【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 1 不等关系同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x<2000”
B．小明的身高x，小华的身高y，则小明比小华矮表示为“x>y”
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”
[答案] C
[解析] 对于A，x应满足x≤2000，故A错；对于B，x，y应满足x
2．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系为( )
A．a2>a>－a2>－a B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2 D．a2>－a>a>－a2
[答案] B
[解析] 因为a2＋a<0，所以a2<－a，a<－a2，又由于a≠0，∴－a23．设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．a2－b2<0 D．b＋a>0
[答案] D
[解析] 利用赋值法：令a＝1，b＝0排除A，B，C，选D.
4．若a>b>0，cA.> B.<
C.> D.<
[答案] D
[解析] 本题考查不等式的性质，－＝，cd>0，而ad－bc的符号不能确定，所以选项A、B不一定成立.－＝，dc>0，由不等式的性质可知ac5．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)与g(x)的大小关系为( )
A．f(x)>g(x) B．f(x)＝g(x)
C．f(x)[答案] A
[解析] 因为f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，所以f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1，所以f(x)>g(x)，故选A.
6．如果a＞0，且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，那么( )
A．M＞N B．M＜N
C．M＝N D．M、N的大小无法确定
[答案] A
[解析] 当a＞1时a3＋1＞a2＋1，y＝logax单增，
∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)．
当0＜a＜1时a3＋1＜a2＋1，y＝logax单减．
∴loga(a3＋1)＞loga(a2＋1)，或对a取值检验．选A.
二、填空题
7．如果a>b，那么下列不等式：
①a3>b3；②<；③3a>3b；④lga>lgb.
其中恒成立的是________．
[答案] ①③
[解析] ①a3－b3＝(a－b)(a2＋b2＋ab)
＝(a－b)[(a＋)2＋b2]>0；
③∵y＝3x是增函数，a>b，∴3a>3b
当a>0，b<0时，②④不成立．
8．已知12[答案] (－24,45) (，4)
[解析] ∵15又∵12∴－24∵15又∵12∴a－b，的取值范围分别为(－24,45)，(，4)．
三、解答题
9．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：
现在要在一天内运输2 000 t粮食和1 500 t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
[解析] 设需安排x艘轮船和y架飞机，则
，∴.
10．(1)已知a>b，e>f，c>0.求证：f－ac(2)若bc－ad≥0，bd>0.求证：≤.
[证明] (1)∵a>b，c>0，
∴ac>bc，∴－ac<－bc，∵f(2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，
又∵bd>0，∴≤，
∴＋1≤＋1，
∴≤.
一、选择题
1．下列不等式：
①x2＋3>2x(x∈R)；②a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)；
③a2＋b2≥2(a－b－1)中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] 对于①，x2＋3－2x＝(x－1)2＋2>0恒成立，对于②，a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
∵a、b∈R，∴(a－b)2≥0，
而a＋b>0，或a＋b＝0，或a＋b<0，故②不正确，
对于③，a2＋b2－2a＋2b＋2＝a2－2a＋1＋b2＋2b＋1
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴③正确，故选C.
2．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：( )
①若ab＜0，bc－ad＞0，则－＞0；
②若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0；
③若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0.
其中正确命题的个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ①∵ab＜0，∴＜0，又∵bc－ab＞0，
∴·(bc－ad)＜0即－＜0，∴①错；
②∵ab＞0，－＞0，∴ab(－)＞0，
即：bc－ab＞0，∴②正确；
③∵－＞0，∴＞0，
又∵bc－ad＞0，∴ab＞0，∴③正确．选C.
3．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( )
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－<2α－β< D．0<2α－β<π
[答案] C
[解析] ∵－<α<，∴－π<2α<π，
又∵－<β<，
∴－<－β<，∴－<2α－β<.
又α－β<0，α<，∴2α－β<.
故－<2α－β<.
4．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )
A．lg(x2＋1)≥lg2x B．x2＋1>2x
C.≤1 D．x＋≥2
[答案] C
[解析] A中x>0；B中x＝1时，x2＋1＝2x；C中任意x，x2＋1≥1，故≤1；D中当x<0时，x＋≤0.
二、填空题
5．已知三个不等式：①ab>0，②>，③bc>ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题．
[答案] 3
[解析] 将②作等价变形：>?>0.由ab>0，bc>ad.可得②成立．即①③?②；若ab>0，>0，则bc>ad.故①②?③；若bc>ad，>0，则ab>0，故②③?①，所以可组成3个正确命题．
6．若a>1，b<1，则ab＋1与a＋b的大小关系为ab＋1________a＋b.
[答案] <
[解析] ab＋1－a－b＝a(b－1)－(b－1)＝(b－1)(a－1)．
∵a>1，b<1，
∴a－1>0，b－1<0，
∴(b－1)(a－1)<0，即ab＋1三、解答题
7．已知0[解析] ∵，两式相加得
－<2a<.
设3a－＝m(a＋b)＋n(a－b)
＝a(m＋n)＋b(m－n)，则有，
解得m＝，n＝.
∴3a－＝(a＋b)＋(a－b)．
∴，
两式相加，得－<3a－<.
故2a∈(－，)，3a－∈(－，)．
8．(2016·广东模拟)设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x>0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
[解析] f(x)－g(x)＝(1＋logx3)－2logx2＝logx(3x)－logx4＝logx.
(1)当x>时，logx>0，故f(x)>g(x)；
(2)当x＝时，logx＝0，故f(x)＝g(x)；
(3)当1(4)当00，故f(x)>g(x)．
综上知：当x>或0g(x)；
当1课件49张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章
世界上工程师建造了很多美妙绝伦的建筑，其中很多工程师打破了对称美的传统形式，利用不等关系与不对称美的思想设计了无数的经典之作．不等关系是客观世界中广泛存在的一个基本关系，各种类型的不等式在现代数学的各个分支及其应用中起着十分重要的作用．
本章，我们将学习不等关系的一些基本规律和一些相关的数学模型，例如：基本不等式，线性规划等，并利用它们解决一些简单的实际问题．知识线索：本章的主要内容有不等关系、一元二次不等式、基本不等式、线性规划及其简单应用等基础知识．
不等式始终贯穿在整个中学教学之中，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数的定义域、值域的确定，三角、数列、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切联系．能够运用不等式的性质，定理和方法分析解决有关函数的性质，方程实根的分布的问题，解决涉及不等式的应用问题和转化为不等式的其他数学问题．§1 不等关系第三章1.在数学意义上，不等关系体现的几个方面．
(1)______________之间的不等关系；
(2)______________之间的不等关系；
(3)______________之间的不等关系；
(4)_____________之间的不等关系．常量与常量 变量与常量 函数与函数 一组变量 2．两数(式)大小比较的常用方法a>b ab a > > > > 1.设bA．a－c>b－d B．ac>bd
C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
[答案] C
[解析] ∵b2．a2与a3的大小关系是( )
A．a2>a3 B．a2＝a3
C．a2[答案] D
[解析] ∵a2－a3＝a2(1－a)，
∴当a＝0或a＝1时a2＝a3，
当a<0时，a2>a3，
当0a3，
当a>1时，a3>a2
故选D.3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
[答案] B[答案] D 某钢铁厂要把长度为4 000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．
[分析] 应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000mm；②截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．用不等式表示不等关系 [方法总结] 用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量；
②列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)；
③列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)．某商家准备在“双十一”进行商品降价酬宾活动，方案如下：(1)购买不超过100元的商品，商品九折销售；(2)购买超过100元但不超过500元的商品，100元部分九折销售，超过100元部分八折销售；(3)购买超过500元的商品，不超过500元部分按(2)销售，剩余部分七五(75%)折销售．某人打算在该商家购买商品，且希望得到至少200元的优惠，则他需要花费的钱数x(单位：元)所满足的条件是________．
[答案] 90＋0.25(x－500)≥200
[解析] 不超过100元的商品最多优惠10元，不超过500元的商品最多优惠10＋80＝90元，因此要得到至少200元的优惠，至少要超过500元，因此需要花费的钱数x满足的条件是90＋0.25(x－500)≥200.不等式的基本性质 其中真命题的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] C
[解析] ①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小关系缺乏依据，故该命题是假命题．
②由ac2>bc2知c≠0，所以c2>0，所以a>b，
故该命题是真命题．
[方法总结] 通过本例，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．[答案] × × √ √运用作差法比较大小 已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小． 设a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
[分析] 根据同底数幂的运算法则，可考虑作商比较法．运用作商法比较大小 比较1816与1618的大小．证明不等式 应用不等式的性质讨论范围
[方法总结] 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围．解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过一次性不等关系的运算，求得待求的范围，这是避免犯错的一条途径．【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 2 一元二次不等式 第1课时 一元二次不等式的解法同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．不等式(x＋3)(1－x)≤0的解集为( )
A．{x|x≥3或x≤－1} B．{x|－1≤x≤3}
C．{x|－3≤x≤1} D．{x|x≤－3或x≥1}
[答案] D
[解析] (x＋3)(1－x)≤0?(x＋3)(x－1)≥0?x≤－3或x≥1，∴选D.
2．不等式12x≥4x2＋9的解集为( )
A．? B．R
C．{x|x＝} D．{x|x≠}
[答案] C
[解析] 原不等式化为4x2－12x＋9≤0，
即(2x－3)2≤0，∴原不等式的解集为{x|x＝}．
3．不等式x2－3x＋2<0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(1,2)
[答案] D
[解析] 原不等式化为(x－1)(x－2)<0，
解得1因此不等式解集为(1,2)．
4．集合M＝{x|x2－3x－4≥0}，N＝{x|1A．(1,4) B．(1,4]
C．(－1,5] D．[－1,5]
[答案] A
[解析] 由x2－3x－4≥0得(x＋1)(x－4)≥0，
∴x≥4或x≤－1，
∴M＝{x|x≥4或x≤－1}，
∴?RM＝{x|－1∴(?RM)∩N＝{x|15．一元二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b的值是( )
A．10 B．－10
C．14 D．－14
[答案] D
[解析] 由题意知，－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，
由韦达定理解得a＝－12，b＝－2，
所以a＋b＝－14.
6．若0A．{x|或xC．{x|x<或x>t} D．{x|t[答案] D
[解析] ∵01，∵(x－t)(x－)<0，∴t二、填空题
7．若集合A＝{x|x2－2x－3>0}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}．且A∪B＝R，A∩B＝{x|3[答案] －3，－4
[解析] A＝{x|x>3或x<－1}，
∵A∪B＝R，
A∩B＝{x|3∴B＝{x|－1≤x≤4}，
∴－1,4是方程x2＋ax＋b＝0的两根．
∴a＝－(－1＋4)＝－3，b＝－1×4＝－4.
