3.6二次函数的应用（第1课时）课件(共24张PPT)-九年级数学上册精品课堂（鲁教版五四制）

(共24张PPT)
3.6 二次函数的应用
第三章 二次函数
第一课时
教学目标
1
2
3
1、.经历探究几何图形中的最值问题,学会用二次函数来解决几何图形中最值问题.体会二次函数的应用意义以及数学的转化思想.
2、通过自主探究,理解二次函数的应用.经过合作交流,了解二次函数解决几何图形最值问题的基本思路,提高学生的分析总结能力.
3、通过几何图形中的最值问题的探究活动,建立学生对二次函数应用的以及数形结合的思维,培养学生勇于探索的学习习惯.
知识回顾
顶点：
对称轴：
y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
二次函数的性质与解析式系数的关系
当x=-=,
y最小值= =-
知识回顾
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)何时有最大值或最小值？
a＞0
a＜0
当x=-,函数值有最大值，y最大值=
当x=-,函数值有最大值，y最小值=
1、求下列函数的最大值或最小值：
①y=x2-4x+7 ②y=-5x2+8x-1
配方法
公式法
练一练
选择合适的方法
①y=x2-4x+7
=（x-2）2+3
当x=2时，y最小值=3
练一练
知识回顾
2.二次函数y=ax2+bx+c,b2=ac,且x=0时y=-4,则(　　)
A 、y最大=-4 B、y最小=-4 C、y最大=-3 D、y最小=3
把x=0，y=-4代入得：
c=-4
∵b2=ac＞0
∴a＜0
解析：
∴抛物线开口向下，函数有最大值
∴y最大值= = =-3
C
新知导入
何 时 面 积 最 大
如图 ，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上
D
A
B
C
40m
30m
（1）如果设矩形的一边 AB = x m，那么 AD边的长度如何表示？
讨论
x m
E
F
如图
∵AF∥DC
∴△AFE∽△DCE
∴ =
x m
∴ =
∵四边形ABCD矩形
∴AB=DC=Xm
∴ = 30 -
x的取值范围是什么？
0＜x ＜40
新知导入
何 时 面 积 最 大
如图 ，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上
讨论
由（1）得
D
A
B
C
40m
30m
x m
E
F
x m
（2）设矩形的面积为 y m ，当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
矩形ABCD的面积
y= ×
= ×
= ；
AB
AD
x
（30 - ）
- +30
y是x的二次函数
y=
- +30
=- +300
= 30 -
（0＜x ＜40）
填一填
当 x =20m时，y 最大值=300m
新知探究
议一议
矩形改为如图 所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？
D
A
B
C
40m
30m
x m
E
F
x m
设矩形的一边 AB = x m
G
H
M
过M作MG⊥EF,垂足为G,交AD于H
∴GH=xm
由勾股定理得：EF=50m
∵S△MEF
=EF
=ME
∴MG=24m
∵AD∥EF
∴△AMD∽△FME
∴ =
∴ =
∴ = 50 -
y=
- +50
y=x
（50 - ）
=- +300
当 x =12m时，y 最大值=300m
（0＜x ＜24）
第一步：审题理解问题；
第二步：分析问题中的 和常量， 自变量；
第三步：分析问题中的变量和常量之间的关系，建立函数的 ；
第四步：确定 的取值范围；
第五步：根据顶点坐标公式或配方法求出最 值或最 值（在自变量的取值范围内）。
议一议
新知探究
确定图形面积的最值
变量
设出
关系式
自变量
大
小
思考
你能总结出解决此类问题“最大面积”的基本思路吗
例题讲解
做一做
例1、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m) 此时,窗户的面积是多少
x
x
y
2x
分析：
变量
半圆半径x
矩形的一边长2x，另一边长y
窗户面积S
自变量
相等关系
材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15
7x+4y+πx=15
窗户的面积=半圆面积+矩形面积
找出y与x之间关系式
把y用x的代数式替换的S与x的函数关系式
例题讲解
做一做
例1、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15 m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m) 此时,窗户的面积是多少
x
x
y
解：∵7x+4y+πx=15
2x
∴0＜x＜1.48.
设窗户的面积是S m2, 则
答：当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积约为4.02 m2.
