第十一章 三角形 重难点突破（无答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第十一章 三角形 重难点突破（无答案）2024-2025学年人教版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-30 20:24:58 | ||
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文档简介
第十一章 三角形重难点突破
突破1 三角形(一) 三边关系
类型一 三边关系定三角形
1.在学习“认识三角形”一节时,小颖用四根长度分别为 2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是( )
A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm
2.三边均为互不相等的整数，周长为15，这样的三角形有( )
A.3个 B.5个 C.7个 D.9个
类型二 三边关系求范围
3.已知三角形的三边分别为2，a-1，4，那么a 的取值范围是 .
4.已知△ABC的三边长分别为4,9,x.当△ABC 的周长为偶数时,x的值为 .
类型三 三边关系去绝对值
5.已知a,b,c 是三角形的三条边,则化简|a+b-c|--|c-a-b|的结果为 .
6.若a,b,c分别是三角形的三边,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|的结果为 .
类型四 三边关系取舍值
7.已知等腰三角形的周长为18，一边长为4，则它的底边长是( )
A.4 B.10 C.4 或7 D.4 或10
8.已知等腰△ABC中,AB=8,BC=x+2,AC=2x,求△ABC 的周长.
类型五 三边关系列不等式组
9.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c.
(1)化简式子
(2)若a=x+8,b=3x—2,c=x+2,则x 的取值范围是 .
10.已知a,b,c 是△ABC的三边长,若b=2a-1,c=a+5,且△ABC 的周长不超过20，求a 的取值范围.
类型六 三边关系求最值
11.如图,将四根长度分别为 3c m,5 cm,7 cm,8 cm的木条钉成一个四边形木架,扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B 和点 D 之间的距离可能是( )
A.1 cm B.4 cm C.9 cm D.12 cm
12.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,D 为BC上一动点,将△ACD沿AD 翻折得到△AED,连接BE,则 BE 的最小值是 .
突破 2 三角形(二) 三种线段
类型一 三角形的高
1.如图,AD⊥BC 于点D,GC⊥BC 于点C,CF⊥AB 于点F,图中是△ABC 的高的线段有( )
A.1条 B.2条 C.3 条 D.4 条
类型二 三角形的中线
2.如图,在△ABC 中,AB=8,AC=5,AD 为中线,则. 与 的周长之差为 .
3.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,点 E 在边AB 上, 与四边形ACDE 的周长相等.
(1)求证:BE=AE+AC;
(2)若AB=10,AC=6,求 AE的长.
类型三 三角形的角平分线
4.已知AE 是 的平分线,D 是射线BC 上一点,连接AD.若∠BAD=60°,∠CAD=30°,求∠BAE 的度数.
类型四 “三线”综合
5.如图,在 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法错误 的是( )
突破3 三角形(三) 求面积
类型一 多中线求面积
1.如图,已知 AD 是△ABC 的中线,CE 是△ACD 的中线,若△ABC 的面积为12,则△CDE 的面积为 .
2.如图,BD 是△ABC 的中线,点 E,F 分别为BD,CE 的中点,若△AEF 的面积为 ,则△ABC 的面积是( )
3.如图,△ABC 的三条中线AD,BE,CF 交于点O,S阴影部分 ==6,则S△ABC为( )
A.16 B.18 C.24 D.不能确定
类型二 中线+线段比求面积
4.如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,且AE : CE=3: 1,S△CEP =1,则S△BPC== .
5.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,点 D 在边BC 上,BD:CD=5:8,AD,BE交于点F,若△ABC 的面积为 26,则S_{ \triangle AEF}-S_{ \triangle BDF} 的值为 .
C
突破 4 三角形(四) 面积法
类型一 三高图与面积法
1.在 Rt△ABC 中, ，则AB 边上的高的长度是 .
类型二 平行线与面积法
2.如图,在长方形ABCD 中,F 是 BC 上(不与 B,C 重合)的任意一点,图中面积一定相等的三角形有 对.
类型三 垂线段与面积法
3.如图,△ABC 是等腰三角形,O 是底边BC 上任意一点,过点 O 作( AB 于点E,作 OF⊥AC于点F,若( 的面积为12,则 AB 的长为 .
类型四 线段比与面积法
4.如图,在 中,AD 是中线, 于点E， 于点 F,若A 6 cm,AC=4 cm,则 的值为 .
类型五 线段最值与面积法
5.如图,在 中,BC=9,D,E分别是CB,AB 上的点,( 3BE,连接AD,CE 交于点 F.当四边形BEFD 的面积为 时，AB长度的最小值为 .
突破5 三角形(五) 内角和
类型一 内角和+内角关系
1.在△ABC 中,∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,求△ABC 各个内角的度数.
2具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A:∠B:∠C═1:2:3
类型二 内角和十角分线
3如图,在△ABC 和△ACD 中,BD 平分∠ABC,∠ABC=∠ACD═56°,∠ACB=68°,则∠BDC 的度数为( )
A.56° B.58° C.22° D.28°
4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=2∠C,BE⊥AC于点E.
(1)求证:∠CBE-∠ABE=∠C;
(2)若 DG 平分∠ADC,试说明 DG∥BE.
类型三 内角和十平行线
5.如图,在 中,E,G 分别是AB,AC 上的点,F,D是BC上的点,连接EF,AD,DG,AB∥DG,∠1+∠2=180°.
(1)求证:.
(2)若 DG 是 的平分线， 求 的度数.
6如图,在四边形ABCD 中,∠ADC+∠C=202°,E 为对角线BD上一点,点 F,G分别在AB,CD边上,且EF∥DA,EG∥BC,求∠FEG 的度数.
7.如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠C=α,D 是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=50°,F 为线段BC 上一点,连接EF,过点 D 作DG∥AC 交EF 于点G,
(1)若α=70°,求∠EDG 的度数;
(2)若∠FEC=2∠DEF,3∠DGF=2∠BFG,求α的值.
类型四 内角和十垂线
8.在△ABC中,∠B=2∠C,AE平分∠BAC.
(1)如图1,若AD⊥BC于点 D,∠C=35°,求∠DAE 的度数;
(2)如图2,若EF⊥AE交AC于点F,求证:∠C=2∠FEC.
