24.3正多边形和圆同步练习（含解析）

24.3 正多边形和圆同步练习2024-2025学年九年级人教版数学
一、单选题
1．如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（ ）
A．72° B．54° C．60° D．36°
2．《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算圆的面积，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．这部著作的作者是（ ）
A．祖冲之 B．刘徽 C．赵爽 D．张衡
3．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
4．魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积． 如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）
A．1 B． C．3 D．4
5．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”蕴含了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形的面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A． B．3 C． D．3.14
6．若正边形边长为4，它的一个内角为，则其外接圆的半径为（ ）
A． B．4 C． D．2
7．如图，边长为1的正六边形放置于平面直角坐标系中，边在x轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形绕坐标原点O逆时针旋转，每次旋转，那么经过2023次旋转后，顶点D的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=125°，则∠C的度数为（　　　　 ）
A．45° B．55° C．65° D．75°
9．如图，正五边形内接于，与相切于点C，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， BC∥QR，则∠AOQ=（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
二、填空题
11．把一个正多边形绕它的中心旋转36°后能与原来的位置重合，则这个多边形的边数至少是 ．
12．有一个边长为4的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是 ．
13．如图，正六边形ABCDEF中的边长为6，点P为对角线BE上一动点，则PC的最小值为 ．
14．如图，的内接正六边形的边心距为，分别以、、为圆心，正六边形的半径画弧，则图中阴影部分的面积是 ．
15．某厂家要设计一个装截面为正方形木条的圆柱形纸盒（横截面如图），已知每条木棍形状、大小相同，底面均为边长为的正方形，目前厂家提供了装不同数量木条的圆柱形纸盒的收纳设计方案．
图1 图2
（1）如果要装1支木条，如图1，圆柱形纸盒最小的底面积为 ．
（2）如果要装2支木条，如图2，圆柱形纸盒最小的底面积为 ．
（3）如果要装3支木条，圆柱形纸盒最小的底面积为 ．
三、解答题
16．要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？
17．如图，点、、、都在上，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
18．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．
(1)求∠CPD的度数；
(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
19．如图，是正方形的外接圆，点在上，求的度数.
20．如图1，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点A，C的圆交AB于点D，交BC于点E，连结DE
（1）若AD=7，BD=1，分别求DE，CE的长
（2）如图2，连结CD，若CE=3，△ACD的面积为10，求tan∠BCD
（3）如图3，在圆上取点P使得∠PCD=∠BCD（点P与点E不重合），连结PD，且点D是△CPF的内心
①请你画出△CPF，说明画图过程并求∠CDF的度数
②设PC=a，PF=b，PD=c，若（a-c）（b-c）=8，求△CPF的内切圆半径长．
/ 让教学更有效 精品 |
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：的度数为；
故选A．
2．B
【分析】本题主要考查了数学学史，根据刘徽是《九章算术注》的作者进行解答即可．
【详解】解：《九章算术注》的作者是刘徽．
故选：B．
3．B
【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，，
多边形是正边形，
，
，
正边形中心角为，
，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．过作于，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，过作于，
圆的内接正十二边形的圆心角为，
，
，
，
这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选：C
5．B
【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．根据圆内接正多边形的性质可得，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为，如图为其中一个等腰三角形，过点作交于点于点，
，的半径为1，
，
，
故圆内接正十二边形的面积为：，
的面积为，
，即的估计值为．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了正多边形与圆．正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．根据正边形的特点，构造直角三角形，即可求解．
【详解】解：经过正边形的中心作边的垂线，
，
正边形的一个内角为，，
，，
，
，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，掌握正多边形各边相等，各角相等的性质，熟练掌握旋转的性质，找出规律是解题的关键．根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2023次后顶点的坐标即可．
【详解】解：连接，，如图，
在正六边形中，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
