13.3.1 等腰三角形 课时1 等腰三角形的判定 同步练习（含答案）2024-2025学年人教版 数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.3.1 等腰三角形 课时1 等腰三角形的判定 同步练习（含答案）2024-2025学年人教版 数学八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 275.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-30 19:21:03 | ||
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文档简介
数学（人教版）| 八年级（上） 同步练习
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
课时1 等腰三角形的判定
一．选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．有两条边不相等的三角形不是等腰三角形
B．有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
C．有两个内角分别是40°和110°的三角形是等腰三角形
D．如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①DE＝BD+CE；②AD＝AE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④⑤
4．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
5．如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为（ ）cm．
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
6．下列条件不能判定△ABC为等边三角形的是（ ）
A．AB＝BC＝CA B．∠A＝∠B＝∠C
C．AB＝BC，∠A＝60° D．△ABC满足“三线合一”
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E．
下列叙述正确的是（ ）
A．BC平分∠ABD B．AB＝BD
C．AE＝BD D．BE＝DE
二．非选择题
10．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD⊥BC于点D，AC＝5，CD＝3．则BD的长为 ．
11．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，且DE＝8，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 ．
12．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3，CE＝2，则线段DE的长为 ．
13．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC+∠ACD＝180°，CD＝4，则BC的长为 ．
14．如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝35°，∠NBC＝70°，那么从B处到灯塔C的距离是 海里．
15．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ ．
16．在△ABC中，BC＝10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是 cm．
17．如图，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E，连接BC，CD．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．
18．如图，在△ABC中，∠CBA＝80°，∠C＝60°，BE平分∠CBA，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
20．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
答案
一．选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．有两条边不相等的三角形不是等腰三角形
B．有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
C．有两个内角分别是40°和110°的三角形是等腰三角形
D．如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形
【答案】D
【解析】解：A．错误，如三角形的三边长为2，2，3，有两条边不相等，但是等腰三角形，本选项不符合题意；
B．错误，如等腰直角三角形有两个内角不相等，但是等腰三角形，本选项不符合题意；
C．有两个内角分别是40°和110°的三角形，第三个内角是30°，不是等腰三角形，本选项不符合题意；
D．如图，BD、CE是△ABC的高，且BD＝CE，
在Rt△BCE与Rt△CBD中，BC＝CB，CE＝BD，
∴Rt△BCE≌Rt△CBD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，选项D说法正确，本选项符合题意．
故选D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC＝108°，AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴∠DAC＝∠BAE＝72°，
∴∠AEB＝∠ADC＝72°，
∴BD＝AD＝AE＝CE，AB＝BE＝AC＝CD，
∴△ABC\△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，
∴一共有6个等腰三角形．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①DE＝BD+CE；②AD＝AE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④⑤
【答案】C
【解析】解：如图：
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠1＝∠2，∠4＝∠3，
∴∠5＝∠1，∠6＝∠3，
∴BD＝DF，FE＝CE，
∴DE＝DF+FE＝BD+CE，故①是正确的；
∵AB＞AC，DE∥BC，
∴∠ABC≠∠ACB，∠ADE≠∠AED，
∴AD≠AE，故②是错误的；
∵△ADE的周长＝AD+DF+FE+AE＝AD+BD+CE+AC，
∴△ADE的周长＝AB+AC，故③是正确的；
∵∠ABC≠∠ACB，
∴∠2≠∠4，
∴BF≠CF，故④是错误的；
∵∠A＝180°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4＝180°﹣2（∠2+∠4），∠BFC＝180°﹣（∠2+∠4），
∴，
∴，
故⑤正确，
故选：C．
4．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【解析】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠BCD，
∵BE⊥CD，
∴∠EDC＝∠BDC＝90°，
在△EDC和△BDC中，
，
∴DE＝BD，EC＝BC，
∵BD＝1，BC＝3，
∴DE＝BD＝1，EC＝BC＝3，
∴BE＝DE+BD＝2，
∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE＝2，
∴AC＝AE+EC＝5．
故选：C．
5．如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为（ ）cm．
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】C
【解析】解：∵∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝5.5cm，
∴EC＝5.5cm
故选：C．
6．下列条件不能判定△ABC为等边三角形的是（ ）
A．AB＝BC＝CA B．∠A＝∠B＝∠C
C．AB＝BC，∠A＝60° D．△ABC满足“三线合一”
【答案】D
