(共36张PPT)
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质
第20课时 等腰三角形
知识点1 角平分线和线段垂直平分线的
性质与判定
性质 判定
角
平
分
线 角平分线上
的点
的点，在这个角的角平分线所在的直线上
到角
两边的距离
相等
到角两边的距离相等
性质 判定
线
段
垂
直
平
分
线 线段垂直平
分线上的
点
的点，在
这条线段的垂直平分
线上
到这条
线段的两个
端点的距离
相等
到线段两个端点的
距离相等
知识点2 等腰三角形和等边三角形的性
质与判定
性质 判定
等腰
三角
形 （1）等边对等
角； （2）等腰三角
形三线合一； （3）是轴对称
图形，有一条对
称轴 （1）定义：有
两边相等的三角
形；
（2）等角对等
边
性质 判定
等边
三角
形 （1）三边相
等； （2）三个角都
相等且都等于
60°； （3）是轴对称
图形，有三条对
称轴 （1）定义：三
条边都相等的三
角形；
（2）三个角都
相等的三角形；
（3）一个角是
60°的等腰三角
形
知识点3 等腰三角形的性质拓展
图示 结论
等腰三角形两腰上的高、中线和两底角的角平分线分别都相等，即BD＝EC
等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半，即∠DBC＝ ∠A
图示 结论
等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行，即AD∥BC
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高，即DE＋DF＝BG
图示 结论
等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于腰上的高，即DF－DE＝BG
名师指津
1. 等角对等边是证边相等的常用办法.
2. 三线合一是证两条边相等、两个角相
等以及两条直线互相垂直的重要依据.
3. 分类讨论和方程思想是解决等腰三角
形多解问题的两大法宝，画出图形，数
形结合是解这类题目的基本方法.考虑全
面，分类讨论，逐一解决，不要漏解.
4. 重要结论：
考点一 角平分线的性质与判定
例1 （1）如图1，AE，BE，CE分别
平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，
ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面
积为36，则△ABC的周长为（ C ）
C
A. 48 B. 36
C. 24 D. 12
图1
（2）如图2，点E是BC的中点，
AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，连接DE. 下列四个结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB＋CD. 其中成立的是 .（填序号）
①②④
图2
考点二 线段垂直平分线的性质与判定
例2 （1）如图1，在△ABC中，AB，
AC的中垂线DM，EN分别交BC于点
M，N，连接AM，AN. 若∠BAC＝
79°，则∠MAN的度数为（ C ）
C
A. 20° B. 21°
C. 22° D. 23°
图1
（2）（2024·眉山）如图2，在△ABC
中，AB＝AC＝6，BC＝4，分别以点
A，B为圆心，大于 AB的长为半径作
弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直
线交AC于点D，连接BD，则△BCD的
周长为（ C ）
A. 7 B. 8
C. 10 D. 12
C
图2
（3）如图3，CD是∠ACE的平分线，
DP垂直平分AB于点P，DF⊥AC于点
F，DE⊥BE于点E. 若BC＝3cm，AC
＝5cm，则CE＝ cm.
图3
1
考点三 等腰三角形的性质与判定
例3 （1）如图1，在△ABC中，D，E
分别为AB，AC边上的点，DA＝DE，
DB＝BE＝EC. 若∠ABC＝130°，则
∠C的度数为（ D ）
D
A. 20° B. 22.5°
C. 25° D. 30°
图1
（2）如图，△ABC为等腰三角形，AB
＝BC，点F是线段CB上一点，连接AF.
①如图2，若AF⊥CB，AB＝10，BF
＝8，求线段AC的长；
图2
[答案]解： ①∵AF⊥BC，AB＝BC，
AB＝10，BF＝8，
∴∠AFC＝∠AFB＝90°，CF＝2.
在Rt△ABF中，AF＝ ＝6，
在Rt△ACF中，AC＝ ＝
2 .
②如图3，点E为线段AB上一点，连接
CE，使∠ACE＝∠B，且EA＝BF，
点D为AF的中点，连接CD. 求证：
∠ACD＝∠BCE.
图3
[答案]解： ②证明：∵∠ACE＝∠B，
∴∠ACE＋∠BCE＝∠B＋∠BCE，
∴∠ACB＝∠AEC.
∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC，
∴∠AEC＝∠BAC，
∴AC＝EC.
如答案图，延长BC至点G，
使CG＝CF，连接AG.
∵CG＝CF，
且点D为AF的中点，
∴CD∥AG，
（答案图）
∴∠ACD＝∠GAC.
∵∠CEA＝∠ACB，
∴∠ACG＝∠CEB.
∵AB＝BC，AE＝BF，
∴BE＝CF＝CG.
又∵AC＝CE，
∴△ACG≌△CEB
（SAS），
∴∠GAC＝∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE.
（答案图）
考点四 等边三角形的性质与判定
例4 （1）（2024·自贡）如图1，等
边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°，则新钢架减少用钢（ D ）
A. （24－12 ）m
B. （24－8 ）m
C. （24－6 ）m
D. （24－4 ）m
D
图1
（2）如图2，在正方形ABCD中，E是
边AD上一动点（不与点A，D重合）.
边BC关于BE对称的线段为BF，连接
AF.
①若∠ABE＝15°，求证：△ABF是等
边三角形；
图2
[答案]解： ①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°.
∵∠ABE＝15°，∴∠CBE＝75°.
由对称的性质，得
∠FBE＝∠CBE＝75°，BF＝BC＝BA，
∴∠ABF＝∠FBE－∠ABE＝60°，
∴△ABF是等边三角形.
②延长FA，交射线BE于点G，△BGF
能否为等腰三角形？如果能，求此时
∠ABE的度数；如果不能，请说明理由.
图2
[答案]②解：由①得BF＝BC＝BA，
∵E是边AD上一动点，
∴BA＜BE＜BG，∴BF≠BG.
若FB＝FG，则有∠FGB＝∠FBG＝
∠CBG，
此时E与D重合，不合题意.
若GF＝GB，连接CG
交AD于点H，如答案图，
（答案图）
∵BC＝BF，∠CBG＝∠FBG，BG＝
BG，
∴△CBG≌△FBG（SAS），
∴FG＝CG，∠BFG＝∠BCG.
∵BA＝BC＝BF，∴∠BFA＝∠BAF.
∵△CBG≌△FBG，∴∠BFG＝
∠BCG.
∵AD∥BC，∴∠AHG＝∠BCG，
∴∠BAF＋∠HAG＝
∠AHG＋∠HAG＝
180°－∠BAD＝90°，
（答案图）
∴∠FGC＝180°－∠HAG－∠AHG＝
90°，
∴∠BGF＝∠BGC＝ ∠FGH＝45°.
∵GB＝GF＝GC，
∴∠GBC＝∠GCB＝
（180°－∠BGC）＝67.5°，
∴∠ABE＝∠ABC－∠GBC＝90°－
67.5°＝22.5°.
综上所述，△BGF能为等腰三角形，此
时∠ABE的度数为22.5°.
（答案图）
1. 如图，在△ABC中，AB边的中垂线
DE分别与AB，AC边交于点D，E，
BC边的中垂线FG分别与BC，AC边交
于点F，G，连接BE，BG. 若△BEG的
周长为16，GE＝1，则AC的长为
（ B ）
A. 13 B. 14
C. 15 D. 16
B
（第1题）
2. （2024·赤峰）等腰三角形的两边长分
别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则
这个三角形的周长为 .
3. 已知△ABC为等边三角形，点D在BC
边上.
17
【基本图形】（1）如图1，以AD为一
边作等边△ADE，连接CE. 请直接写出
AC，CE，CD之间的数量关系；
解：（1）CE＋CD＝AC.
图1 图2
【迁移运用】（2）如图2，点F是AC边
上一点，以DF为一边作等边△DEF，
连接CE. 求证：CE＋CD＝CF；
图1 图2
解：（2）证明：如答案图1，过点D作
DG∥AB，交AC于点G.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.
∵DG∥AB，
∴∠CGD＝∠A＝60°，∠CDG＝∠B
＝60°，∴△CDG为等边三角形，
∴CD＝DG＝CG.
（答案图1）
∵△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF，∠EDF＝60 °.
∴∠CDG－∠EDG＝∠EDF－∠EDG，
即∠CDE＝∠GDF，
∴△CDE≌△GDF（SAS），
∴CE＝GF，
∴CE＋CD＝GF＋CG＝CF.
（答案图1）
【类比探究】（3）如图3，点F是AC边
的延长线上一点，以DF为一边作等边
△DEF，连接CE. 试探究CE，CD，
CF之间存在怎样的数量关系，请写出你
的结论，并说明理由.
图3
解： （3）CD＋CF＝CE. 理由如下：
如答案图2，过点D作DG∥AB，交AC
于点G.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠A＝∠B＝60°.
∵DG∥AB，
∴∠CGD＝∠A＝60°，
∠CDG＝∠B＝60°，
∴△CDG为等边三角形，
∴CD＝DG＝CG.
∵△DEF为等边三角形，
（答案图2）
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠GDC＋∠CDF＝∠EDF＋∠CDF，
即∠GDF＝∠CDE，
∴△CDE≌△GDF（SAS），
∴CE＝GF.
∵GF＝CF＋CG＝CF＋CD，
∴CD＋CF＝CE.
