马同学的想法完成
下面的填空：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，∠D＝90°.
∵AD∥BC，∴∠BCE＝
① .
∠DEC
（第3题）
∵BF⊥CE，∴∠BFC＝② .
又∵∠D＝90°，∴③ .
∵BC＝CE，∴△DCE≌△FBC（AAS），
∴BF＝④ ，∴BF＝BA.
解：（1）如答案图所
示，BF即为所求作.
（答案图）
∠BFC＝∠D
CD
90°
（第3题）(共30张PPT)
第一部分 考点梳理
第五章 图形的变换与作图
第30课时 平移与旋转
知识点1 平移与旋转的定义与性质
定义 性质
平
移 在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种变换，叫做平移变换，简称平移.确定一个平移变换的条件是方向和距离 （1）平移不改变图形
的 与 ，即平移前后的两个图形是 ；
（2）连接各组对应点
的线段
；
形状
大小
全等图形
平行（或共
线）且相等
定义 性质
平
移 在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种变换，叫做平移变换，简称平移.确定一个平移变换的条件是
方向和距离 （3）对应线段
.
；
（4）对应角
平行（或共线）
且相等
相等
定义 性质
旋
转 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一定的角度，图形的这种变换，叫做旋转变换.这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做旋转角.图形的旋由 、
和
所决定 （1）图形上的每一点 都着
.
沿着相同的方向旋转了
大小的角度；
旋转中心
旋转方向
旋转角
旋转中心
相同
定义 性质
旋
转 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一定的角度，图形的这种变换，叫做旋转变换.这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做旋转角.图形的旋由 、
和
所决定 （2）旋转后的图形与原来的图形的形状和
大小都没有发生变化，即它们是 的；
（3）旋转前后两个图形的对应点到旋转中
心的离 ；
旋转中心
旋转方向
旋转角
全等
相等
定义 性质
旋
转 在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一定的角度，图形的这种变换，叫做旋转变换.这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做旋转角.图形的旋由 、
和
所决定 （4）对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角
旋转中心
旋转方向
旋转角
知识点2 平面直角坐标系中点的平移规律
平面内点A的坐标为（x，y），则：
（1）将点A向右平移a（a＞0）个单位
长度得到的点的坐标为 ；
（2）将点A向左平移a（a＞0）个单位
长度得到的点的坐标为 ；
（x＋a， y）
（x－a， y）
（3）将点A向上平移a（a＞0）个单位
长度得到的点的坐标为 ；
（4）将点A向下平移a（a＞0）个单位
长度得到的点的坐标为 .
简称：上加下减，左减右加.
（x，y＋a）
（x，y－a）
名师指津
1. 解决有关平移的问题，关键是利用图
形平移过程中的不变量与不变性，通常
会用到平行四边形的知识.
2. 解决有关旋转的问题，关键是利用旋
转的性质，旋转变换的作用在于：
（1）把分散的几何图形和条件进行集中
和整合；
（2）添加辅助线构造基本图形和全等三
角形.
考点一 图形的平移
例1 （1）（2024·育才）如图1，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝
10，BC＝6.点F是AB中点，连接CF，
把线段CF沿射线BC方向平移到ED，
点D在AC上.则线段CF在平移过程中扫
过区域形成的四边形CFDE的周长和面
积分别是（ C ）
C
A. 16，6 B. 18，18
C. 16，12 D. 12，16
图1
（2）如图2，点A，B的坐标分别为
（－2，1），（0，－1）.若将线段AB
平移至A1B1，点A1，B1的坐标分别为
（a，3），（3，b），则a＋b的值
为 .
图2
2
考点二 图形的旋转
例2 （1）如图1，在△ABC中，
∠BAC＝105°，将△ABC绕点A按逆
时针方向旋转得到△AB'C'.若点B'恰好落
在BC边上，且AB＝CB'，则∠AB'C'的
度数为 ；
50°
图1
（2）（2024·长春）一块含30°角的
直角三角板ABC按如图2所示的方式摆
放，边AB与直线l重合，AB＝12cm.现
将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C
的对应点C'落在直线l上，则点A经过
的路径长至少为 ；（结果保
留π）
8πcm
图2
（3）如图3，在△ABC中，AB＞AC，
E为AB上一点，D为BC的中点，
∠BAC＝120°.将AD绕点A逆时针旋转
120°至AF，连接CE，CF. 若AC＝
10，AE＝6，∠ACF＝∠AEC，则CF
的长为 ；
图3
7
[解析] 如答案图，过点D作DH∥CE交
AB于点H，过点E作EG⊥AC交CA的延
长线于点G.
