【成才之路】2016年春高中数学 第2章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 第1课时 正弦定理同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则b的值为( )
A.＋1 B．2＋1
C．2 D．2＋2
[答案] C
[解析] 由正弦定理＝，得＝，所以b＝2，故选C.
2．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B＝( )
A．45°或135° B．60°
C．45° D．135°
[答案] C
[解析] 由正弦定理＝，得sinB＝＝＝.
∵a>b，∴A>B，∴B＝45°.
3．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝4，那么满足条件的△ABC( )
A．有一个 B．有两个
C．不存在 D．不能确定
[答案] C
[解析] 由正弦定理，得＝，所以sinB＝>1，所以满足条件的B不存在，因此满足条件的△ABC不存在．
4．在△ABC中，已知(b＋c)?(c＋a)?(a＋b)＝4?5?6，则sinA?sinB?sinC等于( )
A．6?5?4 B．7?5?3
C．3?5?7 D．4?5?6
[答案] B
[解析] 解法一：∵(b＋c)?(c＋a)?(a＋b)＝4?5?6，
∴＝＝.
∴＝＝＝
∴＝＝＝
∴＝＝，
∴a?b?c＝7?5?3，
又由正弦定理＝＝
得sinA?sinB?sinC＝7?5?3，故选B.
解法二：(b＋c)?(c＋a)?(a＋b)
＝(sinB＋sinC)?(sinC＋sinA)?(sinA＋sinB)＝4?5?6，
令sinB＋sinC＝4x，
sinC＋sinA＝5x，
sinA＋sinB＝6x，
解得，sinA＝x.sinB＝x，sinC＝x，
∴sinA?sinB?sinC＝7?5?3.故选B.
5．△ABC中，a＝2，b＝，B＝，则A等于( )
A. B.
C.或 D.或
[答案] C
[解析] ∵＝，∴sinA＝，
∴A＝或A＝，
又∵a＞b，∴A＞B，∴A＝或，∴选C.
6．在ΔABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] D
[解析] 由正弦定理，得＝，
∴sinB＝＝＝.
∵a>b，A＝60°，∴B为锐角．
∴cosB＝＝＝.
二、填空题
7．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝，a＝，b＝1，则c＝________.
[答案] 2
[解析] 由正弦定理得sinB＝·sinA
＝×＝，
又∵b＝1
∴B由勾股定理得c＝＝＝2.
8．(2015·福建文，14)若△ABC中，AC＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝________.
[答案]
[解析] 由题意得B＝180°－A－C＝60°.由正弦定理得＝，则BC＝，
所以BC＝＝.
三、解答题
9．在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判定△ABC的形状．
[解析] 解法一：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理得a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形且A＝90°，
∴B＋C＝90°，B＝90°－C.∴sinB＝cosC.
由sinA＝2sinBcosC，可得1＝2sin2B，
∴sin2B＝，sinB＝.
∴B＝45°，∴C＝45°.
∴△ABC为等腰直角三角形．
解法二：由解法一知A＝90°，
∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，
∴sin(B－C)＝0，又－90°∴△ABC是等腰直角三角形．
10．在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
[解析] (1)因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以＝，故cosA＝.
(2)由(1)知cosA＝，
所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝，
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)
＝sinAcosB＋cosAsinB＝.所以c＝＝5.
一、选择题
1．在△ABC中，a＝λ，b＝λ，∠A＝45°，则满足此条件的三角形有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[答案] A
[解析] 由正弦定理＝得sinB＝＝>1无解，故选A.
2．在△ABC中，下列关系中一定成立的是( )
A．a>bsinA B．a＝bsinA
C．a[答案] D
[解析] 由正弦定理＝，
∴asinB＝bsinA，在△ABC中，03．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则∠B＝( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 本题考查解三角形，正弦定理，已知三角函数值求角．
由正弦定理可得sinB(sinAcosC＋sinCcosA)＝sinB，∵sinB≠0，∴sin(A＋C)＝，∴sinB＝，由a>b知A>B，∴B＝.选A.
4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2
C．2[答案] C
[解析] 由题设条件可知，
∴2二、填空题
5．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a、b、c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
[答案] 1
[解析] 因为sin B＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝，又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝，又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.
6．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝2.则此三角形的最小边长为__________．
[答案] 2－2
[解析] ∵A＝60°，C＝45°，∴B＝75°，
∴最小边为c，由正弦定理，得＝，
∴＝，
又∵sin75°＝sin(45°＋30°)
＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°
＝×＋×＝，
∴c＝＝＝2－2.
三、解答题
7．(2015·新课标Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
[解析] (1)由正弦定理得＝，＝，因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，所以＝＝.
(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，所以sinC＝sin(∠BAC＋∠B)＝cosB＋sinB，由(1)知2sinB＝sinC，所以tanB＝，∠B＝30°.
8．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知a＝3，cosA＝，B＝A＋.
(1)求b的值；
(2)求△ABC的面积．
[解析] (1)∵cosA＝.0又B＝A＋.∴sinB＝sin(A＋)＝cosA＝.
又a＝3.∴由正弦定理得．
＝
即＝，∴b＝3.
(2)∵cosB＝cos(A＋)＝－sinA＝－，
∴在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×(－)＋×＝
∴S△ABC＝absinC＝×3×3×＝.
课件53张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 解三角形第二章在本章“解三角形”的引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法．阿基米德说过：“给我一个支点，我可以撬起地球．”但实际情况是根本找不到这样的支点．全等三角形法有时就像这样，你根本没有足够的空间去构造出全等三角形，所以每种方法都有它的局限性．其实上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的，从本节我们开始学习正弦定理、余弦定理以及它们在科学实践中的应用，看看它们能解决这个问题吗？本章的主要内容包括正弦定理、余弦定理以及正弦定理和余弦定理的推导，解三角形及正弦定理、余弦定理在解斜三角形中的应用．
知识线索：本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的．正、余弦定理是我们学习有关三角形知识的继续和发展，它们进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求解三角形的重要工具．本章内容与三角形的结论相联系，同时与三角函数、向量相联系，也体现了三角函数、向量及其运算的应用．高考中常与三角函数和向量知识联系起来考查，是高考的一个热点内容．§1 正弦定理与余弦定理第二章第1课时 正弦定理
其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题，还隐藏了另一个数学问题，即两个探寻小组之间的位置是已知的，它们和敌台构成一个三角形，战士探明了敌台的方向，也就是知道了该三角形的两个内角．
通过本课时的学习，我们就会知道其中的奥秘了.正弦的比 2RsinA 2RsinB 2RsinC sinA?sinB?sinC [答案] A
[解析] 由正弦定理知，sinA?sinB＝a?b＝5?3.选A.[答案] A[答案] C[答案] 1[答案] 2 在△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，c＝10，求b.