（答案图2）(共30张PPT)
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质
第22课时 多边形与平行四边形
知识点1 多边形的有关概念和性质
多
边
形 的
概
念 在同一平面内，由不在同一直线
上的线段首尾顺次相接组成的图
形叫做多边形
多
边
形 的
性
质 内角
和 n边形的内角和为
外角
和 任意多边形的外角和为
对角
线 n（n＞3）边形中，从一个
顶点出发可以引 条对角线，n边形共有
条对角线
（n－2）·180°
360°
（n－3）
正
多 边
形 定义 各个角 ，各条边
的多边形叫做正
多边形
对称
性 正多边形都是 图
形，其中边数为偶数的正多
边形是中心对称图形
每个 内角
每个 外角
相等
相等
轴对称
知识点2 平行四边形
定
义 的四边形是平
行四边形
性
质 （1）平行四边形的两组对边分别平行
（2）平行四边形的两组对边别
（3）平行四边形的两组对角别
（4）平行四边形的对角线
（5）平行四边形是 对称图形，它的对称中心是
两组对边分别平行
相等
相等
互相平分
中心
两条对角线的交点
判
定 （1）定义法
（2）两组对边分别 的四边
形是平行四边形
（3）一组对边平行且 的四
边形是平行四边形
（4）两组对角分别 的四边
形是平行四边形
（5）对角线 的四边形
是平行四边形
相等
相等
相等
互相平分
面
积 平行四边形的面积＝底×高
同底（等底）同高（等高）的平行四边形的面积相等
知识点3 平行四边形中的几个基本图形
及结论
图1
（1）如图1，AE平分∠BAD，则可利
用平行线的性质结合等角对等边得到
△ABE为 三角形，即AB＝ .
等腰
BE
（2）如图2，平行四边形的一条对角线
把其分为两个全等的三角形，如
△ABD≌△CDB（△ABC≌△CDA）；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如△AOD≌△COB，△AOB≌△COD；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如△AOE≌△COF.
图2中阴影部分的面积为平
行四边形面积的 .
一半
图2
（3）如图3，已知点E为AD上一点，根
据平行线间的距离处处相等，可得
S△BEC＝S△ABE＋S△CDE＝ S ABCD.
（4）如图4，根据平行四边形的面积的
求法，可得AE·BC＝AF·CD.
图3 图4
名师指津
1. 多边形的有关证明和计算，经常转化
为三角形的有关证明和计算，体现数学
的化归思想.
2. 若一条直线过平行四边形的对角线的
交点，则这条直线被一组对边截下的线
段以对角线的交点为对称中心，且这条
直线等分平行四边形的面积.
3. 判定平行四边形的基本思路：
（1）若已知一组对边平行，可以证明这
一组对边相等，或另一组对边平行；
（2）若已知一组对边相等，可以证明这
一组对边平行，或另一组对边相等；
（3）若已知条件与对角线相关，可考虑
证明对角线互相平分；
（4）若已知一组对角相等，可以证明另
一组对角相等.
考点一 多边形的有关概念及性质
例1 （1）下列说法错误的是（ C ）
A. 多边形的外角和为360°
B. 等边三角形的每一个内角都为60°
C. 五边形的内角和为720°
D. 正六边形的每一个外角都为60°
C
（2）若一个多边形的内角和比外角和大
360°，则这个多边形的边数为 ；
（3）（2024·威海）如图，在正六边形
ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂
足为I. 若∠EFG＝20°，则∠ABI＝ .
6
50°
考点二 平行四边形的判定
例2 如图，在四边形ABCD中，E是
AB边的中点，连接DE并延长交CB的延
长线于点F，且CB＝BF. 若添加一个条
件使四边形ABCD是平行四边形，则下
面四个条件中可选择的是（ D ）
D
A. AB＝DC
B. AD＝BF
C. ∠A＝∠C
D. ∠F＝∠ADF
例3 （2024·湖南）如图，在四边形
ABCD中，AB∥CD，点E在边AB
上， .请从“①∠B＝∠AED；②AE
＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一
组作为已知条件，填在横线上（填序
号），再解决下列问题：
[答案]解：（1）证明：选择①.
∵∠B＝∠AED，∴DE∥CB.
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
选择②.
∵AE＝BE，AE＝CD，∴CD＝BE.
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形.
（1）求证：四边形BCDE
为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，
求线段AE的长.
[答案]解：（2）∵四边形
BCDE为平行四边形，
∴DE＝BC＝10.∵AD⊥AB，AD＝8，
∴AE＝ ＝6.
考点三 平行四边形的性质
例4 （1）（2024·贵州）如图1，
ABCD的对角线AC与BD相交于点
O，则下列结论一定正确的是（ B ）
A. AB＝BC B. AD＝BC
C. OA＝OB D. AC⊥BD
图1
B
（2）（2024·巴中）如图2， ABCD的
对角线AC，BD相交于点O，点E是BC
的中点，AC＝4.若 ABCD的周长为
12，则△COE的周长为（ B ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 8
图2
B
（3）如图3，点E，F分别为 ABCD
的边AB，BC的中点，DE＝ ，DF
＝2 ，∠EDF＝60°，则AD＝ .
图3
例5 如图，在平行四边形ABCD中，
O是对角线AC的中点，过点O作
OE⊥BC于点E，过点O作FG⊥AB分
别交AB，CD于点F，G.
[答案]解：（1）如答案图1，连接BD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线BD过点O，
∴S△OBC＝ BC·OE＝ ×5×3＝ ，
∴S ABCD＝4S△OBC＝30.
（答案图1）
（1）若BC＝5，OE＝3，求平行四边形
ABCD的面积；
（2）若∠ACB＝45°，求证：AF＋
FO＝ EG.
[答案]解：（2）证明：如答案图2，过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H.
∵OE⊥BC，EH⊥EG，
∴∠OEG＋∠GEC＝∠GEC＋∠CEH＝90°，∴∠OEG＝∠CEH.
∵∠ACB＝45°，∴∠COE＝45°，
∴OE＝CE.
（答案图2）
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，且
FG⊥AB，∴FG⊥CD，
∴∠EOG＋∠ECG＝360°－90°－
90°＝180°.
又∵∠ECH＋∠ECG＝180°，
∴∠EOG＝∠ECH，
∴△OEG≌△CEH（ASA），
∴OG＝CH，EG＝EH.
（答案图2）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAF＝∠OCG.
又∵∠AOF＝∠COG，
∴△OAF≌△OCG（ASA），
∴AF＝CG，OF＝OG，
∴AF＋OF＝CG＋OG＝CG＋CH＝GH.
∵∠GEH＝90°，EG＝EH，
∴GH＝ EG，∴AF＋FO＝ EG.
（答案图2）
1. （2024·云南）一个七边形的内角和等
于（ B ）
A. 540° B. 900°
C. 980° D. 1 080°
B
2. （2024·长春）在剪纸活动中，小花同
学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（ D ）
A. 54° B. 60°
C. 70° D. 72°
D
（第2题）
3. （2024·巴蜀）如图，在 ABCD中，
∠ABC，∠BCD的平分线交边AD上于
一点E，且BE＝AB＝ ，则线段CE
的长为（ C ）
A. 2 B. 3
C. 3 D. 3
（第3题）
C
4. （2024·南开）如图，在平行四边形
ABCD中，AC＝2AB＝8，AE⊥BD于
点E，点F为BC中点，则EF的长为 .
（第4题）
2 (共34张PPT)
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质
第17课时 几何初步
知识点1 线段与角的有关概念与性质
（1）两点间的距离：连接两点之间线段
的长度.
（2）基本事实：①两点确定一条直线；
②两点之间 最短.
（3）线段的中点：把一条线段分成两条
相等线段的点叫做这条线段的中点.
线段
（4）点到直线的距离：直线外一点到这
条直线的 的长度，叫做点到
直线的距离.
垂线段
（5）角的有关概念
角的
概念 定义1：有公共端点的两条射线组
成的图形叫做角，这个公共端点
叫做角的顶点，这两条射线叫做
角的边
定义2：一条射线绕着它的
从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角.所旋转射线的端点，叫做角的顶点，开始位置与终止位置的两条射线叫做角的边
端点
常见
的角 周角、平角、钝角、 、
角度的换算 1°＝ '，1'＝ ″
角平
分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线
邻补角 两个角有一条公共边，它们的另
一边互为反向延长线，这样的两
个角互为邻补角
直角
锐角
60
60
（6）有关概念的定义和性质
定义 性质
互
为 余
角 如果两个角的和等
于 ，就说
这两个角互为余角 同角（或等角）的余角
90°
相等
定义 性质
互
为 补
角 如果两个角的和等
于 ，就说
这两个角互为补角 同角（或等
角）的补角
对
顶
角 有公共顶点，且两
角的两边互为反向
延长线，这样的两
个角互为对顶角 对顶角
180°
相等
相等
定义 性质
垂
直 如果两条直线相交
成 ，那么
这两条直线互相垂
直，其中一条直线
叫做另一条直线的
垂线，互相垂直的
两条直线的交点叫
做 同一平面内，
过一点有且只
有 直
线与已知直线
垂直
直角
垂足
一条
定义 性质
垂
线
段 从直线外一点引一
条直线的垂线，这
点和垂足之间的线
段叫做垂线段 垂线段
最短
知识点2 相交线和平行线
同一平面内两条 直线的位置关
系 相交或平行
平行线的定义 在同一平面内，
的两条直线叫做平行线
不相交
平行
公理 经过直线外一点，
与已知直线平行
平行
公理
推论 如果两条直线都和第三条直
线 ，那么这两条直线也
互相平行
有且只有一
条直线
平行
平行
线的
性质 两直线平行，同位角 ，
内错角 ，同旁内角
平行
线的
判定 同位角 ，两直线 ；内错角 ，两直线 ；
同旁内角 ，两直线
相等
相等
互补
相等
平行
相等
平行
互补
平行
知识点3 命题、定理和定义
定
义 在日常生活中，为了交流方便，我们
就要对名称和术语的含义加以描述，
作出明确的规定，也就是给它们下定
义
定
理 正确性经过推理证实得到的真命题叫
做定理，推理的过程称为
证明
基
本 事
实 公认的真命题称为基本事实
命
题 判断一件事情真假的陈述句叫做命
题，命题分为 和
，正确的命题称为 ，
错误的命题称为 .每个命
题都由 和 两个部分
组成
真命题
假命
题
真命题
假命题
题设
结论
互
逆 命
题 如果两个命题的 和
正好相反，我们把这样的两个命题称
为互逆命题.如果我们把其中一个命
题称为原命题，那么另一个命题称为
该命题的
互
逆 定
理 若一个定理的逆命题是正确的，则它
就是这个定理的 ，称这两
个定理为互逆定理
题设
结论
逆命题
逆定理
知识点4 反证法
不直接从命题的已知得出结论，而
是假设命题的结论不成立，由此经过推
理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正
确，从而得到原命题成立，这种方法叫
做反证法.