8．若不等式－4<2x－3<4与不等式x2＋px＋q<0的解集相同，则＝________.
[答案]
[解析] 由－4<2x－3<4，得－由题意，得－＝－p，(－)×＝q，
∴＝.
三、解答题
9．解下列关于x的不等式：
(1)(5－x)(x＋1)≥0；
(2)－4x2＋18x－≥0；
(3)－x2＋3x－5>0；
(4)－2x2＋3x－2<0.
[解析] (1)原不等式化为(x－5)(x＋1)≤0，
∴－1≤x≤5.
∴故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(2)原不等式化为4x2－18x＋≤0，
即(2x－)2≤0，∴x＝.
故所求不等式的解集为{x|x＝}．
(3)原不等式化为x2－6x＋10<0，
即(x－3)2＋1<0，显然不等式无解．
故所求不等式的解集为?.
(4)原不等式化为2x2－3x＋2>0，
即2(x－)2＋>0.
∴x∈R.
故所求不等式的解集为R.
10．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3[解析] ∵ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－3∴a<0且－3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴，
解得.
∴不等式bx2＋2ax－c－3b<0可化为
－ax2＋2ax＋15a<0，即x2－2x－15<0，
∴－3∴所求不等式的解集为{x|－3一、选择题
1．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；
②x2－2x＋>0；
③x2＋6x＋10>0；
④2x2－3x＋4<1.
其中解集为R的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
[答案] C
[解析] ①④显然不可能．
②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R.
③中Δ＝62－4×10<0.故选C.
2．函数y＝的定义域是( )
A．[－，－1)∪(1，]
B．[－，－1)∪(1，)
C．[－2，－1)∪(1,2]
D．(－2，－1)∪(1,2)
[答案] A
[解析] ∵log(x2－1)≥0，∴0＜x2－1≤1，
∴1＜x2≤2，
∴1＜x≤或－≤x＜－1.
3．不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是( )
A．{x|x≤－1或x≥} B．{x|－1≤x≤}
C．{x|x≤－或x≥1} D．{x|－≤x≤1}
[答案] D
[解析] 因为不等式(x＋5)(3－2x)≥6可化为2x2＋7x－9≤0，分解因式，得(2x＋9)(x－1)≤0，解得－≤x≤1，所以不等式(x＋5)(3－2x)≥6的解集是
{x|－≤x≤1}．故选D.
4．x＝2是方程x2＋kx＋2＝0的一根，则不等式x2＋kx＋2<0的解集为( )
A．{x|x≠2} B．{x|1C．{x|x<1或x>2} D．?
[答案] B
[解析] 方程x2＋kx＋2＝0的一根为x＝2，则由根与系数关系知另一根为1，所以x2＋kx＋2<0的解集为
{x|1二、填空题
5．不等式 ax2＋bx＋3>0的解集为{x|x>3或x<1}，则a－b等于________．
[答案] 5
[解析] 由题意，得，∴.
∴a－b＝5.
6．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(10x)>0的解集为________．
[答案] {x|x<－lg2}
[解析] 由条件知f(x)>0的解集为{x|－1又已知f(10x)>0，
∴－1<10x<，∴x<－lg2.
三、解答题
7．解关于x的不等式4≤x2－3x－6≤2x＋8.
[解析] 原不等式可化为
，
即，
∴，
解得5≤x≤7或x＝－2.
∴原不等式的解集为{x|5≤x≤7或x＝－2}．
8．解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0.
[解析] 56x2－ax－a2＞0可化为
(7x－a)(8x＋a)＞0，
①当a＞0时，－＜，
∴x＞或x＜－；
②当a＜0时，－＞，
∴x＞－或x＜；
③当a＝0时，x≠0.
综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|x>或x<－}，
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}，
当a<0时，原不等式的解集为{x|x>－或x<}．
课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章§2 一元二次不等式第三章第1课时 一元二次不等式的解法1.形如___________________或__________________的不等式(其中________)，叫作一元二次不等式．
2．一般地，使某个一元二次不等式成立的________叫这个一元二次不等式的解．一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的________．ax2＋bx＋c>0(≥0) ax2＋bx＋c<0(≤0) a≠0 x的值 解集
3．解一元二次不等式的一般步骤：
当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
(1)____________________________________________；
(2)____________________________________________；
(3)____________________________________________．确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解 画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图像的简图 由图像得出不等式的解集 4．“三个二次”之间的关系：{x|xx2} R {x|x13．(2015·山东理，1)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝( )
A．(1,3) B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
[答案] C
[解析] ∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩{x|2＜x＜4}＝{x|2＜x＜3}．故选C.
4．不等式－x2≥x－2的解集为( )
A．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2C．{x|－2≤x≤1} D．?
[答案] C
[解析] 原不等式可化为x2＋x－2≤0，
即(x＋2)(x－1)≤0，∴－2≤x≤1.故选C.5．设集合A＝{x|(x－1)2<3x－7}，则集合A∩Z中有________个元素．
[答案] 0 解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；
(2)－3x2＋6x>2.
[分析] 先求相应方程的根，然后根据相应函数的图像，观察得出不等式的解集．一元二次不等式的解法
[方法总结] 解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．且一端为零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．解下列不等式：
(1)4x2－4x＋1≤0；
(2)x2－2x＋2>0.三个二次之间的关系
[方法总结] 一元二次不等式解集的端点恰好是其对应的一元二次方程的两根，也是与其对应的二次函数与x轴交点的横坐标． 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)．
[分析] 含参数的一元二次不等式的解法，首先应对二次项系数进行讨论，然后再比较两根的大小写出解集．含参数的一元二次不等式
[方法总结] 当二次函数的二次项的系数含有参数时，首先考虑不等式是否为二次不等式，若是，再用因式分解求出方程的根，最后讨论两根的大小写出不等式的解集．若不能用因式分解求根，则要根据判别式来讨论方程是否有根．每一类参数对应的不等式的解都是原不等式的解的一种可能，它们之间是独立的，因而不能把不同参数下的解集求并集，这点一定要注意．解关于x的不等式(x－2)(ax－2)>0(a>0)．[辨析] 由于一元二次方程只是在判别式Δ≥0时才有两个实根，故a的取值范围有限制，本题没有考虑这一限制，会使x＋x的范围不准确．【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 2 一元二次不等式 第2课时 一元二次不等式的应用同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．不等式≤0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(－1,2] B．[－1,2]
C．(－∞，－1)∪[2，＋∞) D．(－1,2]
[答案] D
[解析] 原不等式等价于
解得－12．不等式2x2＋mx＋n>0的解集是{x|x>3或x<－2}，则二次函数y＝2x2＋mx＋n的表达式是( )
A．y＝2x2＋2x＋12 B．y＝2x2－2x＋12
C．y＝2x2＋2x－12 D．y＝2x2－2x－12
[答案] D
[解析] 由题意知－2和3是对应方程的两个根，由根与系数的关系，得－2＋3＝－，－2×3＝.
∴m＝－2，n＝－12.因此二次函数的表达式是
y＝2x2－2x－12，故选D.
3．不等式>0的解集为( )
A．{x|x<－2，或x>3}
B．{x|x<－2，或1C．{x|－23}
D．{x|－2[答案] C
[解析] 不等式>0可化为
>0，
即(x－3)(x－1)(x＋2)>0，
如图，由“穿针引线”法可得不等式的解集为{x|－23}．选C.
4．若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝{x|<0}，则A∩B等于( )
A．{x|－1B．{x|2C．{x|－D．{x|－1[答案] D
[解析] ∵|2x－1|<3，∴－3<2x－1<3，
∴－1∴(2x－1)(x－3)>0，∴x>3或x<－.
∴A＝{x|－13或x<－}，
A∩B＝{x|－15．若不等式ax2＋4x＋a>1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥2或a≤－3 B．a>2或a≤－3
C．a>2 D．－2[答案] C
[解析] 原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1>0.
显然a＝－2时不等式不恒成立；
当a＋2≠0时，只需
解得a>2.
也可利用特值代入的办法进行排除．故选C.
6．要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是( )
A．－1B．a<－1或a>1
C．－2D．a<－2或a>1
[答案] C
[解析] 设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2，由题意知，f(1)＝1＋a2－1＋a－2＝a2＋a－2＝(a－1)(a＋2)<0，∴－2二、填空题
7．(2015·江苏，7)不等式2x2－x＜4的解集为________．
[答案] (－1,2)
[解析] 由题意得x2－x<2，所以－18．若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1[答案] －3 －3
[解析] 可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0.
∴解得或(舍去)．
三、解答题
9．解不等式：≤2.
[解析] 原不等式等价变形为－2≤0，
即≤0，
即为≥0，
即为，
即等价变形为
画出示意图如下：
可得原不等式的解集为
{x|x<－3或－1≤x≤或x>1}．
10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b的值；
(2)解不等式>0.
[解析] (1)由已知得：1，b是方程ax2－3x＋6＝4的两根，
∴a－3＋6＝4，∴a＝1，
∴方程x2－3x＋2＝0其两根为x1＝1，x2＝2，
∴b＝2.
(2)将a＝1，b＝2代入不等式>0得，>0，
可转化为：(x＋1)(x－1)(x－2)>0，
如图，由“穿针引线”法可得
原不等式的解集为{x|－12}．
一、选择题
1．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(1,2)
D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
[答案] A
[解析] 由ax－b＞0的解集为(1，＋∞)得
，∴＞0?＞0?x＜－1或x＞2.
2．设函数f(x)＝x2＋bx＋1，且f(－1)＝f(3)，则f(x)>0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．R
C．{x|x≠1}
D．{x|x＝1}
[答案] C
[解析] ∵f(－1)＝f(3)
∴1－b＋1＝9＋3b＋1，
∴b＝－2，
∴f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，
∴f(x)>0的解集为{x|x≠1}．故选C.
3．已知不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1A．{x|－1B．{x|x<－1，或x>}
C．{x|－2D．{x|<－2或x>1}
[答案] A
[解析] 由题意
∴，故不等式2x2＋bx＋a<0为：2x2＋x－1<0，其解集为{x|－14．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )
A．(－，) B．(－2,0)
C．(－2,1) D．(0,1)
[答案] D
[解析] 解法一：验证排除法：当m＝0时，原方程可化为x2－x－2＝0，∴方程两根为2和－1，不合题意，排除A、C；当m＝－1时，原方程可化为x2－2x－1＝0，
∴方程的两根为1＋或1－，不合题意，排除B，故选D.