[分析] 先利用三角形内角和定理求角C，再利用正弦定理求边b.已知两角及一边解三角形
[方法总结] 本题属于已知两角与一边求解三角形的类型，此类问题的基本解法是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边；
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短边的边长．[分析] 由c>a可得A为锐角，由正弦定理求出sinA，从而求出角A，再由内角和定理求出角B，正弦定理求得b.已知两边及一边对角解三角形 [方法总结] 利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
利用正弦定理解三角形的类型
(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．
(2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解，在△ABC中，已知a，b和∠A时，解的情况如下：[分析] 已知两边及其一边对角的值，求其他边和角可先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，或利用三角形中大边对大角考虑解的情况，可由正弦定理求其他边和角．求三角形的面积 在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．
[分析] 根据条件等式的特点为边角关系，可以应用正弦定理把边化为角，再利用三角公式求解．利用正弦定理判断三角形形状
[方法总结] 利用正弦定理判断三角形形状的方法：
(1)化边为角．将题目中的所有条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．
(2)化角为边．根据题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再利用代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状．正弦定理的综合应用 [方法总结] 利用正弦定理可以解决两类解三角形问题：一类是已知两角和任一边，求其他两边和一角；另一类是已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角．值得注意的是已知三角形的任意两 边与其中一边的对角，运用正弦定理解三角形时，解可能不唯一，可结合图形，利用大边对大角的性质去判断解的个数．要注意正弦定理的变式在解题中的应用，在解题时体会分类整合、数形结合、等价转化等数学思想方法的应用． 在△ABC中，a＝15，b＝12，A＝60°，则cosB＝________.【成才之路】2016年春高中数学 第2章 解三角形 1 正弦定理与余弦定理 第2课时 余弦定理同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．(2016·烟台高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是( )
A．45° B．60°
C．90° D．135°
[答案] A
[解析] ∵a2＝b2－c2＋ac，
∴a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理得cosB＝＝＝，
又0°2．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
[答案] C
[解析] 由题意知<0，即cosC<0，
∴△ABC为钝角三角形．
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c满足b2＝ac，且c＝2a，则cosB＝( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由b2＝ac，又c＝2a，由余弦定理，得cosB＝＝＝.
4．△ABC的三内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)．若p∥q，则∠C的大小为( )
A. B.
C. D.π
[答案] B
[解析] ∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)且p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝.
∴C＝.
5．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
[答案] D
[解析] 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB和B＝60°，得ac＝a2＋c2－ac，
(a－c)2＝0.所以a＝c.又B＝60°，所以三角形是等边三角形．
6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( )
A．(0，] B．[，π)
C．(0，] D．[，π)
[答案] C
[解析] 本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，∴由正弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理得：cosA＝≥＝，∴0二、填空题
7．(2015·福建高考)若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．
[答案] 7
[解析] 由已知得△ABC的面积为AB·AC·sin A＝20sin A＝10，所以sin A＝，因为A∈，所以A＝.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝49，∴BC＝7.
8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又最大角的正弦等于，则三边长为__________．
[答案] 3,5,7
[解析] ∵a－b＝2，b－c＝2，∴a>b>c，
∴最大角为A.sinA＝，若A为锐角，则A＝60°，
又C∴A为钝角．∴cosA＝－，
设c＝x，则b＝x＋2，a＝x＋4.
∴＝－，
∴x＝3，故三边长为3,5,7.
三、解答题
9．△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosB·cosC，试判断三角形的形状．
[解析] 解法一：将已知等式变形为
b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，
即有b2＋c2－b2·2－c2·2
＝2bc··，
即b2＋c2＝
＝＝a2.
所以A＝90°，所以△ABC为直角三角形．
解法二：由＝＝＝2R，则条件可化为
4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B
＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC.又sinB·sinC≠0，
所以sinB·sinC＝cosB·cosC，即cos(B＋C)＝0.
又0°故△ABC为直角三角形．
10．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
[解析] 解法一：在△ABC中，由A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，知B＝60°.
由a＋c＝8，ac＝15，则a、c是方程x2－8x＋15＝0的两根．
解得a＝5，c＝3或a＝3，c＝5.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋25－2×3×5×＝19.
∴b＝.
解法二：在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°.
由余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝82－2×15－2×15×＝19.
∴b＝.
一、选择题
1．(2015·广东高考)设△ABC的内角A、B、C的对边分别
为a、b、c.若a＝2，c＝2，cos A＝，且b＜c，则b＝( )
A．3 B．2
C．2 D.
[答案] C
[解析] 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，
∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，
∴b＝2或b＝4.又∵b∴b＝2.
2．在△ABC中，三边长AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·等于( )
A．19 B．－14
C．－18 D．－19
[答案] D
[解析] 在△ABC中AB＝7，BC＝5，AC＝6，
则cosB＝＝.
又·＝||·||cos(π－B)
＝－||·||cosB
＝－7×5×＝－19.
3．在△ABC中，若△ABC的面积S＝(a2＋b2－c2)，则∠C为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由S＝(a2＋b2－c2)，得absinC＝×2abcosC，∴tanC＝1，∴C＝.
4．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 本题考查了余弦定理、正弦定理．
由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC·cos
＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝.
由正弦定理，得＝，
∴sinA＝＝＝.
二、填空题
5．在△ABC中，已知(b＋c)?(c＋a)?(a＋b)＝4?5?6，求△ABC的最大内角为________．
[答案] 120°
[解析] 设b＋c＝4k，c＋a＝5k，a＋b＝6k(k＞0)．
则a＋b＋c＝7.5k，解得a＝3.5k，b＝2.5k，c＝1.5k.
∴a是最大边，即角A是△ABC的最大角．
由余弦定理，得cosA＝＝－，
∵0°＜A＜180°，∴A＝120°，即最大角为120°.
6．已知钝角△ABC的三边，a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的范围是________．
[答案] (2,6)
[解析] ∵c>b>a，∴角C为钝角．
由余弦定理，得cosC＝＝<0，
∴k2－4k－12<0，解得－2而k＋(k＋2)>k＋4，
∴k>2，
故k的范围是(2,6)．
三、解答题
7．(2014·安徽理，16)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sin(A＋)的值．
[解析] (1)因为A＝2B，所以sinA＝sin2B
＝2sinBcosB，
由正、余弦定理得a＝2b·，
因为b＝3，c＝1，
所以a2＝12，a＝2.
(2)由余弦定理得cosA＝＝＝－，
由于0故sin(A＋)＝sinAcos＋cosAsin
＝×＋(－)×＝.
8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.
(1)求B；
(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.
[解析] (1)∵asinA＋csinC－asinC＝bsinB
∴a2＋c2－ac＝b2
∴a2＋c2－b2＝ac
∴cosB＝＝＝
∴B＝45°
(2)由(1)得B＝45°
∴C＝180°－A－B＝180°－75°－45°＝60°
由正弦定理＝＝
∴a＝＝＝＝＋1
c＝＝＝＝.
[方法总结] 本题主要考查正、余弦定理的综合应用，考查考生利用所学知识解决问题的能力．解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题即方程问题，具体操作过程的关键是正确分析边、角的关系，能依据题设条件合理的设计解题程序，进行三角形中边、角关系的互化，要抓住两个定理应用的信息；当遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和边的一次式，则大多用正弦定理，若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用．
课件39张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 解三角形第二章§1 正弦定理与余弦定理第二章 第2课时 余弦定理1.余弦定理
(1)语言叙述：
三角形任何一边的平方等于___________________减去____________________________的积的________．其他两边的平方和 这两边与它们夹角的余弦 两倍 (2)公式表达：
a2＝_______________________；
b2＝____________________；
c2＝_______________________.
(3)变形：
cosA＝_______________________；
cosB＝________________；
cosC＝________________.b2＋c2－2bccosA a2＋c2－2accosB a2＋b2－2abcosC
2．余弦定理及其变形的应用
应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其________解三角形，另一类是已知________解三角形．
3．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．夹角 三边
规律：设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则
a2＋b2a2＋b2＝c2?△ABC是________三角形，且角C为________；
a2＋b2>c2?△ABC是________三角形，且角C为________．
钝角 钝角 直角 直角 锐角 锐角 [答案] D[答案] C[答案] C
4．已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边的长是________． 在△ABC中，a?b?c＝3?5?7，求其最大内角．
[分析] 由条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解．已知三边解三角形
[方法总结] 在解三角形时，有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理．
用正弦定理求角时，要注意根据大边对大角的原理，确定角的大小，以防增解或漏解．[分析] 由题目可知以下信息：
①已知两边和其中一边的对角．
②求另外的两角和另一边．
解答本题可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的边和角，也可由余弦定理列出关于边长a的方程，求出边a，再由正弦定理求角A，角C.已知两边及一角解三角形
[方法总结] 已知两边和一角解三角形时有两种方法：
(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．
(2)直接用正弦定理，先求角再求边．
用方法(2)时要注意解的情况，用方法(1)就避免了取舍解的麻烦．
规律总结：利用正弦、余弦定理求角的区别 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．
[分析] 解答时可先把角的关系转化为边的关系，通过边来判断三角形的形状，也可由边的关系转化为角的关系，通过角来判断三角形的形状．判断三角形的形状 [解析] 解法一：利用角的关系来判断．
∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)．
又∵2cosAsinB＝sinC，
∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A－B)＝0.
∵A与B均为△ABC的内角，∴A＝B.
又∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab，
∴a2＋b2－c2＋2ab＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab.
[方法总结] 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．【成才之路】2016年春高中数学 第2章 解三角形 2 三角形中的几何计算同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．在△ABC中，若aA．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
[答案] B
[解析] ∵a又∵∠C为最大角．故选B.
2．已知三角形ABC的面积为，且b＝2，c＝2，则角A等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
[答案] D
[解析] ∵S△ABC＝，∴bcsinA＝.
即×2×2×sinA＝，∴sinA＝.
∴A＝60°或120°
3．在△ABC中，A＝，AB＝2，S△ABC＝，则BC的长为( )
A. B．7
C. D．3
[答案] C
[解析] ∵S△ABC＝AB·AC·sinA
＝×2×AC×＝，∴AC＝1.
则BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA
＝22＋12－2×2×1×＝3
∴BC＝，故选C.
4．已知锐角三角形ABC中，||＝4，||＝1，△ABC的面积为，则·的值为( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
[答案] A
[解析] 由题意，得S△ABC＝||·||·sinA
＝×4×1×sinA＝，
∴sinA＝，又∵A∈(0，)，
∴cosA＝.
∴·＝||·||·cosA＝4×1×＝2.
5．在△ABC中，lga－lgb＝lgsinB＝－lg，∠B为锐角，则∠A的值是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[答案] A
[解析] 由题意得＝sinB＝，又∵∠B为锐角，
∴B＝45°，又＝＝，sinA＝sinB×＝，
∴∠A＝30°.
6．在△ABC中，周长为7.5 cm，且sinA?sinB?sinC＝4?5?6，下列结论：
①a?b?c＝4?5?6
②a?b?c＝2??
③a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm
④A?B?C＝4?5?6
其中成立的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 由正弦定理知a?b?c＝4?5?6，故①对，②错，④错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴③对，∴选C.
二、填空题
7．有一三角形的两边长分别为3cm,5cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是________cm2.
[答案] 6
[解析] 解方程 5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－，
∵|cosα|≤1，∴cosα＝－，sinα＝.
故S△＝×3×5×＝6(cm2)．
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
[答案]
[解析] 在△ABC中，由余弦定理得：
cosC＝＝＝，
∴∠C＝30°.
在△ADC中由正弦定理，得：＝，
∴＝.故AD＝.
三、解答题
9．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3, CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解析] (1)由题设及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC
＝13－12cosC. ①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA
＝5＋4cosC. ②
由①，②得cosC＝，故C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC
＝(×1×2＋×3×2)sin60°
＝2.
10．(2015·新课标Ⅰ)已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，sin2B＝2sin Asin C.
(1)若a＝b，求cos B；
(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．
[解析] (1)由题设及正弦定理，得b2＝2ac.
又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.
由余弦定理，得cos B＝＝.
(2)由(1)知b2＝2ac.
因为B＝90°，由勾股定理，得a2＋c2＝b2.
故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝.
所以△ABC的面积为××＝1.
一、选择题
1．已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是( )
A．(8,10) B．(2，)
C．(2，10) D．(，8)
[答案] B
[解析] 若a是最大边，则，
∴3≤a<.
若3是最大边，则，
∴3>a>2，∴22．在△ABC中，若sinA?sinB?sinC＝k?(k＋1)?2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－，0) D．(，＋∞)
[答案] D
[解析] 由正弦定理知a?b?c＝sinA?sinB?sinC＝k?(k＋1)?2k，又因为三角形两边之和大于第三边，
∴，所以k>，故选D.
3．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，△ABC的面积为，则为( )
A. B.
C. D．2
[答案] B
[解析] 由bcsinA＝得c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝13，
故a＝.
所以＝＝，选B.
4．在△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝60°，如果△ABC有两解，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2
C．2[答案] C
[解析] 欲使△ABC有两解，须asin60°即x<2二、填空题
5．(2014·新课标Ⅰ理，16)已知a，b，c分别为 △ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．
[答案]
[解析] 本题考查正弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，由正弦定理可得(2＋b)(a－b)＝(c－b)c，即2a－2b＋ab＝b2＋c2－bc，将a＝2代入可得b2＋c2－bc＝4，所以4≥bc.当且仅当b＝c＝2时等号成立，所以S△ABC＝bcsinA，当角A＝60°时有最大值为.当一个式子中出现正弦函数以及边的关系时，要注意运用正弦定理转化为边的关系或者正弦函数得到形式，达到化简的目的，利用基本不等式，特别要注意等号成立的条件，否则容易出错．
6．(2015·北京高考)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
[答案] 1
[解析] 由正弦定理，得＝，由余弦定理，得cosA＝，∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴＝＝2··cosA＝2××＝1.