突破6 三角形(六) 外角
类型一 外角+内角
1.如图,在△ABC 中,∠B=45°,∠C=38°,E 是BC 边上一点,ED 交CA 的延长线于点D,交AB 于点F,∠D=32°.求∠BFE 的度数.
C
类型二 外角+外角
2.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,则∠1,∠2,∠3的数量关系为( )
A.∠3=∠2+∠1 B.∠3=∠2+2∠1
C.∠3+∠2+∠1=180° D.∠1+∠3=2∠2
类型三 外角+等角
3.如图,∠BAE=∠AEB,∠CAD=∠ADC,∠DAE=28°,则∠BAC 的度数 为 .
D
4.如图,在△ABC 中,∠BAC=∠ACB,M,N 为BC 上两点,且∠BAM=∠CAN,∠MAN=∠AMN,求∠MAC 的度数.
类型四 外角+平行线
5.如图,在△ABC 中,E 和F 分别是AC,BC上一点,EF∥AB,∠BCA 的平分线交AB 于点 D,∠MAC 是△ABC 的外角,若∠MAC=α,∠EFC=β,∠ADC=γ,则α,β,γ三者间的数量关系是( )
A.β=α+γ B.β=2γ-α C.β=α+2γ D.β=2α-2γ
6.如图,在△ABC 中,D 为BC 上一点,∠C=∠BAD,△ABC 的角平分线BE 交AD 于点F. G 为BC上一点,FE 平分∠AFG.求证:FG∥AC.
类型五 外角+方程思想
7.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D 为BC 边上的一点,点 E 在AC 边上,∠ADE=∠AED,若∠BAD=24°,则∠CDE 的度数为( )
A.12° B.14° C.16° D.24°
类型六 外角+整体思想
8.在△ABC 中,∠A=α(40°<α<60°),点M 在△ABC 的内部,过点 M 的直线分别交AB,AC 于点P,Q,若∠APQ=2∠ABM,∠AQP=2∠ACM,则∠BMC 的大小是( )
A.90°+α C.2α
突破7 多边形(一) 边
类型一 计算边
1.一个多边形的内角和与它的外角和的比为3：1，则这个多边形的边数为 .
2.一个多边形的内角和比它的外角和的 2倍还大180°，这个多边形的边 数是 .
3.一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是 边形.
4.如果一个多边形的一个内角的外角与其内角的和为600°，那么这个多边形的边数为 .
5.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 1 440°，则原来多边形的边数是 .
类型二 计算对角线
6.六边形对角线的总条数是( )
A.7条 B.8条 C.9条 D.10条
7.一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )
A.9 条 B.8条 C.7 条 D.6 条
8.一个正多边形的每一个内角都等于135°，那么从这个多边形的一个顶点可以引对角线的条数是( )
A.4 条 B.5 条 C.6条 D.8条
突破8 多边形(二) 角
类型一 多边形的外角和
1.如图,五边形 ABCDE 的一个内角∠BAE=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4等于( )
A.100° B.180° C.280° D.300°
类型二 多边形+角平分线
2.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP 分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P 的度数为 .
类型三 多边形+三角形
3.如图,在△ABC中,若 DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则∠C 的度数为 .
类型四 多边形+多边形
4.如图,正五边形ABCDE 和正六边形EFGHMN 的边CD，FG 在直线l上，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF 的大小是 度.
类型五 多边形+平行线
5.将每一个内角都是108°的五边形按如图所示方式放置,若直线m∥n,则∠1和∠2 的数量关系是( )
A.∠1+∠2=90° B.∠1=∠2+72°
C.∠1=∠2+36° D.2∠1+∠2=180°
类型六 构建外角和
6如图,在七边形ABCDEFG 中,EF,BA 的延长线相交于点P,若∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEF 的外角的度数和为 230°,则∠P 的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
突破9 实践操作(一) 三角板摆放
类型一 一块三角板，求角度
1.如图，直尺经过一块三角板 DCB 的直角顶点B，若 20°,∠DEF 的度数为 .
类型二 一副三角板，求角度
2.如图，这是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC 的度数为( )
A.50° B.60° C.75° D.80°
3.一副三角板按如图所示放置,点 A 在DE 上,点 F 在BC 上,若 则∠DFC 的度数为 .
C
4生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.下面用一副三角板(在 中， 在 中， 拼接图形.
(1)如图1,点 D 在 BC 上,求 的度数；
(2)如图 2,点 B 与点 D 重合,AC 交BF 于点M,若 判断并证明 BC 与 EF 的位置关系.
突破10 实践操作(二) 多边形折叠
类型一 对应点在边上
1.如图,在四边形纸片 ABCD 中, ，将纸片折叠，使点 C，D落在AB 上的点C',D'处,折痕为MN,则∠MNC'的度数为( )
A.70° B.75° C.80°
2.已知一张三角形纸片 ABC(如图甲)，其中 .将纸片沿过点 B的直线折叠，使点C 落到AB边上的E 点处，折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点A 恰好与点 D 重合，折痕为 EF(如图丙).原三角形纸片 ABC 中， 的度数为 .
类型二 对应点在形内
3.如图,将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠,点 A 落在点 F 处,已知 100°,则∠A 的度数为( )
A.80° B.100° C.50° D.以上都不对
4.如图,将正五边形纸片 ABCDE 折叠,使点 B 与点 E 重合,折痕为 AM,展开后，再将纸片折叠，使边AB 落在线段AM上，点B 的对应点为点. ，折痕为AF，则 的度数为 .
类型三 对应点在形外
5.如图,在 中， 将 沿着直线l 折叠，点C 落在点 D 的位置,则∠1—∠2的度数是( )
A.88° B.94°
突破11 求角思想方法(一) 方程思想
类型一 设一元
1.如图,BD 是△ABC 的角平分线,AE⊥BD交BD 的延长线于点E, ∠C:∠ADB=2:3,求∠BAC 和∠DAE 的度数.
2.如图,在 中,AH 平分 交BC 于点 H,点 D,E 分别在CA,BA的延长线上，
(1)求证:DB∥EC;
(2)若∠ABD=2∠ABC,∠DAB 比∠AHC 大12°,求∠D 的度数.