方 法 规 律:
新知总结
(1)理清题目中的变量和常量.
(2)熟记常用几何图形的面积公式.
(3)选择合适的二次函数表达式解题.
何 时 面 积 最 大
例题讲解
做一做
例2、如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60-2x
设菜园面积为S，垂直于墙的边长为x米，由题意得
解：
S＝x(60－2x)
＝－2x2＋60x
=-2（x-15）+450
自变量x的取值范围是什么？
思考：
∵0＜60－2x≤32，
∴14≤x＜30.
墙长32m
∴最值在其顶点处，
即当x=15m时，S最大值=450m2.
∴抛物线开口向下，顶点坐标（15,450）
例题讲解
做一做
变式
x
x
60-2x
墙长18m
墙长32m
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式与例2有什么异同？
思考：
问题2 可否模仿例2设未知数、列函数关系式？
设菜园面积为S，垂直于墙的边长为x米，由题意得
S＝x(60－2x)
＝－2x2＋60x
=-2（x-15）+450
问题3 自变量x的取值范围是什么？
∴抛物线开口向下，顶点坐标（15,450）
∵0＜60－2x≤18，
∴21≤ x＜30.
问题4 当x=15时，S取最大值，此结论是否正确？
不正确.
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
例题讲解
做一做
设菜园面积为S，垂直于墙的边长为x米，由题意得
S＝x(60－2x)
＝－2x2＋60x
=-2（x-15） +450
∴抛物线开口向下，顶点坐标（15,450）
x
x
60-2x
解：
变式
∵0＜60－2x≤18，
∴21≤ x＜30.
利用函数的增减性求其最值
∵15＜21，
∴顶点（15,450）不在自变量取值范围内
∵当x≥21时，S岁x的增大而减小
∴当x=21m时，S有最大值，
S最大值=378（m ）
新知总结
何 时 面 积 最 大
当自变量的范围有限制时，二次函数 的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围
新知巩固
选一选
1、如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H盼别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x，则S关于x的函数图象大致是( )
B
小正方形EFGH的面积=正方形ABCD的面积-4倍Rt△AEH的面积
S=1-2x（1-x）
=2x -2x+1
=2（x-） +
（0＜x ＜1）
分析：
新知巩固
选一选
2、如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）.
A．60平方米
B．63平方米
C．64平方米
D．66平方米
A
B
C
D
分析：
矩形ABCD的面积S
=AB×BC
=x（16-x）
x
16-x
B
（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）如图1，在平行四边形ABCD 中，∠ABC=120 ，已知点P 在边AB 上，以1m/s的速度从点A 向点B 运动，点Q 在边BC 上，以 的速度从点B 向点C 运动．若点P ，Q 同时出发，当点P 到达点 B时，点 Q恰好到达点 C处，此时两点都停止运动．图2是△BPQ 的面积y（m ） 与点 P的运动时间t（s） 之间的函数关系图象（点M 为图象的最高点），则平行四边形ABCD 的面积为（ ）
A．12m B． 24m C． 12m D． 24m
B
新知巩固
选一选
新知巩固
做一做
1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为t s，四边形APQC的面积是S
(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
A
B
C
P
Q
解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，
AB＝8cm，BC＝6cm
∴运动ts时，AP=2t，BP=8－2t，BQ=t
∴S=S△ABC－S△PBQ=×AB×CB－×PB×QB
=×8×6－×（8－2t）×t
=t2－4t+24（0≤t≤4）
新知巩固
选一选
（3）∵S=t2－4t+24
=(t-2)2+20，
∴当t=2时，S有最小值，S最小值=20
A
B
C
P
Q
(2)若S是21cm2时，确定t值；
S=t2－4t+24（0≤t≤4）
（2）由（1）得：
当S=21时，代入得
t2－4t+24=21，
解得t=1或t=3
(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．
课堂小结
实际问题
数学模型
转化
回归
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
课后拓展
如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，求该纸盒侧面积的最大值
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，
在Rt△AOD和Rt△AOK中，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x
∴纸盒侧面积=3x（6﹣2x）=6x2+18x，
=﹣6（x-） +
∴当x=
纸盒侧面积最大为
如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=xm，长方形的面积为ym2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（ ）
A． m B．6m C．25m D． m
课后拓展
D
分析：