反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立，即提出与
命题结论相反的假设；
（2）从假设的结论出发，推出矛盾；
（3）由矛盾的结果说明假设不正确，从
而肯定原命题的结论正确.
名师指津
1. 看图能力、作图能力、几何语言叙述
能力，是平面几何的基本功，而掌握基
本概念，则是正确理解平面几何的第一
步.本课时涉及的平面几何的基本概念、
定理、事实繁多，需注意以下两点：
（1）重视几何概念的定义，抓住概念的
本质，比如：线段与线段、射线与线
段、射线与射线的垂直，都是指它们所
在的直线垂直；
（2）熟悉几何语言，掌握几何推理论证
的书写格式，要能准确、简练地表述.
2. 平行线基本模型归纳：
（1）∠2＝∠1＋∠3
（2）∠2＝∠1＋∠3
（3）∠1＝∠2＋∠3
（4）∠1＋∠2＋
∠3＝360°
（7）∠1＋∠2＋∠3＝180°
（5）∠1＋∠3－
∠2＝180° （6）∠2－∠1＋
∠3＝180°
考点一 命题的有关概念
例1 （1）（2024·巴蜀）下列命题是真
命题的是（ D ）
A. 两直线平行，同旁内角相等
B. 两边和一角相等的两个三角形全等
C. 三角形三条角平分线的交点到三角形
三个顶点的距离相等
D. 两条平行线被第三条直线所截，同位
角的平分线互相平行
D
（2）（2024·西附）下列命题：①一组
邻角相等的平行四边形是矩形；②如果
一个菱形的对角线相等，那么它一定是
正方形；③顺次连接矩形四边中点得到
的四边形是菱形；④一组对边平行，另
一组对边相等的四边形是平行四边形.其
中假命题是（ D ）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
D
（3）命题“直角三角形的两个锐角互余”
的逆命题是
，该逆命题是 （填
“真”或“假”）命题.
两个锐角互余的三角形是
直角三角形
真
考点二 余角与补角
例2 （1）∠A的补角为125°12'，则
它的余角为（ B ）
A. 54°18' B. 35°12'
C. 35°48' D. 以上都不对
B
（2）如图，直线AB∥CD，点E在直
线AB上，射线EF交直线CD于点G，
则图中与∠AEF互补的角有（ C ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
（3）将一副三角板按不同位置摆放，则
∠α与∠β互余的是（ A ）
A B C D
A
（4）如果∠α的余角比它的补角的 大
30°，那么∠α＝ .
20°
考点三 线段、角的计算
例3 （1）（2024·广西）已知∠1与∠2
为对顶角，若∠1＝35°，则∠2＝ °；
35
（2）如图1，点O在直线AB上，OD是
∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，
则∠BOD的度数为 ；
图1
20°
（3）9点45分时，钟面上的时针与分针
的夹角是 °；
（4）已知线段AB＝8cm，在直线AB上
画线段BC，使它等于3cm，则线段AC
＝ cm；
22.5
5或11
（5）如图2，已知AB和CD的公共部分
BD＝ AB＝ CD，线段AB，CD的中
点E，F之间的距离是10cm，则AB的长
是 cm.
图2
12
考点四 平行线的判定和性质
例4 （1）如图1，点E在BC的延长线
上，下列条件：①∠1＝∠4；②∠2＝
∠3；③∠5＝∠B；④∠DCB＋∠B＝
180°.其中能判定CD∥AB的是（ C ）
C
A. ①②③④ B. ①②③
C. ①③④ D. ①②
图1
（2）如图2，已知GF⊥AB，∠1＝
∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：①
GH∥BC；②∠D＝∠F；③HE平分
∠AHG；④HE⊥AB. 其中正确的
有（ B ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
图2
（3）如图3，已知EF∥GH，A，D为
GH上的两点，M，B为EF上的两点，
延长AM至点C，AB平分∠DAC，直线
DB平分∠FBC. 若∠ACB＝120°，则
∠DBA的度数为 .
图3
60°
1. （2024·甘肃）若∠A＝55°，则∠A
的补角为（ D ）
A. 35° B. 45°
C. 115° D. 125°
D
2. 下列命题为假命题的是（ B ）
A. 对顶角相等
B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内
角互补
C. 垂线段最短
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已
知直线平行
B
3. （2024·甘孜州）如图，AB∥CD，
AD平分∠BAC，∠1＝30°，则∠2
＝（ B ）
A. 15° B. 30°
C. 45° D. 60°
（第3题）
B
4. （2024·雅安）如图，直线AB，CD交
于点O，OE⊥AB于点O. 若∠1＝35°，则∠2的度数是 .
（第4题）
55° (共44张PPT)
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质
第19课时 全等三角形
知识点1 三角形全等的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全
等三角形.
知识点2 全等三角形的性质
全等三角形的对应边 ，对
应角 ，对应线段（高、中线、
角平分线） ，周长、面积 .
相等
相等
相等
相等
知识点3 全等三角形的判定
已知条件 全等的判定
两角 一边 两角及夹边 ASA
两角及其中一角
的对边 AAS
两边 一角 两边及夹角 SAS
直角三角形中的
斜边和直角边 HL
三边 SSS
知识点4 全等的基本图形及结论
【模型（2）－（5）针对练习见作业本
微专题十一】（1）平移、对称、旋转三
种基本模型
平移型
对称型
旋转型
（2）中点模型
倍长中线模型
已 知 点D为△ABC中BC边的中点，延长线段AD到点E，使DE＝AD 点D为△ABC
中BC边的中
点，延长线
段FD到点
E，使DE＝
DF，连接EC
倍长中线模型
图 示
结 论 （1）连接EC，则
△ABD≌△ECD，
AB∥CE （2）连接BE，则
△ADC≌△EDB，
AC∥BE △BDF≌△C
DE，AB∥CE
平行线中点模型与雨伞模型
已 知 AB∥CD，点
E，F分别在直
线AB，CD
上，点O为线
段EF的中点，
延长PO交CD
于点Q AP平∠BAC，
BD⊥AP，垂足为点D，延长BD交AC于点C
平行线中点模型与雨伞模型
图 示
结 论 △POE≌△QO
F，PO＝QO △ABD≌△ACD，
AB＝AC，BD＝
CD
（3）手拉手模型
对角互补模型
已 知 如图1，∠AOB＝ ∠DCE ＝90°，
OC平分∠AOB
如图2，∠AOB＝2∠DCE＝120°，
OC平分∠AOB
如图3，△ABC是等腰三角形，且
∠BAC＝120°，∠BPC＝60°
对角互补模型
图 示
图1 图2 图3
对角互补模型
结 论 如图1，（1）CD＝CE
（2）OD＋OE＝ OC
（3）S四边形ODCE＝S△COE＋S△COD＝
OC2
如图2，（1）CD＝CE
（2）OD＋OE＝OC
（3）S△COD＋S△COE＝ OC2
如图3，PB＋PC＝ PA
共顶点三角形模型
已
知 如图1，直线AB的同一侧的△ABC和△AMN都为等边三角形（A，B，N三点共线），连接BM，CN交于点E
如图2，△ABC和△AMN都为等边三
角形（A，B，N三点不共线），连
接BM，CN交于点O
如图3，四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，连接EB，GD交于点O
共顶点三角形模型
图 示
图1 图2
图3
共顶点三角形模型
结 论 如图1，（1）△ABM≌△ACN
（2）BM＝CN
（3）∠MEN＝60°
（4）△ANF≌△AMD
（5）△AFC≌△ADB
（6）连接DF，DF∥BN
（7）连接AE，AE平分∠BEN
（8）存在3组四点共圆
（9）EN＝EM＋EA，EB＝EC＋
EA
共顶点三角形模型
结 论 如图2，（1）△ABM≌△ACN
（2）BM＝CN
（3）∠MON＝60°
（4）连接AO，AO平分∠BON
（5）存在2组四点共圆
（6）ON＝OM＋OA，OB＝OC＋
OA
如图3，（1）△AGD≌△AEB
（2）GD＝EB（3）GD⊥EB （4）连接AO，AO平分∠EOD
（4）含半角模型
含半角模型
已 知 如图1，四边形ABCD是正方形，
∠ECF＝45°
如图2，∠BAC＝2α，AB＝AC，
∠DAE＝α
图 示
图1 图2
含半角模型
结 论 如图1，（1）△BCE≌△DCG
（2）△CEF≌△CGF
（3）EF＝BE＋DF
（4）△AEF的周长＝2AB
（5）CE，CF分别平分∠BEF和
∠EFD
如图2，（1）△BAD≌△CAF
（2）△EAD≌△EAF
（3）∠ECF＝180°－2α
（5）一线三等角模型
一线三等角模型
已
知 （同侧）∠A＝∠CPD＝∠B＝α，
CP＝PD
图
示
结
论 △ACP≌△BPD，AB＝AC＋BD
一线三等角模型
已
知 （异侧）∠EAC＝∠ABD＝∠DPC＝α，CP＝PD
图
示
结
论 △ACP≌△BPD，AB＝BD－AC
名师指津
1. 全等三角形的判定定理本身容易理
解，但定理的灵活应用以及寻找定理需
要的条件有时比较困难.三角形全等是平
面几何中培养逻辑推理能力的重要手段.