（答案图）
由题意可知，AD＝AF，∠BAC＝
∠DAF＝120°，∴∠HAD＝∠CAF.
∵DH∥EC，∴∠AHD＝∠AEC.
又∵∠ACF＝∠AEC，∴∠AHD＝
∠ACF，∴△ADH≌△AFC，∴CF＝
DH. ∵∠EAC＝120°，∴∠GAE＝
60°，∴AG＝ AE＝3，GE＝ AE＝
3 ，∴CE＝ ＝14.∵D是
CE的中点，DH∥CE，∴DH＝CF＝
CE＝7.故答案为7.
（答案图）
（4）如图4，在△ABC中，∠ABC＝
60°，P是△ABC内一点，连接PA，
PB，PC. 若AB＝4，BC＝6，则PA＋
PB＋PC的最小值是 .
图4
2
[解析] 如答案
图，将△BPA绕点
B顺时针旋转60°
得到△BFE，过
点E作EH⊥CB
交CB的延长线于点H.
（答案图）
∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，
∴∠EBC＝120°.∵PB＝BF，∠PBF
＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB
＝PF. ∵PA＝EF，∴PA＋PB＋PC＝
EF＋PF＋PC.
根据两点之间线段最短可知，当点E，
F，P，C共线时，PA＋PB＋PC的值
最小，最小值即为EC的长.在Rt△EBH
中，∠EBH＝180°－∠EBC＝60°，
EB＝AB＝4，∴BH＝BE· cos 60°＝
2，EH＝EB· sin 60°＝2 ，∴CH＝
BH＋BC＝8，∴EC＝ ＝
＝2 .
故答案为2 .
（答案图）
例3 （2024·辽宁）如图，在△ABC
中，∠ABC＝90°，∠ACB＝α（0°＜
α＜45°）.将线段CA绕点C顺时针旋转
90°得到线段CD，过点D作
DE⊥BC，垂足为E.
图1 图2 图3
（1）如图1，求证：
△ABC≌△CED；
[答案]解：（1）证明：由题意，得CA＝
CD，∠ACD＝90°，
∴∠ACB＋∠BCD＝90°.
∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，
∴∠BCD＋∠D＝90°，∴∠ACB＝∠D.
∵∠ABC＝90°，∴∠ABC＝∠DEC，
∴△ABC≌△CED（AAS）.
图1
（2）如图2，∠ACD的平分线与AB的
延长线相交于点F，连接DF，DF的延
长线与CB的延长线相交于点P，猜想
PC与PD的数量关系，并加以证明；
图2
[答案]解：（2）猜想：PC＝PD. 证明
如下：
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝α，
∴∠A＝90°－α.
∵CF平分∠ACD，∴∠ACF＝∠DCF.
又∵CA＝CD，CF＝CF，
∴△ACF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠A＝90°－α.
∵∠ACD＝90°，∠ACB＝α，
∴∠BCD＝90°－α，
∴∠BCD＝∠CDF，∴PC＝PD.
（3）如图3，在（2）的条件下，将
△BFP沿AF折叠，在α变化的过程中，
当点P落在点E的位置时，连接EF.
①求证：点F是PD的中点；
图3
[答案] （3）①证明：由题意，
得FP＝FE，∴∠P＝∠FEP.
∵∠DEC＝90°，∴∠PED＝90°，
∴∠P＋∠FDE＝90°，
∠FEP＋∠FED＝90°，
∴∠FED＝∠FDE，∴FE＝FD，
∴FP＝FD，即点F是PD的中点.
②若CD＝20，求△CEF的面积.
图3
解：②如答案图，过点F作FM∥CP交CD于点M，连接EM.
∵△ABC≌△CED，∴DE＝CB.
设CE＝m，DE＝CB＝n，
则BE＝CB－CE＝n－m.