，
在中，，，
，
，
，
点的坐标为，
将正六边形绕坐标原点逆时针旋转，每次旋转，
次一个循环，
，
经过2023次旋转后，顶点的坐标与第三次旋转后得到的的坐标相同，
过点作轴于P，
∴，
由旋转可知，，
∴，
∴
，
∵点在第四象限，
∴点的坐标为，
经过2023次旋转后，顶点的坐标为，
故选：C．
8．B
【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=125°，
∴∠C=55°，
故选B．
【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．
9．C
【分析】连接，，，首先根据正多边形的性质得到，然后证明出，得到，然后切线的性质得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接，，
∵四边形是正五边形
∴
∵，，
∴
∴
∵与相切于点C，
∴
∴
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了正多边形和圆，全等三角形的性质和判定，圆切线的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线．
10．D
【分析】连接OD，AR，根据正三角形的性质得到∠POQ=120°，再根据内接正方形的特征得到是等腰直角三角形，进而得到，再根据圆周角定理计算即可；
【详解】连接OD，AR，
∵△PQR是⊙O的内接正三角形，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵BC∥QR，
∴，
∴，
∵△PQR是等边正三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°．
故选D．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，圆周角定理，准确计算是解题的关键．
11．10/十
【分析】正多边形都是旋转对称图形，中心角即为最小的旋转角，（360°÷中心角度数）即为边数．
【详解】解：∵正多边形绕它的中心旋转36°后，能和原来的图形重合，
∴多边形的边数是：360°÷36°＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了旋转对称的知识，解答本题的关键是掌握旋转对称及旋转角的定义．
12．2
【分析】要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形,这个圆形纸片的边缘即为其外接圆,根据正方形的对角线的长度与其外接圆半径的关系即可求出.
【详解】正方形的边长是4,
则正方形的对角线的长为
这个圆形纸片的最小半径是 .
故答案为:
【点睛】此题考查了正多边形与圆的知识.注意正方形的外接圆半径与的关系,这是一个需要熟记的内容.
13．.
【分析】如图，过点C作CP⊥BE于P，可得CG为PC的最小值，由ABCDEF是正六边形，根据多边形内角和公式可得∠GBC=60°，进而可得∠BCG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求出PC的长.
【详解】如图，过点C作CG⊥BE于G，
∵点P为对角线BE上一动点，
∴点P与点G重合时，PC最短，即CG为PC的最小值，
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC==120°，
∴∠GBC=60°，
∴∠BCG=30°，
∵BC=6，
∴BG=BC=3，
∴CG===.
故答案为：
【点睛】本题考查正六边形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，根据垂线段最短得出点P的位置，并熟练掌握多边形内角和公式是解题关键.
14．
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，如图，连接，，作于点，由题意知，是等边三角形，则，，由勾股定理得，解得，则，根据计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，，作于点，
由题意知．
∵，，
∴是等边三角形
∴，，
∴，
解得，
∴，
∴
，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了圆与正方形的性质，勾股定理；
（1）根据底面圆的直径为正方形的对角线，即可求解；
（2）根据题意，底面圆的直径为2个正方形的对角线，即可求解；
【详解】（1）依题意，正方形的对角线长为，
则底面半径为，
∴圆柱形纸盒最小的底面积为，
故答案为：．
（2）依题意，底面圆的直径为
∴底面圆的半径为，
∴圆柱形纸盒最小的底面积为，
故答案为：．
（3）解：如图所示，为下方正方形边的中点，
设，则，
在中，，
在中，
∵
∴
解得：
∴
∴底面圆的半径为，
∴圆柱形纸盒最小的底面积为，
故答案为：．
16．半径至少为a．
【分析】画出正方形外接圆，连接AC，求出正方形外接圆半径即可．
【详解】解：如图所示，连接AC，
∵∠D＝90°，
∴AC为直径，
在 Rt△ACD中，AC＝＝a，
∴半径至少为a．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的计算，解题关键是画出图形，准确进行计算．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出的度数:
（2）连接，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．
【详解】（1）∵点、、、都在上，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为
（2）连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理和圆周角定理等知识，熟练掌握和运用这些定理是解决问题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）连接OD，OC，根据正方形ABCD内接于⊙O，结合圆周角定理可得∠CPD；
（2）结合正多边形的性质以及圆周角定理得出∠COP的度数，进而得出答案．
【详解】（1）解：连接OD，OC，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠DOC＝90°，
∴．
（2）解：连接PO，OB，如图所示：
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴∠COB＝90°，
∵点P为的中点，
∴，
∴，
∴n＝360÷45＝8．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正方形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
19．.