解法二：令f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，
则，
∴，∴0＜m＜1.
二、填空题
5．已知<1的解集是{x|x<1或x>2}，则实数a的值为________．
[答案]
[解析] ∵<1，∴<0，
即[(a－1)x＋1](x－1)<0，
又∵不等式<1的解集为{x|x<1或x>2}，
∴a－1<0，∴(x＋)(x－1)>0.
∴－＝2，∴a＝.
6．若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围为________．
[答案] [－1,0]
[解析] 已知函数的定义域为R，即2x2－2ax－a－1≥0在R上恒成立，也即x2－2ax－a≥0恒成立，所以有Δ＝(－2a)2－4(－a)≤0，解得－1≤a≤0.
三、解答题
7．解不等式：
(1)(x2＋2x－3)(x－1)(－8x＋24)≤0；
(2)x3＋2x2－x－2>0.
[解析] (1)原不等式等价于8(x＋3)(x－1)2(x－3)≥0，把各因式的根在数轴上标出，如图所示，由“穿针引线”法可得原不等式的解集为{x|x≤－3或x＝1或x≥3}．
(2)原不等式可化为(x＋1)(x－1)(x＋2)>0.
将方程(x＋1)(x－1)(x＋2)＝0的各个根－2，－1,1标在数轴上，并用穿针引线法依次通过每一个根．如图所示．
所以，原不等式的解集为{x|－21}．
8．当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解是全体实数？
[解析] ①当a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．
若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，
即x<，不符合题目要求，舍去．
②当a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是
，
解得－综上所述，当－课件46张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章§2 一元二次不等式第三章第2课时 一元二次不等式的应用汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑向一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．“刹车距离”是分析事故的重要因素．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后还是碰了．事后现场勘查发现甲的刹车距离超过12m，乙的刹车距离超过10m，又知甲乙两种车型的刹车距离S(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2.S乙＝0.05x＋0.005x2，你能用所学知识分析一下，甲乙两车有无超速现象？1.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的个数由判别式________来确定．设x1、x2是该方程的两 个根，则x1＋x2＝_____________；x1·x2＝________.
2．分式不等式的解法
________含有未知数的不等式，叫作分式不等式．解该类不等式的关键是先把不等式的右边化成0，再把它转化成整式不等式．Δ＝b2－4ac 分母里
3．高次不等式的解法
含有一个未知数，且未知数的最高次数高于2的整式不等式叫一元高次不等式．处理或解这类不等式我们常用“___________”，具体操作程序是：穿针引线法 先将不等式化成标准形式，即一端为0，另一端为一次或二次不可约因式积的形式且使最高次项的系数为正．令代数式等于0，求出相应方程的根，并把它们依次标在数轴上，然后用同一曲线按照自上而下，由右向左依次穿过(遇奇次重根一次穿过，遇偶次重根不穿过)．这样数轴上方、下方及数轴上的点分别表示使代数式大于0、小于0及等于0的部分，最后依据不等式的符号写出不等式的解集．
对于此类问题，只局限于a≠0时形如a(x－x1)(x－x2)(x－x3)>0(或≥0，<0，≤0)的不等式．
4．解有关不等式应用题的步骤
(1)________．用字母表示题中的未知数．
(2)_____________．找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)_____________．运用不等式知识求解不等式(组)，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围．
(4)作答．规范地写出答案．设未知数 列不等式(组) 解不等式(组) [答案] A[答案] A
3．已知不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R，则( )
A．a<0，Δ>0 B．a<0，Δ<0
C．a>0，Δ<0 D．a>0，Δ>0
[答案] B
[解析] 由题意知，二次函数y＝ax2＋bx＋c图像均在x轴下方，故a<0，Δ<0.[答案] A[答案] B分式不等式的解法 [方法总结] 1.简单的分式不等式的求解，直接转化为一元二次不等式(或不等式组)即可，要注意分母不为0. 解下列不等式：
(1)(x＋1)(1－x)(x－2)>0；
(2)x3－2x2＋3<0；
(3)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.
[分析] 通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等式或一元二次不等式的积的问题，然后再依据相关性质解答． 简单高次不等式的解法
[方法总结] 解高次不等式用穿针引线法简捷明了，使用此法时一定要注意：①所标出的区间是否是所求解的范围，可取特值检验，以防不慎造成失误；②是否有多余的点，多余的点应去掉；③总结规律，“遇奇次方根一穿而过，遇偶次方根只穿，但不过”，如上图．解不等式(x－3)(x＋2)(x－1)2(x－4)>0.
[解析] 令(x－3)(x＋2)(x－1)2(x－4)＝0，得
各因式的根分别为－2,1,3,4.
将各因式的根从小到大依次标在数轴上，如图
∴原不等式的解集是{x|－24}. 关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m[分析] 首先考虑二次项系数是否为零，化简后，需要对m进行讨论．m≠0时，可利用三个“二次”之间的关系求解．不等式恒成立的问题 已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1<0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围． 关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根为正数，求m的取值范围．
[分析] 利用根与系数的关系或者相应二次函数的图像等价转化为不等式组求解．用一元二次不等式讨论一元二次方程的根 已知关于x的方程2kx2－2x－3k－2＝0的两根一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围．【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 3 基本不等式 第1课时 基本不等式同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lgx＋≥2
B．当x>0时，＋≥2
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
D．当0[答案] B
[解析] A中lgx不一定为正；C中x＋的最小值为；D中函数为增函数，区间(0,2]上有最大值．故选B.
2．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
[答案] B
[解析] 由已知，得3a·3b＝3，∴3a＋b＝3，
∴a＋b＝1.
∵a>0，b>0，∴＋＝(＋)(a＋b)＝2＋＋≥2＋＝4，
当且仅当a＝b＝时，等号成立．
3．若x>4，则函数y＝x＋( )
A．有最大值－6 B．有最小值6
C．有最大值－2 D．有最小值2
[答案] B
[解析] ∵x>4，∴x－4>0，
∴y＝x－4＋＋4≥2＋4＝6.
当且仅当x－4＝，即x－4＝1，x＝5时，取等号．
4．若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则( )
A．RC．Q[答案] B
[解析] 由a＞b＞1，得lga＞lgb＞0，
Q＝(lga＋lgb)＞＝P，
R＝lg()＞lg＝(lga＋lgb)＝Q，
∴R＞Q＞P.
5．在下列函数中，最小值为2的是( )
A．y＝x＋
B．y＝3x＋3－x
C．y＝lgx＋(1D．y＝sinx＋(0[答案] B
[解析] 对于A，当x>0时，y＝x＋≥2，
当x<0时，y＝－[(－)＋(－x)]≤－2；
对于B，∵3x>0,3－x>0，∴y＝3x＋3－x≥2.
对于C、D两项中，等号均不能成立．
6．某工厂第一年产量为A，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则( )
A．x＝ B．x≤
C．x＞ D．x≥
[答案] B
[解析] ∵这两年的平均增长率为x，
∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，
∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，由题设a＞0，b＞0.
∴1＋x＝≤
＝1＋，∴x≤.
等号在1＋a＝1＋b即a＝b时成立．
二、填空题
7．若x<0，则y＝＋2x＋的最大值是________．
[答案] －3
[解析] y＝－(－2x－)
≤－2＝－2
＝－4＝－3.
当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号．
8．已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
[答案] 3
[解析] ∵x>0，y>0，且1＝＋≥2，
∴xy≤3，当且仅当＝，即x＝，y＝2时，等号成立．
三、解答题
9．(1)若x>0，y>0，且lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值；
(2)已知x>1，y>1，且lgx＋lgy＝2，求lgx·lgy的最大值；
(3)已知x>1，求y＝的最小值．
[解析] (1)∵lgx＋lgy＝2，∴lgxy＝2，∴xy＝100，
又∵5x＋2y≥2＝2＝20，
当且仅当5x＝2y，即x＝2，y＝5时，5x＋2y取得最小值20.
(2)∵x>1，y>1，
∴lgx>0，lgy>0，∴lgx·lgy≤()2，
∴lgx·lgy≤1，
即lgx·lgy的最大值为1.
当且仅当lgx＝lgy，即x＝y＝10时，等号成立．
(3)y＝＝＝x＋1＋
＝x－1＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝x－1，
即(x－1)2＝1时，等式成立，∵x>1，
∴当x＝2时，ymin＝4.
10．(1)求函数y＝＋x(x>3)的最小值．
(2)设x>0，求y＝2－x－的最大值．
[解析] y＝＋x＝＋(x－3)＋3，
∵x>3，∴x－3>0，
∴＋(x－3)≥2＝2，
当且仅当＝x－3，即x－3＝1，x＝4时，等号成立．
∴当x＝4时，函数y＝＋x(x>3)取最小值2＋3＝5.
(2)∵x>0，∴x＋≥2＝4，∴y＝2－≤2－4＝－2.当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，y取最大值－2.
一、选择题
1．如果a，b满足0A. B．a
C．2ab D．a2＋b2
[答案] D
[解析] 解法一：∵02a，
∴a<，
又a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，
∵1＝a＋b>2，∴ab<，
∴1－2ab>1－＝，即a2＋b2>.
解法二：特值检验法：取a＝，b＝，则2ab＝，
a2＋b2＝，∵>>>，∴a2＋b2最大．
2．设x＋3y＝2，则函数z＝3x＋27y的最小值是( )
A. B．2
C．3 D．6
[答案] D
[解析] z＝3x＋27y≥2
＝2＝6，
当且仅当x＝2y＝1，
即x＝1，y＝时，z＝3x＋27y取最小值6.
3．设正数x，y满足x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是( )
A．40 B．10
C．4 D．2
[答案] D
[解析] ∵x＋4y≥2＝4，
∴≤＝＝10，
当且仅当x＝4y即x＝20，y＝5时取“＝”，
∴xy≤100，即(xy)max＝100，
∴lgx＋lgy＝lg(xy)的最大值为lg100＝2.故选D.
4．对x∈R且x≠0都成立的不等式是(
A．x＋≥2 B．x＋≤－2
C.≥ D．|x＋|≥2
[答案] D
[解析] 因为x∈R，所以当x>0时，x＋≥2；
当x<0时，－x>0，所以x＋＝－(－x＋)≤－2，
所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，
所以≤，所以C错误，故选D.
二、填空题
5．周长为l的矩形对角线长的最小值为________．
[答案] l
[解析] 设矩形长为a，宽为b，则a＋b＝，∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2a2＋2b2，∴a2＋b2≥，
∴对角线长≥＝l.
