24.3正多边形和圆同步练习2024-2025学年九年级人教版数学 (2)

24.3 正多边形和圆同步练习2024-2025学年九年级人教版数学
一、单选题
1．如图，将正方形和正五边形的中心重合，按如图位置放置，连接、，则（ ）
A． B． C． D．
2．若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．6
3．如图，将一个正边形绕其中心旋转或都能和其本身重合，则的最小值是（ ）

A．6 B．8 C．12 D．24
4．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，恰好拼成一个菱形，若拼成的菱形的面积为2，则原正六边形纸片的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC=150°，则∠AOC的大小是（ ）
A．75° B．100° C．60° D．30°
7．如果等边三角形的边长为，那么它的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为4，则纸片剩余部分的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
9．如图，正六边形内接于半径为的中，连接，，，沿直线折叠，使得点与点重合，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
10．如图，点为正六边形对角线上一点，，，则的值是（ ）
A．20 B．30
C．40 D．随点位置而变化
二、填空题
11．圆内接正八边形的中心角为 ．
12．如图，弦是的内接正十边形的一条边，弦是的内接正六边形的一条边，则的度数是 ．
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C=130°，则∠BOD的度数是 ．

14．如图，在的内接正六边形中，，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，正六边形内接于，过点O作于点M，若的半径为4，则边心距的长为 ．
三、解答题
16．在圆内接四边形中，，，的度数比是，求四边各内角的度数.
17．如图，正六边形内接于，边长为2．
(1)求的直径的长；
(2)求的度数．
18．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．

19．如图，的半径为R，求的内接正六边形、的外切正六边形的边长比和面积比．
20．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】分别求出以点为中心的正五边形和正方形的中心角即可．
【详解】解：如图，连接，
点是正五边形和正方形的中心，
，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法是正确解答的前提．
2．B
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是，
由题意得，，
解得，，
∴这个正多边形的边数是9，
故选：B．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
3．D
【分析】根据题意得出正边形的中心角最大为，然后由圆周角除以中心角即可得出结果．
【详解】解：正边形绕其中心旋转或都能和其本身重合，
∵和最大公约数为，
∴正边形的中心角最大为，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，解答此题的关键是要明确绕其中心旋转或都能和其本身重合得出正边形的中心角最大为．
4．B
【分析】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．
如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可．
【详解】解：如图：
将正六边形可分为6个全等的三角形，
∵拼成的四边形的面积为2，
∴每一个三角形的面积为1，
∵剩余部分可分割为4个三角形，
∴原正六边形纸片的面积为6．
故选B．
5．A
【分析】本题考查的是正多边形和圆，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，然后求出与的关系，计算，与的比，正确画出图形得到相应关系是解题的关键．
【详解】解：如图，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，则，
，
是边上的高，，
．
．
即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为．
故选：A．
6．C
【分析】根据圆内接四边形的性质求得∠B=30°，利用圆周角定理，得∠AOC=2∠B=60°．
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC=150°
∴∠B=180°-150°=30°．
∴∠AOC=2∠B=60°．
故选：C．
【点睛】此题考查圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出∠B的度数是解题关键．
7．B
【分析】设等边三角形为ABC，内切圆的圆心为O，连接OA，OD（AB上的内切点），先得出的长度和，再利用特殊值三角函数即可求解.
【详解】设等边三角形为ABC，内切圆的圆心为O，连接OA，OD（AB上的内切点），如下图所示：
则，
∵在Rt△ODA中，
∴，即内切圆半径为．
故选：B.
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及内切圆的概念，熟练掌握性质和概念是关键.
8．B
【分析】本题主要考查的是正多边形与圆，熟练的把正六边形分割为6个全等三角形是解本题的关键．如图：可将正六边形分为6个全等的三角形，拼成的四边形由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，据此可求得剩余部分的面积即可．
【详解】解：如图：
将正六边形可分为6个全等的三角形，
∵拼成的四边形的面积为4，
∴每一个三角形的面积为2，
∵剩余部分可分割为4个三角形，
∴剩余部分的面积为8．
故选B．
9．A
【分析】根据正六边形的性质，折叠的性质以及圆的对称性可得出，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出，由图形中各个部分面积之间的关系可得，根据三角形的面积计算公式进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，交于点，则，