类型二 设双元
3.如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,CE 平分 的邻补角. ，交BA 的延长线于点E,若∠BDC=127°,∠E=44°,则∠BAC 的度数为( )
A.110° B.114° C.118° D.120°
类型三 设多元
4.如图,在△ABC 中, 的三等分线相交于点D，E，F(其中∠CAD=2∠BAD,∠ABE=2∠CBE,∠BCF=2∠ACF),且 的三个内角分别为∠DFE=54°,∠FDE=60°,∠FED=66°,则∠BAC 的度数为( )
A.54° B.60° C.66° D.48°
突破12 求角思想方法(二) 整体思想
类型一 求单角
1.将两张三角形纸片如图摆放,量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°,则∠5 的度数为( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
类型二 求两角之和
2小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=∠B=45°,∠D=30°,∠E=60°,则∠α+∠β等于( )
A.180° B.210° C.240° D.270°
3.如图，由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠3=60°,则∠1+∠2的度数为 .
4.在如图所示的折线图形中，α+β的度数为 .
类型三 求多角之和
5.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为( )
A.180° B.270° C.360° D.540°
突破13 求角思想方法(三) 转化思想
类型一 转化为三角形的内角和
1.如图,已知∠A=60°,则∠D+∠E+∠F+∠G 的度数为( )
A.180° B.240° C.300° D.360°
类型二 转化为四边形的内角和
2.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
3.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是( )
A.360° B.480° C.540° D.720°
类型三 转化为五边形的内角和
4.如图,若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n·90°,则n=
类型四 转化为多边形的内角和
5.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= .
突破 14 求角思想方法(四) 参数思想
类型一 设单参
1.如图,在△ABC中,点D,E 分别在边 BC,AC上,∠DCE=∠DEC,点F 在AC上,点G 在DE 的延长线上,∠DFG=∠DGF.若∠EFG=37°,则∠CDF 的度数为 .
2.如图,AB,CD 相交于点O,∠A=48°,∠D=46°.若直线 BM 平分∠ABD 交CD 于点F,CM 平分∠DCH 交直线BF 于点M,求∠BMC 的度数.
类型二 设双参
3.如图,C,A,G 三点共线,C,B,H 三点共线,2∠CAD=∠BAD,2∠CBD=∠ABD,∠GAE=2∠BAE,∠EBH=2∠EBA,则∠D 和∠E 的关系为( )
A.2∠E+∠D=360° B.2∠E+∠D=360°
C.2∠E+∠D=360° D.2∠E+∠D=360°
4.如图,在△ABC 中,AE 平分∠BAC,AD⊥BC 于点 D,∠ABD 的平分线 BF 所在直线与射线AE 相交于点G,若∠ABC=3∠C,且∠G=18°,则∠DFB 的度数为( )
A.40° B.44° C.50° D.54°
突破 15 求角思想方法(五) 特殊到一般
1.点 A,B 分别在 的边OM,ON 上运动(不与点O 重合),D 为ON 下方一点,连接AD,BD,C 为射线DB上的点.
(1)【探究发现】如图1，若 求∠D 的度数；
(2)【类比推理】如图2，若 则∠D 的度数为 (用含n和α的式子表示).
2.如图,在锐角. 中， 于点 D,BM 平分. 交AC 于点M, 于点 N.
(1)如图1,若 求 的度数；
(2)如图2,若 求 的度数.
突破16 求角思想方法(六) 分类讨论
类型一 单高位置不确定
1. AE 是△ABC 的角平分线,AD 是BC 边上的高,且∠B=40°,∠ACD=70°,则∠DAE 的度数为 .
类型二 双高位置不确定
2.在△ABC 中,∠A=55°,BD,CE 是它的两条高,直线BD,CE 交于点F,则∠DFE 的度数为 .
类型三 直角不确定
3.在△ABC中,其中一个内角度数是40°,且∠B=∠C,点 D 在直线BC 边上,连接AD,若△ABD 为直角三角形,则∠ADC 的度数为 .
突破17 导角模型(一) 余角与补角
类型一 互余导角
1.如图，脊柱侧弯测量示意图，cobb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一.一次体检中，若测得某人 cobb角∠O=45°，则图中与∠O 相等的角有( )
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4 个
类型二 互补导角
2.如图,在四边形ABCD 中, ,点 E 在边AD 上,连接 BE,若∠D 与∠EBC互补,则∠EBA 的度数为 .
类型三 等角导互余
3.如图,在四边形ABCD中,. ,点E在AB 上,连接CE,DE.
(1)若 ,则∠CED 的度数是 ;
(2)若∠1=∠2,求证:
类型四 等角导互补
4如图,在四边形 ABCD 中,点 E 和点 F 和分别在边CD 和 BC 上,并且
(1)请判断直线 AD 和直线BE 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若 BE 是∠ABC 的平分线, 求 的度数.
突破 18 导角模型(二) 一线三等角
类型一 一线三垂直
1.如图,点 C 在BD 上,∠B=∠D=∠ACE=90°.若∠A=50°,求∠DCE 和∠E 的度数.
类型二 同侧一线三等角
2.如图,P 是∠BAC 内一点,∠B=40°,∠C=30°,过点 P 作直线EF,分别交AB,AC 于点E,F.若∠BEP=∠BPC=∠PFC,求∠A 的度数.
3如图,∠ABC 的平分线BE交AD 于点E,连接CE,若∠A=∠D=∠BEC,且∠BCD=70°,求∠BCE 的度数.
C
类型三 异侧一线三等角
4.如图,点E,F 在BC 的延长线上,∠DEF=∠ACF=∠ABD,∠A=20°,∠D=50°,求∠ABD 的度数.
突破 19 导角模型(三) 8字形
类型一 8字形
1.如图,AC,BD 交于点 E,∠ACD 的平分线交 BA 的延长线于点F,若∠B=∠ACD,求证:
类型二 8字形+角分线
2.如图,直线AP 平分∠BAD,CP 平分∠BCD 的邻补角∠BCE,则∠P与∠B,∠D 的数量关系是( )
A.2∠P--∠B+∠D=180° B.2∠P-∠B-∠D=180°
C.2∠P+∠B-∠D=180° D.2∠P+∠B+∠D=360°
3. AB,CD 相交于点O,∠A=48°,∠D=46°.
(1)如图1,若BE 平分∠ABD 交 CD 于点 F,CE 平分∠ACD 交 AB 于点 G,求∠BEC 的度数;
(2)如图2,若直线 BM 平分∠ABD 交CD 于点 F,CM 平分∠DCH 交直线BF 于点 M,求∠BMC 的度数.