当且仅当a＝b时，取“＝”．
6．若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是__________(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1； ②＋≤； ③a2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3； ⑤＋≥2.
[答案] ①③⑤
[解析] ①ab≤()2＝()2＝1，成立．
②欲证＋≤，即证a＋b＋2≤2，
即2≤0，显然不成立．
③欲证a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥2，
即证4－2ab≥2，即ab≤1，由①知成立．
④a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)≥3?a2－ab＋b2≥?(a＋b)2－3ab≥?4－≥3ab?ab≤，由①知，ab≤不恒成立．
⑤欲证＋≥2，即证≥2，
即证ab≤1，由①知成立．
三、解答题
7．某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
[解析] 设全年需用去的运费和保管费的总费用为y元，题中比例系数为k，每批购入x台，则共需分批，每批费用为2 000x元．
由题意得y＝×400＋k·2 000x.由x＝400时，有y＝43 600得k＝＝，所以y＝×400＋100x≥2＝24 000(元)．
当且仅当×400＝100x，即x＝120时，等号成立．
故只需每批购入120台，可以使资金够用．
8．设函数f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当0[解析] (1)把a＝2代入f(x)＝x＋，
得f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1
∵x∈[0，＋∞)，
∴x＋1>0，>0，∴x＋1＋≥2.
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时，f(x)取最小值．
此时，f(x)min＝2－1.
(2)当0f(x)＝x＋1＋－1，若x＋1＋≥2，则当且仅当x＋1＝时取等号，此时x＝－1<0(不合题意)，
因此，上式等号取不到．设x1>x2≥0，则
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)[1－]，
∵x1>x2≥0，∴x1－x2>0，x1＋1>1，x2＋1≥1，
∴(x1＋1)(x2＋1)>1，而0∴<1，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(0)＝a.
课件43张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章 §3 基本不等式第三章第1课时 基本不等式a＝b 算术平均数 几何平均数 均值不等式 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 等差中项 等比中项 两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项 [答案] C[答案] D3．不等式a2＋4≥4a中等号成立的条件是( )
A．a＝±2 B．a＝2
C．a＝－2 D．a＝4
[答案] B
[解析] 因为a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，
当且仅当a＝2时取“＝”，所以a＝2.利用基本不等式比较代数式的大小 [方法总结] 运用基本不等式比较大小应注意等号成立的条件．特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值具有一般性．[答案] B利用基本不等式求函数的最值
(3)在利用均值不等式求值时，若“一正二定三相等”中的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用均值不等式．而转化的方法有添项、拆项、凑项、变号等．变形技巧：“1”的代换
[方法总结] 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常使用的方法，要学会观察学会变形，另外解法2通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围给出限制．
(消去x后，原来x的限制条件，应当由代替它的y来“接班”，此限制条件不会因“消元”而凭空消失！)【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 3 基本不等式 第2课时 基本不等式与最大(小)值同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤2
[答案] C
[解析] 由a＋b＝2，得ab≤()2＝1，排除A、B；又≥()2，∴a2＋b2≥2.故选C.
2．设函数f(x)＝2x＋－1(x<0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
[答案] A
[解析] 令2x＝，由x<0得x＝－，
∴在x＝－两侧，函数f(x)的单调性不同，排除C、D.
f(x)＝2x＋－1＝－－1
≤－2－1＝－2－1，
等号在x＝－时成立，排除B.
3．已知a、b是正数，则、和的大小顺序是( )
A.≥≥ B.≥≥
C.≥≥ D.≥≥
[答案] D
[解析] a、b是正数，显然有≥(当且仅当a＝b时，取等号)；再比较与，
∵()－＝－＝－()2≤0，
∴≤，故选D.
4．(2016·云南师大附中高三月考)已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于( )
A．2 B．4
C．2 D．2
[答案] C
[解析] 当a>0，b>0时，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所以＝2，t2＝8，所以t＝＝2.故选C.
5．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3米 B．4米
C．6米 D．12米
[答案] A
[解析] 解法一：设隔墙的长度为xm，则矩形的宽为xm，长为＝(12－2x)m，
矩形的面积为
S＝(12－2x)x＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，
∴当x＝3时，S取最大值，故选A.
解法二：(接解法一)S＝(12－2x)·x＝2(6－x)·x
≤2·2＝18
当且仅当6－x＝x即x＝3时取“＝”．故选A.
6．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 因为x，a，b，y成等差数列，所以a＋b＝x＋y.因为x，c，d，y成等比数列，所以cd＝xy，所以＝＝＝＋2.因为x>0，y>0，所以＋2≥＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号成立．
二、填空题
7．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．
[答案] 18
[解析] 本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值．
∵log2a＋log2b≥1
∴log2ab≥1，ab≥2.
∴a·2b≥4，∴a＋2b≥2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2＝18.
(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)
8．若x<3，则实数f(x)＝＋x的最大值为________．
[答案] －1
[解析] ∵x<3，∴x－3<0.
∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－[＋(3－x)]＋3
≤－2＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取“＝”号．
∴f(x)的最大值为－1.
三、解答题
9．已知a、b、c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，
求证：(－1)(－1)(－1)≥8.
[证明] ∵a＋b＋c＝1，代入不等式的左端，
∴(－1)(－1)(－1)
＝(－1)(－1)(－1)
＝(＋)(＋)(＋)
＝＋＋＋＋＋＋2
＝(＋)＋(＋)＋(＋)＋2.
∵a、b、c∈(0，＋∞)，∴＋≥2，
＋≥2，＋≥2，
∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥6，
∴(－1)(－1)(－1)≥8，
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
10．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，求a的最大值．
[解析] ∵a2＋＝1，
∴a2＋＝，a＝·a·
≤·＝·＝.
∴当a2＋＝1且a＝，
即a＝，b＝时，a的最大值为.
一、选择题
1．已知函数f(x)＝|lgx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析] 由条件得|lga|＝|lgb|，
∴lga＝lgb或lga＝－lgb，
∵a≠b，∴lga＝lgb不成立．
∴只有lga＝－lgb.
即lga＋lgb＝0，∴ab＝1，b＝.
又a>0，∴a＋b＝a＋>2，故选C.
2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
[答案] D
[解析] 因为2x>0,2y>0，所以1＝2x＋2y≥2＝2，故≤，即2x＋y≤＝2－2.
所以x＋y≤－2，故选D.
3．下列命题中正确的是( )
A．函数y＝x＋的最小值为2
B．函数y＝的最小值为2
C．函数y＝2－3x－(x>0)的最小值为2－4
D．函数y＝2－3x－(x>0)的最大值为2－4
[答案] D
[解析] 对于A，当x<0时，不成立；对于B，若设＝2，则无实数解；对于C、D，y＝2－3x－≤2－4(x>0)，当且仅当3x＝时，等号成立，故选D.
4．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )
A. B.
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋
≥2＋2＝4 (等号在a＝b＝时成立)．
故所求最小值为4，选D.
二、填空题
5．(2016·北京市东城区高三期末)某种饮料分两次提价方案有两种，方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；方案乙：每次都提价%，若p>q>0，则提价多的方案是________．
[答案] 乙
[解析] 设原价为1，则提价后的价格，方案甲：(1＋p%)(1＋q%)，乙：(1＋%)2，因为
≤＝1＋%，因为p>q>0，所以<1＋%，即(1＋p%)(1＋q%)<(1＋%)2，所以提价多的方案是乙．
6．(2015·山东文，14)定义运算“?”：x?y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，x?y＋(2y)?x的最小值为________．
[答案]
[解析] 由新定义运算知，x?y＝，
所以(2y)?x＝＝，因为，x＞0，y＞0，
所以，x?y＋(2y)?x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，x?y＋(2y)?x的最小值是.
三、解答题
7．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0.
求：(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最大值．
[解析] (1)xy＝2x＋8y≥2，当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时等号成立，
∴≥8，∴xy≥64.
故xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)(＋)
＝10＋＋≥10＋8＝18，当且仅当＝，
即x＝12，y＝6时等号成立，
故x＋y的最小值为18.
8．某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？
(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
[解析] (1)设船捕捞n年后的总盈利y万元．则
y＝50n－98－[12×n＋×4]
＝－2n2＋40n－98
＝－2(n－10)2＋102
∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．
(2)年平均利润为＝－2
≤－2＝12
当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．
所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元．
课件47张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章 §3 基本不等式第三章第2课时 基本不等式与最大(小)值1.两个常用命题
x、y都为正数时，下面的命题成立．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值________；
(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________．任意实数 非负实数 当且仅当a＝b [答案] D[答案] C[答案] D5．设x，y∈R，且x＋y＝3，则2x＋2y的最小值为______．[分析] 若把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可构造成能利用基本不等式的形式．利用基本不等式求最值 [方法总结] 把已知函数解析式通过通分、配方、拆项等操作便可转化成能利用基本不等式的形式．利用均值不等式证明不等式
[方法总结] (1)利用均值不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．
(2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到．不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法 已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.
[证明] ∵a2＋b2>2ab，b2＋c2>2bc，c2＋a2>2ca，
以上三式相加得：2(a2＋b2＋c2)>2ab＋2bc＋2ca，
∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. 若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．利用基本不等式求参数的范围 实际应用问题 [分析] 设每间虎笼长x m，宽y m，则问题(1)是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值；而问题(2)则是在xy＝24的前提下求4x＋6y的最小值．因此，使用均值定理解决．某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？
[分析] 年平均费用等于总费用除以年数，总费用包括：购车费、保险费、汽油费以及维修费用总和，因此应先计算总费用，再计算年平均费用．【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 4 简单线性规划 第1课时 二元一次不等式(组)与平面区域同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．不等式x＋3y－1<0表示的平面区域在直线x＋3y－1＝0的( )
A．右上方 B．右下方
C．左下方 D．左上方
[答案] C
[解析] 画出不等式x＋3y－1<0表示的平面区域如图所示．
2．不等式x－y＋1≥0表示的平面区域是( )
[答案] B
[解析] 将点(0,0)代入不等式，得1≥0成立，排除C、D，将点(－2,0)代入不等式，得－1≥0，不成立，排除A，故选B.
3．当a≠0时，不等式x＋(a－1)y＋3>0表示( )
A．直线x＋(a－1)y＋3＝0上方的平面区域
B．直线x＋(a－1)y＋3＝0下方的平面区域
C．当a>1时表示直线x＋(a－1)y＋3＝0上方的平面区域，当a<1时表示直线x＋(a－1)y＋3＝0下方的平面区域
D．当a<1时表示直线x＋(a－1)y＋3＝0上方的平面区域，当a>1时表示直线x＋(a－1)y＋3＝0下方的平面区域
[答案] C
[解析] 本题考查二元一次不等式与平面区域．可以取特值检验，当a＝2时，x＋y＋3>0表示直线x＋y＋3＝0上方的平面区域，当a＝0时，x－y＋3>0表示直线x－y＋3＝0下方的平面区域，故排除A、B、D，故选C.
4．(2016·山东潍坊测试)不等式组
表示的平面区域是( )
A．两个三角形 B．一个三角形
C．梯形 D．等腰梯形
[答案] B
[解析] 如图所示，(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0表示如图(1)所示的对角区域，且两直线交于点A(－1,0)．
故添加条件－1≤x≤2后表示的区域如图(2)．
5．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[答案] B
[解析] 本题考查不等式(组)表示平面区域，考查学生分析问题的能力．不等式(组)表示可行域的画法，“直线定界，特殊点定域”．
可行域如图所示．
由于－2<－，且直线2x＋y－10＝0过(5,0)点，所以交点个数为1个，是(5,0)．
6．原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0两侧，则a的取值范围是( )
A．a<0或a>2 B．a＝2或a＝0
C．0[答案] C
[解析] 根据点(0,0)和点(1,1)位于直线x＋y－a＝0的两侧可得(－a)(2－a)<0，解得0二、填空题
7．点(1,2)和点(－1,3)在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，－)∪(1，＋∞)
[解析] ∵(2a＋1)(3a－3)＞0，∴a＜－或a＞1.
8.表示的平面区域内整点的个数是________．
[答案] 5
[解析] x＝0时0≤y<1，
∴可取(0,0) x＝1时0≤y<2，
∴可取(1,0)，(1,1)
x＝2时0≤y<，
可取(2,0)，(2,1)
∴有下列整点(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，共5个．
三、解答题
9．(2016·济南高二检测)在△ABC中，各顶点坐标分别为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
[解析] 如图所示．
可求得直线AB，BC，CA的方程分别为x＋2y－1＝0，
x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.
由于△ABC区域在直线AB右上方，∴x＋2y－1≥0；
在直线BC右下方，∴x－y＋2≥0；
在直线AC左下方，∴2x＋y－5≤0.
∴△ABC区域可表示为
10．画出不等式组
[解析] 不等式x＋y≤5表示直线x＋y＝5及其左下方的区域，
不等式x－2y>3表示直线x－2y＝3右下方区域，
不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及其右上方区域，
故不等式组表示的平面区域如图所示.
一、选择题
1．如图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组来表示的是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 先求出边界直线方程．然后利用口诀“上则同号，下则异号”得出二元一次不等式．
2．在平面直角坐标系中，若点A(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(0,1)
[答案] B
[解析] 在直线方程x－2y＋4＝0中，令x＝－2，则y＝1，则点P(－2,1)在直线x－2y＋4＝0上，又点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，如图知，t的取值范围是t>1，故选B.
3．不等式组，表示的平面区域的面积为( )
A．4 B．1
C．5 D．无穷大
[答案] B
[解析] 如图，作出可行域，△ABC的面积，即为所求，易得A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则S△ABC＝×1×2＝1.
4．完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2?3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40，现有工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 排除法：∵x、y∈N＋，排除B、D.
又∵x与y的比为2?3.故排除A.
二、填空题
5．△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，则△ABC内任意点(x，y)所满足的条件为________．
[答案]
[解析] 分别求三边的直线方程，易得y＝0,2x－y＋4＝0,2x＋y－4＝0.在三角形内找一点(0,1)以确定各不等式的不等号的方向．因不包括边界，所求三个不等式分别为：y>0,2x－y＋4>0,2x＋y－4<0.
6．不等式|x|＋|y|≤2所表示的平面区域的面积为________．
[答案] 8
[解析] 不等式|x|＋|y|≤2等价于不等式组，
画出不等式组表示的平面区域如图所示．
由图可知，四边形ABCD为正方形，
|AB|＝2，∴S＝(2)2＝8.
三、解答题
7．某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送180吨支援物资的任务．已知该公司有8辆载重6吨的A型卡车和4辆载重为10 吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为：A型卡车4次，B型卡车3次．列出调配车辆的数学关系式，画出平面区域．
[解析] 设每天派出A型车x辆、B型车y辆，
则，即.
画出平面区域如图中阴影部分．
8．如图所示，在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
[解析] 解法一：由两点式得AB、BC、CA的直线方程并化简．
AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0；CA：2x＋y－5＝0.
∵原点(0,0)不在每条线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组
.
解法二：由AB的方程及三角形区域在AB右方，得不等式x＋2y－1≥0.
同理得x－y＋2≥0.
由CA的方程及三角形区域在CA左方，
得不等式2x＋y－5≤0.
从而可得不等式组.
课件47张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章§4 简单线性规划第三章第1课时
二元一次不等式(组)与平面区域1.二元一次不等式(组)的概念
二元一次不等式是指含有________未知数，且未知数的最高次数为____的不等式．二元一次不等式组是指由几个总共含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式构成的不等式组．两个 1
2．二元一次不等式(组)表示的平面区域
一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分为三部分：
(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；
(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0.(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点________，从________________值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．
在这里，直线l：ax＋by＋c＝0叫做这两个平面区域的边界．
一般地，把直线l：ax＋by＋c＝0画成________，表示平面区域包括这一条边界直线；若把直线l：ax＋by＋c＝0画成________，则表示平面区域不包括这一条边界直线．(x0，y0) ax0＋by0＋c 实线 虚线 3．直线两侧的点的坐标满足的条件
直线l：ax＋by＋c＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子ax＋by＋c的值具有________的符号，并且两侧的点的坐标使ax＋by＋c的值的符号________，一侧都________，另一侧都________．
4．二元一次不等式表示区域的确定
在直线l的某一侧任取一点，检测其坐标是否满足二元一次不等式，如果满足，则该点______________区域就是所求的区域；否则l的________就是所求的区域．如果直线不过________，则用________的坐标来进行判断，比较方便．相同 相反 大于0 小于0 所在的这一侧 另一侧 原点 原点 1.下列4个点中，不在3x＋2y<6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,2) B．(0,0)
C．(1,1) D．(2,0)
[答案] D
[解析] 3×2＋2×0<6不成立，故选D.2．下图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是( )
A．x＋y－1<0 B．x＋y－1>0
C．x－y－1<0 D．x－y－1>0
[答案] B
[解析] 边界所在的直线为x＋y－1＝0，取点O(0,0)，代入得－1<0，则不等式x＋y－1>0表示图中阴影部分．[答案] A
5．若点P(a,3)在2x＋y<3表示的平面区域内，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，0)
[解析] 点P(a,3)在2x＋y<3表示的平面区域内，则2a＋3<3，解得a<0. 画出下列不等式表示的平面区域．
(1)2x＋y－10<0；
(2)y≤－2x＋3.
[分析] 对于(1)，先画出直线2x＋y－10＝0(用虚线表示)，再取坐标原点(0,0)代入检验，从而判断出2x＋y－10<0表示的平面区域．对于(2)，先把y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0的形式，再画出直线2x＋y－3＝0(用实线表示)，取原点(0,0)代入检验，从而判断出2x＋y－3≤0表示的平面区域．二元一次不等式表示的平面区域 [解析] (1)先画出直线2x＋y－10＝0(画成虚线)，
取点(0,0)，代入2x＋y－10，得2×0＋0－10＝－10<0，
∴2x＋y－10<0表示的平面区域是直线2x＋y－10＝0的左下方的平面区域，如图(1)所示．(2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0.先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．取点(0,0)，代入2x＋y－3，得2×0＋0－3＝－3<0，∴2x＋y－3≤0表示的平面区域是直线2x＋y－3＝0以及其左下方的平面区域，如图(2)所示．
[方法总结] 画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤为：①“直线定界”，即画出边界Ax＋By＋C＝0，要注意是虚线还是实线；②“特殊点定域”，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号确定出所求不等式表示的平面区域．当C≠0时，通常取原点(0,0)作为测试点．画出不等式x＋2y－4＜0表示的平面区域．
[解析] 先画直线x＋2y－4＝0(画成虚线)．
把原点(0,0)的坐标代入x＋2y－4，则0＋2×0－4＝－4＜0，所以原点在x＋2y－4＜0表示的平面区域内，所以不等式x＋2y－4＜0表示的区域如图所示中的阴影部分． 二元一次不等式组表示的平面区域
[解析] (1)作直线x＝y，画为实线，取直线下方区域；作直线3x＋4y－12＝0，画为虚线，取直线下方区域，取两区域的公共部分，如图：
[方法总结] 二元一次不等式组表示的平面区域是它的各个不等式所表示的平面区域的公共部分，注意边界是实线还是虚线．对每一个不等式表示的平面区域都必须作出正确的判断，最后取交集．把本例(1)中不等式组改为“(x－y)(3x＋4y－12)<0”试画出平面区域．求平面区域的面积
[方法总结] 不能正确表示不等式组所表示的平面区域是常犯的错误．这类问题作出所表示的平面区域是前提，利用直线的斜率及纵截距的几何意义是解题的关键． 已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)若点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．求范围问题
[分析] 由二元一次不等式组所表示的区域写出相应的不等式组，这本身就是一种创新，其求解过程与画出二元一次不等式组的过程正好互逆．另外，在第(2)问中由B，C两点位于直线4x－3y－a＝0的异侧，可知将B，C两点坐标代入代数式4x－3y－a所得的值的符号正好相反．
[方法总结] 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号；在异侧的充要条件是Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号．若点(3,1)和(4，－6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－24,7) B．(7,24)
C．(－7,24) D．(－24，－7)
[答案] D
[解析] 把点(3,1)和(4，－6)分别代入3x－2y＋a得7＋a,24＋a，由题意得(7＋a)(24＋a)<0.