由翻折，得PB＝BE＝n－m，
∴PE＝2n－2m，
∴PC＝PE＋CE＝2n－m＝PD.
在Rt△PDE中，
由勾股定理，得（2n－m）2＝（2n－2m）2＋n2，整理，得3m2－4mn＋n2＝0，
（答案图）
解得n＝3m或n＝m（舍去，此时α＝45°）.
在Rt△CDE中，由勾股定理，得
m2＋（3m）2＝202，解得m2＝40，
∴S△CDE＝ CE·DE＝ m×3m＝ m2＝60.
∵FM∥BC，
∴ ＝ ＝1，S△CEM＝S△CEF，
∴点M为CD中点，
∴S△CEM＝ S△CED＝30，
∴S△CEF＝30.
（答案图）
1. （2024·资阳）在平面直角坐标系中，
将点（－2，1）沿y轴向上平移1个单位
长度后，得到的点的坐标为（ B ）
A. （－2，0） B. （－2，2）
C. （－3，1） D. （－1，1）
B
2. 如图，将△ABC沿BC向右平移得到
△DEF，若BC＝5，BE＝2，则CF的
长是（ A ）
A. 2 B. 2.5
C. 3 D. 5
（第2题）
A
3. 如图，OA为∠BAC的平分线，且
∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A
逆时针方向旋转后，得到四边形AB'O'C'，且∠OAC'＝100°，则四边形ABOC旋转
的角度是 .
75°
（第3题）(共43张PPT)
第一部分 考点梳理
第五章 图形的变换与作图
第27课时 相似三角形
知识点1 比例线段和黄金分割
定义 防错提醒
比
例
线
段 在四条线段a，b，c，d
中，如果 ，那
么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 求两条线
段的比时，对这
两条线段
要用同一
长度单位
＝
定义 防错提醒
黄
金
分
割 在线段AB上，点C把线
段AB分成两条线段AC
和BC（AC＞BC），如
果 ，那么称
线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金为 一条线段
的黄金分
割点有
个
＝
两
知识点2 比例的性质
基本 性质 如果 ＝ ，那么ad＝
合比 性质 如果 ＝ ，那么 ＝
等比 性质 如果 ＝ ＝…＝ （b＋d
＋…＋n≠0），那么
＝
bc
知识点3 平行线分线段成比例的基本事
实两条直线被一组平行线所截，所得
的对应线段 .
成比例
知识点4 相似三角形（多边形）的性质
相似 三角
形 （1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比
相似 多边
形 （1）相似多边形周长的比等于相似比；
（2）相似多边形面积的比等于相似比的平方
知识点5 相似三角形的判定
判
定
1 平行于三角形一边的直线和其他两
边相交，所构成的三角形与原三角
形
判
定
2 如果两个三角形三组对应边的 相等，那么这两个三角形相似
判
定
3 如果两个三角形的两组对应边的比
相等，并且 相等，那么这
两个三角形相似
相似
比
夹角
判
定
4 如果一个三角形的两个角与另一个
三角形的两个角对应 ，那
么这两个三角形相似
相等
知识点6 相似的基本图形及结论
【A字模型】
已知 图示 结论（性质）
DE
∥BC ①△ADE∽△ABC；
② ＝ ＝
已知 图示 结论（性质）
∠1＝
∠2 或∠3
＝∠4 或
＝ [反A字模
型] ①△ADE∽△ABC；
② ＝ ＝
已知 图示 结论（性质）
∠1＝
∠2 [共边反A 字模型] ①△ADC∽△ACB；
②AC2＝AB·AD
[补充]该模型也被称为
子母模型，即子母模
型可以看作有一组公
共边的反A字模型
已知 图示 结论（性质）
∠1＝
∠2 ＝∠3 [双反A字 模型] ①△AEB∽△DEA∽
△DAC；
②AB·AC＝BE·CD；
③ ＝
【8字模型】
已知 图示 结论（性质）
AB∥CD ①△AOB∽△COD；
② ＝ ＝
∠1＝∠2 或∠3＝∠4 或 ＝ [反8字模型] ①△AOB∽△DOC；
② ＝ ＝
【射影定理】
已知 图示 结论（性质）
∠ABC
①△ABC∽△ADB∽
△BDC；
②AB2＝AC·AD，
BD2＝AD·CD，
BC2＝AC·CD；
③AB·BC＝BD·AC（面积法）
已知 图示 结论（性质）
＝ ∠ADB＝90°
①△ABC∽△ADB∽
△BDC；
②AB2＝AC·AD，
BD2＝AD·CD，
BC2＝AC·CD；
③AB·BC＝BD·AC（面积法）
【一线三等角】
已知 图示 结论（性质）
∠B
＝∠D
＝ ∠ACE＝ 90°
图1
图2 ①△ABC∽△CDE；
② ＝ ＝ 或BC·CD
＝AB·DE（可看作底·底＝腰·腰）；
③特别地，如图2，当点C为BD的中点时，
△ABC∽△CDE∽△ACE
已知 图示 结论（性质）
∠B
＝ ∠D
＝ ∠A
CE
＝α
图1
图2 ①△ABC∽△CDE；
② ＝ ＝ ；
③特别地，如图2，当点C为BD的中点时，
△ABC∽△CDE∽△ACE
【线束模型】
已知 图示 结论（性质）
DE
∥
BC
图1
图2 ① ＝ （图1）；
②DF∶FG∶EG＝BH∶HI∶CI（图2）
已知 图示 结论（性质）
AB
∥
CD
图1
图2 ① ＝ （图1）；
②AE∶EF∶BF＝
DH∶HG∶CG（图2）
【三角形内接矩形模型】
已知 图示 结论（性质）
四边
形DE
FG为矩形
，AN
⊥BC
①△ABC∽△ADG；
② ＝ ＝ ＝ ；
③若四边形DEFG为正方
形，假设DG＝x，则 ＝
，若已知BC，AN的
长，即可求出x的值
【三平行线模型】
已知 图示 结论（性质）
AB
∥
EF ∥
CD
① ＋ ＝ ；
② ＋ ＝
知识点7 位似图形的概念及性质
概 念 对应顶点的连线相交于一点的两个相
似多边形是位似图形，这个点叫位似
中心
性 质 （1）位似图形上任意一对对应点到
位似中心的距离之比等于相似比；
（2）位似图形对应点的连线或延长
线相交于一点；
（3）位似图形对应线段平行或共线
且成比例；
（4）位似图形的对应角相等
名师指津
1. 证明等积式的常用方法是把等积式转
化为比例式，要证明比例式，就要证明
对应的三角形相似.
2. 实际应用中常见的相似三角形模型：
（1）利用投影、平行线、标杆等构造相
似三角形求解；
（2）测量底部可以到达的物体的高度；
（3）测量底部不可以到达的物体的高度；
（4）测量不可以到达的物体的宽度.
3. 重庆中考虽然降低了四条线段成比例
的证明，但是利用线段成比例来求线段
长度这一基本能力还是广泛应用在重庆
中考压轴题中.相似三角形的对应边成比
例是动点问题中得到线段长度间函数关
系式的重要手段，在解决问题时，先用
自变量和函数表示一些线段的长，然后
利用相似三角形对应边成比例建立方
程，从而求得（表示出）所求线段.
考点一 比例线段及相关性质
例1 （1）下列四组线段中，是成比例
线段的是（ C ）
A. 4cm，5cm，6cm，7cm
B. 3cm，4cm，5cm，8cm
C. 3cm，5cm，9cm，15cm
D. 1cm，3cm，4cm，8cm
C
（2）已知 ＝ ，则 ＝（ C ）
A. B. C. D.
C
（3）（2024·云南）如图，AB与CD交
于点O，且AC∥BD. 若 ＝
，则 ＝ .
考点二 相似三角形的性质和判定
例2 （1）（2024·重庆A卷）若两个相
似三角形的相似比是1∶3，则这两个相
似三角形的面积比是（ D ）
A. 1∶3 B. 1∶4
C. 1∶6 D. 1∶9
D
（2）（2024·陕西）如图，正方形
CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD
上，AF与DC交于点H. 若AB＝6，CE
＝2，则DH的长为（ B ）
A. 2 B. 3
C. D.
B
例3 （2024·上海）如图所示，在矩形
ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.