突破 20导角模型(四) 燕尾形
类型一 单燕尾形
1.形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”.如图，是一个燕尾形，已知∠ADC=105°,∠ABC=63°,∠A=22°,则∠C 的度数为 .
类型二 双燕尾形
2.小茗同学设计了如图所示的一个零件,如果∠A=52°,∠B=25°,∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°,那么∠F 的度数是 .
类型三 燕尾形+双角平分线
3.如图,∠ABD 和∠ACD 的平分线交于点E,∠A+∠D=220°,求∠BEC 的度数.
4.如图,点 D 为∠BAC 内一点,连接 BD,CD,∠B>∠C,0°<∠BDC≤180°,∠BAC,∠BDC 的平分线交于点E.
(1)若∠B=50°,∠C=20°,求∠E;
(2)直接写出∠B,∠C,∠E 之间的数量关系是 .
突破21 夹角模型(一) 双内角平分线
类型一 三角形两内角平分线
1.如图,BE,CF 是△ABC 的角平分线,∠A=40°,BE,CF 相交于点 D,则∠CDE的度数是( )
A.100° B.90° C.80° D.70°
2.在△ABC中,∠B,∠C 的平分线相交于点O,∠BOC=150°,则∠A 的度数为 .
类型二 三角形三内角平分线
3.如图,已知 P 为△ABC 三条内角平分线AD,BE,CF 的交点,DG⊥PC 于点G，则下列选项中的角一定与∠PDG 相等的是( )
A.∠ABE B.∠DAC C.∠BCF D.∠CPE
类型三 三角形两内角的三等分线
4.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB 的三等分线交于点E,D,若∠BEC=120°,则∠BDC 的度数为 .
类型四 四边形一组对角的角平分线
5.如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,BE 平分∠ABC,交AD 于点E,DF 平分∠ADC,BE,CD 的延长线交于点G.
(1)∠ABC+∠ADC 的度数是 ;
(2)求证:∠G=∠CDF.
6.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC 与∠ADC 互补,∠DAB 和∠BCD 的平分线交于点O，设∠ABC=x°，则∠AOC的度数用x的代数式表示为 .
类型五 多边形一组邻角的角平分线
7.如图,在六边形ABCDEF 中,∠A+∠F+∠E+∠D=α,∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P,则∠P 度数为( )
突破22 夹角模型(二) 双外角平分线
类型一 双外角平分线
1.如图,在△ABC 中,BO,CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的外角平分线,∠A+∠O=130°,则∠A 的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
类型二 双外角平分线十单内角平分线
2.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD 分别平分△ABC的外角∠EAC,内角∠ABC,外角∠ACF,以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°- 其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.②③④
类型三 双外角平分线+双内角平分线
3.如图,在△ABC 中,BD,CD 分别平分∠ABC,∠ACB,BG,CG 分别平分三角形的两个外角∠EBC,∠FCB,则∠D 和∠G 的数量关系为( )
B.∠D+∠G=180°
突破23 夹角模型(三) 内外角平分线
类型一 三角形的内外角平分线
1.如图,BP 是△ABC 的角平分线,CP 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线,若∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
类型二 多重三角形的内外角平分线
2.如图,在△ABC中, 分别是内角∠CAB，外角∠CBD 的三等分线，且 在 中， 分别是内角. 外角. 的三等分线，且. …以此规律下去，若∠C=m,则.∠E 的度数为 .
类型三 四边形的内外角平分线
3.如图,DF 为四边形ACDB 外角∠BDE 的平分线,CF 平分∠ACD,若∠A=140°,∠B=110°,则∠CFD 的度数是 .
4.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=x,∠C=y,∠ABC 的平分线与∠ADC 的外角平分线交于点Q，则∠Q 的度数是 (用含x，y的代数式表示).
突破24 夹角模型(四) 高与角平分线
类型一 共顶点的高与角平分线
1.如图,在△ABC 中,∠A=35°,∠B=75°,CD 是AB 边上的高,CE 是△ABC 的角平分线,DF⊥CE 于点 F.
(1)求∠ECB 的度数;
(2)求∠CDF 的度数.
类型二 不共顶点的高与角平分线
2.如图,在△ABC中,BE 是AC 边上的高,AD 是△ABC 的角平分线,AD 交BE 于点F,∠ABC=54°,∠C=76°,求∠EFD的度数.
3.如图1,在△ABC中,CD 是AB边上的高,∠A=∠DCB.
(1)试说明:∠ACB=90°;
(2)如图2,如果 AE 是角平分线,AE,CD 相交于点 F,那么∠CFE 与∠CEF 的大小相等吗 请说明理由.
类型三 角平分线+垂线
4.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,P 为AD 延长线上一点,PE⊥BC 于点E,∠ACB=70°,∠B=24°,求∠P 的度数.
5. (1)如图1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,P 为线段AD 上的一点,过点 P 作 PE⊥AD 于点 P 交直线 BC 于点 E,当∠B=50°,∠BCA=70°时,∠PED 的度数为 ;
(2)如图2,AD 平分△ABC 的外角∠CAF,P 是 AD 上一点,PF⊥AD 交 BA 的延长线于点 F,交 AC 的延长线于点G,若∠B=α,∠BCA=β,求∠PED 的度数(用含有α,β的式子表示).
6.如图,AE 是△ABC 的角平分线,CD⊥AE,垂足为F,与AB 交于点D.
(1)如图1,若∠BAC=80°,∠B=30°,求∠BCD 的度数;
(2)如图 2,点 G 在线段BC 上,且∠BDG=∠BAC.求证:∠GDC 与∠CAE 互余.
突破1 三角形(一) 三边关系
类型一 三边关系定三角形
1.在学习“认识三角形”一节时,小颖用四根长度分别为 2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是( )
A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm
2.三边均为互不相等的整数，周长为15，这样的三角形有( )
A.3个 B.5个 C.7个 D.9个
类型二 三边关系求范围
3.已知三角形的三边分别为2，a-1，4，那么a 的取值范围是 .
4.已知△ABC的三边长分别为4,9,x.当△ABC 的周长为偶数时,x的值为 .
类型三 三边关系去绝对值
5.已知a,b,c 是三角形的三条边,则化简|a+b-c|--|c-a-b|的结果为 .
6.若a,b,c分别是三角形的三边,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|的结果为 .
类型四 三边关系取舍值
7.已知等腰三角形的周长为18，一边长为4，则它的底边长是( )
A.4 B.10 C.4 或7 D.4 或10
8.已知等腰△ABC中,AB=8,BC=x+2,AC=2x,求△ABC 的周长.
类型五 三边关系列不等式组
9.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c.
(1)化简式子
(2)若a=x+8,b=3x—2,c=x+2,则x 的取值范围是 .
10.已知a,b,c 是△ABC的三边长,若b=2a-1,c=a+5,且△ABC 的周长不超过20，求a 的取值范围.
类型六 三边关系求最值
11.如图,将四根长度分别为 3c m,5 cm,7 cm,8 cm的木条钉成一个四边形木架,扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B 和点 D 之间的距离可能是( )
A.1 cm B.4 cm C.9 cm D.12 cm
12.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,D 为BC上一动点,将△ACD沿AD 翻折得到△AED,连接BE,则 BE 的最小值是 .
突破 2 三角形(二) 三种线段
类型一 三角形的高
1.如图,AD⊥BC 于点D,GC⊥BC 于点C,CF⊥AB 于点F,图中是△ABC 的高的线段有( )
A.1条 B.2条 C.3 条 D.4 条
类型二 三角形的中线
2.如图,在△ABC 中,AB=8,AC=5,AD 为中线,则. 与 的周长之差为 .
3.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,点 E 在边AB 上, 与四边形ACDE 的周长相等.
(1)求证:BE=AE+AC;
(2)若AB=10,AC=6,求 AE的长.
类型三 三角形的角平分线
4.已知AE 是 的平分线,D 是射线BC 上一点,连接AD.若∠BAD=60°,∠CAD=30°,求∠BAE 的度数.
类型四 “三线”综合
5.如图,在 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法错误 的是( )
突破3 三角形(三) 求面积
类型一 多中线求面积
1.如图,已知 AD 是△ABC 的中线,CE 是△ACD 的中线,若△ABC 的面积为12,则△CDE 的面积为 .
2.如图,BD 是△ABC 的中线,点 E,F 分别为BD,CE 的中点,若△AEF 的面积为 ,则△ABC 的面积是( )
3.如图,△ABC 的三条中线AD,BE,CF 交于点O,S阴影部分 ==6,则S△ABC为( )
A.16 B.18 C.24 D.不能确定
类型二 中线+线段比求面积
4.如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,且AE : CE=3: 1,S△CEP =1,则S△BPC== .
5.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,点 D 在边BC 上,BD:CD=5:8,AD,BE交于点F,若△ABC 的面积为 26,则S_{ \triangle AEF}-S_{ \triangle BDF} 的值为 .
C
突破 4 三角形(四) 面积法
类型一 三高图与面积法
1.在 Rt△ABC 中, ，则AB 边上的高的长度是 .
类型二 平行线与面积法
2.如图,在长方形ABCD 中,F 是 BC 上(不与 B,C 重合)的任意一点,图中面积一定相等的三角形有 对.
类型三 垂线段与面积法
3.如图,△ABC 是等腰三角形,O 是底边BC 上任意一点,过点 O 作( AB 于点E,作 OF⊥AC于点F,若( 的面积为12,则 AB 的长为 .
类型四 线段比与面积法
4.如图,在 中,AD 是中线, 于点E， 于点 F,若A 6 cm,AC=4 cm,则 的值为 .
类型五 线段最值与面积法
5.如图,在 中,BC=9,D,E分别是CB,AB 上的点,( 3BE,连接AD,CE 交于点 F.当四边形BEFD 的面积为 时，AB长度的最小值为 .
突破5 三角形(五) 内角和
类型一 内角和+内角关系
1.在△ABC 中,∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,求△ABC 各个内角的度数.
2具备下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C
C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A:∠B:∠C═1:2:3
类型二 内角和十角分线
3如图,在△ABC 和△ACD 中,BD 平分∠ABC,∠ABC=∠ACD═56°,∠ACB=68°,则∠BDC 的度数为( )
A.56° B.58° C.22° D.28°
4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=2∠C,BE⊥AC于点E.
(1)求证:∠CBE-∠ABE=∠C;
(2)若 DG 平分∠ADC,试说明 DG∥BE.
类型三 内角和十平行线
5.如图,在 中,E,G 分别是AB,AC 上的点,F,D是BC上的点,连接EF,AD,DG,AB∥DG,∠1+∠2=180°.
(1)求证:.
(2)若 DG 是 的平分线， 求 的度数.
6如图,在四边形ABCD 中,∠ADC+∠C=202°,E 为对角线BD上一点,点 F,G分别在AB,CD边上,且EF∥DA,EG∥BC,求∠FEG 的度数.
7.如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠C=α,D 是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=50°,F 为线段BC 上一点,连接EF,过点 D 作DG∥AC 交EF 于点G,
(1)若α=70°,求∠EDG 的度数;
(2)若∠FEC=2∠DEF,3∠DGF=2∠BFG,求α的值.
类型四 内角和十垂线
8.在△ABC中,∠B=2∠C,AE平分∠BAC.
(1)如图1,若AD⊥BC于点 D,∠C=35°,求∠DAE 的度数;
(2)如图2,若EF⊥AE交AC于点F,求证:∠C=2∠FEC.
突破6 三角形(六) 外角
类型一 外角+内角
1.如图,在△ABC 中,∠B=45°,∠C=38°,E 是BC 边上一点,ED 交CA 的延长线于点D,交AB 于点F,∠D=32°.求∠BFE 的度数.
C
类型二 外角+外角
2.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,则∠1,∠2,∠3的数量关系为( )
A.∠3=∠2+∠1 B.∠3=∠2+2∠1
C.∠3+∠2+∠1=180° D.∠1+∠3=2∠2
类型三 外角+等角
3.如图,∠BAE=∠AEB,∠CAD=∠ADC,∠DAE=28°,则∠BAC 的度数 为 .
