第二十二章二次函数单元测试卷（含解析）

第二十二章 二次函数 单元测试卷
一、单选题
1．小明画出二次函数的图像如下图，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中，y关于x的二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．图象开口向下 B．当时，函数有最大值为
C．当时，y随x增大而减小 D．图象与x轴有两个交点
5．已知抛物线上的两点和，那么下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，且，对称轴为直线．下列结论：①；②图象与x轴的另一交点坐标是，且；③；④若点，，在该函数图象上，则．其中错误结论的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．0
7．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），现有下四个结论：
①8a+c＝0；
②5a+2b+c＞0；
③若抛物线与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），则﹣＜a＜﹣；
④已知m＞0，关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则x1＜﹣2＜4＜x2，
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知二次函数的图像开口向上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为．下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为，和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x的增大而减小；
④当或时，函数的最小值是9；
⑤当与的图象恰好有3个公共点时或
其中结论正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
11．与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式是 ．
12．直线经过第一、二、四象限，则抛物线不经过第 象限．
13．若点和点在二次函数的图象上，则 ．（填“”，“”，“”）
14．实验中学某物理兴趣小组的同学们设计了一个饮水机模型，其电路连接示意图如图甲所示，经过对工作电路进行研究：将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，保持固定电阻不变，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象（如图乙）．该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为 W．
15．如图，平行于x轴的直线分别交抛物线与于B，C两点，过点C作y轴的平行线交于点D，直线交于点E，则的值是 ．
三、解答题
16．如图，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A(0，﹣5)，B(5，0)．
（1）求b，c的值；
（2）连结AB，交抛物线L的对称轴于点M．求点M的坐标；
17．足球训练中球员从球门正前方8米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）
18．已知如二次函数．
(1)在如图所示的坐标系中，用描点法直接画出该二次函数的图象．（注：省略作图步骤）．
(2)该函数图象的开口向______，顶点坐标为______，对称轴为直线______，函数图象与轴的交点坐标为______，与y轴的交点坐标为______．
(3)由图可知，当时，二次函数的最小值是______，最大值是______．
19．如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点后停止过点作，垂足为点，设点的运动路程为，的面积为．
(1)求出关于的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)在图中画出（1）中函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)当的面积等于面积的时，直接写出的值．
20．已知关于x的二次函数，请同学们根据提示完成函数的图象，并结合函数图象完成下列各小题．
(1)请根据下面的表格，计算出a，b，c的值，并在图中补全该函数的图象；
x … 0 1 2 …
y … 1 4 5 4 c 4 5 …
则______；____；______；
(2)请根据图象描述出该函数的两条性质：
①_________________；
②________________；
(3)根据图象回答，已知关于x的方程有四个实数解，则实数k的取值范围为：______．
21．如图，一次函数y=x+k图象过点A（1，0），交y轴于点B，C为y轴负半轴上一点，且OB=BC，过A，C两点的抛物线交直线AB于点D，且CD∥x轴．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）直接写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围．
22．如图，抛物线的图象交轴于两点，交轴于点，直线经过两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为直角三角形 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键在于熟知二次函数与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的解．
【详解】解：由函数图象可知二次函数与x轴的两个交点坐标为，
∴关于的方程的解为，
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、当时，是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意；
B、是y关于x的二次函数，故本选项符合题意；
C、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意；
D、不是y关于x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：B
3．C
【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线，
当时，，
抛物线的顶点坐标是，
故选：C
4．D
【分析】本题考查抛物线的图象性质，抛物线图象与系数关系，抛物线与x轴交点问题，根据函数的图象和性质逐次求解即可．
【详解】解：A．，则图象开口向下正确，不符合题意；
B．由A知，抛物线有最大值，当时，函数有最大值为正确，不符合题意；
C．当时，y随x增大而减小，则时，y随x增大而减小正确，不符合题意；
D．令，方程无解，则图象与x轴有没有交点，则D错误，符合题意，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由解析式求得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据、到对称轴的距离的大小即可判断．
【详解】解：，
二次函数图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
和，
，
，
故选：C．
6．D
【分析】根据开口方向和与y轴交于y轴负半轴，得到，再根据对称轴得到，即可判断①；根据对称性即可判断②；根据当时，，，得到，即可判断③；根据二次函数开口向上，得到离对称轴越远函数值越大，再由即可判断④．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，且，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一交点坐标是，则，故②正确；
∵当时，，，
∴，
∴，故③正确；
∵二次函数开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴，故④正确；
∴错误的结论有0个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴的交点坐标，二次函数图象的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
7．C
【分析】先求抛物线对称轴直线x＝1，可得b＝﹣2a，由x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，消去b即可判断①；由8a+c＝0，b＝﹣2a，代入5a+2b+c＝﹣7a即可判断②；由抛物线在y轴的截距2＜c＜3，利用c＝﹣8a，构造a的不等式2＜﹣8a＜3，解不等式可判断③；根据抛物线开口向下，图象过点（﹣2，0）和（4，0），抛物线与直线y＝m（m＞0）的两个交点横坐标﹣2＜x1＜x2＜4，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），
∴图象开口向下，对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∵x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴8a+c＝0，故①正确；
∵8a+c＝0，b＝﹣2a，
∴5a+2b+c＝5a﹣4a﹣8a＝﹣7a＞0，故②正确；
∵抛地物线与y轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），
∴2＜c＜3，
∵c＝﹣8a，
∴2＜﹣8a＜3，
∴﹣＜a＜﹣，故③正确；
∵抛物线开口向下，图象过点（﹣2，0）和（4，0），
∴抛物线与直线y＝m（m＞0）的两个交点横坐标﹣2＜x1＜x2＜4，
∴关于x的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜x2＜4，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线图像与系数的关系，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系，掌握抛物线图像与系数的关系，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．
8．A
【分析】根据二次函数的图像，开口向上即a0即可计算.
