24.1圆的有关性质同步练习（含解析）

24.1 圆的有关性质 同步练习
2024-2025学年九年级人教版数学
一、单选题
1．等于圆周的弧叫做（ ）
A．劣弧 B．半圆 C．优弧 D．圆
2．如图，是是直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，是内一点，且的半径为5，，则经过点的弦的长度最短为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，半径垂直于弦，点D在圆上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．直径是弦，反之弦也是直径 B．度数相等的弧是等弧
C．半圆是弧，但弧不一定是半圆 D．平分弦的直径等于弦
7．中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于（ ）
A． B． C． D．
8．在中，一条弦把圆周分成的两段弧的长度比为，如果的半径为，那么这条弦的长度为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．若是半径为的上两个不同的点，则弦的最大值是 ．
10．如图，在半圆O中，直径，将半圆O沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则的长是 ．
11．已知的直径为10，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的弦为整数的有 条．
12．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心重合，，则半径等于 ．
三、解答题
13．如图，已知，是的两条直径，是的弦，且，，那么等于吗．说明你的理由．如果，该结论仍成立吗．
14．如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
15．定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，中，，，，则与是邻等三角形．
(1)如图2，中，点D是的中点，那么请判断与是否为邻等三角形，并说明理由．
(2)如图3，以点为圆心，为半径的交轴于点，是的内接三角形，．求的度数和的长．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据优弧的定义即可求解，本题考查了优弧、劣弧的定义，解题的关键是熟练掌握优弧定义．
【详解】根据直径所对的两条弧是半圆，大于半圆的弧是优弧，则等于圆周的弧是优弧，
故选．
2．B
【分析】由于, 根据垂径定理有, , 不能得出, 圆的半径都相等.
【详解】解：如图所示，
∵,
∴, ,
的半径都相等，那么
,
不能得出.
故选:.
【点睛】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.
3．B
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案．
【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦，
，
圆的半径为5，，
，
，
过的最长的弦是圆的直径是10，
经过点的弦的长，
过点的弦的长度最短为8．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故选：A．
5．C
【分析】
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，弧与圆心角的关系，先由圆周角定理得到，再由垂径定理得到，则．
【详解】解；∵，
∴，
∵半径垂直于弦，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了圆的有关概念，判断命题的真假，根据圆的有关概念进行排除即可，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．
【详解】、直径是弦，但是弦不一定是直径，原选项说法错误，不符合题意；
、在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，度数相等的弧不一定能完全重合，原选项说法错误，不符合题意；
、半圆是弧，但弧不一定是半圆，原选项说法正确，符合题意；
、平分弦的直径不一定等于弦，原选项说法错误，不符合题意；
故选：．
7．D
【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题关键．连接，设的半径为，根据垂径定理可得三点共线，进而可得，，在中，由勾股定理得解得的值，即可获得答案．
【详解】解：如图，连接，设的半径为，
∵为的中点且，
∴三点共线，
∴，，
在中，由勾股定理得，
即，解得，
即该车轮的半径等于．
故选：D．
8．D
【分析】本题主要考查弦、弧、圆心角的关系，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，作于点C，先求出弦所对的圆心角的度数，用含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理解求出，最后利用垂径定理即可求解．
【详解】解：如图，作于点C，
弦把分成的两段弧的长度比为，
，
，
，
，
，
，
故选D．
9．20
【分析】本题考查了直径与弦的关系，理解直径是圆中长度最大的弦，求得圆的直径即得解．
【详解】解：上的直径是；
弦的最大值是
故答案为．
10．
【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．过点O作，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解．
【详解】解：过点O作，如图所示，

∵将半圆O沿弦所在的直线折叠，若恰好过圆心O，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵，经过圆心，
∴，
故答案为：．
11．4
【分析】本题考查了垂径定理的应用．解决本题的关键是确定过点P的弦的范围问题，需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，利用勾股定理求解．过点最长的弦是10，根据已知条件，可以求出过点的最短的弦是8，故过点的弦的长度在8和10之间，所以过点的弦中长度为整数的弦的条数为4．
【详解】解：如图所示，
作于，
，
在中，，，
，
，
故过点的弦的长度在8和10之间，弦为9的有2条，
所有过点的所有弦中取整数的有8，9，10．这三个数，
又圆是轴对称图形，
过点的弦中长度为整数的弦的条数为4．
故答案为：4．
12．
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，折叠的性质，作点关于的对称点，连接，交于点，得到垂直平分，根据点与圆心重合，得到，，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，则：垂直平分，
∴，
∵点与圆心重合，为直径，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得： ，
∴，
∴；即半径等于；
故答案为：．
13．，理由见解析；论仍成立
【分析】本题考查了等边对等角，平行线的性质，圆心角与弧的关系，作出辅助线是解决本题的关键．
连接，根据等腰三角形的性质可得，，再由，可求出，然后求出的度数，即可解答；如果，同理可解答．
【详解】解：，理由如下：
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
若，
如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，该结论仍成立．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，结合共用，推出，得到；
（2）证明是的直径，得到，根据，得到．根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形性质即得．
【详解】（1）证明：如图，连接．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴是的直径，
∴，
由（1）可得．
∵，
∴．
∴在中，，
在中，．
【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．
15．(1)与是邻等三角形，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据，，，进行判断作答即可；
（2）如图3，作于，连接，则，，，由圆周角定理可得，如图3，作于，在中，，则，由勾股定理得，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：与是邻等三角形，理由如下：
∵点D是的中点，
∴，，
∵，
∴与是邻等三角形．
（2）解：如图3，作于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
如图3，作于，在中，，
∴，
由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角、弦相等，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角、弦相等，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键．
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