∴－24[方法总结] 用二元一次不等式(组)表示的平面区域来表示实际问题时，可先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的两个量用字母表示，进而问题中所有的量都用这两个字母表示出来，再由实际问题中有关的限制条件或由问题中所有量的实际意义写出所有的不等式，再把由这些不等式所组成的不等式组用平面区域表示出来即可．某家具厂计划每天生产桌椅的数量各不少于12，已知生产一张桌子需用木材0.3方，生产一把椅子需要用木材0.2方，每个工人每天能生产一张桌子或2把椅子，木材每天供应量为12方，工人人数最多时为30人，请你用图形表示每天生产的桌椅数量的取值范围．
[分析] 设出桌椅数量x、y，把x、y的限制条件列成不等式组，把不等式组表示的区域画出就是所要求的每天生产桌椅数量的取值范围．[辨析] 取特殊点检验时，应代入原式(2y－5x－10)，而不能代入变形后的(5x－2y＋10)进行检验．【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 4 简单线性规划 第2课时 简单线性规划同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．(2015·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋y的最大值为( )
A．7 B．8
C．9 D．14
[答案] C
[解析] z＝3x＋y＝(x－2)＋(x＋2y－8)＋9≤9，当x＝2，y＝3时取得最大值9，故选C.此题也可画出可行域如图，借助图像求解．
2．如图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是( )
A．(0,5) B．(1,4)
C．(2,4) D．(1,5)
[答案] A
[解析] 目标函数可化为y＝－x＋，因为－>－1，
∴当过点(0,5)时，目标函数z＝6x＋8y取最大值．
3．设x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为( )
A．10 B．8
C．3 D．2
[答案] B
[解析] 本题考查在约束条件下的简单目标函数的最值问题．
画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z＝2x－y在两条直线x－3y＋1＝0与x＋y－7＝0的交点(5,2)处，
取得最大值z＝8.故选B.
4．(2014·北京理，6)若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( )
A．2 B．－2
C. D．－
[答案] D
[解析] 本题考查了线性规划的应用．
若k≥0，z＝y－x没有最小值，不合题意．
若k<0，则不等式组所表示的平面区域如图所示．
由图可知，z＝y－x在点(－，0)处取最小值．
故0－(－)＝－4，解得k＝－，即选项D正确．
5．(2016·荆州高二检测)点P(2，t)在不等式组表示的平面区域内，则点P(2，t)到直线3x＋4y＋10＝0距离的最大值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] B
[解析] 画出不等式组表示的平面区域(如下图中阴影部分所示)．
结合图形可知，点P在直线x＋y－3＝0上时，P点到直线3x＋4y＋10＝0的距离最大．由得P点坐标为(2,1)，故所求最大距离为
dmax＝＝4.
6．设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
[答案] B
[解析] 当a＝0时显然不满足题意．
当a>0时，画出可行域(如图(1)所示的阴影部分)
又z＝x＋ay，所以y＝－x＋z，
因此当直线y＝－x＋z经过可行域中的A(，)时，z取最小值，于是＋a·＝7，解得a＝3(a＝－5舍去)；
当a<0时，画出可行域(如图(2)所示的阴影部分)
又z＝x＋ay，所以y＝－x＋z，
显然直线y＝－x＋z的截距没有最大值，即z没有最小值，不合题意．
综上，a的值为3，故选B.
二、填空题
7．设x、y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．
[答案] 5
[解析] 本题考查了线性规划知识．作出目标函数的可行域，从中可以看出当直线x＋4y＝z经过点A(1,1)时目标函数有最大值是5.
注意，若y的系数是负数时，目标函数在y轴上的截距的最大值是目标函数的最小值．
8．(2015·北京高考)如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P(x，y)为D中任意一点，则z＝2x＋3y的最大值为________．
[答案] 7
[解析] 由题意可知，目标函数y＝－x＋，因此当x＝2，y＝1，即在点A处时z取得最大值7.
三、解答题
9．设x、y满足约束条件，分别求：
(1)z＝6x＋10y的最大值、最小值；
(2)z＝2x－y的最大值、最小值；
(3)z＝2x－y(x，y均为整数)的最大值、最小值．
[解析] (1)先作出可行域，如图所示中△ABC表示的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，)．作出直线l0：6x＋10y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过B点时，可使z＝6x＋10y达到最小值，当l0的平行线l2过A点时，可使z＝6x＋10y达到最大值．
∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.
(2)同上，作出直线l0：2x－y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过C点时，可使z＝2x－y达到最小值，当l0的平行线l2过A点时，可使z＝2x－y达到最大值.
∴zmax＝8；zmin＝－.
(3)同上，作出直线l0：2x－y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l2过A点时，可使z＝2x－y达到最大值，zmax＝8.当l0的平行线l1过C点时，可使z＝2x－y达到最小值，但由于不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必须都是整数，所以可行域内的点C(1，)不是最优解．当l0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z＝2x－y达到最小值．
∴zmin＝－2.
10．已知变量x，y满足约束条件，求的最大值和最小值．
[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，A点坐标为(1,3)，目标函数z＝表示坐标是(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点A与O连线斜率最大为3；当直线与x轴重合时，斜率最小为0.故的最大值为3，最小值为0.
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若不等式组，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 由，得A(1，a＋1)，
由，得B(1,0)，
由，得C(0,1)．
∵S△ABC＝2，且a>－1，
∴S△ABC＝|a＋1|＝2，∴a＝3.
2．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )
A．4 B．3
C．4 D．3
[答案] C
[解析] 本题考查线性规划、数量积的坐标运算．
∵·＝(x，y)·(，1)＝x＋y，做直线l0：x＋y＝0，将l0向右上方平移，当l0过区域D中点(，2)时，·＝x＋y取最大值×＋2＝4.选C.
3．若变量x、y满足约束条件
，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A．48 B．30
C．24 D．16
[答案] C
[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图．
作直线l0：y＝x，平移直线l0.
当l0过点A(4,4)时可得zmax＝16，∴a＝16.
当l0过点B(8,0)时可得zmin＝－8，∴b＝－8.
∴a－b＝16－(－8)＝24.
4．(2015·山东高考)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
[答案] B
[解析] 不等式组 在直角坐标平面内所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或者x＝2，y＝0.经检验知，x＝2，y＝0符合题意，此时a＝2；x＝y＝1不合题意．故选B.
二、填空题
5．(2015·新课标Ⅰ)若x，y满足约束条件
则的最大值为________．
[答案] 3
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
6．设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
[答案] 2
[解析] 本题考查线性规划知识．
可行域如图，由z＝kx＋y得y＝z－kx，当z取最大值时，y取最大值，∴4＝12－4k，故k＝2.
三、解答题
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g，咖啡4 g，糖3 g；乙种饮料每杯含奶粉4 g，咖啡5 g，糖10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g，咖啡2 000 g，糖3 000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？
[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x杯，饮料乙y杯，
线性约束条件为，
利润z＝0.7x＋1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－<－<－<－，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，
即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．
8．已知实数x，y满足不等式组，求ω＝的取值范围．
[解析] 作出可行域如图所示．
因为表示可行域中的点(x，y)与点(－1,1)连线的斜率．显然可行域内A点与点(－1,1)连线斜率最小，并且斜率没有最大值，最大值始终小于1，所以kmin＝＝－，kmax不存在，所以ω＝的取值范围是.
课件46张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章§4 简单线性规划第三章第2课时 简单线性规划某电视台要播放两套宣传片，其中宣传片甲播放时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万；宣传片乙播放时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟的广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？1.线性规划中的基本概念最大值或最小值 不等式组 最大值或最小值 坐标解(x，y) 可行解
2.当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值的步骤为：
(1)作出可行域；
(2)作出直线l0：____________；
(3)确定l0的平移方向，依可行域判断取得________的点；
(4)解相关方程组，求出________，从而得出目标函数的最大值或最小值．ax＋by＝0 最优解 最优解 1.目标函数z＝3x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )
A．该直线的截距
B．该直线在y轴上的截距
C．该直线在y轴上的截距的相反数
D．该直线在x轴上的横截距
[答案] C
[解析] 把目标函数变形为y＝3x－z，由此可见，z是该直线在y轴上的截距的相反数．
2．有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，需x辆6吨的汽车和y辆4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
[答案] A[答案] 7[解析] 画出可行域及直线x＋3y＝0，平移直线x＋3y＝0，当其经过点A(1,2)时，直线的纵截距最大，所以z＝x＋3y的最大值为z＝1＋3×2＝7.求线性目标函数的最值问题 [方法总结] 在求目标函数z＝ax＋by＋c的最值时，根据y的系数的正负，可分为以下两种情形求最值．
1．求目标函数z＝ax＋by＋c，b>0的最值．
在线性约束条件下，当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解程序为：
(1)作出可行域；
(2)作出直线l0：ax＋by＝0；
(3)确定l0的平移方向，若把l0向上平移，则对应的z值随之增大；若把l0向下平移，所对应的z值随之减小，依可行域判定取得最优解的点．
(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值．2．求目标函数z＝ax＋by＋c，b<0的最值．
在线性约束条件下，当b<0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最小值或最大值的求解程序为：
(1)作出可行域；
(2)作出直线l0：ax＋by＝0；
(3)确定l0的平移方向：若把l0向上平移，所得相应z值随之减小；若把l0向下平移，所对应的z值随之增大，依可行域判定取得最优解的点．
(4)解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值．[答案] (1)C (2)A[解析] (1)画出x，y约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l：y＝－2x，平移直线l，经过可行域上的点A(4,2)时，z取最大值，即zmax＝2×4＋2＝10，故选C.(2)如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当x＝－2，y＝1时，z＝3x－y取到最小值－7，故选A.求非线性目标函数的最值问题 已知变量x、y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为________．
[分析] 作出可行域，平移直线使其过(3,1)点时，在y轴上的截距也取得最大值．已知目标函数的最值求参数
[点评] 这是一道线性规划的逆向思维问题，解答此类问题必须要明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．本例中，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则a的范围又是什么？
[解析] 若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4重合，此时a＝1.
[辨析] 显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S＝14，故上述解法不正确．
对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点．
而要先对边界点作目标函数t＝Ax＋By的图像，
则最优解是在可行域内离直线t＝Ax＋By最近的整点．
[正解] 依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l: 5x＋4y＝0，平行移动直线l经过可行域内的整点B(2,1)时，Smax＝14.【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 4 简单线性规划 第3课时 简单线性规划的应用同步练习 北师大版必修5
一、选择题
1．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件，则z＝10x＋10y的最大值是( )
A．80 B．85
C．90 D．95
[答案] C
[解析] 画出不等式组，表示的平面区域，如图所示．
由，解得A(，)．
而由题意知x和y必须是正整数，直线y＝－x＋向下平移经过的第一个整点为(5,4)．
z＝10x＋10y取得最大值90，故选C.
2．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为( )
A．2件，4件 B．3件，3件
C．4件，2件 D．不确定
[答案] B
[解析] 设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则
，
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．
3．设z＝x－y，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
[答案] A
[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z＝x－y即y＝x－z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z最小．zmin＝1.