【解析】解：A、∵AB＝BC＝CA，
∴△ABC为等边三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC为等边三角形，
故B不符合题意；
C、∵AB＝BC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
故C不符合题意；
D、∵△ABC满足“三线合一”，
∴△ABC不一定为等边三角形，
故D符合题意；
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解析】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，
∴BF＝FD，DE＝EC，
∴ AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．
故选：B．
8．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、中作∠B的角平分线即可；
C、过A点作BC的垂线即可；
D、以B为圆心，AB为半径作弧交BC于一点即可；
只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选：B．
9．如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E．
下列叙述正确的是（ ）
A．BC平分∠ABD B．AB＝BD
C．AE＝BD D．BE＝DE
【答案】D
【解析】解：连接AD，CD，
由题意得，CB＝CD，AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AE是∠DAB的角平分线，
又∵AB＝AD，
∴BE＝DE，
故选：D．
二．非选择题
10．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD⊥BC于点D，AC＝5，CD＝3．则BD的长为 8 ．
【答案】8．
【解析】解：在DB上截取DE＝DC，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD是EC的垂直平分线，
∴AE＝AC＝5，DE＝CD＝3，
∴∠C＝∠AEC，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝2∠B，
∵∠AEC是△ABE的一个外角，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE＝5，
∴BD＝BE+DE＝8，
故答案为：8．
11．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，且DE＝8，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 16 ．
【答案】16．
【解析】解：∵∠ACB的平分线CD交AB于D，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴DE＝CE＝8，
∵E是边AC中点，
∴AC＝2CE＝16，
故答案为：16．
12．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3，CE＝2，则线段DE的长为 5 ．
【答案】5．
【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于F点，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DBF＝∠FBC＝∠DFB，∠ECF＝∠FCB＝∠EFC，
∴BD＝DF，EF＝EC，
∵BD＝3，CE＝2，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE＝3+2＝5．
故答案为：5．
13．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC+∠ACD＝180°，CD＝4，则BC的长为 8 ．
【答案】8．
【解析】解：延长AB、CD长于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE＝CD＝4，AE＝AC，
∴CE＝8，∠E＝∠ACD，
∵∠ABC+∠ACD＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠E＝∠ACD＝∠CBE，
∴BC＝CE＝8，
故答案为：8．
14．如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝35°，∠NBC＝70°，那么从B处到灯塔C的距离是 40 海里．
【答案】40．
【解析】解：由题意得，AB＝20×（11﹣9）＝40（海里），
∵∠NAC＝35°，∠NBC＝70°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝35°，
∴∠NAC＝∠C，
∴BC＝AB＝40海里，
∴从B处到灯塔C的距离是40海里，
故答案为：40．
15．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ 58° ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得解得：
∴∠BAD＝58°
法二，延长AD交BC于E，
∵∠DAC＝20°，∠C＝38°，
∴∠AEB＝20°+38°＝58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠BEA＝∠BAD＝58°，
故答案为：58°
16．在△ABC中，BC＝10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是 10 cm．
【答案】10．
【解析】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PD∥AC
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝10（cm），
故答案为：10．
17．如图，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E，连接BC，CD．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝DC，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）∵BC＝DC，∠BCD＝130°，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣130°）＝25°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝50°+25°＝75°．
18．如图，在△ABC中，∠CBA＝80°，∠C＝60°，BE平分∠CBA，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
【答案】证明见解答过程．
【解析】证明：∵∠CBA＝80°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∵BE平分∠CBA，
∴∠EBA＝∠CBA＝40°，
∴∠EBA＝∠A，
∴BE＝EA，
∵ED⊥AB，
∴AD＝BD．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）8．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠BDE＝30°，
∵BD＝4，
∴，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BE+EC＝8，
20．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE．
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
课时1 等腰三角形的判定
一．选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．有两条边不相等的三角形不是等腰三角形
B．有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
C．有两个内角分别是40°和110°的三角形是等腰三角形
