24.4弧长和扇形面积同步练习（含解析）

24.4 弧长和扇形面积同步练习2024-2025学年九年级人教版数学
一、单选题
1．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则圆锥的侧面积是（　　）
A． B． C． D．
2．圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，则它的侧面展开图的圆心角度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知圆锥的底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，，两两不相交，且半径都是．则图中三个阴影扇形的弧长之和为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，扇形圆心角为直角，，点在上，以，为邻边构造、边交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知点，是以为直径的半圆的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，从一个边长是10的正五边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B．3 C． D．2
二、填空题
9．一扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为 cm．
10．如图，扇形与扇形的圆心角都是，连接，如果图中阴影部分的面积为，，那么 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是 ．
12．如图，扇形的圆心角，半径，点P为扇形内一点，且，延长交于点C，当取最小值时，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
13．如图，已知△ABO中A（﹣1，3），B（﹣4，0）．
（1）画出△ABO绕着原点O按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A1B1O；
（2）求第（1）问中线段AO旋转时扫过的面积．

14．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径为多少m？

15．圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度．
16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，弦CD⊥AB于点E，∠DAB＝30°．
(1)求扇形OAC的面积；
(2)求弦CD的长．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查圆锥的侧面展开图、扇形面积公式，根据圆锥的侧面展开图是扇形，结合扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵圆锥的底面直径为，母线长为，
∴圆锥的侧面积是，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角，熟练掌握弧长公式是解题关键．
【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，
根据题意有：，
解得：，
故选：C
3．B
【分析】根据圆锥底面圆的周长等于它侧面展开图扇形的弧长，所以只要求出圆锥底面圆的周长即可．此题主要考查了圆锥侧面展开图与圆锥各部分对应情况，这个问题在中考中是重点题型．
【详解】解：圆锥底面圆的半径为3，
圆锥底面圆的周长为：，
圆锥侧面展开图扇形的弧长为：．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，弧长公式；三个阴影扇形的弧长之和可以看作是圆心角为，半径是的弧长，即可求解；掌握弧长公式：，能将所求弧长之和转化为圆心角为，半径都是的弧长是解题的关键．
【详解】解：，
且，，两两不相交，且半径都是，
三个阴影扇形的弧长之和可以看作是圆心角为，
半径是的弧长，
三个阴影扇形的弧长之和为：
，
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查勾股定理，扇形面积计算以及梯形面积计算，连接，由勾股定理求出，然后用求扇形面积公式即可求解，熟练掌握扇形面积计算以及勾股定理是解决本题的关键．
【详解】连接，
在中，，
∴，
，
故选：．
6．A
【分析】本题考查了扇形面积的计算，连接，，根据，是以为直径的半圆的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，根据求解即可．
【详解】解：连接，，，
，是以为直径的半圆的三等分点，
，，
又，
、是等边三角形，
，
，
，
弧的长为，
，
解得：，
．
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，由是等边三角形，得，，过作于点，然后由勾股定理得，求出，，然后代入求值即可，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
设，
如图，过作于点，
∴，，，
∴由勾股定理得：，
∴，即，
则，
∴，
故选：．
8．B
【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面半径．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
则弧的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥底面半径为r，则，
∴，
圆锥底面半径为，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形弧长及圆锥底面半径，掌握扇形弧长、圆周长的计算方法是正确解决问题的关键．
9．
【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．弧长计算公式：，其中r为圆的半径，n为圆心角的度数，l为弧长．根据弧长计算公式计算即得答案．
【详解】
该扇形的弧长为．
故答案为：．
10．5
【分析】本题考查利用扇形面积公式求不规则图形面积，根据圆心角都是直角，则绕O顺时针旋转后与重合，由阴影部分面积等于大扇形面积减去小扇形面积，即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，如图所示，
，
∵扇形与扇形的圆心角都是，
∴绕点O顺时针旋转后与重合，
∴，
∴，
解得，
故答案为：5．
11．
【分析】记BC中点为点O，连接OD，CD，先证得OD⊥BC，再根据阴影部分的面积计算即可．
【详解】解：记BC中点为点O，连接OD，CD，
∵BC是半圆的直径，
∴O是半圆的圆心，CD⊥AB，
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴D是AB中点．
∴OD∥AC，
∴OD⊥BC，
∴阴影部分的面积，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积计算等知识，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．根据题意求出的长，当三点共线时，取最小值，求出，根据阴影部分的面积即可得到答案．
【详解】解：当三点共线时，取最小值，
是等边三角形，
阴影部分的面积．
故答案为：．
13．（1）如图所示，△A1B1O即为所求；见解析；（2）线段AO旋转时扫过的面积为．
【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）先根据勾股定理求出AO，再根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】解：（1）根据题意，将△OAB绕点O顺时针旋转90°，如图所示，△A1B1O即为所求；

（2）根据勾股定理：
线段AO旋转时扫过的面积为：＝．
【点睛】此题考查的是图形的旋转和求线段旋转时扫过的面积，掌握图形旋转的性质和扇形的面积公式是解决此题的关键.
14．
【分析】本题考查圆锥的有关计算，弧长公式，明确扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长是解决问题的关键．
根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
【详解】解：扇形的长为：，
∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，
设围成圆锥的底面半径为，
∴
解得：，
答：围成圆锥的底面半径为．
15．
【分析】本题主要考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题．
【详解】解：将圆锥侧面沿剪开展平，连接，则就是所求绳子长．
由得，
作，则，，
∴，
∴，，
∴．
16．（1）12π；（2）.
【分析】（1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理求出∠CAB，根据三角形内角和定理求出∠AOC，根据扇形面积公式计算；（2）根据正弦的定义求出CE，根据垂径定理计算即可．
【详解】（1）∵弦CD⊥AB，
∴，
∴∠CAB＝∠DAB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOC＝120°，
∴扇形OAC的面积＝＝12π；
（2）由圆周角定理得，∠COE＝2∠CAB＝60°，
∴CE＝OC×sin∠COE＝3，
∵弦CD⊥AB，
∴CD＝2CE＝6．
【点睛】本题考查了扇形面积计算，圆周角定理，垂径定理的应用，掌握扇形面积公式是解题的关键．
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