昌平一中教育集团 2024-2025学年第一学期期中联合质量检测
初三 数学试卷 2024.10
数学参考答案及评分标准
一、选择题（共 8道小题，每小题 2分，共 16分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B A D B C
二、填空题（共 8道小题，每小题 2分，共 16分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
答案不唯一
x 5 3答案 ≠ 6 0＜k＜4 1 ①③
∠ADE=∠C 2
三、解答题（共 12道小题，第 17-22题，每小题 5分，第 23-26题，每小题 6分，第 27、28题，每小题
7分，共 68分）
17.解：（1）83°；………………………………………………………………………………………………2分
（2） ∵四边形 ∽四边形 ′ ′ ′ ′，
∴ 8 = 11 =
9
6，……………………………………………………………………………………………3分
33
解得： = 12， = 2． ………………………………………………………………………………5分
18．解：（1）抛物线的对称轴为直线 x=1；…………………………………1分
（2）二次函数 y=x2 2x 3的图象如图所示：………………………3分
（3）观察图象得，当自变量0 x 3时
当 x 1时， y取最小值，此时 y 4，
当 x 3时， y取最大值，此时 y 0，
∴当0 x 3时， 4 y 0．
即：函数最大值为 0，最小值为 4．……………………………………5分
19．解：（1）△AOE，△BOD，△BCE（写出一个即可）………………………….…………………2分
（2）△AOE∽△ACD（答案不唯一）
证明：∵△ABC的高 AD， BE 相交于点 O，
∴ AEO ADC 90 ．……………………………….………………………………………. 3分
∵ OAE CAD，……………………………….………………………………………………. 4分
∴△AOE∽△ACD．…………………………………………………………………….…………. 5分
20.（1）解：把（0，0）代入 y＝x2﹣mx+m﹣2得 m﹣2＝0，解得 m＝2，……….………………………1分
所以抛物线表达式为 y＝x2﹣2x；……….…………………………………………………………2分
（2）证明：令 y=0，则 x2﹣mx+m﹣2=0
△＝（﹣m）2﹣4（m﹣2）……….…………………………………………………………3分
＝m2﹣4m+8
＝（m﹣2）2+4
∵（m﹣2）2 ≥0
∴（m﹣2）2+4＞0…….…………………………………………………………………5分
∴方程有两个不相等的实数根，可得两个交点横坐标
∴无论 m为任何实数，该二次函数的图象与 x轴都有两个交点．
21．解：∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ // ，………….…………………………………………………………………………………1分
∴△ ∽△ ，……………………………………………………………….…………………2分
∴ = ，…………………………….………………………………………………………………3分
∵ = 20， = 1.8， = 2，
∴ = + = 22，……………………………………4分
∴ 1.8 =
2
22，
∴ = 19.8(米)，
∴信号发射塔的高度为 19.8米． …………………………5分
A 2 4 4 k22．解：（1）将 ， 代入反比例函数表达式得： ，
2
解得： k 8，
8反比例函数的表达式为：y ，………………………………………………………1分
x
点 B在反比例函数图象上，且点 B的横坐标为 4，
8
当 x 4时， y 2，
4
B 4，2 ，……………………………………………………………………………………2分
4k b 2
把 A 2，4 ， B 4，2 代入一次函数表达式得： ，
2k b 4
k 1
解得： ，
b 6
一次函数的表达式为： y x 6；…………………………………………………………3分
（2）在 y x 6中，当 y 0时， x 6 0，
解得： x 6，
C 6，0 ，………………………………………………………………………………………4分
OC 6，
S 1 1 AOC OC yA 6 4 12．…………………………………………………………5分2 2
23．（1）证明：∵四边形 ABCD是矩形
∴ A B D 90 ，…………………………………………………………………1分
∵沿直线CE将△CBE翻折，使得 B落在 AD边上，
∴ EFC 90
∴ AFE CFD 90
∵ AFE AEF 90
∴ AEF CFD…………………………………………………………………………2分
∵ A D
∴△AEF∽△DFC；………………………………………………………………………3分
（2）解：∵△AEF∽△DFC
EF AF 1
∴ ，即
FC CD =3 6
解得 AF=2…………………………………………………………………………………………4分
∵四边形 ABCD是矩形
∴ AD BC
∵沿直线CE将△CBE翻折，使得点 B落在 AD边上，
∴ FC BC
∴ AD FC
∵∠D = 90°
∴DF 2 CD2 FC 2 ，即(AD-2) +6 =AD ……………………………………………………5分
解得 x=10
∴BC = AD = 10．…………………………………………………………………………………6分
24．(1)根据题意，得抛物线的对称轴为直线 x＝1，经过点（0，10），（3，7）．
设 y关于 x的函数表达式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
2 = 1,∴ = 10,
9 + 3 + = 7,
= 1,
解得 = 2,
= 10.