D．如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①DE＝BD+CE；②AD＝AE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④⑤
4．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
5．如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为（ ）cm．
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
6．下列条件不能判定△ABC为等边三角形的是（ ）
A．AB＝BC＝CA B．∠A＝∠B＝∠C
C．AB＝BC，∠A＝60° D．△ABC满足“三线合一”
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E．
下列叙述正确的是（ ）
A．BC平分∠ABD B．AB＝BD
C．AE＝BD D．BE＝DE
二．非选择题
10．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD⊥BC于点D，AC＝5，CD＝3．则BD的长为 ．
11．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，且DE＝8，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 ．
12．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3，CE＝2，则线段DE的长为 ．
13．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC+∠ACD＝180°，CD＝4，则BC的长为 ．
14．如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝35°，∠NBC＝70°，那么从B处到灯塔C的距离是 海里．
15．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ ．
16．在△ABC中，BC＝10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是 cm．
17．如图，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E，连接BC，CD．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．
18．如图，在△ABC中，∠CBA＝80°，∠C＝60°，BE平分∠CBA，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
20．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
答案
一．选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．有两条边不相等的三角形不是等腰三角形
B．有两个内角不相等的三角形不是等腰三角形
C．有两个内角分别是40°和110°的三角形是等腰三角形
D．如果三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形
【答案】D
【解析】解：A．错误，如三角形的三边长为2，2，3，有两条边不相等，但是等腰三角形，本选项不符合题意；
B．错误，如等腰直角三角形有两个内角不相等，但是等腰三角形，本选项不符合题意；
C．有两个内角分别是40°和110°的三角形，第三个内角是30°，不是等腰三角形，本选项不符合题意；
D．如图，BD、CE是△ABC的高，且BD＝CE，
在Rt△BCE与Rt△CBD中，BC＝CB，CE＝BD，
∴Rt△BCE≌Rt△CBD，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形，选项D说法正确，本选项符合题意．
故选D．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，
∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，
∵∠BAC＝108°，AD、AE三等分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴∠DAC＝∠BAE＝72°，
∴∠AEB＝∠ADC＝72°，
∴BD＝AD＝AE＝CE，AB＝BE＝AC＝CD，
∴△ABC\△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，
∴一共有6个等腰三角形．
故选：D．
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①DE＝BD+CE；②AD＝AE；③△ADE的周长＝AB+AC；④BF＝CF；⑤．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④⑤
【答案】C
【解析】解：如图：
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，
∴∠1＝∠2，∠4＝∠3，
∴∠5＝∠1，∠6＝∠3，
∴BD＝DF，FE＝CE，
∴DE＝DF+FE＝BD+CE，故①是正确的；
∵AB＞AC，DE∥BC，
∴∠ABC≠∠ACB，∠ADE≠∠AED，
∴AD≠AE，故②是错误的；
∵△ADE的周长＝AD+DF+FE+AE＝AD+BD+CE+AC，
∴△ADE的周长＝AB+AC，故③是正确的；
∵∠ABC≠∠ACB，
∴∠2≠∠4，
∴BF≠CF，故④是错误的；
∵∠A＝180°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4＝180°﹣2（∠2+∠4），∠BFC＝180°﹣（∠2+∠4），
∴，
∴，
故⑤正确，
故选：C．
4．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE，BD＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【解析】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠BCD，
∵BE⊥CD，
∴∠EDC＝∠BDC＝90°，
在△EDC和△BDC中，
，
∴DE＝BD，EC＝BC，
∵BD＝1，BC＝3，
∴DE＝BD＝1，EC＝BC＝3，
∴BE＝DE+BD＝2，
∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE＝2，
∴AC＝AE+EC＝5．
故选：C．
5．如图，∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，过点F作DF∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD＝8cm，DE＝2.5cm，则CE的长为（ ）cm．
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【答案】C
【解析】解：∵∠ABC的平分线BF，与△ABC的外角∠ACG的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝5.5cm，
∴EC＝5.5cm
故选：C．
6．下列条件不能判定△ABC为等边三角形的是（ ）
A．AB＝BC＝CA B．∠A＝∠B＝∠C
C．AB＝BC，∠A＝60° D．△ABC满足“三线合一”
【答案】D
【解析】解：A、∵AB＝BC＝CA，
∴△ABC为等边三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC为等边三角形，
故B不符合题意；
C、∵AB＝BC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
故C不符合题意；
D、∵△ABC满足“三线合一”，
∴△ABC不一定为等边三角形，
故D符合题意；
故选：D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】B
【解析】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，
∴BF＝FD，DE＝EC，
∴ AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．