D
4.如图,在△ABC 中,∠BAC=∠ACB,M,N 为BC 上两点,且∠BAM=∠CAN,∠MAN=∠AMN,求∠MAC 的度数.
类型四 外角+平行线
5.如图,在△ABC 中,E 和F 分别是AC,BC上一点,EF∥AB,∠BCA 的平分线交AB 于点 D,∠MAC 是△ABC 的外角,若∠MAC=α,∠EFC=β,∠ADC=γ,则α,β,γ三者间的数量关系是( )
A.β=α+γ B.β=2γ-α C.β=α+2γ D.β=2α-2γ
6.如图,在△ABC 中,D 为BC 上一点,∠C=∠BAD,△ABC 的角平分线BE 交AD 于点F. G 为BC上一点,FE 平分∠AFG.求证:FG∥AC.
类型五 外角+方程思想
7.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D 为BC 边上的一点,点 E 在AC 边上,∠ADE=∠AED,若∠BAD=24°,则∠CDE 的度数为( )
A.12° B.14° C.16° D.24°
类型六 外角+整体思想
8.在△ABC 中,∠A=α(40°<α<60°),点M 在△ABC 的内部,过点 M 的直线分别交AB,AC 于点P,Q,若∠APQ=2∠ABM,∠AQP=2∠ACM,则∠BMC 的大小是( )
A.90°+α C.2α
突破7 多边形(一) 边
类型一 计算边
1.一个多边形的内角和与它的外角和的比为3：1，则这个多边形的边数为 .
2.一个多边形的内角和比它的外角和的 2倍还大180°，这个多边形的边 数是 .
3.一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形是 边形.
4.如果一个多边形的一个内角的外角与其内角的和为600°，那么这个多边形的边数为 .
5.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是 1 440°，则原来多边形的边数是 .
类型二 计算对角线
6.六边形对角线的总条数是( )
A.7条 B.8条 C.9条 D.10条
7.一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( )
A.9 条 B.8条 C.7 条 D.6 条
8.一个正多边形的每一个内角都等于135°，那么从这个多边形的一个顶点可以引对角线的条数是( )
A.4 条 B.5 条 C.6条 D.8条
突破8 多边形(二) 角
类型一 多边形的外角和
1.如图,五边形 ABCDE 的一个内角∠BAE=120°,则∠1+∠2+∠3+∠4等于( )
A.100° B.180° C.280° D.300°
类型二 多边形+角平分线
2.如图,在五边形ABCDE中,∠A+∠B+∠E=300°,DP,CP 分别平分∠EDC,∠BCD,则∠P 的度数为 .
类型三 多边形+三角形
3.如图,在△ABC中,若 DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°,则∠C 的度数为 .
类型四 多边形+多边形
4.如图,正五边形ABCDE 和正六边形EFGHMN 的边CD，FG 在直线l上，两个正多边形均在l的同侧，则∠DEF 的大小是 度.
类型五 多边形+平行线
5.将每一个内角都是108°的五边形按如图所示方式放置,若直线m∥n,则∠1和∠2 的数量关系是( )
A.∠1+∠2=90° B.∠1=∠2+72°
C.∠1=∠2+36° D.2∠1+∠2=180°
类型六 构建外角和
6如图,在七边形ABCDEFG 中,EF,BA 的延长线相交于点P,若∠ABC,∠BCD,∠CDE,∠DEF 的外角的度数和为 230°,则∠P 的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
突破9 实践操作(一) 三角板摆放
类型一 一块三角板，求角度
1.如图，直尺经过一块三角板 DCB 的直角顶点B，若 20°,∠DEF 的度数为 .
类型二 一副三角板，求角度
2.如图，这是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC 的度数为( )
A.50° B.60° C.75° D.80°
3.一副三角板按如图所示放置,点 A 在DE 上,点 F 在BC 上,若 则∠DFC 的度数为 .
C
4生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获.下面用一副三角板(在 中， 在 中， 拼接图形.
(1)如图1,点 D 在 BC 上,求 的度数；
(2)如图 2,点 B 与点 D 重合,AC 交BF 于点M,若 判断并证明 BC 与 EF 的位置关系.
突破10 实践操作(二) 多边形折叠
类型一 对应点在边上
1.如图,在四边形纸片 ABCD 中, ，将纸片折叠，使点 C，D落在AB 上的点C',D'处,折痕为MN,则∠MNC'的度数为( )
A.70° B.75° C.80°
2.已知一张三角形纸片 ABC(如图甲)，其中 .将纸片沿过点 B的直线折叠，使点C 落到AB边上的E 点处，折痕为BD(如图乙).再将纸片沿过点 E 的直线折叠，点A 恰好与点 D 重合，折痕为 EF(如图丙).原三角形纸片 ABC 中， 的度数为 .
类型二 对应点在形内
3.如图,将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠,点 A 落在点 F 处,已知 100°,则∠A 的度数为( )
A.80° B.100° C.50° D.以上都不对
4.如图,将正五边形纸片 ABCDE 折叠,使点 B 与点 E 重合,折痕为 AM,展开后，再将纸片折叠，使边AB 落在线段AM上，点B 的对应点为点. ，折痕为AF，则 的度数为 .
类型三 对应点在形外
5.如图,在 中， 将 沿着直线l 折叠，点C 落在点 D 的位置,则∠1—∠2的度数是( )
A.88° B.94°
突破11 求角思想方法(一) 方程思想
类型一 设一元
1.如图,BD 是△ABC 的角平分线,AE⊥BD交BD 的延长线于点E, ∠C:∠ADB=2:3,求∠BAC 和∠DAE 的度数.
2.如图,在 中,AH 平分 交BC 于点 H,点 D,E 分别在CA,BA的延长线上，
(1)求证:DB∥EC;
(2)若∠ABD=2∠ABC,∠DAB 比∠AHC 大12°,求∠D 的度数.