【分析】连接，，根据正方形的性质，得，再根据圆周角定理，得.
【详解】连接，，如下图所示：
∵正方形
∴
∴
【点睛】本题考查圆周角定理、 正多边形和圆，熟练掌握定理是关键.
20．（1）DE=1，CE=；（2）tan∠BCD= ；（3）①135°；②2.
【分析】（1）由A、C、E、D四点共圆对角互补为突破口求解；
（2）找∠BDF与∠ODA为对顶角，在⊙O中，∠COD=2∠CAD，证明△OCD为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；
（3）过点D做于点H，以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做切线PF交CB的延长线于点F，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF是直角，再求证四边形PKDN是正方形，最后以△PCF面积不变性建立等量关系，结合已知（a-c）（b-c）=8，消去字母a，b求出c值，即求出△CPF的内切圆半径长为c．
【详解】（1）由图可知：
设BC=x．在Rt△ABC中，AC=BC．由勾股定理得：
AC2+BC2=AB2，
∵AB=AD+BD，AD=7，BD=1，
∴x2+x2=82，
解得：x=．
∵⊙O内接四边形，∠ACD=90°，
∴∠ADE=90°，
∴∠EDB=90°，
∵∠B=45°，
∴△BDE是等腰直角三形．
∴DE=DB，
又∵DB=1，
∴DE=1，
又∵CE=BC-BE，
∴CE=．
（2）如图所示：
在△DCB中过点D作DM⊥BE，设BE=y，则DM=y，
又∵CE=3，∴BC=3+y，
∵S△ACB=SACD+SDCB，
∴，
解得：y=2或y=-11（舍去）．
∴EM=1，
CM=CE+ME=1+3=4，
又∵∠BCD=∠MCD，
∴tan∠BCD=tan∠MCD，
在Rt△DCM中，tan∠MCD==，
∴tan∠BCD=．
（3）①如下图所示：
过点D做于点H，以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做切线PF交CB的延长线于点F．
∵∠CAD=45°，
∴∠CPD=∠CAD=45°，
又∵点D是的内心，
∴PD、CD、DF都是角平分线，
∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF，∠PFD=∠CFD
∴∠CPF=90°
∴∠PCF+∠PFC=90°
∴
∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，
即∠CDF的度数为135°．
②如下图所示
过点D分别作DK⊥PC，DM⊥CF，DN⊥PF于直线PC，CF和PF于点K，M，N三点，
设△PCF内切圆的半径为m，则DN=m，
∵点D是△PCF的内心，
∴DM=DN=DK，
又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，
∴∠DCF+∠CFD=45°，
又∵DC，DF分别是∠PCF和∠PFC的角平分线，
∴∠PCF=2∠DCF，∠PFC=2∠DFC，
∴∠PCF+∠PFC=90°，
∴∠CPF=90°．
在四边形PKDN中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，
∴四边形PKDN是矩形，
又∵KD=ND，
∴四边形PKDN是正方形．
又∵∠MBD=∠BDM=45°，
∠BDM=∠KDP，
∴∠KDP=45°．
∵PC=a，PF=b，PD=c，
∴PN=PK=，
∴NF=，CK=，
又∵CK=CM，FM=FN，CF=CM+FM，
∴CF=，
又∵S△PCF=S△PDF+S△PDC+S△DCF，
∴c）×，
化简得：ab=------（Ⅰ），
又∵若（a-c）（b-c）=8
化简得：------（Ⅱ），
将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c2=8，
解得：，或（舍去），
∴m=，
即△CPF的内切圆半径长为2．
【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF的内切圆半径长．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页