故选：B．
8．如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：A、中作∠B的角平分线即可；
C、过A点作BC的垂线即可；
D、以B为圆心，AB为半径作弧交BC于一点即可；
只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选：B．
9．如图，已知钝角三角形ABC，按以下步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CB为半径画弧①；
步骤2：以A为圆心，AB为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3：连结BD，交AC的延长线于点E．
下列叙述正确的是（ ）
A．BC平分∠ABD B．AB＝BD
C．AE＝BD D．BE＝DE
【答案】D
【解析】解：连接AD，CD，
由题意得，CB＝CD，AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AE是∠DAB的角平分线，
又∵AB＝AD，
∴BE＝DE，
故选：D．
二．非选择题
10．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD⊥BC于点D，AC＝5，CD＝3．则BD的长为 8 ．
【答案】8．
【解析】解：在DB上截取DE＝DC，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AD是EC的垂直平分线，
∴AE＝AC＝5，DE＝CD＝3，
∴∠C＝∠AEC，
∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝2∠B，
∵∠AEC是△ABE的一个外角，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝∠BAE，
∴AE＝BE＝5，
∴BD＝BE+DE＝8，
故答案为：8．
11．如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，且DE＝8，如果点E是边AC的中点，那么AC的长为 16 ．
【答案】16．
【解析】解：∵∠ACB的平分线CD交AB于D，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴DE＝CE＝8，
∵E是边AC中点，
∴AC＝2CE＝16，
故答案为：16．
12．如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3，CE＝2，则线段DE的长为 5 ．
【答案】5．
【解析】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于F点，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∵DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DBF＝∠FBC＝∠DFB，∠ECF＝∠FCB＝∠EFC，
∴BD＝DF，EF＝EC，
∵BD＝3，CE＝2，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE＝3+2＝5．
故答案为：5．
13．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC+∠ACD＝180°，CD＝4，则BC的长为 8 ．
【答案】8．
【解析】解：延长AB、CD长于点E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADE＝∠ADC＝90°，
在△ADE和△ADC中，
，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE＝CD＝4，AE＝AC，
∴CE＝8，∠E＝∠ACD，
∵∠ABC+∠ACD＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，
∴∠E＝∠ACD＝∠CBE，
∴BC＝CE＝8，
故答案为：8．
14．如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝35°，∠NBC＝70°，那么从B处到灯塔C的距离是 40 海里．
【答案】40．
【解析】解：由题意得，AB＝20×（11﹣9）＝40（海里），
∵∠NAC＝35°，∠NBC＝70°，
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝35°，
∴∠NAC＝∠C，
∴BC＝AB＝40海里，
∴从B处到灯塔C的距离是40海里，
故答案为：40．
15．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠BAD＝ 58° ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：设∠ABD＝α，∠BAD＝β
∵AD⊥BD
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
即α+β＝90°
∵BD是∠ABC得角平分线，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2α，
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180
∴2α+β+38°+20°＝180°，
∴联立可得解得：
∴∠BAD＝58°
法二，延长AD交BC于E，
∵∠DAC＝20°，∠C＝38°，
∴∠AEB＝20°+38°＝58°，
∵BD⊥AD，
∴∠BDA＝90°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠BEA＝∠BAD＝58°，
故答案为：58°
16．在△ABC中，BC＝10cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB交BC于D，PE∥AC交BC于E，则△PDE的周长是 10 cm．
【答案】10．
【解析】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PD∥AC
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝10（cm），
故答案为：10．
17．如图，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E，连接BC，CD．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝DC，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）∵BC＝DC，∠BCD＝130°，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣130°）＝25°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝50°+25°＝75°．
18．如图，在△ABC中，∠CBA＝80°，∠C＝60°，BE平分∠CBA，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
【答案】证明见解答过程．
【解析】证明：∵∠CBA＝80°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣80°﹣60°＝40°，
∵BE平分∠CBA，
∴∠EBA＝∠CBA＝40°，
∴∠EBA＝∠A，
∴BE＝EA，
∵ED⊥AB，
∴AD＝BD．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）8．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠BDE＝30°，
∵BD＝4，
∴，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BE+EC＝8，
20．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：
（1）△ABC是等腰三角形；
（2）AF＝CE．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE．