24.1圆的有关性质同步练习（含解析）
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24.1 圆的有关性质 同步练习
2024-2025学年九年级人教版数学
一、单选题
1．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点、、在上，，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．两条弦相等，它们所对的弧也相等 D．等弧对等弦
二、填空题
9．如图，在 中，
（1）半径有： ．
（2）直径有： ．
（3）弦有： ．
（4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆．
10．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ．
11．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ．
12．如图，已知是的直径，于点，．
（1）的度数为 ．
（2）若，则的长为 ．
三、解答题
13．如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数．
14．如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
15．关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题：
(1)请写出一个“勾股方程”：_________
(2)求证：关于x的“勾股方程”必有实数根；
(3)如图，已知是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾股方程”，求的度数．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题．
【详解】是的直径，且，
．
在中，
，
．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∴，
∴，故B不符合题意；
∴，故C不符合题意；
∵不一定为的中点，
∴不一定成立，故D符合题意；
故选D
5．B
【分析】先根据，得出，再由平行线的性质得出，根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
【详解】解：，，
．
∵，
，
．（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍）
故选：B．
6．B
【分析】连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
【详解】解：连接，
，，
，
，
为的中点，，
，
，
，
，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解．
【详解】解：连接交于点，
依题得：米，，米，
设，即，
中，，
即，
解得，
即米，
米，
即点到弦所在直线的距离是米．
故选：．
8．D
【分析】此题考查了圆的垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系．根据相关知识进行判断即可．
【详解】解：A. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意；
B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，符合题意；
C. 同圆或等圆中两条弦相等，它们所对的弧也相等，故选项错误，不符合题意；
D. 等弧对等弦，故选项正确，符合题意；
故选：D
9． ， ，，
【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：（1）半径有，；
（2）直径有；
（3）弦有，，；
（4）劣弧 对应的优弧是；
故答案为：，；；，，；
10．2米
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可．
【详解】解：如图，连接、，交于点，
由题意得：米，，
（米，，
（米，
米，
故答案为：2米．
11．或
【分析】本题考查了垂径定理的应用，过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，过作于，交与连接，
由题意得：，
∴，
∴，，，
∴由勾股定理得：，，
∴，
∴水位上升；
如图，过作于，交与连接，
由题意得：，
∴，
∴，，，
∴由勾股定理得：，，
∴，
∴水位上升；
综上可知：水位上升或，
故答案为：或．
12． /30度 4
【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆周角定理即可得；
（2）先根据垂径定理可得，再利用勾股定理求出的长，由此即可得．
【详解】解：（1），，，
，
由圆周角定理得：，
故答案为：．
（2）是的直径，，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
，
是的直径，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键．
13．，
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，弧与圆心角之间的关系；先证明，，，再利用弧与圆心角之间的关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴的度数为，．
∵，
∴，
；
∴的度数是．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）根据直径所对的圆周角为直角，得出，结合等腰三角形三线合一，即可求证；
（2）根据圆周角定理和等边对等角推出，则，由（1）可得，，最后根据勾股定理，即可解答．
【详解】（1）证明：∵为直径，
∴，即，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，，
∵，
∴．
15．(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由“勾股方程”满足的条件，即可写出一个“勾股方程”；
（2）由是“勾股方程”，得到且，时，，方程有两个实数根，时，方程，，方程有实数根，得“勾股方程”必有实数根；
（3）作于E，延长交于F，连接，根据垂径定理得，根据勾股定理得，根据“勾股方程”得，得到，推出，推出，根据圆周角定理得．
【详解】（1）解：根据题意，写出一个“勾股方程”为：（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）
（2）证明：∵关于x的方程是“勾股方程”，
∴且，
当时，
，
∴方程有两个实数根，
当时，
方程，，
该方程有实数根；
综上所述，“勾股方程”必有实数根；
（3）解：，理由如下：
作于E，延长交于F，连接，
∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∵是“勾股方程”，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查新定义——“勾股方程”．熟练掌握“勾股方程”的定义，一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
2024-2025学年九年级人教版数学
一、单选题
1．如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
2．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
3．如图，是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在中，，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点、、在上，，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，点，在圆上，且经过中点，连接并延长，与的延长线相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦
C．两条弦相等，它们所对的弧也相等 D．等弧对等弦
二、填空题
9．如图，在 中，
（1）半径有： ．
（2）直径有： ．
（3）弦有： ．
（4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆．
10．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为 ．
11．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ．
12．如图，已知是的直径，于点，．
（1）的度数为 ．
（2）若，则的长为 ．
三、解答题
13．如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数．
14．如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
15．关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“勾股方程”．请解决下列问题：
(1)请写出一个“勾股方程”：_________
(2)求证：关于x的“勾股方程”必有实数根；
(3)如图，已知是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“勾股方程”，求的度数．
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，
故选：C．
2．A
【分析】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小．
【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了垂径定理及勾股定理，先根据垂径定理得出的长，再利用勾股定理求出的长即可解决问题．
【详解】是的直径，且，
．
在中，
，
．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∴，
∴，故B不符合题意；
∴，故C不符合题意；
∵不一定为的中点，
∴不一定成立，故D符合题意；
故选D
5．B
【分析】先根据，得出，再由平行线的性质得出，根据圆周角定理即可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
【详解】解：，，
．
∵，
，
．（同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍）
故选：B．
6．B
【分析】连接，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形外角性质得出，根据等腰三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
【详解】解：连接，
，，
，
，
为的中点，，
，
，
，
，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理．
连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解．
【详解】解：连接交于点，
依题得：米，，米，
设，即，
中，，
即，
解得，
即米，
米，
即点到弦所在直线的距离是米．
故选：．
8．D
【分析】此题考查了圆的垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系．根据相关知识进行判断即可．
【详解】解：A. 同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故选项错误，不符合题意；
B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，符合题意；
C. 同圆或等圆中两条弦相等，它们所对的弧也相等，故选项错误，不符合题意；
D. 等弧对等弦，故选项正确，符合题意；
故选：D
9． ， ，，
【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：（1）半径有，；
（2）直径有；
（3）弦有，，；
（4）劣弧 对应的优弧是；
故答案为：，；；，，；
10．2米
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可．
【详解】解：如图，连接、，交于点，
由题意得：米，，
（米，，
（米，
米，
故答案为：2米．
11．或
【分析】本题考查了垂径定理的应用，过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】如图，过作于，交与连接，
由题意得：，
∴，
∴，，，
∴由勾股定理得：，，
∴，
∴水位上升；
如图，过作于，交与连接，
由题意得：，
∴，
∴，，，
∴由勾股定理得：，，
∴，
∴水位上升；
综上可知：水位上升或，
故答案为：或．
12． /30度 4
【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据圆周角定理即可得；
（2）先根据垂径定理可得，再利用勾股定理求出的长，由此即可得．
【详解】解：（1），，，
，
由圆周角定理得：，
故答案为：．
（2）是的直径，，，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
，
是的直径，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键．
13．，
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，弧与圆心角之间的关系；先证明，，，再利用弧与圆心角之间的关系可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴的度数为，．
∵，
∴，
；
∴的度数是．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）根据直径所对的圆周角为直角，得出，结合等腰三角形三线合一，即可求证；
（2）根据圆周角定理和等边对等角推出，则，由（1）可得，，最后根据勾股定理，即可解答．
【详解】（1）证明：∵为直径，
∴，即，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得：，，
∵，
∴．
15．(1)（答案不唯一）
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由“勾股方程”满足的条件，即可写出一个“勾股方程”；
（2）由是“勾股方程”，得到且，时，，方程有两个实数根，时，方程，，方程有实数根，得“勾股方程”必有实数根；
（3）作于E，延长交于F，连接，根据垂径定理得，根据勾股定理得，根据“勾股方程”得，得到，推出，推出，根据圆周角定理得．
【详解】（1）解：根据题意，写出一个“勾股方程”为：（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）
（2）证明：∵关于x的方程是“勾股方程”，
∴且，
当时，
，
∴方程有两个实数根，
当时，
方程，，
该方程有实数根；
综上所述，“勾股方程”必有实数根；
（3）解：，理由如下：
作于E，延长交于F，连接，
∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∵是“勾股方程”，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查新定义——“勾股方程”．熟练掌握“勾股方程”的定义，一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
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