2. 证明三角形全等的思路
（1）已知两边：①找夹角（SAS）；②
找直角（HL）；③找第三边（SSS）.
（2）已知一边和一角：①边为角的对
边，找任意一角（AAS）；②边为角的
邻边，找夹角的另一边（SAS）；找夹
边的另一角（ASA）；找边的对角
（AAS）.
（3）已知两角：找夹边（ASA）或角的
对边（AAS）.
3. 寻找对应边、对应角的方法和规律：
（1）有公共边的，公共边一定是对应
边；
（2）有公共角的，公共角一定是对应
角；
（3）有对顶角的，对顶角一定是对应
角；
（4）两个全等三角形中一对最长（短）
的边（或最大、最小的角）一定是对应
边（角）.
考点一 全等三角形的性质
例1 （1）如图1，△ABC≌△BDE，
AB⊥BD，AC＝4，DE＝3，则CE的
长为（ A ）
A
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
图1
（2）如图2，△ABC≌△ADE，线段
BC的延长线过点E，与线段AD交于点
F. 若∠AED＝108°，∠CAD＝12°，
∠B＝48°，则∠DEF的度数为 .
图2
36°
考点二 全等三角形的判定
例2 （1）（2024·八中）如图1是雨伞
在开合过程中某时刻的截面图，伞骨AB
＝AC，点D，E分别是AB，AC的中
点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支
架，且DM＝EM，已知弹簧M在向上
滑动的过程中，总有△ADM≌△AEM，其判定依据是（ C ）
C
A. ASA B. AAS
C. SSS D. SAS
图1
（2）如图2，∠E＝∠F＝90°，∠B
＝∠C，AE＝AF，则下列结论：①
∠EAC＝∠FAB；②CM＝BN；③CD
＝DN；④△ACN≌△ABM. 其中正确
的有（ B ）
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
B
图2
（3）如图3，AB＝4cm，AC＝BD＝
3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段
AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动.
同时，点Q在线段BD上由点B向点D运
动.设运动时间为ts，则当△ACP与△BPQ
全等时，点Q的运动速度为 cm/s.
1或
图3
考点三 全等三角形的判定与性质
例3 如图，在△ABM中，∠ABM＝
45°，AM⊥BM，垂足为M，C是BM
的延长线上一点，连接AC. 设D是线段
AM上一点，且MD＝MC，连接BD；
E是△ABC外一点，且EC＝AC，连接
ED并延长交BC于点F，且F是线段BC
的中点.求证：∠BDF＝∠CEF.
[答案] 证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG，如答案图所示.
（答案图）
∵AM⊥BM，∠ABM＝45°，
∴∠BMD＝∠AMC＝90°，BM＝AM.
∵DM＝CM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴BD＝AC.
又∵CE＝AC，∴BD＝CE.
∵F是线段BC的中点，∴BF＝CF.
∵∠BFG＝∠CFE，FG＝FE，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，
∴BD＝CE＝BG，∴∠BDF＝∠G＝
∠CEF.
（答案图）
例4 （2024·南开）如图，在Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，BC＜AC，过点B
作DE∥AC，且BD＝BC，过点B作
BF⊥AB交CD于点F，连接EF.
图1 图2
（1）如图1，若∠BAC＝40°，且BF＝BE，求∠CFE的度数；
图1
[答案] （1）解：∵DE∥AC，∠A＝40°，∠ACB＝90°，∴∠ABE＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ACB＝90°.
∵BF⊥AB，∴∠ABF＝90°，
∴∠EBF＝130°.∵BF＝BE，
∴∠E＝ （180°－∠EBF）＝25°.
∵BD＝BC，
∴∠D＝ （180°－∠CBD）＝45°，
∴∠CFE＝∠E＋∠D＝25°＋45°＝70°.
（2）如图2，若DE＝AC，求证：AB
＝BF＋EF.
图2
[答案] （2）证明：由（1）得∠CBD＝
∠ACB＝90°，∠D＝45°，
如答案图，在AB上截取BG＝BF，连
接GF，GC. ∵BF⊥AB，
∴∠GBC＋∠CBF＝90°.
∵∠CBD＝∠CBF＋∠FBD＝90°，
∴∠GBC＝∠FBD. 在△GBC和△FBD中，
（答案图）
∴△GBC≌△FBD（SAS），
∴∠D＝∠BCG＝45°，DF＝GC，
∴∠ACG＝45°＝∠D.
在△AGC和△EFD中，
∴△AGC≌△EFD（SAS），
∴AG＝EF，
∴AB＝AG＋BG＝EF＋BF，
∴AB＝BF＋EF.
（答案图）
1. 如图，在△ABC和△DEF中，AB＝
DE，BC＝EF. 添加下列条件，仍不能
确定△ABC≌△DEF的是（ B ）
A. ∠B＝∠DEF
B. ∠A＝∠D
C. AB∥DE
D. AC＝DF
（第1题）
B
2. （2024·一中）如图，在Rt△ABC中，
∠BAC＝90°，AB＝AC，MN是过点
A的直线，BD⊥MN于点D，CE⊥MN
于点E. 若BD＝4，CE＝6，则DE的长
为 .
（第2题）
10
3. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，
AB＝BC，点D是AC的中点，点E在
CD上（点E不与点D和点C重合），
AG⊥BE于点G，交BD于点F，连接
DG.
（1）求证：△ADF≌△BDE；
（第3题）
解：（1）证明：∵AB＝BC，
点D是AC的中点，
∴∠ADF＝∠BDE＝90°，
∴∠DAF＋∠AFD＝90°.
∵AG⊥BE，∴∠BFG＋∠DBE＝90°.
∵∠AFD＝∠BFG，
∴∠DAF＝∠DBE.
∵∠ABC＝90°，点D是AC的中点，
∴AD＝BD，∴△ADF≌△BDE（ASA）.
（1）求证：△ADF≌△BDE；
（第3题）
（2）若DF＝3，GE＝4，求GF的长；
解： （2）连接EF，如答案图1所示.
由（1），得∠FDE＝∠FGE＝90°，
△ADF≌△BDE，
∴DE＝DF，∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF＝ DF＝3 .
在Rt△EGF中，由勾股定理，得GF＝ ＝
＝ .
（第3题）
（答案图1）
（3）找出线段GF，GE，GD之间的数
量关系.
（第3题）
解： （3）GF＋GE＝ GD. 理由如下：
过点D作DH⊥DG交BE的延长线于点H，如答案图2所示，
则∠GDE＋∠EDH＝90°.
∵∠GDE＋∠FDG＝90°，
∴∠FDG＝∠EDH. ∵△ADF≌△BDE，
∴∠AFD＝∠BED，DF＝DE，
∴∠DFG＝∠DEH，
∴△FDG≌△EDH（ASA），
∴DG＝DH，GF＝EH，
∴△DHG是等腰直角三角形，
∴GH＝EH＋GE＝ GD，
∴GF＋GE＝ GD.
（答案图2）(共32张PPT)
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质
第24课时 正方形
知识点1 正方形的性质和判定
性
质 边 对边平行，四边都相等
角 四个直角
对角
线 对角线互相垂直平分且相
等，每条对角线平分一组对
角
对称
性 既是轴对称图形，又是中心
对称图形
判定 （1）有一组邻边相等的
是正方形
（2）有一个角是直角的
是正方形
（3）对角线
的平行四边形是正方形
面积
公式 S＝边长2＝ ·对角线之积
矩形
菱形
互相垂直且相等
知识点2 中点四边形
定
义 顺次连接四边形各边中点所得的四边
形，称为中点四边形
常
见 结
论 顺次连接四边形各边中点所得到的四
边形是
平行四边形
常
见 结
论 顺次连接矩形各边中点所得到的四边
形是
顺次连接菱形各边中点所得到的四边
形是
顺次连接正方形各边中点所得到的四
边形是
顺次连接对角线相等的四边形各边中
点所得到的四边形是
菱形
矩形
正方形
菱形
常
见 结
论 顺次连接对角线互相垂直的四边形各
边中点所得到的四边形是
顺次连接对角线相等且互相垂直的四
边形各边中点所得到的四边形是
矩形
正
方形
名师指津
1. 正方形具备等腰直角三角形、平行四
边形、矩形、菱形的所有性质，比如
45°角在正方形的证明题中往往起到重
要作用.
2. 正方形既是轴对称图形，又是中心
对称图形，因此在正方形中，所有对
称位置上的线、角、三角形都是相
（全）等的，这是解决问题的一个重
要思维和方向.
3. 中点四边形的形状只与原四边形对角
线（相等、垂直、相等且垂直）有关.
4. 中点四边形的周长是原图形对角线之
和，面积是原图形面积的一半.
5. 证明一个四边形是正方形的方法是先
证明它是矩形，再证明它是菱形；或先
证明它是菱形，再证明它是矩形，其证
明过程往往需要借助全等三角形.
6. 在正方形中求解策略是利用正方形四
个角都是直角或对角线互相垂直平分且
相等，通过勾股定理求解.