4．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4
C. D．2
[答案] B
[解析] 本题考查线性规划与点到直线的距离．
如图所示
∴A点坐标为(2,1)，
z＝ax＋by在A点处取得最小值2，即
2a＋b＝2.
a2＋b2可看作两点(0,0)(a，b)的距离的平方，原点到直线2a＋b＝2的距离的平方是()2＝4.
5．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
[答案] B
[解析] 设对甲项目投资x万元，对乙项目投资y万元，所获利润z＝0.4x＋0.6y万元．根据题意得，
画出可行域如图，作直线l0：2x＋3y＝0，平移直线l0可见，当平移到经过可行域内的点A时，z取最大值，由得
∴zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．
6．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )
A．4650元 B．4700元
C．4900元 D．5000元
[答案] C
[解析] 设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得
.
设每天的利润为z元，则z＝450x＋350y.
画出可行域如图阴影部分所示．
由图可知z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，经过点A时取得最大值，又由得.即A(7,5)．
∴当x＝7，y＝5时，z取到最大值，zmax＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.
二、填空题
7．当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
[答案] [1，]
[解析] 考查线性规划最优解问题．
作出不等式所表示区域．
由1≤ax＋y≤4.
∴a≥0，且在(1,0)点取最小值，在(2,1)取得最大值．
故a≥1,2a＋1≤4 ∴a≤，
故a∈[1，]．
8．记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
[答案] [，4]
[解析] 本小题考查线性规划问题，直线过定点问题.
直线y＝a(x＋1)，过定点(－1,0)
可行域D如图
A点坐标为(0,4)
∴B点坐标(1,1)
∴kDA＝4，kDB＝＝
∴a∈[，4]．
三、解答题
9．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，求m的值．
[解析] 本题是线性规划问题．先画出可行域，再利用最大值为4求m.
由m>1可画出可行域如图所示，则当直线z＝x＋5y过点A时z有最大值．由得A(，)，代入得＋＝4，即解得m＝3.
10．某人承包一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
[解析] 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个．
由题意可得：所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图．
在一组平行直线3x＋2y＝t中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，
∴最优解为：x＝2，y＝1
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.
一、选择题
1．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
[答案] B
[解析] 本题主要考查线性规划问题．
不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图所示，当目标函数z＝x＋2y过点(0，－1)，(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x＋2y的最大值和最小值分别为2，－2，故选B.
2．已知z＝x2＋y 2－4x－4y＋8，则z的最小值为( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 画出可行域如图所示．
z＝(x－2)2＋(y－2)2为可行域内的点到定点(2,2)的距离的平方，
∴zmin＝2＝.
3．若实数x、y满足不等式，且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] C
[解析] 如图，作出可行域．
由，得
A，
平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取最大值，即＋＝9.
解得m＝1.
4．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2 800元 B．2 400元
C．2 200元 D．2 000元
[答案] C
[解析] 设调用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，设运输费用为t，则t＝400x＋300y.
线性约束条件为，
作出可行域如图，则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时，t取最小值2 200，故选C.
二、填空题
5．某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元，B型卡车为504元．每天调配A型卡车________辆，B型卡车________辆，可使公司所花的成本费用最低．
[答案] 5 2
[解析] 设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，
依题意有?.
目标函数z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．
作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示，即可行域．
由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(5,2)使z＝320x＋504y取得最小值，
z最小值＝320·5＋504·2＝2608(元)．
6．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张．如果小明带有10元钱，共有________种买法．
[答案] 12
[解析] 设购买8角和2元邮票分别为x张、y张，则，即.
∴2≤x≤12,2≤y≤5，
当y＝2时，2x≤15，∴2≤x≤7，有6种；
当y＝3时，2x≤10，∴2≤x≤5，有4种；
当y＝4时，2x≤5，∴2≤x≤2，∴x＝2有一种；
当y＝5时，由2x≤0及x≥0知x＝0，故有一种．
综上可知，不同买法有：6＋4＋1＋1＝12种．
三、解答题
7．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造1t甲产品要用煤9t，电力4kW，劳动力(按工作日计算)3个；制造1t乙产品要用煤4t，电力5kW，劳动力10个．又知制成甲产品1t可获利7万元，制成乙产品1t可获利12万元．现在此工厂只有煤360t，电力200kW，劳动力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少吨能获得最大经济效益？
[解析] 设此工厂应分别生产甲、乙产品xt，yt，利润z万元，则
依题意可得约束条件：利润目标函数为：z＝7x＋12y.画出可行域如图所示．
作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移到l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝7x＋12y取最大值．
解方程组得M点坐标为(20,24)．
∴生产甲种产品20t，乙种产品24t，才能使此工厂获得最大利润．
8．某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．
[解析] 设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，
则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且
，
作出不等式组表示的平面区域如图，
又由，
解出x＝，y＝，
∴M(，)，
∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．
又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；
过顶点(8,0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)．
M(，)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z＝19x＋14.4y过点(1,10)时，z＝163；过点(2,9)时z＝167.6.
∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：只要截1.5m长的零件12个，就能获得最大利润．
课件58张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章§4 简单线性规划第三章第3课时 简单线性规划的应用1.解线性规划应用题的步骤：
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
求解过程：
①________——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.
②________——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．作图平移
③________——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
(3)作答——就应用题提出的问题作出回答．
2．线性规划解决的常见问题有：___________问题、__________问题、__________问题、__________问题、__________问题等．求值物资调配产品安排合理下料产品配方方案设计1.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
[答案] D
2．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐，甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元，若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，既满足营养，又使费用最省，则需要甲、乙两种原料分别为( )
A．28g,30g B．30g,28g
C．2.8g,3g D．3g,2.8g
[答案] A3．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
[答案] B4．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
为使一年的种植的总利润最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积分别为________．
[答案] 30亩 20亩画出可行域如图中阴影部分所求，易得点A(0,50)，B(30,20)，C(45,0)．易得最优解为(30,20)，即黄瓜和韭菜的种植面积分别为30亩、20亩．5．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c，如下表：
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为______(百万元)．
[答案] 15作出可行域如图所示，由图可知，目标函数z＝3x＋6y在点A(1,2)处取得最小值，zmin＝3×1＋6×2＝15. 某工厂计划生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要两种原料．生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种原料2kg.现有A种原料1 200kg，B种原料800kg.如果生产甲产品每工时的平均利润是30元，生产乙产品每工时的平均利润是40元，问甲、乙两种产品各生产多少工时能使利润的总额最大？最大利润是多少？收益最大问题(利润、收入、产量等) [解析] 依题意可列表如下：
[方法总结] 解答线性规划应用题应注意以下几点：
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，分析未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等；
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；
(5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．某厂计划生产甲、乙两种产品，甲产品售价50千元/件，乙产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4t/件，B种原料2t/件，生产乙产品需要A种原料3t/件，B种原料1t/件，该厂能获得A种原料120t，B种原料50t.问生产甲、乙两种产品各多少件时，能使销售总收入最大？最大总收入为多少？画出不等式组表示的平面区域即可行域如图．
易知直线z＝50x＋30y过点(15,20)时，取得最大值．
zmax＝50×15＋30×20＝1 350.
答：生产甲、乙两种产品分别为15件、20件，总收入最大是1 350千元． 某公司的仓库A存有货物12t，仓库B存有货物8t.现按7t、8t和5t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店，从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元．则应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题 某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31200元 B．36000元
C．36800元 D．38400元
[答案] C 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少．线性规划中的整点问题
[方法总结] 可行域内最优解为整点的问题的处理
用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精确度要求较高，平行直线系f(x，y)＝t的斜率要画准，可行域内的整点要找准．那么如何解决这一实际问题呢？
确定最优整数解常按以下思路进行：
(1)若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解(在包括边界的情况下)；(2)若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解．这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．
(3)采用优值调整法，此法的一般步骤为：
①先求出非整点最优解及其相应的最优值；
②调整最优值，代入约束条件，解不等式组；
③根据不等式组的解筛选出整点最优解．某公司计划在今年内同时出售电子琴和洗衣机，由于两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种货物的供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？作出平面区域如图．令t＝a＋b，则t是直线b＝－a＋t的纵截距，显然当直线b＝－a＋t与直线a＋b＋1＝0重合时，t最大，tmax＝－1.
当直线b＝－a＋t经过点(0，－4)时．t最小，∴tmin＝－4，∴－4≤t≤－1.
[辨析] 误解中忽视了点(a，b)的存在范围不包含边界．作出平面区域如图．令t＝a＋b，则t是直线b＝－a＋t的纵截距，显然当直线b＝－a＋t与直线a＋b＋1＝0重合时，
t最大，tmax＝－1.