（1）求证：AD2＝DE·DC；
[答案]解：证明：（1）在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∠ADE＝90°，
AB＝DC，
∴∠ABD＋∠ADB＝90°.
∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝∠DAE.
∵∠BAD＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BAD，
∴ ＝ ，即AD2＝DE·BA.
∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC.
（2）F为线段AE延长线上一点，且满
足EF＝CF＝ BD，求证：CE＝AD.
[答案]解证明：（2）如答案图，连接AC交BD于点O. 由①知，△ADE∽△BAD，
∴∠ADB＝∠AED. ∵∠FEC＝∠AED，
∴∠ADO＝∠FEC.
在矩形ABCD中，OA＝OD＝ BD，
∵EF＝CF＝ BD，
∴OA＝OD＝EF＝CF，
（答案图）
∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE.
∵∠ADO＝∠FEC，
∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE.
在△ODA和△FEC中，
∴△ODA≌△FEC（AAS），
∴CE＝AD.
（答案图）
考点三 相似三角形的应用
例4 （1）（2024·扬州）物理课上学过
小孔成像的原理，它是一种利用光的直
线传播特性实现图像投影的方法.如图
1，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔
O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'.已知
AB＝36cm，A'B'＝24cm，小孔O到AB
的距离为30cm，则小孔O到A'B'的距离
为 cm；
20
图1
（2）在一个阳光明媚的下午，小华和小红相约去测量一座古塔MN的高.如图2，他们在塔周围的平地上找到塔尖点M的影子点B，并在点B处竖立一根3m长的标杆AB，测得其影长BC为2m.随后后退到点D处放置了一面小平面镜，小华站在点F处正好看到镜子中的塔尖M，且点F，D，C，B，N在同一条直线上.已知小华的身高EF为1.62m，FD为1.8m，BD为4.4m，求古塔MN的高.（平面镜的厚度忽略不计）
图2
[答案] 解：设古塔MN的高为xm.由题意，得△DEF∽△DMN，
∴ ＝ ，即 ＝ ，∴DN＝ xm.
∵BD＝4.4m，∴BN＝DN－BD＝（
x－4.4）m.
由题意，得△ABC∽△MNB，∴ ＝ ，
即 ＝ ，∴x＝9.9.（经检验，符
合题意）
答：古塔MN的高为9.9m.
考点四 位似及位似变换
例5 （1）（2024·浙江）如图1，在平
面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是
位似图形，位似中心为点O. 若点A
（－3，1）的对应点为A'（－6，2），则点B（－2，4）的对应点B'的坐标
为（ A ）
A
A. （－4，8） B. （8，－4）
C. （－8，4） D. （4，－8）
图1
（2）（2024·凉山州）如图2，一块面积
为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是（ D ）
A. 90cm2 B. 135cm2
C. 150cm2 D. 375cm2
D
图2
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy
中，点A在第一象限内，点B在x轴正半
轴上，△OCD是以点O为位似中心，且
与△OAB的相似比为 的位似图形.若点
A的坐标为（3，2），则点C的坐标
为 .
（1， ）或（－1，－ ）
图3
1. 如图，已知△ABC∽△EDC，
AC∶EC＝2∶3.若AB的长度为6，则
DE的长度为（ B ）
A. 4 B. 9
C. 12 D. 13.5
（第1题）
B
2. （2024·湖南）如图，在△ABC中，点
D，E分别为边AB，AC的中点.下列结
论中，错误的是（ D ）
A. DE∥BC
B. △ADE∽△ABC
C. BC＝2DE
D. S△ADE＝ S△ABC
D
（第2题）
3. （2024·绥化）如图，矩形OABC各顶
点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点
O为位似中心，将这个矩形按相似比 缩
小，则顶点B在第一象限对应点的坐标
是 .
（1， ）
（第3题）
4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在
BC，AC上，且CD＝2BD，CE＝
2AE，BE交AD于点F，则AF∶FD
＝ ，S△BFD∶S△ABC＝ .
（第4题）
3∶2
2∶15 (共26张PPT)
第一部分 考点梳理
第五章 图形的变换与作图
第31课时 视图、投影
知识点1 常见几何体展开图
常见的 几何体 长方体、正方体、圆柱、圆
锥、球、棱柱（三棱柱、四棱
柱等）、棱锥（三棱锥、四棱
锥等）
圆柱的 展开图 圆柱的平面展开图是由两个相
同的圆形和一个长方形组成的
圆锥的 展开图 圆锥的展开图是由一个圆形和
一个扇形组成的
正方体 的展开 图
知识点2 三视图
三 视 图 主
视
图 正投影情况下，由 向
观察物体得到的视图，叫做主视
图，主视图反映物体的长和高
左
视
图 正投影情况下，由 向
观察物体得到的视图，叫做左视
图，左视图反映物体的宽和高
三 视 图 俯
视
图 正投影情况下，由 向
观察物体得到的视图，叫做俯视
图，俯视图反映物体的长和宽
前
后
左
右
上
下
画 物 体 的 三 视 图 原
则
主视图和俯视图要长对正，
主视图和左视图要高平齐，
左视图和俯视图要宽相等
注
意 看得见部分的轮廓线通常画成
，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线通常画成
实线
虚线
知识点3 投影
投影定义 一般地，用光线照射物体，
在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面
平行投影 由平行光线形成的投影叫做平行投影
中心投影 由同一点（点光源）发出的
光线形成的投影叫做中心投影
考点一 图形的展开与折叠
例1 （1）（2024·常州）下列图形中，
为四棱锥的侧面展开图的是（ B ）
A B C D
B
（2）（2024·扬州）如图1是某几何体表
面展开后得到的平面图形，则该几何体
是（ C ）
A. 三棱锥 B. 圆锥
C. 三棱柱 D. 长方体
图1
C
（3）（2024·江西）如图2是4×3的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ B ）
A. 1种 B. 2种
C. 3种 D. 4种
图2
B
（4）（2024·达州）如图3，正方体的表
面展开图上写有“我们热爱中国”六个
字，还原成正方体后，“我”字对面的字
是（ B ）
A. “热” B. “爱”
C. “中” D. “国”
图3
B
（5）如图4，下列图形中，①能折叠
成 ，②能折叠成 ，
③能折叠成 .
图4
圆柱
五棱柱
圆锥
考点二 三视图
例2 （1）（2024·广西）榫卯是我国传
统建筑及家具的基本构件.燕尾榫是“万
榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头
成梯台形，形似燕尾.如图是燕尾榫正面
的带头部分，它的主视图是（ A ）
A
A B C D
（2）一个“粮仓”的三视图如图所示（单
位：m），则它的体积是（ C ）
A. 21πm3 B. 30πm3
C. 45πm3 D. 63πm3
C
（3）一个不透明小立方块的六个面上分
别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开
图如图1所示.在一张不透明的桌子上，
按图2方式将三个这样的小立方块搭成一
个几何体，则该几何体能看得到的面上
数字之和最小是（ B ）
A. 31 B. 32
C. 33 D. 34
B
图1 图2
（4）一个几何体是由许多规格相同的小
正方体堆积而成的，其主视图、左视图
如图所示.要摆成这样的几何体，最少需
用 个小正方体，最多需用 个
小正方体.
6
11
考点三 投影
例3 （1）矩形的正投影不可能
是（ B ）
A. 矩形 B. 梯形
C. 正方形 D. 线段
B
（2）下列结论中正确的是（ A ）
①在阳光照射下，同一时刻的物体，影
子的方向是相同的；
②物体在任何光线照射下影子的方向都
是相同的；
③固定的物体在路灯照射下，影子的方
向与路灯的位置有关；
④固定的物体在光线照射下，影子的长
短仅与物体的长短有关.
A
A. ①③ B. ①③④
C. ①④ D. ②④
（3）如图，在A时测得某树的影长为
4m，B时又测得该树的影长为16m.若两
次日照的光线互相垂直，则该树的高度
为 .
8m
例4 如图，信号塔PQ坐落在坡度i＝
1∶2的山坡上，其正前方直立着一块警
示牌.当太阳光线与水平线成60°角时，
测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN的
长为2 m，落在警示牌上的影子MN
的长为3m，求信号塔PQ的高.（结果不
取近似值）
[答案] 解：如答案图，过点M作MF⊥PQ于点F，过点Q作QE⊥MN于点E. ∵i＝1∶2，∴设EN＝k，则QE＝2k.在Rt△QEN中，由勾股定理，得
QN＝ ＝ k＝2 ，解得k＝2.∴EN＝2m，FM＝QE＝4m.
（答案图）
∴FQ＝ME＝MN－EN＝3
－2＝1（m）.在Rt△PFM中，∠FPM＝
180°－90°－60°＝30°，
∴PF＝ ＝4 m.
∴PQ＝PF＋FQ＝（1＋4 ）m.
（答案图）
答：信号塔PQ的高为（1＋4 ）m.
1. （2024·辽宁）如图是由5个相同的小
立方块搭成的几何体，这个几何体的俯
视图是（ A ）
A B C D
A
（第1题）
2. （2024·通辽）如图，这个几何体的俯
视图是（ D ）
A B C D
D
（第2题）
3. 如图3，圆柱的侧面展开得到一个长方
形，该长方形的长为12π，宽为8，则这
个圆柱的体积为 .
（第3题）
288π
4. 如图，路灯（点P）距地面9m，身高
1.5m的小云从距路灯的底部（点O）
20m的点A处，沿OA所在的直线行走
14m到达点B时，身影的长度是变长了
还是变短了？变长或变短了多少米？
（第4题）
解：∵∠MAC＝∠MOP＝90°，
∠AMC＝∠OMP，
∴△MAC∽△MOP，∴ ＝ ，
即 ＝ ，∴MA＝4m.
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB
＝1.2m，
∴小云身影的长度变短了，变短了4－1.2＝2.8（m）.(共28张PPT)
第一部分 考点梳理
第五章 图形的变换与作图
第28课时 锐角三角函数与解直角三角形
知识点1 锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b
∠A的正弦 sin A＝ ＝
∠A的余弦 cos A＝ ＝
∠A的正切 tanA＝ ＝
它们统称为∠A的锐角三角函数
知识点2 一些特殊角的三角函数值
锐角α 30° 45° 60°
sin α
cos α
tanα 1
知识点3 解直角三角形
解
直
角 三
角
形 在Rt△ABC中，除了∠C＝90°
外，还有∠A，∠B和a，b，c这
五个元素.
由Rt△ABC中的已知元素求出其余
未知元素的过程叫解直角三角形
知识点3 解直角三角形
解
直
角 （1）三边关系：a2＋b2＝ ；
（2）两锐角之间的关系：
∠A＋∠B＝ ；
（3）边与角之间的关系：
sin A＝ cos B＝ ， cos A＝
sin B＝ ，tanA＝ ；
（4） sin 2A＋ cos 2A＝1
c2
90°
三
角
形 的
常
用 关
系 （1）三边关系：a2＋b2＝ ；
（2）两锐角之间的关系：
∠A＋∠B＝ ；
（3）边与角之间的关系：
sin A＝ cos B＝ ， cos A＝
sin B＝ ，tanA＝ ；
（4） sin 2A＋ cos 2A＝1
c2
90°
解直
角三
角形 的题
目 （1）已知斜边和一个锐角；
（2）已知一直角边和一个锐角；
（3）已知斜边和一直角边；
（4）已知两条直角边
类
型 （1）已知斜边和一个锐角；
（2）已知一直角边和一个锐角；
（3）已知斜边和一直角边；
（4）已知两条直角边
知识点4 解直角三角形的实际应用
方
位
角 在航海、航空测绘中常用的一种表
示方位的角，通常以正北、正南方
向为基准，用比如“北偏东40度，
南偏西60度，西南方向（南偏西45
度）”等来描述物体的运动方向
仰
角 与 俯
角
坡
度 与 坡
角 坡
度 坡面的铅直高度h和水平宽度l的
比叫做坡面的坡度（或坡比），
记作i＝
坡
角 坡面与水平面的夹角α叫做坡角，i＝tanα，坡度越大，α角越
大，坡面
越陡
名师指津
1. 涉及三角函数的计算，一是要看清
楚边和角的位置关系，二是要正确选
用函数.
2. 求解各类解直角三角形的实际应用题，一般步骤是：
（1）审题，把实际情境数据化，理清细节，由题意（或原题图片）画出示意图；
（2）把示意图转化为几何图形；
（3）根据条件的特点，适当选用锐角三
角函数解直角三角形；
（4）当明显缺乏直角三角形时，就需要
作垂线，构造直角三角形.
考点一 锐角三角函数的概念
例1 （1）在Rt△ABC中，已知∠C＝
90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式
中，正确的是（ C ）
A. sin B＝ B. cos B＝
C. tanB＝ D. tanB＝
C
（2）（2024·包头）如图1，在矩形
ABCD中，E，F是边BC上两点，且
BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与
AF相交于点G，连接BG. 若AB＝4，
BC＝6，则 sin ∠GBF的值为（ A ）
A. B.
C. D.
A
图1
（3）如图2，在4×4的正方形网格中，
每个小正方形的边长均为1，顶点为格
点.若△ABC的顶点均是格点，则 cos
∠BAC的值是 .
图2
考点二 特殊角的三角函数值
例2 （1）已知∠A是锐角，且 sin A＝
，那么∠A的取值范围是（ B ）
A. 0°＜∠A＜30°
B. 30°＜∠A＜45°
C. 45°＜∠A＜60°
D. 60°＜∠A＜90°
B
（2）计算：2 cos 60°－ sin 30°＋
tan245°＝ ；
（3）已知在△ABC中，∠A，∠B都是
锐角，且（ －2 sin A）2＋｜tanB－
｜＝0，则∠C＝ °.
75
考点三 解直角三角形
例3 （1）如图1，在等腰Rt△ABC
中，∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一
点，连接BD. 若tan∠DBA＝ ，则AD
的长为（ A ）
A
A. 2 B.
C. D. 1
图1
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝
90°，D是AB的中点，连接CD，过点
B作CD的垂线，交CD的延长线于点E.
若AC＝30， cos A＝ ，则 cos ∠DBE
＝ .
图2
考点四 解直角三角形的应用
例4 （1）（2024·德阳）如图1，某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10m的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°（AB，CD在同一平面内，点B，D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（ B ）
B
A. 20m B. 15m
C. 12m D. （10＋5 ）m
图1
（2）（2024·盐城）如图2，小明用无人
机测量教学楼的高度，将无人机垂直上
升到距地面30m的点P处，测得教学楼
底端点A的俯角为37°，再将无人机沿
教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测
得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教
学楼AB的高度约为 m.（精确到
1m，参考数据： sin 37°≈0.60， cos
37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17
图2
例5 为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图，线路a.A－D－C－B；线路b.A－E－B. 经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向.（参考数据： ≈1.41， ≈1.73）
（1）求AD的长度；（结果精确到1千
米）
[答案] 解：（1）如答案图，过点D作
DF⊥EA交EA延长线于点F.
由题意知，四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米.在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝ ＝10 ≈14（千
米）.答：AD的长度约为14千米.
（答案图）
（2）由于时间原因，小明决定选择一条
较短线路进行锻炼，请计算说明他应该
选择线路a还是线路b？
[答案] 解：（2）在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，
∴DF＝AF＝10千米.在Rt△ABE中，
∠ABE＝90°－60°＝30°，AB＝DF＋CD＝24千米，
∴AE＝AB·tan30°＝24× ＝8 （千米），∴EB＝2AE＝16 千米.
按线路a.A－D－C－B走的路程为
AD＋DC＋CB≈14＋14＋10＝38（千
米）.按线路b.A－E－B走的路程为AE＋
EB＝8 ＋16 ＝24 ≈41.52（千
米）.
∵38＜41.52，
∴小明应该选择线路a.
答：小明应该选择线路a.
1. （2024·天津） cos 45°－1的值等
于（ A ）
A. 0 B. 1
C. －1 D. －1
A
2. （2024·长春）2024年5月29日16时12
分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一
号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升
到点A时，位于海平面R处的雷达测得
点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（ A ）
A. a sin θ千米 B. 千米
C. a cos θ千米 D. 千米
A
（第2题）
3. 计算：（1）tan60°· cos 30°－ sin245°＝ ；
（2） ＋2 sin 60°－tan45°＝ .
1
4. （2024·雅安）如图，把矩形纸片
ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点
E处，BE与AD交于点F. 若AB＝6，
BC＝8，则 cos ∠ABF的值是 .
（第4题）