∴ y关于 x的函数表达式为 y＝－x2＋2x＋10 ；………………………………………………………………3分
(2)令 y＝0，则－x2＋2x＋10＝0，……………………………………………………………………………4分
解得 = 1 + 11或 = 1 11（不合题意，舍去）．………………………………………………………5分
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离 OB为 1 + 11 …………………………………………………6分
25．(1)解：函数的图象如下：
………………………………………………………………………2分
(2)解：根据(1)中图象可得：当 = 40时， ≈ 30.0，
故答案为：30.0(答案不唯一)；………………………………………………………………………………4分
(3)解：根据(1)中图象可得：当 = 40时， ≈ 1或 ≈ 45，
45 1 = 44，
故答案为：44(答案不唯一)；…………………………………………………………………………………6分
26．解：（1）将点 1,m 和 3,n 代入二次函数 y x2 bx c中，
得：m 1 b c，n 9 3b c，
当m n时，
则 1 b c 9 3b c，
解得：b 2；…………………………………………………………………………………………………2分
（2） n m c，m 1 b c，n 9 3b c，……………………………………………………3分
9 3b c 1 b c c，
解得： 1 b 2， ……………………………………………………………………………………………5分
抛物线的对称轴为 x t，
t b b ，
2a 2
1 b
1，
2 2
1
t 1．…………………………………………………………………………………………………6分
2
27．(1)解：(1)补全图形，如图．……………………………………………………………………………1分
①证明：如图①，设 与 的交点为 ．
根据题意可知，∠ = 90 ．
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90 ．
∴ ∠ + ∠ = 90 ，∠ + ∠ = 90 ．
∵ ∠ = ∠
∴ ∠ = ∠ ．………………………………………………………………………………………………3分
② = 2 ．…………………………………………………………………………………………4分
证明：如图②，过点 作 ⊥ 交 于点 ．
∵ = ，∠ = 90 ，
∴ ∠ = 45 .
∴ = ，∠ = 45 ．
∴ ∠ = ∠ = 135 ．
∴ ≌ ．
∴ = .
∵ = 2 ，
∴ = 2 ．…………………………………………………………………………………………6分
(2)过点 作 ⊥ 交 的延长线于点 ，如图③，
∵ ∠ = ∠ = 90 ，∠ = ∠
∴ ∠ = ∠
∵ ∠ = ∠ = 45
∴ ∠ = 45
∴ ∠ = 45
∵ ∠ = 90
∴ ∠ = 45
∴ =
∴ = 2
又∠ = 90
∴ ∠ = ∠ ，
在 和 中，
=
∠ = ∠
∠ = ∠
∴ ≌
∴ = = + = 2 +
∴ = 2 ．……………………………………………………………………………………………7分
28．解：(1)①如图 1中，
观察图形可知，与线段 互为“近邻图形”的是 2， 3．
故答案为： 2， 3；……………………………………………………………………………………………2分
②如图②中，
当直线 = + 在点 的上方时，过点 作 ⊥直线 = + ，
过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ．
不妨假设 = 1，则 = = 2，2
∴ (2 2 , 4 + 22 2 )，
∴ 4 + 2 2 ，2 = 2 2 +
∴ = 2 + 2，
当直线 = + 在点 的下方时，过点 作 ⊥直线 = + ，
不妨假设 = 1，同法可得 (5 + 22 , 2
2
2 )，
∴ 2 22 = 5 +
2 + ，2
∴ = 3 2，
观察图象可知，满足条件的 的取值范围为 3 2 ≤ ≤ 2 + 2；………………………………………5分
(2)如图 3中，
观察图象可知，满足条件的 的值为 2 ≤ ≤ 2 + 2．…………………………………………………7分昌平一中教育集团 2024-2025学年第一学期期中联合质量检测 6．已知二次函数 y ax2 bx c a 0 ，其中b 0， c 0，则该函数的图象可能是
初三 数学试卷 2024.10
本试卷共 4页，三道大题，28个小题，满分 100分。考试时间 120分钟。考生务必将
答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请交回答题卡。
一、选择题（共 8道小题，每小题 2 分，共 16 分）
第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 （A） （B） （C） （D）
1．我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献，优选法中有一种 0.618法应用了 7．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象，两千四百多年前，我国学
（A）黄金分割数 （B）平均数 （C）众数 （D）中位数 者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图 1是某次小孔成像实验图，抽
象为数学问题如图 2：AC与 BD交于点 O，AB∥CD，若点 O到 AB的距离为 10cm，点 O