由折叠可知，
，
在中，
，
，
由题意可知，是等边三角形，阴影部分面积等于，
连接，点为的内心，到三边的距离相等，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查正多边形和圆，翻折的性质以及直角三角形的边角关系，掌握正六边形和圆的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
10．B
【分析】连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，根据矩形的性质求出，再求出正六边形面积即可．
【详解】解：连接AC、AD、CF，AD与CF交于点M，可知M是正六边形的中心，
∵多边形是正六边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°，
∴∠BAC=30°，
∴∠FAC=90°，
同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，
∴四边形ACDF是矩形，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．
11．45
【分析】根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行计算即可．
【详解】解：圆内接正八边形的中心角为；
故答案为：．
12．/150度
【分析】本题考查圆与正多边形的知识，解题的关键是掌握正边形的每个中心角等于：，求出，；再根据同弧或者等弧所对的圆心角等于圆周角的一半，即可．
【详解】连接，，，，
∵弦是的内接正十边形的一条边，
∴，
∵弦是的内接正六边形的一条边，
∴，
∴，
∵对应的圆周角为：；对应的圆心角为：，
∴，
∵对应的圆周角为：；对应的圆心角为：，
∴，
∴，
故答案为：．
13．100°．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理进行求解即可.
【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=130°，
∴∠A=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°，
故答案为100°．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
14．
【分析】连接，，， 交于，由圆内正六边形的性质，等边三角形的性质和勾股定理分别求出圆的半径，的底边和高，再用圆的面积减去的面积即可．
【详解】解：如图，连接，，， 交于，
∵六边形是正六边形，且内接于，
∴点在同一条直线上，，，，
∴，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了圆内正多边形的性质，熟练掌握圆内正六边形的性质是解题的关键．
15．
【分析】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接．先证明是等边三角形，求出，再根据勾股定理求出．
【详解】解：如图，连接．
∵六边形是正六边形，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
16．四边形各内角的度数分别是，，，.
【分析】设，，，由圆内接四边形的性质可得，得到x，再由圆周角定理得到答案.
【详解】依题意，设，，，
∴，∴.
∴，，.
∴.
∴四边形各内角的度数分别是，，，.
【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质.
17．(1)
(2)
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：
（1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果；
（2）根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接．
∵正六边形内接于，
∴，
又，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
18．见解析
【分析】根据圆内接正多边形的性质分别画出圆内接正方形、正八边形、正六边形及正三角形即可．
【详解】解：如图所示：

【点睛】本题主要考查了正多边形和圆的关系，熟知圆内接正多边形的性质是解答本题的关键．
19．；
【分析】连接，求出的内接正六边形、的外切正六边形的边长和面积，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
由正多边形的性质可得：，，
∴为等边三角形
∴，
由题意可得：，
∴
设，则，由勾股定理得
解得，
∵
∴，为的角平分线
∴
在中，，，解得
，
故；
【点睛】此题考查了圆的内接正多边形与外切正多边形的性质，涉及了垂径定理、切线定理、勾股定理等有关内容，熟练掌握相关基本性质求得多边形的边长和面积是解题的关键．
20．2
【分析】作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．根据其轴对称性，则圆心必定在AH上．设其圆心是O，连接OD，OE．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可以求得AH，DH的长，设圆的半径是r．在直角三角形BOH中，根据勾股定理列方程求解．
【详解】如图，
作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点．
∵△ABC为等边三角形，
∴AF垂直平分BC，
∵四边形BDEC为正方形，
∴AH垂直平分正方形的边DE．
又DE是圆的弦，∴AH必过圆心，记圆心为O点，并设⊙O的半径为r．
在Rt△ABF中， ∵∠BAF=，
∴．
∴OH==ｒ．
在Rt△ODH中，．
∴．解得ｒ＝2．
∴该圆的半径长为2．
答案第1页，共2页
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