24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步练习（含解析）

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系同步练习
2024-2025学年九年级人教版数学
一、单选题
1．若的直径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系为（　　）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定
2．已知两圆的半径分别是与，圆心距为，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
4．下列结论正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．三点确定一个圆
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的圆心角相等
5．的外接圆的半径，则斜边的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，则的内切圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．在中，．分别以为圆心，长为半径作圆、圆，关于点位置，下列叙述中正确的是（ ）
A．在圆外部，在圆内部 B．在圆外部，在圆外部
C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部
8．如图，是的直径，点在上，且，过点作的切线，交 的延长线于点，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O ．（填“上”、“内”、“外”）
11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB相切，则半径r的值是 ．
12．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2 ，当直线（为常数）的图象与⊙O有公共点时，的取值范围是 ．
14．如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则 ．
三、解答题
15．已知等腰中，，求作的外接圆．（尺规作图，保留作图痕迹）
16．如图，是的直径，是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
17．如图，等腰三角形内接于，，过点作，交于点，过点作的切线交的延长线于点，已知，．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)求的直径长度．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
(1)在图中作出的外接圆(保留必要的作图痕迹，不写作法)，圆心坐标为______；
(2)若在x轴的正半轴上有一点D，设点D的横坐标为m，当时，则m的取值范围是 ．
19．如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、．
(1)圆心的坐标为 ；
(2)判断点与的位置关系．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．根据题意得出，从而即可得出答案．
【详解】解：∵的直径为，所以半径为，点到圆心的距离为，
∴，
∴点与的位置关系为：点在圆上，
故选：B．
2．C
【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握两圆的位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系是解题的关键．
由两圆的半径分别是与，圆心距为，两圆的位置关系与圆心距，两圆半径，的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【详解】解：两圆的半径分别是与，圆心距为，
，，
，
，
这两个圆的位置关系是相交，
故选：．
3．A
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答．
【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等，
∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查圆的相关概念，包括确定圆的条件，弧、弦、圆心角三者的关系，等弧的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据圆的相关概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故A选项错误，不符合题意；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B选项错误，不符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C选项错误，不符合题意；
D、等弧所对的圆心角相等，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，根据90度角所对的弦是直径，得到斜边是的直径，即可得出结果．
【详解】解：∵是的外接圆，
∴斜边是的直径，
∵，
∴；
故选C．
6．A
【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形面积公式，由勾股定理求出，设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，则，，，，再由等面积法得出，即可得解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
设内切圆与边的切点为，与边的切点为，与边的切点为，连接，，，，，，圆的半径为，
，
则，，，，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．也考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理．先求出，根据大角对大边画出示意图，结合点与圆的位置关系即可解答．
【详解】解：中，，
，
，
如图，以为圆心，长为半径作圆、圆，
，，
点A在圆外部，在圆内部，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，连接，由可得，由圆周角定理可得，即得，又由切线的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
故选：．

9．A
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．切于E，切于F，切于D，得出正方形推出，根据切线长定理结合三角形的周长求出，即可求出答案．
【详解】解：如图，切于E，切于F，切于D，连接，
则，，
∴四边形是正方形，
∴，
由切线长定理得：，
∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，
∴，
即的周长是
，
∴，
故选：A．
10．内
【分析】点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．据此作答．
【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA为4cm，
即点A到圆心的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故答案为：内．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
11．/
【分析】作CD⊥AB于D，如图，先利用勾股定理计算出BC＝12，再利用面积法计算出CD＝，然后根据切线的性质易得r＝CD＝．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C＝90゜，AC＝5，AB=13，
∴BC＝，
∵CD AB＝CB CA，
∴CD＝ ＝，
∵以C为圆心，r为半径作圆与斜边AB相切，
∴r＝CD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理．
12．
【分析】作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小.
根据全等三角形的性质可得，再由勾股定理可求出PQ的值.
【详解】如图，作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小.
∵A的坐标为（-1,0）
设直线与x轴，y轴分别交于C,D,
在和中
故答案为
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系和最短距离问题，能够作出辅助线，找出全等三角形是解题的关键.
13．
【分析】作OH⊥AB于H，如图，则OP=|x|，∠OPH=45°，利用等腰直角三角形的性质得OH=|x|，根据题意可判断直线AB与圆相交或相切，所以|x|≤2，然后解绝对值不等式即可．
【详解】作OH⊥AB于H，如图，
∵OP=|x|，∠OPH=45°，
∴OH=|x|，
∵AB与⊙O有公共点，
∴OH≤1，
即|x|≤2，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．解决本题的关键是用P点的横坐标表示点O到直线AB的距离．
14．
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由圆的内接四边形的性质可得，进而可得，再根据切线长定理可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，是的切线，切点为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．见解析
【分析】此题主要考查的是三角形外接圆的作法，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出三角形的外接圆的圆心．由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆．
【详解】解：如图，即为所求，
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明；
（2）设半径为，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
点是的中点，
∴，
，
又，
，
，
，
又于点，
于点，
为的切线．
（2）解：设半径为，
在中，，
，
解得：
即的半径为．
【点睛】本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）连接并延长交于H，连接，，利用切线的性质得，再证明为的中垂线，则，得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论；
（2）根据题意利用平行线的性质得到，则，所以，于是得到，利用垂径定理得到，则根据勾股定理可计算出，设的半径为r，则，在中利用勾股定理得，进而求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于H，连接，
∵与相切于点C，
∴，
∵，，
∴为的中垂线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，，
设的半径为r，则，
在中，
∴，
解得，
∴的直径长度为10．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质、平行四边形的判定、垂径定理、圆周角定理，解题的关键是掌握以上知识点．
18．(1)图见解析，
(2)
【分析】本题考查尺规作图—作圆，三角形的外接圆，圆周角定理：
（1）分别作边的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心，进而画出的外接圆，并写出圆心坐标即可；
（2）确定的外接圆与轴的另一个交点，根据圆周角定理和三角形的外角的性质，得到点在点和点之间，即可得出m的取值范围．
【详解】（1）解：如图，圆即为所求；
由图可知：；
故答案为：
（2）由图可知，圆与轴的另一个交点为，
∴，
当点在之间时，如图延长交圆于点，连接，
则：，
∵，
∴，满足题意，
∴．
19．(1)
(2)点在内
【分析】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键．
（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
（2）求出的半径，的长即可判断；
【详解】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是
故答案为：．
（2）圆的半径，
线段，
所以点在内．
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