7. 正方形中的十字架模型
【模型介绍】如图1，在正方形ABCD
中，若EF⊥MN，则EF＝MN.
变形1：如图2，若AF⊥BE，则AF＝
BE.
变形2：如图3，若BE⊥MN，则BE＝
MN.
【易错点】正方形内十字架模型，垂直
一定相等，相等不一定垂直.
【解题技巧】无论怎么变，只要垂直，
十字架就相等.
考点一 正方形的性质及判定
例1 （1）如图1，要使 ABCD是正
方形，需增加条件.在条件①AB＝BC；
②AC＝BD；③AC⊥BD；④∠ABC＝
90°中选取两个作为条件，不正确的是
（ B ）
B
A. ①和② B. ①和③
C. ②和③ D. ③和④
图1
（2）如图2，在正方形ABCD中，点
E，F分别在BC，CD上，连接AE，
AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝
α，则∠FEC一定等于（ A ）
A. 2α B. 90°－2α
C. 45°－α D. 90°－α
A
图2
（3）（2024·南开）如图3，已知正方形
ABCD的边长为1，点E为边BC上一
点，连接AE，作∠DAE的平分线交CD
于点F，若F为CD的中点，则BE的长
为（ C ）
A. B.
C. D.
C
图3
（4）（2024·天津）如图4，正方形
ABCD的边长为3 ，对角线AC，BD
相交于点O，点E在CA的延长线上，
OE＝5，连接DE.
①线段AE的长为 ；
②若F为DE的中点，则线段AF的长
为 .
2
图4
例2 如图1，在正方形ABCD中，点E
在边BC上，点F在CD的延长线上，且
DF＝BE，连接AE，AF，EF.
（1）求证：△AEF是等腰直角三角形；
图1 图2
[答案] （1）证明：∵四边形ABCD为正
方形，∴∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，AB＝AD，∴∠BAE＋∠EAD＝90°，∠ADF＝90°.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF
＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形.
（2）如图2，过点A作AH⊥EF，垂足
为H，交CD于点G，连接BH.
①求证：BE＝ BH－AB；
图1 图2
[答案]解：（2）①证明：如答案图，过点H作HM⊥BH交BC的延长线于点M，
∴∠BHE＋∠EHM＝90°.
∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF，
∴AH＝EH，∠AHE＝90°，
∴∠BHE＋∠AHB＝90°，
∴∠EHM＝∠AHB.
∵∠ABE＝∠AHE＝90°，
（答案图）
∴∠BAH＋∠BEH＝360°－90°－90°＝180°.
∵∠BEH＋∠MEH＝180°，
∴∠BAH＝∠MEH，
∴△ABH≌△EMH（ASA），
∴BH＝MH，AB＝EM，
∴△BHM是等腰直角三角形，
∴BM＝ BH.
∵BM＝EM＋BE＝AB＋BE，
∴BE＝ BH－AB.
（答案图）
②若CE＝4，DG＝3，求BE的长.
图1 图2
[答案]解：（2） ②如答案图，连接
EG. 设BE＝x，则DF＝x.
∵CE＝4，DG＝3，
∴BC＝x＋4，FG＝x＋3，
CG＝（x＋4）－3＝x＋1.
∵△AEF是等腰直角三角形，AH⊥EF，
∴AH垂直平分EF，∴EG＝FG＝x＋3.
在Rt△ECG中，由勾股定理，得
EG2＝CG2＋CE2，即（x＋3）2＝
（x＋1）2＋16，解得x＝2，∴BE＝2.
（答案图）
考点二 中点四边形
例3 （1）如图1，顺次连接四边形
ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（ C ）
C
A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH为菱形
B. 当AC＝BD时，四边形EFGH为矩形
C. 当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形
EFGH为正方形
D. 以上说法都不对
图1
（2）如图2，D，E，F，G分别为
AC，AB，BO，CO的中点，∠BOC＝
90°.若AO＝3，BO＝4，CO＝3，则四
边形DEFG的周长为 .
图2
8
1. 如图，F是正方形ABCD的对角线BD
上一点，连接AF，CF，并延长CF交
AD于点E. 若∠AFC＝140°，则∠DEC的度数为（ D ）
A. 80° B. 75°
C. 70° D. 65°
D
（第1题）
2. 已知菱形ABCD中对角线AC，BD相
交于点O，添加条件
可使菱形ABCD成为正方形.
AC＝BD或
AB⊥BC
3. （2024·内蒙古）如图，边长为2的正
方形ABCD的对角线AC与BD相交于点
O. E是BC边上一点，F是BD上一点，
连接DE，EF. 若△DEF与△DEC关于
直线DE对称，则△BEF的周长是 .
2
（第3题）
4. 如图，在正方形ABCD中，点F是BC
的延长线上一点，过点B作BE⊥DF于
点E，交CD于点G，连接CE.
（1）若正方形ABCD的边长为3，DF＝
4，求CG的长；
（第4题）
解： （1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝∠DCF＝90°，BC＝DC.
∵BE⊥DF，∴∠CBG＋∠F＝∠CDF
＋∠F＝90°，∴∠CBG＝∠CDF，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴BG＝DF＝4.
在Rt△BCG中，由勾股定理，得
BC2＋CG2＝BG2，
∴CG＝ ＝ .
（2）求证：EF＋EG＝ CE.
（第4题）
解：（2）证明：如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M. ∵△CBG≌△CDF，
∴CG＝CF，∠CGB＝∠F.
∵CM⊥CE，∠DCF＝90°，
∴∠MCG＋∠DCE＝∠ECF＋∠DCE＝
90°，∴∠MCG＝∠ECF，
∴△MCG≌△ECF（ASA），
∴MG＝EF，CM＝CE，
（答案图）
∴△CME是等腰直角三角形，
∴ME＝ CE.
又∵ME＝MG＋EG＝EF＋EG，
∴EF＋EG＝ CE.
（答案图）(共26张PPT)
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质
第18课时 三角形的相关概念与性质
知识点1 三角形的定义
（1）由不在同一直线上的三条线段首尾
顺次相连接所组成的图形是三角形.
（2）三角形按边可分为等腰三角形、不
等边三角形；按角可分为直角三角形、
锐角三角形、钝角三角形.
知识点2 三角形的性质
（1）三角形具有稳定性.
（2）三角形的三边关系：三角形的
大于第三边，
小于第三边.
任
意两边之和
任意两边
之差
（3）三角形的内（外）角和定理
定
理 三角形三个内角的和等于
推
论 （1）三角形的外角等于
（2）三角形的外角大于任何一个
（3）直角三角形的两个锐角
180°
与它不相
邻的两个内角的和
与它不相邻的内角
互余
推
论 （4）三角形的外角和等于
拓
展 在任意一个三角形中，最多有三个
锐角，最少有两个锐角；最多有一
个钝角；最多有一个直角
360°
知识点3 三角形中的重要线段
图形 性质
角
平
分
线
（1）三条内角平分线相交于
三角形内部一点（内心）；
（2）内心到三边的距离相等
图形 性质
高 （1）三条高所在的直线相交
于一点（垂心）；
（2）交点位置不同：
锐角三角形的三条高线交点在
三角形内部；直角三角形的三
条高线交点在三角形的直角顶
点处；钝角三角形的三条高线
交点在三角形外部
图形 性质
中
线
（1）三条中线相交于三角形内部一点（重心）；
（2）每条中线平分三角形的面积
中
位
线
平行于第三边，且等于第三边的一半
名师指津
1. 熟悉以下基本图形以及相应的结论：
A字模型 8字模型 飞镖模型
∠1＋∠2＝∠A＋180° ∠A＋∠B＝∠C＋∠D ∠C＝∠A＋
∠B＋∠D
风筝模型
（一） 风筝模型
（二） 双角平分线
模型（一）
∠A
＋∠O＝ ∠1＋∠2 ∠A
＋∠O＝ ∠2－∠1 ∠D＝90°＋
∠A
双角
平分线 模型
（二） 双角
平分线模型
（三） 三角形折叠
模型（一）
∠D＝90°－ ∠A ∠E＝ ∠A ∠1＝2∠C
三角形折叠 模型（二） 三角形折叠
模型（三）
2∠C＝∠1＋∠2 2∠C＝∠2－∠1
2. 掌握分类的方法，不论是三角形的分
类，还是相关概念，比如：由于三角形
的高不一定在三角形内部，所以三角形
中涉及高的题目可能需要分类讨论.
3. 了解三角形的五心中的三心（重心、
内心、外心），知道这三心的基本性质.
考点一 三角形的三边关系
例1 （1）从长度为2，4，6，8的四条
线段中，任意取出三条线段，能围成三
角形的是（ D ）
A. 2，4，6 B. 2，4，8
C. 2，6，8 D. 4，6，8
D
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三
边长，并满足 ＋（c－3）2＝0.若
b为奇数，则△ABC的周长为 .
考点二 三角形的内角和（外角）定理
例2 （1）若△ABC满足下列某个条
件，则它不是直角三角形的是（ D ）
10或12
D
A. ∠C＝∠A＋∠B
B. ∠C＝∠A－∠B
C. ∠A∶∠B∶∠C＝1∶4∶3
D. ∠A＝2∠B＝3∠C
（2）如图1，在△ABC中，∠C＝
90°，∠A＝30°.将△ABC沿直线m翻
折，点A落在点D的位置，则∠1－∠2
的度数是（ C ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
C
图1
（3）如图2，在△ABC中，AE平分
∠BAC，AD⊥BC交CB的延长线于点
D，∠ABD的平分线BF所在直线与射
线AE相交于点G. 若∠ABC＝3∠C，且
∠G＝20°，则∠DFB的度数为 .
