24.4弧长和扇形面积同步练习（含解析）

24.4 弧长和扇形面积同步练习
2024-2025学年九年级人教版数学
一、单选题
1．已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
2．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ）
A． B． C． D．
3．马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A为的中点，，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形内接于，的半径为，，则的长是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，从一张圆形纸片上剪出一个小圆形和一个扇形分别作为圆锥的底面和侧面，其中小圆的直径是大圆的半径．下列剪法恰好能配成一个圆锥的是（ ）
A． B． C． D．
6．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）．

A． B． C． D．
7．如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心O的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，从直径为4的圆形纸片中，剪掉一个圆心角为的扇形ABC，点A，B，C在圆周上，则剩下部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若半径为的扇形弧长为，则该扇形的圆心角度数为 ．
10．如图，正八边形和正六边形的边长均为6，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）
11．如图，小珍同学用半径为，圆心角为的扇形纸片，制作一个底面半径为的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 ．

12．如图，正方形的边长为2，分别以顶点A，B为圆心，边长2为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F．
（1）求证：直线DF是⊙O的切线；
（2）若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧DE的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点.
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若⊙O的半径为2,∠B=45°，AC=4，求图中阴影部分的面积.
15．如图，圆O的直径为10cm，两条直径AB、CD相交成90°角，∠AOE＝40°，OF是∠BOE的平分线．
（1）求∠COF的度数；
（2）求扇形COF的面积．
16．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以点A，B，C为圆心作圆，分别交BA，CB，DC的延长线于点E，F，G．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断线段GB与DF的长度关系，并说明理由．
17．如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠A＝∠B＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若OA＝5，求OA、OD与AD围成的扇形的面积．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得：
，
解得：，
即该圆的半径为．
故选：B
2．D
【分析】根据弧长公式计算可得．
【详解】解：，所以
的长
．
因此，管道的展直长度约为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了弧长的计算公式，比较基础．
3．B
【分析】此题主要考查阴影部分面积求解，解题的关键是熟知扇形的面积公式．
【详解】解：∵，，A为的中点，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
故选B
4．C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论．
【详解】解：四边形内接于，，
，
，
的长．
故选：．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了弧长和圆锥侧面展开图的认识，根据圆锥的底面圆的周长等于扇形弧长，可求得结果，解题的关键是计算出侧面展开图的圆心角．
【详解】解：设大圆的半径为，则小圆半径为，
∴圆锥的底面圆周长为，
圆锥侧面展开图扇形的弧长为，
∴，
∴扇形圆心角等于，
只有选项D符合题意，
故选：D．
6．B
【分析】由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理可得，然后根据弧长公式计算即可．
【详解】解：如图：

∵，
∴，
∵过点的两条切线相交于点，
∴,
∴,
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得是解答本题的关键．
7．C
【分析】如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点，
由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，