类型二 设双元
3.如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC,CE 平分 的邻补角. ，交BA 的延长线于点E,若∠BDC=127°,∠E=44°,则∠BAC 的度数为( )
A.110° B.114° C.118° D.120°
类型三 设多元
4.如图,在△ABC 中, 的三等分线相交于点D，E，F(其中∠CAD=2∠BAD,∠ABE=2∠CBE,∠BCF=2∠ACF),且 的三个内角分别为∠DFE=54°,∠FDE=60°,∠FED=66°,则∠BAC 的度数为( )
A.54° B.60° C.66° D.48°
突破12 求角思想方法(二) 整体思想
类型一 求单角
1.将两张三角形纸片如图摆放,量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°,则∠5 的度数为( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
类型二 求两角之和
2小明把一副含45°,30°的直角三角板如图摆放,其中∠C=∠F=90°,∠A=∠B=45°,∠D=30°,∠E=60°,则∠α+∠β等于( )
A.180° B.210° C.240° D.270°
3.如图，由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，∠3=60°,则∠1+∠2的度数为 .
4.在如图所示的折线图形中，α+β的度数为 .
类型三 求多角之和
5.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为( )
A.180° B.270° C.360° D.540°
突破13 求角思想方法(三) 转化思想
类型一 转化为三角形的内角和
1.如图,已知∠A=60°,则∠D+∠E+∠F+∠G 的度数为( )
A.180° B.240° C.300° D.360°
类型二 转化为四边形的内角和
2.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数为( )
A.180° B.360° C.540° D.720°
3.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是( )
A.360° B.480° C.540° D.720°
类型三 转化为五边形的内角和
4.如图,若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n·90°,则n=
类型四 转化为多边形的内角和
5.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= .
突破 14 求角思想方法(四) 参数思想
类型一 设单参
1.如图,在△ABC中,点D,E 分别在边 BC,AC上,∠DCE=∠DEC,点F 在AC上,点G 在DE 的延长线上,∠DFG=∠DGF.若∠EFG=37°,则∠CDF 的度数为 .
2.如图,AB,CD 相交于点O,∠A=48°,∠D=46°.若直线 BM 平分∠ABD 交CD 于点F,CM 平分∠DCH 交直线BF 于点M,求∠BMC 的度数.
类型二 设双参
3.如图,C,A,G 三点共线,C,B,H 三点共线,2∠CAD=∠BAD,2∠CBD=∠ABD,∠GAE=2∠BAE,∠EBH=2∠EBA,则∠D 和∠E 的关系为( )
A.2∠E+∠D=360° B.2∠E+∠D=360°
C.2∠E+∠D=360° D.2∠E+∠D=360°
4.如图,在△ABC 中,AE 平分∠BAC,AD⊥BC 于点 D,∠ABD 的平分线 BF 所在直线与射线AE 相交于点G,若∠ABC=3∠C,且∠G=18°,则∠DFB 的度数为( )
A.40° B.44° C.50° D.54°
突破 15 求角思想方法(五) 特殊到一般
1.点 A,B 分别在 的边OM,ON 上运动(不与点O 重合),D 为ON 下方一点,连接AD,BD,C 为射线DB上的点.
(1)【探究发现】如图1，若 求∠D 的度数；
(2)【类比推理】如图2，若 则∠D 的度数为 (用含n和α的式子表示).
2.如图,在锐角. 中， 于点 D,BM 平分. 交AC 于点M, 于点 N.
(1)如图1,若 求 的度数；
(2)如图2,若 求 的度数.
突破16 求角思想方法(六) 分类讨论
类型一 单高位置不确定
1. AE 是△ABC 的角平分线,AD 是BC 边上的高,且∠B=40°,∠ACD=70°,则∠DAE 的度数为 .
类型二 双高位置不确定
2.在△ABC 中,∠A=55°,BD,CE 是它的两条高,直线BD,CE 交于点F,则∠DFE 的度数为 .
类型三 直角不确定
3.在△ABC中,其中一个内角度数是40°,且∠B=∠C,点 D 在直线BC 边上,连接AD,若△ABD 为直角三角形,则∠ADC 的度数为 .
突破17 导角模型(一) 余角与补角
类型一 互余导角
1.如图，脊柱侧弯测量示意图，cobb角∠O的大小是脊柱侧弯严重程度的参考标准之一.一次体检中，若测得某人 cobb角∠O=45°，则图中与∠O 相等的角有( )
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4 个
类型二 互补导角
2.如图,在四边形ABCD 中, ,点 E 在边AD 上,连接 BE,若∠D 与∠EBC互补,则∠EBA 的度数为 .
类型三 等角导互余
3.如图,在四边形ABCD中,. ,点E在AB 上,连接CE,DE.
(1)若 ,则∠CED 的度数是 ;
(2)若∠1=∠2,求证:
类型四 等角导互补
4如图,在四边形 ABCD 中,点 E 和点 F 和分别在边CD 和 BC 上,并且
(1)请判断直线 AD 和直线BE 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若 BE 是∠ABC 的平分线, 求 的度数.
突破 18 导角模型(二) 一线三等角
类型一 一线三垂直
1.如图,点 C 在BD 上,∠B=∠D=∠ACE=90°.若∠A=50°,求∠DCE 和∠E 的度数.
类型二 同侧一线三等角
2.如图,P 是∠BAC 内一点,∠B=40°,∠C=30°,过点 P 作直线EF,分别交AB,AC 于点E,F.若∠BEP=∠BPC=∠PFC,求∠A 的度数.
3如图,∠ABC 的平分线BE交AD 于点E,连接CE,若∠A=∠D=∠BEC,且∠BCD=70°,求∠BCE 的度数.
C
类型三 异侧一线三等角
4.如图,点E,F 在BC 的延长线上,∠DEF=∠ACF=∠ABD,∠A=20°,∠D=50°,求∠ABD 的度数.
突破 19 导角模型(三) 8字形
类型一 8字形
1.如图,AC,BD 交于点 E,∠ACD 的平分线交 BA 的延长线于点F,若∠B=∠ACD,求证:
类型二 8字形+角分线
2.如图,直线AP 平分∠BAD,CP 平分∠BCD 的邻补角∠BCE,则∠P与∠B,∠D 的数量关系是( )
A.2∠P--∠B+∠D=180° B.2∠P-∠B-∠D=180°
C.2∠P+∠B-∠D=180° D.2∠P+∠B+∠D=360°
3. AB,CD 相交于点O,∠A=48°,∠D=46°.
(1)如图1,若BE 平分∠ABD 交 CD 于点 F,CE 平分∠ACD 交 AB 于点 G,求∠BEC 的度数;
(2)如图2,若直线 BM 平分∠ABD 交CD 于点 F,CM 平分∠DCH 交直线BF 于点 M,求∠BMC 的度数.