当直线b＝－a＋t经过点(0，－4)时．t最小，
∴tmin＝－4，
又∵点(a，b)的范围是如图阴影部分且不含边界，
∴－4一、不等关系
1．不等关系体现在日常生活中的方方面面，在数学意义上，不等关系可以体现：
(1)常量与常量之间的不等关系；
(2)变量与变量之间的不等关系；
(3)函数与函数之间的不等关系；
(4)一组变量之间的不等关系．2．实数比较大小的方法：作差法
(1)a－b>0?a>b；
(2)a－b＝0?a＝b；
(3)a－b<0?a要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．
二、一元二次不等式
1．一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集：
一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解．一元二次不等式的所有解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集．2．解一元二次不等式的步骤：
常用数形结合法解一元二次不等式，步骤：
(1)当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定方程ax2＋bx＋c＝0的解；
②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的简图；
③借助于图像的直观性写出不等式的解集．
(2)特别地，若a<0时，还可先运用不等式的性质将其化成正数，再解不等式．3．一元二次不等式的解法技巧：
(1)解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)，当a>0时，若相应一元二次方程的判别式Δ>0，则求两根或分解因式，根据“大于在两边，小于夹中间”写出解；若Δ＝0或Δ<0，这是特殊情形，利用相应一元二次函数的图像写出不等式的解集．
(2)对于含参不等式，在求解过程中，注意不要忽视对其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论．
分式不等式解法的实质是等价转化，把分式不等式转化为整式不等式来求解，需要注意分式有意义即分母不为零，也可将分式不等式转化为两个不等式组的并集，继而求出其解集．5．简单的一元高次不等式f(x)>0用数轴标根法(或称区间法、穿根法)求解，其步骤是：
①将f(x)的最高次项的系数化为正数；
②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次用曲线把每个根串联起来；
④根据曲线呈现出f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集；
⑤奇次根依次穿过，偶次根穿而不过．
2．利用基本不等式求最值．
(1)利用基本不等式求最值，利用均值不等式求最值常见的有：
①已知某些变量(正数)的积为定值，求和的最小值．
②已知某些变量(正数)的和为定值，求积的最大值．(2)利用基本不等式应注意的问题：
①各数(或式)均为正；
②“和”或“积”为定值；
③等号能成立．即“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可．
(3)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”、将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．3．创设应用基本不等式的条件
(1)合理拆分项或配凑因式是常用的技巧，而“拆”与“凑”的目标在于使等号成立，且每项为正值，必要时需构造出“积为定值”或“和为定值”．
(2)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．
四、简单线性规划
1．判断二元一次不等式(组)表示区域的方法
以线定界、以点(原点)定域．
以Ax＋By＋C≥0(A>0，B>0)为例．“以线定界”，即画二元一次方程Ax＋By＋C＝0表示的直线定边界，其中，还要注意实线或虚线．“以点定域”，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为了确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用取特殊点法，如取坐标原点(0,0)等．2．最优解的确定方法
最优解可有两种确定方法：
(1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解；
(2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．若围成可行域的直线l1，l2，…，ln的斜率分别为k1(3)若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，此时应当作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找．
如果可行域中的整点数目不多，可采用逐个检验的办法确定．3．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤
(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式表示的区域，然后求出所有区域的交集．
(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)．
(3)求出最终结果．在可行域内平行移动目标函数等值线，从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或是无最优解．
4．利用线性规划解实际问题的一般步骤
(1)认真分析并掌握实际问题的背景，收集有关数据．
(2)将影响问题的各项主要因素作为决策量，设为未知数．
(3)根据问题特点，写出约束条件．
(4)根据问题特点，写出目标函数，并求出最优解或其他要求的解．解不等式
[方法总结] 高次不等式可化为一边为零的不等式后，再将另一边分解因式，然后利用穿针引线法求解．分式不等式也可化为一边为零的不等式，再根据分子、分母同号或异号转化为整式不等式求解，但要注意，分母不为零．利用基本不等式求最值 [例2] 已知x>0，y>0，且xy＝4x＋y＋12，求xy的最小值．
[方法总结] 对于通过方程求条件的最值，一般有两种思路：一是通过不等式的放缩将其变为不等式；一是转化为函数问题．比较来看，方法一运算量小，但对x，y的范围有限制，且要求取到“＝”；方法二的适用范围更广，更好地体现了函数的思想．解含参数的不等式，由于解答过程中的不确定因素，常需进行分类讨论，如一元二次不等式的二次项系数，含参数时分系数等于0、不等于0两类；不等式两边同乘以(或除以)一个数时，要讨论这个数的符号；解一元二次不等式对应方程根的情况不定或有实根但大小不定时要讨论等．解含参数的不等式 [例3] 解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0.
[分析] 先将不等式的左边分解因式，由此得方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根，然后由a的取值范围比较两根的大小，从而写出不等式的解集．[方法总结] 含参数的不等式的解题步骤为：
(1)将二次项系数转化为正数；
(2)判断相应方程是否有根(如果有可以直接分解因式，可省去此步)；
(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了写出解集还要分析根的大小)．
另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定着不等式是否为一元二次不等式．对于不等式恒成立求参数取值范围问题
常见类型及解法有以下几种．
1．变更主元法：
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．不等式的恒成立问题
2．分离参数法：
若 a若a>g(x)恒成立，则a>g(x)max.
3．数形结合法：
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化．[答案] Cf(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)<0，求a的取值范围．求目标函数在约束条件下的最优解，一般步骤为：一是寻求约束条件和目标函数，二是作出可行域，三是在可行域内求目标函数的最优解．特别注意目标函数z＝ax＋by＋c在直线ax＋by＝0平移过程中的变化规律和图中直线斜率的关系，简单的线性规划应用题在现实生活中的广泛的应用也是高考的热点．二元线性规划问题 已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5 元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/吨和1.6 元/吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．
设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20,260)．把直线l0：0.5x＋0.8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．
∵点M的坐标为(20,260)，
∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．【成才之路】2016年春高中数学 第3章 不等式 综合测试 北师大版必修5
(时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③a2中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
[答案] C
[解析] 由<<0，得b∴②③均不成立，a＋b<0，ab>0，∴①成立．
而＋－2＝>0，
∴＋>2，④成立．故选C.
2．如果a，b，c满足cA．ab>ac B．c(b－a)>0
C．cb2[答案] C
[解析] c0，c<0.
对于A：?ab>ac，A正确．
对于B：?c(b－a)>0，B正确；
对于C：?cb2≤ab2?? cb2对于D：ac<0，a－c>0?ac(a－c)<0，D正确．
3．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是( )
A．(－3,4) B．(－4,3)
C．(0，－3) D．(－3,2)
[答案] A
[解析] 当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，
可以验证仅有点(－3,4)满足3x＋2y＋5>0.
4．(2016·大连高二检测)不等式ax2＋5x＋c>0的解集为{x|A．a＝6，c＝1 B．a＝－6，c＝－1
C．a＝1，c＝1 D．a＝－1，c＝－6
[答案] B
[解析] 由已知得a<0且，为方程ax2＋5x＋c＝0的两根，故＋＝－，×＝.
解得a＝－6，c＝－1，故选B.
5．若集合A＝{x|x2＋x－6<0}，B＝{x|≤0}，则A∩B等于( )
A．(－3,3) B．[－2,2)
C．(－2,2) D．[－2,3)
[答案] B
[解析] A＝{x|－3∴A∩B＝[－2,2)．
6．(2015·安徽文，5)已知x，y满足约束条件
则z＝－2x＋y的最大值是( )
A．－1 B．－2
C．－5 D．1
[答案] A
[解析] 根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图．
令z＝－2x＋y，则y＝2x＋z，可知在图中A(1,1)处，z＝－2x＋y取到最大值－1，故选A.
7．已知a>0，x、y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
[答案] B
[解析] 本题考查了线性规划知识．
作出线性约束条件的可行域．
因为y＝a(x－3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C(1，－2a)时，z＝2x＋y有最小值，
∴2×1－2a＝1，∴a＝.
8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4
C. D．5
[答案] C
[解析] 本题主要考查基本不等式在求最值中的应用．
∵a＋b＝2，∴＋＝1，∴y＝＋＝
＝＋＋，
∵a>0，b>0，∴＋≥2＝2，当且仅当＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝时取得等号，
∴y的最小值是，选C.
9．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx＋过定点(0，)．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M(，)．
当y＝kx＋过点(，)时，＝＋，
∴k＝.
10．方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是( )
A．(－5，－4] B．(－∞，－4]
C．(－∞，－2) D．(－∞，－5)∪(－5，－4]
[答案] A
[解析] 令f(x)＝x2＋(m－2)＋5－m，要使f(x)＝0的两根都大于2，
则
解得：?－511．已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2[答案] D
[解析] ∵x>0，y>0.
∴＋≥2＝8(当且仅当＝时取“＝”)．
若＋>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解之得－412．已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[0,2] D．[－1,2]
[答案] C
[解析] 本题主要考查向量的坐标运算与线性规划知识．
·＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件表示的平面区域如图所示．
可以看出当z＝y－x过点A(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则·的取值范围是[0,2]，故选C.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．不等式2x2＋2x－4≤的解集为____________．
[答案] [－3,1]
[解析] 不等式2x2＋2x－4≤化为2x2＋2x－4≤2－1，
∴x2＋2x－4≤－1，∴x2＋2x－3≤0，
∴－3≤x≤1，
∴原不等式的解集为[－3,1]．
14．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
[答案]
[解析] 由x2＋y2＋xy＝1得1＝(x＋y)2－xy
∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋2，解得
－≤x＋y≤，∴x＋y的最大值为.
15．要挖一个面积为432m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3m,4m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为________、宽为________．
[答案] 24m 18m
[解析] 设鱼池的长宽分别为xm，ym，
∴xy＝432，∴(x＋6)(y＋8)＝xy＋6y＋8x＋48＝480＋6y＋8x≥480＋2＝768，当且仅当6y＝8x，即x＝18，y＝24时，等号成立．
16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
[答案] 2 300
[解析] 设甲、乙两种设备分别需要租用x、y天．
根据题意得，
所需租赁费为z＝200x＋300y.
作出可行域如图所示，将l0?2x＋3y＝0向可行域平移，当直线经过M点时，z取最小值．
由，得M(4,5)．
∴zmin＝200×4＋300×5＝2 300(元)．
即所需租赁费最少为2 300元．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)若函数f(x)＝lg(8＋2x－x2)的定义域为M，函数g(x)＝的定义域为N，求集合M，N，M∩N.
[解析] 由8＋2x－x2>0，即x2－2x－8<0，
∴(x－4)(x＋2)<0，
∴－2∴M＝{x|－2由1－≥0，得≥0，
∴x≥3或x<1.
∴N＝{x|x<1或x≥3}．
∴M∩N＝{x|－218．(本小题满分12分)当x>3时，求函数y＝的值域．
[解析] ∵x>3，∴x－3>0.
∴y＝＝
＝2(x－3)＋＋12
≥2＋12＝24.
当且仅当2(x－3)＝，
即x＝6时，上式等号成立，
∴函数y＝的值域为[24，＋∞)．
19．(本小题满分12分)不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)
(1)若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值．
(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．
[解析] (1)因为不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，
所以，－3，－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，且k<0
∴
即k＝－.
(2)若不等式的解集为R，
则
即
解得：k<－.
20．(本小题满分12分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
[解析] 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
，
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线，x＋0.5y＝z，z∈R.与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．解方程组，
得.
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∴当，时z取得最大值．
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能盈利最大．
21．(本小题满分12分)已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m＝0的两根为x1、x2，若x1<1[解析] 设f(x)＝(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m，显然m＋1≠0.
(1)当m＋1>0时，可画简图：
则，即，不等式组无解．
(2)当m＋1<0时，可画简图：
则，即.
得－2由(1)、(2)知m的取值范围是(－2，－1)．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(a、b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设k>1，解关于x的不等式f(x)<.
[解析] (1)将x1＝3，x2＝4分别代入方程－x＋12＝0，得
，解得.∴f(x)＝(x≠2)．
(2)原不等式即为<，可化为<0.
即(x－2)(x－1)(x－k)>0.
①当12;
②当k＝2时，x>1且x≠2；
③当k>2时，1k.
综上所述，当12}；
当k＝2时，原不等式的解集为{x|x>1且x≠2}；
当k>2时，原不等式的解集为{x|1k}．