60°
图2
考点三 三角形中的重要线段
例3 （1）如图1，在△ABC中，
∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E
是BC的中点，连接AE，则图中的直角
三角形有（ C ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
图1
C
（2）（2024·外语校）如图2，在矩形
ABCD中，P，Q分别是BC，DC上的
点，E，F分别是AP，PQ的中点，BC
＝12，DQ＝5，则线段EF的长为 ；
图2
（3）（2024·南开）如图3，在△ABC的
BC边上截取BE＝AB，连接AE，作
△ABE的角平分线BD交AE于点D，若
∠EAC＝∠C，BC＝9，AB＝5，则
AD＝ ；
图3
2
（4）如图4，在△ABC中，AB＝AC，
E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧
作BF∥AC，且BF＝AE，连接CF. 若
AC＝13，BC＝10，则四边形EBFC的
面积为 ；
图4
60
（5）如图5，在△ABC中，∠ABC，
∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外
角平分线所在直线与∠ABC的平分线相
交于点D，与∠ABC的外角平分线相交
于点E，则下列结论一定正确的是
.（填序号）
①∠BOC＝90°＋ ∠A；
②∠D＝ ∠A；
③∠E＝∠A；
④∠E＋∠DCF＝90°＋∠ABD.
①
②④
图5
1. 如图，AD，BE，CF依次是△ABC
的高、中线和角平分线，则下列表达式
中错误的是（ C ）
A. S△BAE＝S△BCE
B. ∠ADC＝90°
C. ∠CAD＝∠CBE
D. ∠ACB＝2∠ACF
（第1题）
C
2. （2024·南开）如图，在Rt△ABC中，
∠ABC＝90°，BD平分∠ABC交AC于
点D，点E为BC边上靠近点C的三等分
点，且AB＝BE，若阴影部分面积为4，
则△ABC的面积为（ C ）
A. 6 B. 8
C. 10 D. 12
C
（第2题）
3. 如图，在△ABC中，线段AF平分
∠BAC，交BC边于点E，过点F作
FD⊥BC于点D. 若∠C－∠B＝36°，
则∠F的度数为 .
（第3题）
18°
4. （2024·八中）如图，已知Rt△ABC
中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，
点E为AB中点，连接CE，DE. 若CD
＝1，CE＝ ，则△ABD的面积
为 .
（第4题）
(共29张PPT)
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质
第23课时 矩形与菱形
知识点 矩形与菱形的性质和判定
矩形 菱形
性
质 边 对边 ； 对边 ， 对边平行，四边
都相等
角 四个直角 对角相等，邻角
互补
平行
相等
矩形 菱形
性
质 对角
线 对角线互相
平分且
对角线互相
；
每条对角线平分
一组对角
对称
性 既是轴对称
图形，又是
中心对称图
形 既是轴对称图
形，又是中心对
称图形
相
等
垂
直平分
矩形 菱形
判
定 （1）有三个角
是直角的四边
形； （2）平行四边
形＋一个角是直
角； （3）平行四边
形＋对角线相等 （1）四条边都相
等的四边形；
（2）平行四边形
＋一组邻边相
等；
（3）平行四边形
＋对角线互相垂
直
矩形 菱形
拓
展 （1）矩形的面
积等于两邻边的
乘积 （2）在直角三
角形中，斜边上
的中线等于斜边
的一半 （1）菱形的面积
＝底×高
（2）菱形的面积
等于两条对角线
长度乘积的一半
名师指津
1. 矩形、菱形的性质主要是从它们与平
行四边形的区别来掌握.
2. 矩形被对角线分成两组全等的等腰三
角形，菱形被对角线分成四个全等的直
角三角形.
3. 涉及有关矩形的折叠的问题，往往会
用到勾股定理建立方程.
4. 菱形的面积公式有两个：底乘高或者
对角线乘积的一半.
5. 矩形、菱形里经常会有60°或其他特
殊角度出现，要用到等边三角形的性
质，以及与30°角有关的性质.
6. 判定矩形的一般思路：首先判定该四
边形是平行四边形，然后找角或对角线
上的特殊关系.若角度易求，则证明一内
角为90°即可；若对角线易找，则证明
对角线相等即可.
7. 判定菱形的一般思路：首先判定该四
边形是平行四边形，然后找边或对角线
上的特殊关系，若边易找，则证明一组
邻边相等即可；若对角线易找，则证明
对角线互相垂直即可.
考点一 矩形的性质及判定
例1 （1）下列说法中正确的是（ D ）
A. 有一个角是直角的四边形是矩形
B. 四边相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形
D
（2）（2024·辽宁）如图1，在矩形
ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等
边三角形时，∠AEB的度数为（ C ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 120°
图1
C
（3）如图2，在矩形ABCD中，E，F
分别是边AB，CD上的点，且AE＝
CF，连接EF，BF，EF与对角线AC
交于点O，且BE＝BF，∠BEF＝
2∠BAC，FC＝2，则AB的长为 .
图2
6
例2 如图，已知四边形ABCD是矩形，
点E在BA的延长线上，且AE＝AD，
EC与BD相交于点G，与AD相交于点
F，AF＝AB.
（1）若∠E＝25°，求∠EBG的度数；
[答案] 解：（1）∵四边形ABCD是矩
形，点E在BA的延长线上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°.
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠E＝∠ADB＝25°，
∴∠EBG＝90°－25°＝65°.
（2）连接AG，试探究AG，DG，EG
之间的数量关系.
[答案] 解：（2）EG－DG＝ AG. 理由如下：
如答案图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，连接AP.
在△AEP和△ADG中，
（答案图）
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD＋∠DAG＝∠PAD
＋∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG为等腰直角三角形，∴PG＝
AG.
又∵PG＝EG－EP＝EG－DG，
∴EG－DG＝ AG.
（答案图）
考点二 菱形的性质及判定
例3 （1）（2024·通辽）如图1， ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不
能证明 ABCD是菱形的是（ D ）
D
A. ∠BAC＝∠BCA
B. ∠ABD＝∠CBD
C. OA2＋OD2＝AD2
D. AD2＋OA2＝OD2
图1
（2）如图2，在菱形ABCD中，AC与
BD相交于点O，AB的垂直平分线EF
交AB于点E，交AC于点F，连接DF.
若∠BAD＝80°，则∠CDF的度数
为（ C ）
A. 100° B. 80°
C. 60° D. 40°
C
图2
（3）（2024·巴蜀）如图3，在菱形
ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，P是AC上任一点，PE⊥AB于点
E，PF⊥BC于点F，若AC＝8，BD＝
6，则PE＋PF的值为（ C ）
A. B.
C. D.
C
图3
（4）（2024·陕西）已知在菱形ABCD
中，AB＝4，对角线AC与BD相交于点
O，若OB＝ OA，则该菱形的面积
为 .（结果保留根号）
8
例4 如图，在菱形ABCD中，∠ABC
＝60°，E为对角线AC上一点，F是
BC的延长线上一点，连接BE，DE，
AF，DF，∠EDF＝60°.
（1）求证：AE＝CF；
[答案] 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ADC＝
∠ABC＝60°，
∴△ACB和△ADC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠ACF＝120°.
∵∠ADC＝∠EDF＝60°，
∴∠ADE＝∠CDF.
∵∠EDF＋∠ECF＋∠DEC＋∠DFC＝
360°，∴∠DEC＋∠DFC＝180°.
∵∠DEC＋∠DEA＝180°，
∴∠DEA＝∠DFC.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF.
（2）若点G为BE的中点，连接AG，求
证：AF＝2AG.
[答案] 证明：（2）如答案图，过点B作BH∥AC，交AG的延长线于点H.
由（1）知△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∵BH∥AC，
∴∠H＝∠GAE，∠ABH＋∠BAC＝180°，∴∠ABH＝120°＝∠ACF.
∵点G为BE的中点，∴BG＝EG.
在△HGB和△AGE中，
（答案图）
∴△HGB≌△AGE（AAS），
∴BH＝AE＝CF，AG＝GH，
∴AH＝2AG. 在△ABH和△ACF中，
∴△ABH≌△ACF（SAS），
∴AH＝AF，∴AF＝2AG.
（答案图）
1. （2024·成都）如图，在矩形ABCD
中，对角线AC与BD相交于点O，则下
列结论一定正确的是（ C ）
A. AB＝AD
B. AC⊥BD
C. AC＝BD
D. ∠ACB＝∠ACD
（第1题）
C
2. （2024·绥化）如图，四边形ABCD是
菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点
E，则AE的长是（ A ）
A. B. 6
C. D. 12
（第2题）
A
3. （2024·兰州）如图，在△ABC中，
AB＝AC，D是BC的中点，
CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
解：（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
∵CE∥AD，
∴∠ECD＝180°－∠ADC＝90°.
又∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
（第3题）
（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的长.
（第3题）
解：（2）由（1）可知四边形ADCE是矩
形，∴AE＝DC，∠AEC＝90°.
∵D是BC的中点，BC＝4，
∴DC＝AE＝ BC＝2.
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，
∴AC＝ ＝ .