三、解答题
7．如图，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．
[解析] (1)由△DAC关于∠CAD的余弦定理可得
cos∠CAD＝＝＝，
所以cos∠CAD＝.
(2)因为∠BAD为四边形内角，所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0，则由正余弦的关系可得
sin∠BAD＝＝且sin∠CAD＝＝，
再有正弦的和差角公式可得
sin∠BAC＝sin(∠BAD－∠CAD)
＝sin∠BADcos∠CAD－sin∠CADcos∠BAD
＝×－×(－)＝＋＝，
再由△ABC的正弦定理可得
＝?BC＝×＝.
8．在△ABC中，C－A＝，sinB＝.
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
[解析] (1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，
得2A＝－B,0即1－2sin2A＝，∴sinA＝.
(2)由(1)得cosA＝.
又由正弦定理，得＝，
∴BC＝＝＝3.
∵C－A＝，∴C＝＋A，
∴sinC＝sin(＋A)＝cosA＝，
∴S△ABC＝AC·BC·sinC＝××3×＝3.
课件51张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 解三角形第二章§2 三角形中的几何计算第二章三角形中的常用结论
(1)A＋B＋C＝________；
(2)在三角形中大边对________，反之大角对________；
(3)任意两边之和________第三边，任意两边之差________第三边；180° 大角 大边 大于 小于 sinC －cosC －tanC tanA·tanB·tanC [答案] C[答案] D三角形中基本量(如长度、高度、角度等)的计算问题
[方法总结] 解决这类问题的关键是待求量纳入三角形中，看已知条件是什么，还缺少哪些量，这些量又在哪个三角形中，应选择正弦定理还是余弦定理求解.
对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决．构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算．利用正、余弦定理求角度问题 [方法总结] 运用正、余弦定理解决有关问题时，需根据需要作出辅助线构造三角形，再在三角形中运用定理求解．
正、余弦定理沟通了三角形中的边与角之间的数量关系，对三角形中的任何元素加以变化，都会引起三角形的形状、大小等的变化，但边、角之间仍符合正、余弦定理，所以不论题目如何千变万化，变换条件也好，变换结论也好．甚至在立体几何中的计算问题，只要紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，就可以将复杂问题化为简单问题来计算或证明．三角形中的面积问题
[方法总结] (1)求三角形面积的公式不同，所需已知条件也不同，根据已知条件的不同，选择相应的公式可简化运算．
(2)利用两边与其夹角正弦的积的一半求面积时，条件往往不那么明显．需综合所学知识来解决问题，比如将边长与方程的根联系在一起，利用三角恒等变换确定夹角的正弦等．[分析] 先根据已知式子由正弦定理把角转化为边的关系，然后运用余弦定理整理求出△ABC面积S的最大值．求最大值、最小值的问题
[方法总结] (1)边、角互化是解三角形问题常用的方法．一般有两种思路：一是边化角，二是角化边．
(2)三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．
(3)对于求平面图形中的最值问题，首先要选用恰当的变量，然后选择正弦定理或余弦定理建立待求量与变量间的函数关系，借助于三角函数的相关知识求最值，有时要用到不等式的均值定理(后面将要学习)求最值．【成才之路】2016年春高中数学 第2章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 第1课时 距离和高度问题同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．5海里 D．5海里
[答案] D
[解析] 如图，由正弦定理得
＝，
∴BC＝5.
2．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12m B．8m
C．3m D．4m
[答案] D
[解析] 在△ABC中，已知可得
BC＝AC＝4，∠C＝180°－30°×2＝120°
所以由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°
＝42＋42－2×4×4×＝48
∴AB＝4(m)．
3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为( )
A．(30＋30)m B．(30＋15)m
C．(15＋30)m D．(15＋15)m
[答案] A
[解析] (1)由正弦定理可得＝，
PB＝＝.
h＝PB·sin45°＝·sin45°＝(30＋30)(m)．
4．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( )
A.km B.km
C.km D.km
[答案] B
[解析] 由题意知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcos120°＝1＋9－2×1×3×(－)＝13，所以MN＝km.
5．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a(km) B.a(km)
C.a(km) D．2a(km)
[答案] B
[解析] 在△ABC中，∠ACB＝180°－(20°＋40°)＝120°.
∵AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝a2＋a2－2a2×(－)＝3a2，
∴AB＝a(km)．
6．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )
A.米 B.米
C.米 D.米
[答案] A
[解析] 解法一：如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝200，∠ADM＝30°，∠ACB＝60°，∴BC＝200tan30°＝，AM＝DMtan30°＝BCtan30°＝.
∴CD＝AB－AM＝.
解法二：如图AB为山高，CD为塔高．
在△ABC中，AC＝＝，
在△ACD中，∠CAD＝30°，∠ADC＝120°.
由正弦定理＝.
∴CD＝＝(米)．
二、填空题
7．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东75°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是______ km.(精确到0.1 km)
[答案] 4.2
[解析] 作出示意图如图．由题意知，
AB＝24×＝6，
∠ASB＝45°，由正弦定理得，＝，
可得BS＝＝3≈4.2(km)．
8．(2016·泰安市高三期中考试)如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为________．
[答案] 50m
[解析] 因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠ABC＝30°，
根据正弦定理可知：＝，
即＝，
解得AB＝50m.
三、解答题
9．海面上相距10海里的A、B两船，B船在A船的北偏东45°方向上，两船同时接到指令同时驶向C岛，C岛在B船的南偏东75°方向上，行驶了80分钟后两船同时到达C岛，经测算，A船行驶了10海里，求B船的速度．
[解析] 如图所示，在△ABC中，AB＝10，AC＝10，∠ABC＝120°由余弦定理，得
AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos120°
即700＝100＋BC2＋10BC，∴BC＝20，
设B船速度为v，则有v＝＝15(海里/小时)．
即B船的速度为15海里/小时．
10．在上海世博会期间，小明在中国馆门口A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为45°，前进200米到达B处，测得此时的仰角为60°，小明身高1.8米，试计算红灯笼的高度(精确到1m)．
[解析] 由题意画出示意图(AA′表示小明的身高)．
∵AB＝200，∠CA′B′＝45°，∠CB′D′＝60°，
∴在△A′B′C中，＝
∴B′C＝＝＝200(＋1)．
在Rt△CD′B′中，
CD′＝B′C·sin60°＝100(3＋)，
∴CD＝1.8＋100(3＋)≈475(米)．
答：红灯笼高约475米.