2．将抛物线 y=2x2平移后得到抛物线 y=2x2 1，则平移方式为
到 CD的距离为 15cm，蜡烛火焰 AB的高度是 3cm，则蜡烛火焰倒立的像 CD的高度是
（A）向左平移 1个单位 （B）向右平移 1个单位
（C）向上平移 1个单位 （D）向下平移 1个单位
3．下列各组中的四条线段成比例的是
（A）3cm，5cm，6cm，9cm （B）3cm，5cm，8cm，9cm 9 15
（A）2cm （B） cm （C） cm （D）9cm
（C）3cm，6cm，7cm，9cm （D）3cm，9cm，10cm，30cm 2 2
2
4．下列函数中，当 x 0时，y随 x的增大而减小的是 8．函数 y x 4 x 2的自变量 x的取值范围为全体实数，其中 x 0部分的图象如图所
4 y 3 示，对于此函数有下列结论：（A） y 2x （B） y （C） x （D） y = x
2
x ①函数图象关于 y轴对称；
5．如图，△ABC∽△A'B'C'，AD和 A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，若 AD=2，A'D'=3， ②函数既有最大值，也有最小值；
则△ABC与△A'B'C'的面积的比为 ③当 x< 2时，y随 x的增大而减小；
（A）4：9 （B）9：4 ④当 6 a 2时，关于 x的方程
（C）2：3 （D）3：2 x2 4 x 2 a有 4个实数根；
其中正确的结论个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
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2
二、填空题（共 8道小题，每小题 2 分，共 16 分） 16．平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线C : y ax bx c a 0
9．在函数 y 1 中，自变量 x的取值范围是_______． 与直线 l : y kx n k 0 如图所示，有下面四个推断：
x 5
10．如图，点 D，E分别在△ABC的 AB，AC边上．只需添加一个条件即可证明△ADE∽△ACB， 2①二次函数 y ax bx c a 0 有最大值；
这个条件可以是__________．(写出一个即可)
x 3
y 1 x y ②抛物线 C关于直线 对称；
11 2．已知 ，则 _______．
x 2 x
③关于 x的方程 ax2 bx c kx n的两个实数根为 x1 4， x2 0；
12．点 A ( 3, y1)，B (2, y2 )在抛物线 y x2 5x上，则 y1 ________ y2．（填“ ”，“ ”
④若过动点M m,0 垂直于 x轴的直线与抛物线 C和直线 l分别交于点P m, y1 和
或“ ”）
13．如图，AB∥CD∥EF，点 C，D分别在 BE，AF上．如果 BC=6，CE=9，AF=10，那么 Q m, y2 ，则当 y1 y2 时，m的取值范围是 4 m 0．
DF的长为 ． 其中所有正确推断的序号是___________．
三、解答题（共 12道小题，第 17-22题，每小题 5分，第 23-26题，每小题 6分，第 27、
28题，每小题 7分，共 68分）
17．如图，四边形 ABCD∽四边形 A'B'C'D'．
10题图 13题图
14．如图，已知反比例函数 y k 的图象经过点 A，过点 A作 AB⊥x轴交 x轴于点 B．△AOB
x
的面积小于 2，则 k的取值范围是_____．
AF 1 （1）α=______；
15．如图，在矩形 ABCD中，若 AB 3，AC 5， ，则 AE的长为_______．
FC 4 （2）求边 x、y的长度．
18．已知二次函数 y=x2 2x 3．
（1）求二次函数 y=x2 2x 3图象的对称轴；
（2）在平面直角坐标系 xOy中，画出二次函数 y=x2 2x 3的图象；
14题图 15题图 （3）当0 x 3时，结合图象直接写出函数的最大值和最小值．
初三 试题 第 2页 共 4页
19．如图，△ABC的高 AD，BE相交于点 O． 23．如图，点 E是矩形 ABCD的边 AB上一点，沿直线 CE将△CBE翻折，使得点 B落在 AD
边上，记作点 F．
（1）求证：△AEF∽△DFC；
EF 1
（2）若 ，且 CD=6，求 BC的长．
FC 3
（1）写出一个与△ACD相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______；
（2）请任选一对进行证明．
24.2024年巴黎奥运会，中国跳水队史上首次包揽所有项目的 8块金牌，优秀成绩的取得离
不开艰辛的训练．某跳水运动员在 10m 高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运
20．已知：二次函数 y x2 mx m 2 动轨迹是一条抛物线，运动员离水面 OB的高度 y(m)与离起跳点 的水平距离 x(m)之间的函
（1）若图象经过原点，求二次函数的表达式； 数关系如图所示，运动员离起跳点 的水平距离为 1m时达到最高点，当运动员离起跳点 A
（2）求证：无论 m为任何实数，该二次函数的图象与 x轴都有两个交点． 的水平距离为 3m时，离水面的高度为 7m.求：
（1）y关于 x的函数表达式；
21．如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度.他站在 （2）运动员从起跳点到入水点的水平距离 OB．
该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与
塔的影子的顶端重合，此时他与该塔的距离 CE=20米.
已知小明的身高 DE为 1.8米，他的影长 AE为 2米. 25.“夏至”是二十四节气的第十个节气，《烙遵宪度》中解释道：“日北至，日长之至，日
求信号发射塔的高度 BC． 影短至，故曰夏至，至者，极也．”夏至入节的时间为每年公历的 6月 21日或 6月 22日．
某小组通过学习、查找文献，得到了夏至日正午中午 12时，在北半球不同纬度的地方，100cm
k
22．如图，直线 y k x b与反比例函数 y 2 x 0 的图象交于点 A，B，与 x轴交于点 高的物体的影长和纬度的相关数据，记纬度为 x(单位：度)，影长为 y(单位：厘米)， 与 1 x
的部分数据如下表：
C，其中点 A的坐标为(-2,4)，点 B的横坐标为-4．
x 0 5 15 23.5 25 35 45 55 65
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
2 AOC y 43.5 33.4 15.0 0 2.6 20.3 39.4 61.3 88.5（ ）求△ 的面积．
（1）通过分析上表数据，发现可以用函数刻画纬度 x和影长 y之间的关系，在平面直角坐
标系 xOy中，画出此函数的图象；
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（1）如图 1，点 P在线段 AB上，依题意补全图形；
①求证：∠BDP=∠PCB；
②用等式表示线段 BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点 P在线段 AB的延长线上，直接写出线段 BC，BD，BP之间的数量关系．
28．定义：对于平面直角坐标系 xOy中的两个图形 M，N，图形 M上的任意一点与图形 N
上的任意一点的距离中的最小值，叫做图形 M与图形 N的距离．若图形 M与图形 N的距离
小于等于 1，称这两个图形互为“近邻图形”．
（2）北京地区位于大约北纬 40度，在夏至日正午，100cm高的物体的影长约为______cm(精
（1）已知点 A(2,4)，点 B(5,4)．
确到 0.1)；
9
（3）小红与小明是好朋友，他们生活在北半球不同纬度的地区，在夏至日正午，他们测量 ①如图 1，在点P1 (1,2)，P2 (3,3)， P3 (4, )中，与线段 AB互为“近邻图形”的是______．2
了 100cm高的物体的影长均为 40cm，那么他们生活的地区纬度差约是______度． ②如图 2，将线段 AB向下平移 2个单位，得到线段 CD，连接 AC，BD，若直线 y=x+b与
26．在平面直角坐标系 xOy中，已知点 1,m 和 3,n 在二次函数 y x2 bx c的图象 四边形 ABDC互为“近邻图形”，求 b的取值范围；
x t （2）如图 3，在正方形 EFGH中，已知点 E(m,0)，点 F(m+1,0)，若直线 y=-x+2与正方形上，设抛物线的对称轴为 ．
m n EFGH互为“近邻图形”，直接写出 m的取值范围．（1）当 时，求 b的值；
（2）若 n m c，求 t的取值范围．
27．在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点 B作 BC的垂线 l点 P为直线 AB
上的一个动点(不与点 A，B重合)，将射线 PC绕点 P顺时针旋转 90°交直线 l于点 D．
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