∴，，
∴，
∴扇形与扇形重合，
∴，
∵为等边三角形，，过作于，
∴，，，
∴；
故选C
【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键．
8．A
【分析】连接BC，可得AB=AC=2，利用扇形的面积公式和圆的面积公式，即可求解．
【详解】解：连接BC，
∵扇形ABC的圆心角为90°，点A，B，C在圆周上，
∴AB=AC，∠BAC=90°，BC是圆O的直径，
∴BC=4，
∵在直角 ABC中，AB2+AC2=BC2，即AB2+AC2=16，
∴AB=AC=2，
∴S扇形ABC=，
又∵S圆O=，
∴S阴影=，
故选A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，扇形的面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
9．/45度
【分析】本题主要考查了弧长公式．
设该扇形的圆心角度数为，根据弧长公式建立方程即可求解．
【详解】解：设设该扇形的圆心角度数为，
根据弧长公式得：，解得，即圆心角度数为．
故答案为：．
10．
【分析】根据正八边形、正六边形的性质求出它的内角的度数，进而求出阴影部分扇形的圆心角的度数，由扇形面积的计算方法进行计算即可．本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算，掌握正六边形、正八边形的性质，扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
【详解】解：八边形是正八边形，六边形是正六边形，
，，
，
．
故答案为：．
11．/
【分析】由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，则扇形中未组成圆锥底面的弧长，根据圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积可得圆锥上粘贴部分的面积为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，底面半径为的圆锥的底面周长为，扇形弧长为，
∴扇形中未组成圆锥底面的弧长，
∵圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积，
∴圆锥上粘贴部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的弧长、面积公式．解题的关键在于熟练掌握，，其中为扇形的圆心角，为扇形的半径．
12．
【分析】设与交于F，过点F作于点E，连接，，则可得是等边三角形，，，求出，然后根据列式计算即可．
【详解】解：如图，设与交于F，过点F作于点E，连接，，
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴
,
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、勾股定理，掌握扇形面积公式，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键．
13．（1）详见解析；（2）π．
【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形的性质得到OD∥AB，根据平行线的性质得到∠ODF＝90°，根据切线的判定定理证明；
（2）根据平行线的性质得到∠AOD＝180°﹣45°＝135°，根据弧长公式计算即可．
【详解】证明：如图，连结OD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠ACB，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠ODF＝∠BFD＝90°，
∵OD为半径，
∴直线DF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，
∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，
∴劣弧DE的长为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定及弧长的计算，熟练掌握切线的判定定理及弧长的计算公式是解题的关键.
14．（1）见解析；（2）4 π
【分析】（1）根据切线的定义可知∠CAB=90°，有圆周角定理可知∠ADB=90°，E为斜边中点
（2）阴影部分的面积等于正方形AEDO的面积减去扇形AOD的面积．
【详解】(1)如图，连接AD，OD
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴∠OAD=∠ODA，∠ODB=∠OBD
∠ADE=∠EAD，∠EDC=∠ECD
∵∠EAD+∠OAD=90°
∴∠ADE+∠ODA=90°
∴直线DE与⊙O相切
(2)由(1)可知△ACD与△ADB是直角三角形
若∠B=45°，则AC=AB=4，AE=EC=AO=DO=BO=2
∴四边形AEDO为正方形
阴影面积=正方形AEDO 扇形AOD==4 π
【点睛】此题考查圆周角、扇形面积的计算，解题关键在于利用作辅助线再用圆周角定理求解即可.
15．（1）20°；（2）
【分析】（1）由平角的定义得到∠BOE=140°，由角平分线的定义得到∠BOF=∠BOE=70°，于是得结论；
（2）根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠AOE＝40°，
∴∠BOE＝140°，
∴OF是∠BOE的平分线，
∴，
∵两条直径AB，CD相交成90°角，
∴∠COF＝90°﹣70°＝20°；
（2）∵cm，
∴cm
∴扇形COF的面积＝cm2．
【点睛】本题主要考查了垂直定义，圆心角的定义，扇形的面积公式，熟练掌握扇形的计算公式是解决问题的关键．
16．（1）6π；（2）GB=DF，理由详见解析.
【分析】（1）根据弧长公式l= 计算即可；
（2）通过证明给出的条件证明△FDC≌△GBC即可得到线段GB与DF的长度关系．
【详解】解：（1）∵AD=2，∠DAE=90°，
∴弧DE的长 l1= =π，
同理弧EF的长 l2= =2π，弧FG的长 l3= =3π，
所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l1+l2+l3=6π．
（2）GB=DF．
理由如下：延长GB交DF于H．
∵CD=CB，∠DCF=∠BCG，CF=CG，
∴△FDC≌△GBC．
∴GB=DF．
【点睛】本题考查弧长公式以及全等三角形的判定和性质，题目比较简单，解题关键掌握是弧长公式．
17．（1）见解析；（2）OA、OD与AD围成的扇形的面积为．
【分析】（1）求出∠A＝∠ADO＝30°，求出∠DOB＝60°，求出∠ODB＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据扇形的面积公式即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：∵∠ADO＝∠BAD＝30°，
∴∠DOB＝60°
∵∠ABD＝30°，
∴∠ODB＝90°
∴OD⊥BD．
∵点D为⊙O上一点，
∴BD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠DOB＝60°，
∴∠AOD＝120°．
∵OA＝5，
∴OA、OD与AD围成的扇形的面积为．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定与性质，扇形面积的计算.（1）证明切线的方法最长用的是“经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，所以只需要证明OD⊥BD即可；（2）根据扇形面积计算公式，本题只需要求出∠AOD的度数即可.
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