一、选择题
1．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )
A．20(＋)海里/时 B．20(－)海里/时
C．20(＋)海里/时 D．20(－)海里/时
[答案] B
[解析] 设货轮航行30分钟后到达N处，由题意可知∠NMS＝45°，∠MNS＝105°，
则∠MSN＝180°－105°－45°＝30°.而MS＝20，
在△MNS中，由正弦定理得＝，
∴MN＝＝
＝＝＝10(－)．
∴货轮的速度为10(－)÷＝20(－)(海里/时)．
2．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000米到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( )
A．500m B．200m
C．1000m D．1000m
[答案] D
[解析] ∵∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，
在△ABS中，AB＝＝＝1 000，
∴BC＝AB·sin45°＝1 000×＝1 000(m)．
3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )
A．5n mlie B．5n mlie
C．10n mlie D．10n mlie
[答案] C
[解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是＝10(n mlie/h)．
4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )
A．100米 B．400米
C．200米 D．500米
[答案] D
[解析] 由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，
由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(米)
二、填空题
5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A、B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A、B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40米，斜坡与水平面成30°角，则该转播塔的高度是________米．
[答案]
[解析] 如图所示，由题意，得∠ABC＝45°－30°＝15°，
∠DAC＝60°－30°＝30°.
∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，
∴AC＝AB＝40米，∠ADC＝120°，∠ACD＝30°，
在△ACD中，由正弦定理，得
CD＝·AC＝·40＝.
6．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时，测量公路南侧远处一山顶D在东南15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南30°的方向上，仰角为15°，则此山的高度CD等于________km.
[答案] 5(2－)
[解析] 在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝30°－15°＝15°，
所以BC＝AB＝5.
又CD＝BC·tan∠DBC＝5×tan15°＝5×tan(45°－30°)＝5(2－)．
三、解答题
7．在大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
[解析] 如下图，设经过t小时，“蓝天号”渔轮行驶到C处，“白云号”货轮行驶到D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD.则根据题意，知在△ABC中，AC＝8t，AD＝20－10t，∠CAD＝60°.由余弦定理，知
CD2＝AC2＋AD2－2×AC×ADcos60°
＝(8t)2＋(20－10t)2－2×8t×(20－10t)×cos60°
＝244t2－560t＋400＝244(t－)2＋400－244×()2，
∴当t＝时，CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．
8．某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
[解析] 由题画出示意图如图所示，设汽车前进20千米后到达B处，在△ABC中，AC＝31，BC＝20，AB＝21.由余弦定理得
cosC＝＝，
则sinC＝，
所以sin∠MAC＝sin(120°－C)
＝sin120°cosC－cos120°sinC＝.
在△MAC中，由正弦定理得MC＝＝×＝35，从而MB＝MC－BC＝15.
即汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站．
课件52张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 解三角形第二章§3 解三角形的实际应用举例第二章第1课时 距离和高度问题实际问题中的名词、术语
1．铅直平面：与________垂直的平面．
2．基线：在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线．一般来说，基线越______，测量的精确度越高．
3．测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用__________和__________，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．海平面 长 正弦定理 余弦定理 4．方位角：从指正北方向________时针转到目标方向的水平角．如图(1)所示．顺
5．方向角：相对于某一正方向(东、西、南、北)的水平角．
①北偏东α°，即由指北方向________旋转α°到达目标方向，如图(2)．
②北偏西α°，即是由指北方向________旋转α°到达目标方向．顺时针 逆时针 6．仰角与俯角：目标方向线(视线)与水平线的夹角中，当目标(视线)在水平线________时，称为仰角，在水平线________时，称为俯角，如图．上方 下方 2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25n mile/h,15n mile/h，则下午14时两船之间的距离是( )
A．50n mile B．70n mile
C．90n mile D．110n mile
[答案] B3．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
[答案] C[解析] 根据实际情况，α、β都是不易测量的数据，而a，b可以测得，角γ也可以测得，根据余弦定理AB2＝a2＋b2－2abcosγ能直接求出AB的长，故选C.
4．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为( )
A．α>β B．α＝β
C．α<β D．α＋β＝90°
[答案] B
[解析] 由仰角、俯角的定义知，α与β互为内错角，所以α＝β.
5．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米． 某人在塔AB的正东C处沿着南偏西60°的方向前进40m后到达D处，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．
[分析] 从C到D沿途测塔的仰角，只有测试点到B的距离最小时，仰角才最大，即当BE⊥DC时，∠AEB＝30°.对于本题可先求出BD或BC，再求出BE，即可求得AB.测量底部不可到达的建筑物的高度问题
[方法总结] 在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：
①根据已知条件画出示意图；
②分析与问题有关的三角形；
③运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；
④把解出答案还原到实际问题中．(2014·新课标Ⅰ文，16)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m .
[答案] 150m测量距离问题 [方法总结] (1)求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解．
(2)在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的CD.在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时可直接利用正弦定理或余弦定理；②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°.问货轮到达C点时与灯塔A的距离是多少？
[分析] 根据所给图形可以看出，在△ABC中，已知BC是半小时路程，只要根据所给的方位角数据，求出∠ABC及A的大小，由正弦定理可得出AC的长．综合应用问题 [分析] 甲、乙两船航行时间相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距离B1B2即可．连结A1B2，转化为在△A1B1B2中已知两边及夹角求对边的问题．
[方法总结] 仔细观察图形，充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件，并通过添加适当的辅助线将问题纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键．
解三角形应用题常见的两种情况
(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法．(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题．然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决．
解三角形应用题要注意两点：
(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称．理清量与量之间的关系．
(2)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求．[方法总结] 本题中理解方位角是解题的关键．北偏东75°是指以正北方向为始边，顺时针方向转75°.[辨析] 本题在解△ACD时，利用余弦定理求AD，产生了增解，应用正弦定理来求解．【成才之路】2016年春高中数学 第2章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 第2课时 角度和物理问题同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60°，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )
A．10° B．50°
C．120° D．130°
[答案] D
[解析] 如图，可知∠BAC＝130°
2．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为( )
A. B．2
C．2或 D．3
[答案] C
[解析] 由题意画出三角形如下图．则∠ABC＝30°，
由余弦定理得，cos30°＝，∴x＝2或.
3．(2016·三亚高二检测)两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在C的北偏东30°，B在C的南偏东60°，则A，B之间距离为( )
A.akm B.akm
C．akm D．2akm
[答案] A
[解析] △ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝a.
4．甲船在岛B的正南A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( )
A.分钟 B.小时
C．21.5分钟 D．2.15分钟
[答案] A
[解析] 设行驶xh后甲到点C，乙到点D，两船相距ykm，则∠DBC＝180°－60°＝120°.
∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6xcos120°＝28x2－20x＋100＝28(x－)2－＋100，
∴当x＝小时＝分钟，y2有最小值，∴y最小．
5．如图所示，B、C、D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C、D两点测得A点的仰角分别为β、α(α＜β)，则A点离地面的高AB等于( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 由tanα＝，tanβ＝，联立解得AB＝.
6．一质点受到平面上的三个力、、(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知、成60°角，且、的大小分别为2和4，则的大小为( )
A．6 B．2
C．2 D．2
[答案] D
[解析] 由题意，得＋＋＝0，
∴＋＝－，
∴(＋)2＝2，
∴2＋2＋2·＝2，
∴4＋16＋2×2×4×cos60°＝2，
∴2＝28，∴||＝2.故选D.
二、填空题
7．如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是________n mile/h.
[答案] 32
[解析] 设船的航速为vn mile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得：＝，
∴v＝32.
∴此船的航速为32n mile/h.
8．在静水中划船的速度是每分钟40m，水流的速度是每分钟20m，如果船从岸边A处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________．
[答案] 30°
[解析] 水流速度与船速的合速度为v，方向指向河岸，如图
由题意可知sinα＝＝＝
∴α＝30°.
三、解答题
9．如图所示，海中一小岛周围3.8n mile内有暗礁，一船从A由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8n mile后，望见此岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．
[解析] 在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝90°＋60°＝150°，∠CAB＝90°－75°＝15°，∴∠ABC＝15°.
∴△ABC为等腰三角形，BC＝AC＝8，在△BCD中，∠BCD＝30°，BC＝8，∴BD＝BC·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．
10．海岛O上有一座海拔1km的山，山顶设有一观察站A，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B处，俯角为60°.
(1)求该船的速度；
(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E离海岛O的距离是多少千米？
[解析] (1)如图，在Rt△AOB和Rt△AOC中，OB＝OAcot60°＝，OC＝OAcot30°＝，
在△BOC中，由余弦定理得
BC＝＝.
∵由C到B用的时间为＝(小时)，
∴该船的速度为＝2(千米/小时)．
(2)在△OBC中，由余弦定理，得
cos∠OBC＝＝，
∴sin∠OBC＝＝.
∴sin∠OEB＝sin(∠OBE＋∠EOB)
＝sin∠OBE·cos∠EOB＋cos∠OBE·sin∠EOB＝.
在△BEO中，由正弦定理得
OE＝＝，
BE＝＝.
∴从B到E所需时间为：
÷2＝(小时)＝5(分钟)．
故船速为2千米/小时，该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E离海岛O的距离是1.5千米.
一、选择题
1．如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为( )
A.海里/小时 B．34海里/小时
C.海里/小时 D．34海里/小时
[答案] A
[解析] 由题意知PM＝68，∠MPN＝120°，∠N＝45°，
由正弦定理知＝?MN＝68××＝34，
∴速度为＝(海里/小时)．
2．如图所示，有一广告气球，直径为6m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心时，测得仰角∠BAC＝30°时，气球的视角β＝1°，若θ很小时可取sinθ≈θ，试估算该气球的高BC的值约为( )
A．72m B．86m
C．102m D．118m
[答案] B
[解析] 过C作CD⊥AD于D，在Rt△ADC中，先求AC的长，
∵sinβ＝，
∴AC＝＝≈＝，
再在Rt△ABC中求BC，
BC＝ACsin30°＝≈86(m)．
3．渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)( )
A．14.5km/h B．15.6km/h
C．13.5km/h D．11.3km/h
[答案] C
[解析] 由物理学知识，
画出示意图，如图．AB＝15，AD＝4，
∠BAD＝120°.在?ABCD中，D＝60°，
在△ADC中，由余弦定理，得
AC＝
＝＝≈13.5(km/h)．
故选C.
4．有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )
A．5 B．10
C．10 D．10
[答案] C
[解析] 如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，
在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．
在△ABB′中，∠B′＝30°，
∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10m，
由正弦定理，得
BB′＝＝＝10(m)．
∴坡底延伸10m时，斜坡的倾斜角将变为30°.
二、填空题
5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.
[答案] 30
[解析] 如图，依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在三角形AMB中，由正弦定理得＝，
解得BM＝30(km)．
6．在灯塔上面相距50米的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．
[答案] 25(＋1)(米)
[解析] 由题意，作出图形如图所示，
设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和60°，
可知∠CBD＝30°，∠BAC＝45°＋90°＝135°，
∴∠ACB＝180°－135°－30°＝15°，
又AB＝50，在△ABC中，由正弦定理，得＝，
∴AC＝＝＝25(＋)(米)．
∴出事渔船离灯塔的距离
CD＝AC＝＝25(＋1)(米)．
三、解答题
7．A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.
[解析] 如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，
得AD＝＝＝800(＋1)(m)．
∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，
∴CD＝AD＝800(＋1)≈2 186(m)．
答：山高CD为2 186 m.
8．如图所示，A、B两个小岛相距21n mile，B岛在A岛的正南方，现在甲船从A岛出发，以9n mile/h的速度向B岛行驶，而乙船同时以6n mile/h的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．
[解析] 行驶t小时后，甲船行驶了9tn mile到达C处，乙船行驶了6tn mile到达D处．当9t<21，即t<时，C在线段AB上，此时BC＝21－9t，在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，∠CBD＝180°－60°＝120°，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos120°
＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)·6t·(－)
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189.
∴当t＝2时，CD取得最小值＝3.
当t＝时，C与B重合，此时CD＝6×＝14>3.
当t>时，BC＝9t－21，则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t×cos60°＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189.
综上可知，t＝2时，CD取最小值3，故行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3n mile.
课件51张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 解三角形第二章§3 解三角形的实际应用举例第二章第2课时 角度和物理问题珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，海拔8 848.13米，29 029英尺(此数据是在国家测绘局第一大地测量队的协助下，于1966～1968,1975年测定的，1992年又对其进行了复测)，是地球上的第一高峰，位于东经86.9°，北纬27.9°.