突破 20导角模型(四) 燕尾形
类型一 单燕尾形
1.形如燕尾的几何图形我们通常称之为“燕尾形”.如图，是一个燕尾形，已知∠ADC=105°,∠ABC=63°,∠A=22°,则∠C 的度数为 .
类型二 双燕尾形
2.小茗同学设计了如图所示的一个零件,如果∠A=52°,∠B=25°,∠C=30°,∠D=35°,∠E=72°,那么∠F 的度数是 .
类型三 燕尾形+双角平分线
3.如图,∠ABD 和∠ACD 的平分线交于点E,∠A+∠D=220°,求∠BEC 的度数.
4.如图,点 D 为∠BAC 内一点,连接 BD,CD,∠B>∠C,0°<∠BDC≤180°,∠BAC,∠BDC 的平分线交于点E.
(1)若∠B=50°,∠C=20°,求∠E;
(2)直接写出∠B,∠C,∠E 之间的数量关系是 .
突破21 夹角模型(一) 双内角平分线
类型一 三角形两内角平分线
1.如图,BE,CF 是△ABC 的角平分线,∠A=40°,BE,CF 相交于点 D,则∠CDE的度数是( )
A.100° B.90° C.80° D.70°
2.在△ABC中,∠B,∠C 的平分线相交于点O,∠BOC=150°,则∠A 的度数为 .
类型二 三角形三内角平分线
3.如图,已知 P 为△ABC 三条内角平分线AD,BE,CF 的交点,DG⊥PC 于点G，则下列选项中的角一定与∠PDG 相等的是( )
A.∠ABE B.∠DAC C.∠BCF D.∠CPE
类型三 三角形两内角的三等分线
4.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB 的三等分线交于点E,D,若∠BEC=120°,则∠BDC 的度数为 .
类型四 四边形一组对角的角平分线
5.如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,BE 平分∠ABC,交AD 于点E,DF 平分∠ADC,BE,CD 的延长线交于点G.
(1)∠ABC+∠ADC 的度数是 ;
(2)求证:∠G=∠CDF.
6.如图,在四边形ABCD 中,∠ABC 与∠ADC 互补,∠DAB 和∠BCD 的平分线交于点O，设∠ABC=x°，则∠AOC的度数用x的代数式表示为 .
类型五 多边形一组邻角的角平分线
7.如图,在六边形ABCDEF 中,∠A+∠F+∠E+∠D=α,∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P,则∠P 度数为( )
突破22 夹角模型(二) 双外角平分线
类型一 双外角平分线
1.如图,在△ABC 中,BO,CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的外角平分线,∠A+∠O=130°,则∠A 的度数为( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
类型二 双外角平分线十单内角平分线
2.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB,AD,BD,CD 分别平分△ABC的外角∠EAC,内角∠ABC,外角∠ACF,以下结论:①AD∥BC;②∠ACB=2∠ADB;③∠ADC=90°- 其中正确的是( )
A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.②③④
类型三 双外角平分线+双内角平分线
3.如图,在△ABC 中,BD,CD 分别平分∠ABC,∠ACB,BG,CG 分别平分三角形的两个外角∠EBC,∠FCB,则∠D 和∠G 的数量关系为( )
B.∠D+∠G=180°
突破23 夹角模型(三) 内外角平分线
类型一 三角形的内外角平分线
1.如图,BP 是△ABC 的角平分线,CP 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线,若∠ABP=20°,∠ACP=50°,则∠A+∠P=( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
类型二 多重三角形的内外角平分线
2.如图,在△ABC中, 分别是内角∠CAB，外角∠CBD 的三等分线，且 在 中， 分别是内角. 外角. 的三等分线，且. …以此规律下去，若∠C=m,则.∠E 的度数为 .
类型三 四边形的内外角平分线
3.如图,DF 为四边形ACDB 外角∠BDE 的平分线,CF 平分∠ACD,若∠A=140°,∠B=110°,则∠CFD 的度数是 .
4.如图,在四边形 ABCD 中,∠A=x,∠C=y,∠ABC 的平分线与∠ADC 的外角平分线交于点Q，则∠Q 的度数是 (用含x，y的代数式表示).
突破24 夹角模型(四) 高与角平分线
类型一 共顶点的高与角平分线
1.如图,在△ABC 中,∠A=35°,∠B=75°,CD 是AB 边上的高,CE 是△ABC 的角平分线,DF⊥CE 于点 F.
(1)求∠ECB 的度数;
(2)求∠CDF 的度数.
类型二 不共顶点的高与角平分线
2.如图,在△ABC中,BE 是AC 边上的高,AD 是△ABC 的角平分线,AD 交BE 于点F,∠ABC=54°,∠C=76°,求∠EFD的度数.
3.如图1,在△ABC中,CD 是AB边上的高,∠A=∠DCB.
(1)试说明:∠ACB=90°;
(2)如图2,如果 AE 是角平分线,AE,CD 相交于点 F,那么∠CFE 与∠CEF 的大小相等吗 请说明理由.
类型三 角平分线+垂线
4.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,P 为AD 延长线上一点,PE⊥BC 于点E,∠ACB=70°,∠B=24°,求∠P 的度数.
5. (1)如图1,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,P 为线段AD 上的一点,过点 P 作 PE⊥AD 于点 P 交直线 BC 于点 E,当∠B=50°,∠BCA=70°时,∠PED 的度数为 ;
(2)如图2,AD 平分△ABC 的外角∠CAF,P 是 AD 上一点,PF⊥AD 交 BA 的延长线于点 F,交 AC 的延长线于点G,若∠B=α,∠BCA=β,求∠PED 的度数(用含有α,β的式子表示).
6.如图,AE 是△ABC 的角平分线,CD⊥AE,垂足为F,与AB 交于点D.
(1)如图1,若∠BAC=80°,∠B=30°,求∠BCD 的度数;
(2)如图 2,点 G 在线段BC 上,且∠BDG=∠BAC.求证:∠GDC 与∠CAE 互余.