∵EF⊥AC，∴ EF·AC＝ AE·CE，
∴EF＝ ＝ .(共28张PPT)
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质
第21课时 直角三角形与勾股定理
知识点1 直角三角形的性质与判定
性质 判定
直
角
三
角
形 （1）两锐角 ； （2）斜边上的中线等于
； （3）30°角所对直角边等于
； （1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；
（2）勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足：
，那么这个三角形是直角三
角形；
互余
斜边的一
半
斜边
的一半
a2＋b2＝ c2
性质 判定
直
角
三
角
形 （4）勾股定理：
直角三角形两直角
边的平方和等于 ，即a2＋b2＝c2 （c为斜边）； （5）直角顶点在
以斜边为直径的圆
上 （3）如果三角形的一边中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形
斜边的平方
知识点2 勾股定理
内容 用途
勾
股 定
理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，
斜边长为c，那么
（1）勾股定理是求线段长的重要工具；
（2）利用勾股定理可建立三边关系的方程；
（3）勾股定理可用于证明平方关系
a2＋
b2＝c2
内容 用途
勾
股 定
理的
逆 定
理 如果三角形
的三边长
a，b，c满
足
，那么
这个三角形
是直角三角
形 （1）判断某三角形是
否为直角三角形；
（2）证明两条线段垂
直；
（3）解决生活实际中
的问题，比如最短路径
问题
a2＋b2＝
c2
内容 用途
勾
股 数 能构成直角三角形的
三条边长的三个正整
数，称为勾股数 －
名师指津
1. 利用勾股定理及其逆定理可以得到以
下常用结论：
（1）含30°角的直角三角形三边之比为
1∶ ∶2；反之，三边之比为
1∶ ∶2的三角形的三内角度数分别为
30°，60°，90°；
（2）含45°角的直角三角形三边之比为
1∶1∶ ；反之，三边之比为
1∶1∶ 的三角形的三内角度数分别为
45°，45°，90°；
（3）等边三角形中，高等于边长的
，面积是边长平方的 ，外接圆半径
等于边长的 ，边心距（内切圆半径）
等于边长的 .
2. 求几何体表面上两点之间的最短距离
时，一般先把立体图形展开成平面图形
后再用勾股定理求解，这体现了数学的
转化思想.
3. 关于直角三角形的两个重要定理：
（1）含30°角的直角三角形中，30°角
所对的直角边等于斜边的一半，其性质
体现直角三角形与等边三角形之间的联
系，即等边三角形是由两个相同的含
30°角的直角三角形拼接而成的；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半，还可以得到有公共斜边的多个
直角三角形，斜边上中点到直角三角形
各顶点的距离相等.直角三角形斜边上的
中线把直角三角形分成两个等腰三角形.
考点一 勾股定理及其逆定理
例1 （1）在如图1所示的2×4的正方
形网格中，每个小正方形的边长均为1，
△ABC的顶点都在小正方形的格点上，
这样的三角形称为格点三角形，则点A
到BC的距离等于（ C ）
C
A. B. 2
C. D.
图1
（2）（2024·浙江）如图2，正方形
ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE. 若AE＝4，BE＝3，则DE＝（ C ）
A. 5 B. 2
C. D. 4
C
图2
（3）（2024·牡丹江）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12cm，CD＝10cm，他进行了如下操作：第一步，如图3，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平.第二步，如图4，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD'N，AD'交折痕MN于点E，则线段EN的长为（ B ）
B
A. 8cm B. cm
C. cm D. cm
图3 图4
考点二 直角三角形相关性质
例2 （1）由下列条件不能判定△ABC
为直角三角形的是（ B ）
A. ∠A－∠B＝∠C
B. a＝ ，b＝ ，c＝
C. （b＋a）（b－a）＝c2
D. ∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2
B
（2）（2024·青海）如图1，在Rt△ABC
中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，
AC＝6，则BC的长是（ A ）
A. 3 B. 6
C. D. 3
图1
A
（3）（2024·安徽）如图2，在Rt△ABC
中，AC＝BC＝2，点D在AB的延长线
上，且CD＝AB，则BD的长是（ B ）
A. － B. －
C. 2 －2 D. 2 －
图2
B
例3 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
BA＝BC，D为边AC上一动点.
（1）如图1，若DC＝6，∠ABD＝15°，求BD的长；
图1
[答案] 解：（1）如答案图1，过点B作BH⊥AC于点H. ∵BA＝BC，BH⊥AC，
∠ABC＝90°，
∴AH＝CH，∠ABH＝∠CBH＝45°，
∴BH＝AH＝CH. ∵∠ABD＝15°，
∴∠DBH＝30°.设DH＝x，则BD＝2x，
BH＝CH＝ x.∵DC＝DH＋CH＝6，
∴x＋ x＝6，解得x＝3 －3，
∴BD＝6 －6.
（答案图1）
（2）如图2，以BD为直角边作
Rt△BDE，使得BD＝BE，连接AE，
点F为AE中点.请猜想BF，AD，DE之
间的数量关系，并说明理由.
图2
[答案] 解：（2）猜想：4BF2＋AD2＝DE2.理由如下：
如答案图2，连接CE并延长交AB的延长线于点T.
∵∠ABC＝∠DBE＝∠CBT＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE，∠EBT＝∠DBC.
∵BA＝BC，BD＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
（答案图2）
∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE＝45°，∠ADB＝∠CEB，∴∠BDC＝∠BET，
∴△DBC≌△EBT（ASA），
∴CD＝ET，BC＝BT，∴AB＝BT.
又∵点F为AE中点，∴ET＝2BF，
∴CD＝2BF. ∵∠ACB＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴DE2＝CD2＋CE2，
∴4BF2＋AD2＝DE2.
（答案图2）
考点三 勾股定理与最值问题
例4 （1）（2024·内江）如图1，在
△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，E
是BC边上一点，且BE＝2，点I是
△ABC的内心，BI的延长线交AC于点
D，P是BD上一动点，连接PE，PC，
则PE＋PC的最小值为 ；
2
图1
（2）如图2为一个圆柱形容器，其高为
1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容
器底部0.3m的点B处有一只蚊子.此时，
一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿
0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉
蚊子的最短路程为 m（容器厚度
忽略不计）.
1.3
图2
1. 如图，在直线l上方有正方形①，②，
③.若正方形①，③的面积分别为4和
16，则正方形②的面积为（ B ）
A. 24 B. 20
C. 12 D. 22
（第1题）
B
2. （2024·巴中）“今有方池一丈，葭生
其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸
齐.问：水深几何？”这是我国数学史上
的“葭生池中”问题.即AC＝5，DC＝1，
BD＝BA，则BC＝（ C ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 13
C
（第2题）
3. （2024·巴蜀）如图，圆柱体的底面周
长为6cm，AB是底面圆的直径，在圆柱
表面的高BC上有一点D，BD＝2CD，
BC＝6cm，一只蚂蚁从A点出发，沿圆
柱的表面爬行到点D的最短路程
是 cm.
（第3题）
5
4. （2024·大庆）如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图②是1次操作后的图形.图③是重复上述
步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 .
48
图① 图② 图③
（第4题）(共21张PPT)
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质
第26课时 与圆有关的计算
知识点1 与圆有关的计算公式
公式 备注
圆周长 C＝2πR R为圆的半径
圆面积 S＝πR2
弧长 l＝ R为弧所在圆的半
径，n为弧所对的圆心角的度数
扇形面积 S扇＝ πR2 S扇＝ lR R为圆的半径，l为弧长，n为扇形的圆心角度数
知识点2 正多边形和圆
关
系 把一个圆分成相等的一些弧，就可
以作出这个圆的内接正多边形，这
个圆就是这个正多边形的外接圆
有
关 概
念 一个正多边形的外接圆的圆心叫做
这个正多边形的
中心
有
关 概
念 正多边形外接圆的半径叫做这个正
多边形的
有
关 概
念 正多边形每一边所对的圆心角叫做
正多边形的
正多边形的中心到正多边形的一边
的距离叫做正多边形的
半径
中心角
边心距
知识点3 与圆有关的阴影部分面积
把不规则图形的面积转化为规则图
形的面积，常用的方法有：分割法、补
全法、等积变形法.
知识点4 圆锥侧面展开图
如图，圆锥侧面展开图为扇形，其
中扇形弧长与圆锥底面圆周长相等，即l
＝2πr，扇形半径等于圆锥的母线，圆
锥的高h，母线R，底面圆半径r满足h2
＋r2＝R2.圆锥的体积V＝ πr2·h，侧面
积S侧＝πrR.
名师指津
考查计算圆的弧长、扇形的面积有以下
题型：
（1）根据扇形面积（弧长）公式，已知
圆心角、半径、面积（弧长）三个量中
的两个，求第三个量；
（2）根据扇形面积公式，已知弧长、
半径、面积三个量中的两个，求第三
个量；
（3）用分段的方法计算由弧长组成的路
径长；
（4）用割补法计算与扇形有关的阴影部
分的面积.
考点一 正多边形和圆
例1 （1）如图1，正五边形ABCDE内
接于☉O，连接OC，OD，则∠BAE－
∠COD＝（ D ）
D
A. 60° B. 54°
C. 48° D. 36°
图1
（2）（2024·济宁）如图2，边长为2的
正六边形ABCDEF内接于☉O，则它的
内切圆半径为（ D ）
A. 1 B. 2
C. D.
图2
D
考点二 弧长的有关计算
例2 （1）（2024·广安）如图1，在等
腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C
＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，
BC分别相交于点D，E，则 的长度
为（ C ）
C
A. B.
C. D.
图1
（2）如图2，从一块直径为2的圆形铁皮
上剪出一个圆心角为90°的扇形BAC，
且点A，B，C都在☉O上.将此扇形围
成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径
是 ；
图2
（3）（2024·湖北改编）如图3，在
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在
AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，
交AC于点E，且BD＝BC. 连接OB交
☉O于点F. 若AD＝ ，AE＝1，则☉O的直径EC＝ ，弧CF的长为 .
2
图3
考点三 扇形面积的有关计算
例3 （1）如图1，矩形OABC中，OA
＝4，AB＝2，以O为圆心，OA为半径
作弧，且∠AOD＝60°，则阴影部分的
面积为（ A ）
A
A. π－ B. π－
C. π－ D. π－
图1
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，
DF⊥AB，AD＝4，AB＝6，DF＝
2 ，以点A为圆心，AD的长为半径画
弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分
的面积为 .（结果不取近
似值）
10 － π
图2
考点四 圆锥中的计算
例4 （1）（2024·云南）某校九年级学
生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺
品.若这种圆锥的母线长为40厘米，底面
圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积
为（ C ）
A. 700π平方厘米
B. 900π平方厘米
C. 1200π平方厘米
D. 1600π平方厘米
C
（2）（2024·广州）如图，圆锥的侧面
展开图是一个圆心角为72°的扇形，
若扇形的半径l是5，则该圆锥的体积
是（ D ）
A. π
B. π
C. 2 π
D. π
D
1. （2024·甘孜州）如图，正六边形
ABCDEF内接于☉O，OA＝1，则AB的
长为（ C ）
A. 2 B.
C. 1 D.
（第1题）
C
2. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，
∠C＝30°，AB＝3.以点A为圆心，AB
的长为半径画弧，分别交BC，AC于点
E，D，则图中阴影部分的周长是 .（结果保留π）
（第2题）
3＋π
3. 如图，在矩形ABCD中，∠BAC＝
30°，AB＝ .以点B为圆心，BC的
长为半径画弧，交边AB于点E，交对角
线AC于点F，则图中阴影部分的面积
为 .（结果保留π）
（第3题）
π
4. （2024·绥化）用一个圆心角为126°，半径为10cm的扇形做一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 cm.
(共32张PPT)
第一部分 考点梳理
第四章 图形的性质
第25课时 圆的有关性质及与圆有关的位置关系
知识点1 圆的定义及有关概念
（1）到定点的距离等于 的点的
轨迹叫做圆，其中定点叫圆心，定长叫
半径.
（2）相关概念：弦、直径、弧、优弧、
劣弧、等弧、半圆、等圆、同心圆、圆
心角、圆周角、弓形、圆内接四边形.
定长
知识点2 圆的有关性质
（1）圆的对称性：既是轴对称图形，又
是中心对称图形，圆心是对称中心，任
意一条直径所在的直线都是对称轴；圆
还有旋转不变性.
（2）垂径定理：垂直于弦的直径
这条弦，并且 这条弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：平分弦（非直径）
的 垂直于弦，并且平分
.
知二推三：（如图）
平分
平分
直径
这条
弦所对的两条弧
①AB为直径；②AB⊥CD；③CE＝DE；
④ ＝ ；⑤ ＝ .
其中，任意满足两个结论，均可推出其
余三个结论成立.
（3）圆心角、弧、弦关系定理：在同圆
或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦（或弦心距）中有一组量相等，
那么它所对应的其余各组量都分别相等.
（4）圆周角定理及推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角 ，都等于它所对的圆心
角的 ；
②在同圆或等圆中，相等的圆周角所对
的弧 ；
③直径所对的圆周角是 ，90°
的圆周角所对的弦是 ；
相等
一半
相等
直角
直径
④圆内接四边形的对角 ，圆
内接四边形的任意一个外角等于它的
内对角.
互补
知识点3 三角形的内心和外心
三角形的外心（外接圆的圆心）是
三边 的交点，它到
的距离相等；三角形的内心（内
切圆的圆心）是三内角 的
交点，它到 的距离相等.
垂直平分线
三
顶点
角平分线
三边
知识点4 点与圆的位置关系
点与圆的 位置关系 图
形 点到圆心的距离d
与半径r的关系
点在圆内
点在圆上
点在圆外
d＜r
d＝r
d＞r
知识点5 直线与圆的位置关系
相交 相切 相离
图形
公共点个数
圆心到直线 的距离d与 半径r的关系
2
1
0
d＜r
d＝r
d＞r
知识点6 切线的性质与判定
性质 判定
圆的切线与
过切线的半
径（直径） （定义法）与圆只有一个
公共点的直线是圆的切线
过圆心且垂
直于切线的
直线必过切
点 （数量法）到圆心的距离
等于半径的直线是圆的切
线，通常作垂线、证半径
垂直
性质 判定
经过切点且
垂直于切线
的直线必过
该圆的圆心 （判定定理）经过半径的
外端且垂直于半径的直线
是圆的切线，通常连半
径、证垂直
知识点7 切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们
的切线长 ，这一点和圆心的连
线 两条切线的夹角.
相等
平分
名师指津
1. 利用垂径定理进行证明或者计算时，
由半径、弦心距及弦的一半所组成的直
角三角形，用勾股定理构建方程，求出
未知量的长.
2. 已知两弦求距离时，要分两弦位于圆
心同侧和异侧两种情况，不能遗漏.
3. 已知弦长求圆周角时，要注意同一条
弦所对的圆周角有两个，它们互补，不
能遗漏.
考点一 与圆有关的位置关系
例1 （1）如图1，在☉O中，弦AB的
长为4 ，点C在☉O上，OC⊥AB，
∠ABC＝30°.☉O所在的平面内有一点
P，若OP＝5，则点P与☉O的位置关系
是（ C ）
C
A. 点P在☉O上
B. 点P在☉O内
C. 点P在☉O外
D. 无法确定
图1
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝
90°，AC＝5，BC＝12.若☉O的半径
为3，当圆心O与点C重合时，☉O与直
线AB的位置关系为 ；若☉O从
点C开始沿直线CA移动，当OC＝
时，☉O与直线AB相切.
相离
或
图2
考点二 圆周角定理及推论
例2 （1）如图1，AB是☉O的直径，
点D，E在☉O上，∠AED＝35°，则
∠BOD的度数是（ D ）
D
A. 80° B. 100°
C. 120° D. 110°
图1
（2）（2024·吉林）如图2，四边形
ABCD内接于☉O，过点B作
BE∥AD，交CD于点E. 若∠BEC＝
50°，则∠ABC的度数是（ C ）
A. 50° B. 100°
C. 130° D. 150°
C
图2
（3）如图3，点A，B，C，D在☉O
上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为 ；
图3
4
（4）（2024·眉山改编）如图4，△ABC
内接于☉O，点O在AB上，AD平分
∠BAC交☉O于点D，连接BD. 若☉O
的半径为5，BD＝2 ，则AD的长
为 ，BC的长为 .
4
8
图4
考点三 垂径定理及推论
例外3 （1）（2024·赤峰）如图1，AD
是☉O的直径，AB是☉O的弦，半径
OC⊥AB，连接CD，交OB于点E.
若∠BOC＝42°，则∠OED的度数
是（ B ）
B
A. 61° B. 63°
C. 65° D. 67°
图1
（2）（2024·牡丹江）如图2，在☉O
中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，
BE＝1，则弦AC的长为 .
图2
3
考点四 切线的性质与判定
例4 （1）（2024·福建）如图1，已知
点A，B在☉O上，∠AOB＝72°，直
线MN与☉O相切，切点为C，且C为
的中点，则∠ACM等于（ A ）
A
A. 18° B. 30°
C. 36° D. 72°
图1
（2）（2024·泸州）如图2，EA，ED是
☉O的切线，切点为A，D，点B，C在
☉O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，
则∠E的度数是（ C ）
A. 56° B. 60°
C. 68° D. 70°
C
图2
（3）如图3，BE是☉O的直径，点A在
☉O上，点C在BE的延长线上，∠EAC
＝∠ABC，AD平分∠BAE交☉O于点
D，连接DE. 当AC＝8，CE＝4时，BE
＝ ，DE＝ .
图3
12
6
例5 （2024·资阳）如图，已知AB是
☉O的直径，AC是☉O的弦，点D在
☉O外，延长DC，AB相交于点E，过
点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，
DG＝DC.
（1）求证：DE是☉O的切线；
[答案] （1）证明：连接OC，
如答案图，
∵OA＝OC，DG＝DC，
∴∠OAC＝∠OCA，∠DGC＝∠DCG.
∵∠AGF＝∠DGC，∴∠AGF＝∠DCG.
又∵DF⊥AB，∴∠AFG＝90°，∴∠OAC＋∠AGF＝180°－∠AFG＝90°，∴∠OCD＝∠OCA＋∠DCG＝∠OAC＋∠AGF＝90°.
又∵OC是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.
（答案图）
（2）若☉O的半径为6，点F为线段OA
的中点，CE＝8，求DF的长.
[答案] （2）解：∵∠OCE＝∠DFE＝
90°，∠OEC＝∠DEF，
∴△OCE∽△DFE，∴ ＝ .
∵☉O的半径为6，CE＝8，
∴OC＝OB＝OA＝6，
∴OE＝ ＝ ＝10.
又∵点F为线段OA的中点，
∴OF＝ OA＝ ×6＝3，
∴EF＝OF＋OE＝3＋10＝13，
∴ ＝ ，∴DF＝ .
（答案图）
1. （2024·外语校）如图，四边形ABCD
内接于☉O，AB为☉O的直径，延长
DC交AB延长线于点E，且CD＝CE，
若∠DAB＝45°，则∠E＝（ B ）
A. 25° B. 30° C. 45° D. 50°
（第1题）
B
2. 如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB
于点E，AC＝CD，连接OC. 若☉O的
半径为2 ，则△AOC的面积为（ C ）
A. B. 2
C. 2 D. 4
C
（第2题）
3. （2024·贵州改编）如图，AB为半圆
O的直径，点F在半圆上，点P在AB的
延长线上，PC与半圆相切于点C，与
OF的延长线相交于点D，AC与OF相交
于点E，DC＝DE. 若OA＝2OE，DF
＝2，则CD＝ ，PB＝ .
6
（第3题）