8 848.13米——这个珠峰原“身高”是如何测定的，以及在那次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法我们可能感到不可思议，从简单处说，那就是数字的测量与解三角形的应用．正弦定理 余弦定理 坡度 坡比 坡角 1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( )
A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′
C．北偏西55°32′ D．南偏西55°33′
[答案] A[答案] B3．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
[答案] B
[解析] 如图，由题意知
∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，
∵AC＝BC，∴∠ABC＝50°，
∴α＝60°－50°＝10°.[答案] A5．一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x＝________.测量角度问题
[方法总结] 解答此类问题，首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知和所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解．角度与营救问题
[分析] 画出图形．设出时间t，利用舰艇和渔船相遇时所用时间相等，建立等量关系，然后解三角形． 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在距A处北偏东45°方向、距离为10n mile的C处，并测得渔轮正沿东偏南15°的方向，以9 n mile/h的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．(注：cos21°47′＝0.9286)角度与追击问题 [分析] 根据题意画出图形(如图)，由题意知AC＝10，设渔轮向小岛B靠近，舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′处相遇，则∠ACB′＝120°，利用舰艇与渔轮相遇所用时间与渔轮由C到B′所用时间相同这一条件，解△AB′C即可．
[方法总结] 解决追及问题的步骤
(1)把实际问题转化为数学问题；
(2)画出表示实际问题的图形，并在图中标出有关的角和距离，这样借助于正弦定理或余弦定理，就容易解决问题了；(3)最后把数学问题还原到实际问题中去．我舰在敌岛A南偏西50°，相距12海里处的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的速度大小为多少海里/小时？ 如图，在墙上有一个三角形支架OAB，吊着一个重力为12N的灯，OA、OB都是轻杆，只受沿杆方向的力，试求杆OA、OB所受力的大小．正、余弦定理在力学中的应用 [辨析] 上述解法错误的原因在于默认为∠CBD＝120°，而没有给出证明，并且多余的求出时间t.课件58张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5解三角形第二章本章归纳总结第二章
2．剖析斜三角形的类型与解法
正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素(三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素)，如果其中三个元素是已知的(至少要有一个元素是边)，那么这个三角形一定可解．关于斜三角形的解法，根据已知条件及适用的定理，可以归纳为以下四种类型(设三角形为△ABC，A、B、C所对的边分别为a、b、c)：
特别提醒：在用正弦定理求角、用余弦定理求边的时候常出现增解的情况，因此需根据三角形中边、角的关系进行取舍．4．解读判断三角形形状的两种方法
判断三角形的形状，应围绕三角形的边、角关系进行思考，此类题目一般采用以下两种方法求解：
(1)利用正弦定理化边为角，通过三角运算判断三角形的形状．
(2)利用余弦定理化角为边，通过代数运算判断三角形的形状．
注意：根据余弦定理判断三角形的形状时，当a2＋b2c2，b2＋c2>a2，c2＋a2>b2中有一个关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论．
6．点击正、余弦定理解几何问题的注意点
(1)几何图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解能否继续的转折点．
(2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变形公式，正弦定理，余弦定理，或是综合运用这两个定理．
(3)要有应用方程思想解题的意识，还要有引入参数，突出主元，简化问题的解题意识．7．解正、余弦定理解实际应用题的步骤
实际应用题的本质就是解三角形，无论是什么类型的题目，都要先画出三角形的模型，再通过正弦定理或余弦定理进行求解．解三角形应用题的一般步骤是：
(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型．
(3)选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中单位、近似计算要求．解三角形与三角函数有着必然的联系，这类问题不但要用到正弦定理、余弦定理等基础知识，同时还需利用三角公式进行恒等变换，这是高考的热点试题之一，三角形中的三角变换，除了三角公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点．正、余弦定理与三角函数的综合 判断三角形的形状是解三角形这一章中的常见题型，是利用正弦定理、余弦定理及有关的三角函数等知识找出三角形中的边与角的关系，进而推导出满足题设条件的三角形形状．三角形形状的判断 (2)常用的思考方向
①是否两边(或两角)相等；
②是否三边(或三角)相等；
③是否有直角、钝角．
[方法总结] 根据所给条件判断三角形的形状，主要有两条途径：(1)化边为角，(2)化角为边．转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化，②通过余弦定理实现边角转换，③通过三角变换找出角之间的关系，④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．在高考中解三角形问题常与平面向量知识(主要是数量积)结合在一起进行考查．判断三角形形状或结合正弦定理、余弦定理求值，这也是高考命题的新趋势．解三角形与平面向量的综合应用 三角形中的几何计算实际体现了三角形的几何性质的应用．我们在利用正、余弦定理求解三角形问题时，是通过代数运算去判断三角形的边角关系．数形结合思想是通常情况下解决数学问题的途径，如果我们能从图形中寻找其几何关系，并构造相应的三角形，则几何图形之间的关系就可以转化为解三角形的问题解决．三角形中的几何计算 [例4] 如图所示，已知∠MON＝60°，Q是∠MON内一点，它到两边的距离分别为2和11，求OQ的长．
[分析] 由Q点向∠MON的两边作垂线，则垂足与O，Q四点共圆，且OQ为圆的直径，由此可得OQ的长．
[方法总结] 求解三角形中的几何计算问题时，首先要确定与未知量之间相关联的量，把所要求的问题转化为由已知条件可直接求解的量上来．与多边形问题一样，其他的几何问题也可以转化为三角形问题，关键在于构造三角形(一般可以构造直角三角形)求解．本题的关键是通过过一点作角两边的垂线所围成四边形的对角互补，可知此四边形内接于一圆，OQ为圆的直径．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°.求BD的长．
[分析] 由于AB＝5，∠ADB＝45°，因此要求BD，可在△ABD中，由正弦定理求解，关键是确定∠BAD的正弦值，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，因此可用正弦定理求出sin∠ABC，再依据∠ABC与∠BAD互补确定sin∠BAD即可．解三角形中的方程思想
[方法总结] (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等交换等知识联系在一起，要注意选择合适的方法、知识进行求解．
(2)解三角形常与向量、三角形函数及三角恒等交换等知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．【成才之路】2016年春高中数学 第2章 解三角形 综合测试 北师大版必修5
(时间：120分钟 满分150分)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A>B，则一定有( )
A．cosA>cosB B．sinA>sinB
C．tanA>tanB D．sinA[答案] B
[解析] ∵A>B，∴a>b，
由正弦定理，得sinA>sinB，故选B.
2．已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
[答案] D
[解析] 由＝，得sinB＝＝.
又a3．在△ABC中，BC＝3，CA＝5，AB＝7，则·的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] C
[解析] cosC＝＝－，
则·＝||·||·cosC＝－.
4．在△ABC中，a＝λ，b＝λ(λ>0)，∠A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[答案] A
[解析] 当正弦定理得sinB＝＝，因为>1，故满足此条件的三角形不存在．
5．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB＋bcos2A＝a，则＝( )
A．2 B．2
C. D.
[答案] D
[解析] 本小题考查内容为正弦定理的应用．
∵asinAsinB＋bcos2A＝a，
∴sin2AsinB＋sinBcos2A＝sinA，
sinB＝sinA，∴b＝a，∴＝.
6．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若3a＝2b，则的值为( )
A．－ B.
C．1 D.
[答案] D
[解析] 本题主要考查三角函数中的正弦定理，由正弦定理可得＝＝ ，∴sinB＝sinA，将其代入所求式子中，得＝＝，∴选D.
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
[答案] A
[解析] 由sinC＝2sinB及正弦定理，得c＝2b，
∴a2－b2＝bc＝6b2，
即a2＝7b2，
由余弦定理，cosA＝＝＝＝.
又∵0°∴A＝30°.
8．(2015·合肥一模)在△ABC中，已知2acosB＝c，
sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC为( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形
[答案] B
[解析] ∵2acosB＝c，∴2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)，
∴2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin(A－B)＝0，∴∠A＝∠B.
又∵sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，
∴sinAsinB[2－(1－2sin2)]＝sin2＋，
∴2sinAsinB(sin2＋)＝sin2＋
∴2sinAsinB＝1，即sin2A＝，
∴sinA＝.
∵0<∠A<，
∴∠A＝＝∠B，
∴∠C＝π－－＝.
9．已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 B．9
C．8 D．5
[答案] D
[解析] 由倍角公式得23cos2A＋cos2A＝25 cos2A－1＝0，cos2A＝，△ABC为锐角三角形cosA＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得b2－b－13＝0，
即5b2－12b－65＝0，
解方程得b＝5.
10．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若2b＝a＋c，∠B＝30°，△ABC的面积为，则b等于( )
A．1＋ B.
C. D．2＋
[答案] A
[解析] 由已知acsin30°＝，
∴ac＝6，∴b2＝a2＋c2－2accos30°
＝(a＋c)2－2ac－ac
＝4b2－12－6，
∴b＝＋1.
11．(2015·铁岭高中下学期第一次考试)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，则∠A，∠B的大小分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
[答案] A
[解析] ∵m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，且m⊥n，
∴m·n＝cosA－sinA＝0，
∴tanA＝.
∵0<∠A<π，∴∠A＝.
又∵acosB＋bcosA＝csinC，
∴sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，
即sin(A＋B)＝sin2C，
∴sinC＝sin2C.
∵0<∠C<π，∴∠C＝，
∴∠B＝－＝.
12．如图所示，在△ABC中，已知∠A?∠B＝1?2，角C的平分线CD把三角形面积分为3?2两部分，则cosA等于( )
A. B.
C. D．0
[答案] C
[解析] 在△ABC中，设∠ACD＝∠BCD＝β，∠CAB＝α，由∠A?∠B＝1?2，得∠ABC＝2α.
∵∠A<∠B，∴AC>BC，
∴S△ACD>S△BCD，
∴S△ACD?S△BCD＝3?2，
∴＝，
∴＝.
由正弦定理得
＝，
＝?＝，
∴cosα＝＝×＝，
即cosA＝.故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．(2014·福建理，12)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
[答案] 2
[解析] 本题考查正弦定理及三角形的面积公式，由正弦定理＝
∴sinB＝，∵2>2，∴B＝30°
∠C＝90°，S＝×2×2＝2.
14．(2015·重庆高考)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.
[答案]
[解析] 如图，由正弦定理易得＝，
即＝，
故sin ∠ADB＝，即∠ADB＝45°，
在△ABC，知∠B＝120°，∠ABD＝45°，
即∠BAD＝15°.由于AD是∠BAC的角平分线，
故∠BAC＝2∠BAD＝30°.
在△ABC中，∠B＝120°，∠BAC＝30°，
易得∠ACB＝30°.
在△ABC中，由正弦定理得＝ .
即＝，故AC＝.
15．在△ABC中，已知b＝1，sinC＝，bcosC＋ccosB＝2，则·＝________.
[答案] 或－
[解析] 由余弦定理的推论，得cosC＝，
cosB＝.
∵bcosC＋ccosB＝2，
∴＋＝2，
∴a＝2，即||＝2.
∵sinC＝，0°∴cosC＝，或cosC＝－.
又∵b＝1，即||＝1，
∴·＝，或·＝－.
16．某人在C点测得塔AB在南偏西80°，仰角为45°，沿南偏东40°方向前进10米到O，测得塔A仰角为30°，则塔高为________．
[答案] 10米
[解析] 画出示意图，如图所示，
CO＝10，∠OCD＝40°，∠BCD＝80°，∠ACB＝45°，
∠AOB＝30°，AB⊥平面BCO，
令AB＝x，则BC＝x，BO＝x，
在△BCO中，由余弦定理，得
(x)2＝x2＋100－2x×10×cos(80°＋40°)，
整理得x2－5x－50＝0，
解得x＝10，x＝－5(舍去)，
故塔高为10米．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状．
[解析] 结合正弦定理及余弦定理知，原等式可化为(a－c·)·b＝(b－c·)·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形．
18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a＝2，cosB＝.
(1)若b＝4，求sinA的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b、c的值．
[解析] (1)∵cosB＝>0，且0∴sinB＝＝.
由正弦定理得＝，
所以sinA＝sinB＝.
(2)∵S△ABC＝acsinB＝c＝4，
∴c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
＝22＋52－2×2×5×＝17，
∴b＝.
19．(本小题满分12分)(2015·陕西理，17)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行．
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积．
[解析] (1)因为m∥n，所以a sin B－b cos A＝0.由正弦定理得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝.
(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，
即c2－2c－3＝0，因为c＞0，
所以c＝3.故△ABC的面积为bc sin A＝.
20．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a－c＝b，sinB＝sinC.
(1)求cosA的值；
(2)求cos(2A－)的值．
[解析] (1)∵a－c＝b，由正弦定理得
sinA－sinC＝sinB.
又∵sinB＝sinC，
∴sinA－sinC＝sinC，即sinA＝2sinC.
再由正弦定理得b＝c，a＝2c
由余弦定理得
cosA＝＝＝.
(2)由(1)知cosA＝，又0∴sinA＝.
∴cos2A＝2cos2A－1＝－，
sin2A＝2sinAcosA＝2××＝.
∴cos(2A－)＝－×＋×＝.
21．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB.
(1)求角C的大小；
(2)若sinA＝，求△ABC的面积．
[解析] (1)由已知cos2A－cos2B＝sinAcosA－sinBcosB得．
(1＋cos2A)－(1＋cos2B)＝sin2A－sin2B
∴cos2A－sin2A＝cos2B－sin2B
即sin(－＋2A)＝sin(－＋2B)
∴－＋2A＝－＋2B或－＋2A－＋2B＝π
即A＝B或－＋2(A＋B)＝π
∵a≠b，∴A＋B＝，∴∠C＝π
(2)由(1)知sinC＝，cosC＝，
∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝
由正弦定理得：＝＝
又∵c＝
∴a＝ b＝
∴S△ABC＝absinC＝×××＝.
22．(本小题满分12分)如图，已知扇形AOB，O为顶点，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA相交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值．
[解析] ∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°.
在△OCP中，由正弦定理，得
＝，即＝，
∴CP＝sinθ.
又＝，
∴OC＝sin(60°－θ)．
故△POC的面积是
S(θ)＝CP·CO·sin120°
＝·sinθ·sin(60°－θ)·
＝·sinθsin(60°－θ)
＝·sinθ(cosθ－sinθ)
＝[cos(2θ－60°)－]，θ∈(0°，60°)，
∴当θ＝30°时，S(θ)取得最大值为.