【详解】依题意得，得，
故选A.
【点睛】此题主要考查二次函数a的意义，也要注意a.
9．D
【分析】由抛物线开口方向得到a>0，由对称轴得到b=a>0，由抛物线与y轴的交点得到c<0，则abc<0；a+b>0；当x=1时，y<0，则a+b+c<0，把a=b代入得2b+c<0；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点的横坐标小于-2，则x=-2时，y<0，所以4a-2b+c<0，即4ab+c<2b．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴，∵对称轴是直线，代入对称轴公式得：，所以，抛物线与轴交点在负半轴上，故，∴abc＜0；a+b＞0；
由此可知A项和B项错误；
观察图形，当时，对应点的纵坐标为负，代入函数得，，即，知C项错误；
观察图形，横轴上的数字1所在位置介于对称轴和抛物线与轴的交点之间，根据对称性，横轴上的数字应介于对称轴和抛物线与轴另一交点之间，即当时，函数值为负，代入函数式得，，故D项正确．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当-
4ac<0，抛物线与x轴没有交点．
10．B
【分析】分别令和即可对结论①进行判断；观察函数的图象即可对结论②进行判断；根据函数的图象和增减性即可对结论③进行判断；根据函数与x轴有两个交点，且这两个交点是函数图象的最低点，可对结论④进行判断；根据函数与x轴的两个交点，与平行可分两种情况进行讨论：①经过点，②与函数只有一个交点，分别求出b的值即可对结论⑤进行判断．
【详解】解：∵令，得，
令，则
解得，
∴与坐标轴的交点为，和，
∴结论①正确；
观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为，
故结论②正确；
∵函数与x轴的两个交点坐标为，，且对称轴为x=2，
∴当或时，函数值y随x值的增大而增大，
故结论③不正确；
∵当或5时，，
∴当或时，函数的最小值是0．
故结论④不正确；
∵函数与x轴的两个交点为，，
又∵与平行，
∴当与的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：
①经过点，此时b=1，
②当与函数只有一个交点时，
则方程有两个相等的实数根，
将整理得：，
∴判别式，
解得：．
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图像与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键．
11．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为，决定开口方向和大小是解题的关键．利用对于二次函数，顶点相同即不变，形状也相同即不变，而开口方向相反即二次项系数符号变为相反，即可解决．
【详解】解：与抛物线顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线的解析式，
即只有二次项系数相反，
则其解析式为，
故答案为：．
12．四
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的性质的性质，关键要知道k和b对图象的决定作用．由直线经过一、二、四象限可分析，由此判定抛物线不经过第三象限．
【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴抛物线开口向上，对称轴在y轴的左侧，经过原点，
∴抛物线不经过第四象限．
故答案为：四．
13．
【分析】本题考查二次函数的增减性，解题的关键是根据函数解析式确定出对称轴，再根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【详解】解：的对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∵点关于对称轴的对称点是，且，
∴．
故答案为：．
14．220
【分析】本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式，进而利用二次函数的的性质求出最大值即可．
【详解】解：∵该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点
∴抛物线的对称轴为，
设抛物线的解析式为，
∴
解得
∴
∵，
∴抛物线有最大值为220，
即变阻器R消耗的电功率P最大为，
故答案为：220
15．/
【分析】设A点坐标为，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出的长度，再根据轴，利用的解析式求出D点的坐标，然后利用求出点E的坐标，从而得到的长度，然后求出比值即可得解．
【详解】解：设A点坐标为，，
则，解得，
∴点B，
∴点C，
∵轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴点D的坐标为，
∵，
∴点E的纵坐标为3a，
∴点E的坐标为，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行于x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．
16．（1），；（2）交点M的坐标为（2，-3）．
【分析】（1）将点A、点B坐标代入函数解析式，求解方程组即可；
（2）设直线AB的解析式为：，将点A、点B坐标代入函数解析式求解确定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M的坐标．
【详解】解：（1）将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴，；
（2）设直线AB的解析式为：，
将点A、点B坐标代入函数解析式可得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
由（1）得二次函数解析式为：，
对称轴为：，
直线与的交点为M，
∴当时，，
∴交点M的坐标为（2，-3）．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．
17．(1)
(2)球不能射进球门
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）当时，，即可求解．
【详解】（1）解： ，
抛物线的顶点坐标为，设抛物线，
把点代入得：，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：当时，
，
球不能射进球门．
18．(1)见解析
(2)下，，，或，
(3)0，4．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上， 时，函数开口向下．
（1）先列表，再描点，最后用光滑的曲线连接即可；
（2）根据顶点式的性质，即可解答；
（3）根据函数图象，即可解答．
【详解】（1）解：根据题意列出表格如下：
…… 0 1 2 ……
…… 0 3 4 3 0 ……
画出图象如下：
（2）解：∵，
∴该函数图象的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，函数图象与轴的交点坐标为或，与y轴的交点坐标为．
故答案为：下，，，或，；
（3）解：由图象可知，当时，二次函数的最小值是0，最大值是4，
故答案为：0，4．
19．(1)
(2)图见解析，当时，随都是增大而增大，当时，随的增大而减小
(3)当或时，的面积等于面积的
【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，结合图形分情况讨论，当时，利用三角函数用表示出和的长度，根据三角形面积公式即可求出与的函数关系；当，根据三角形面积公式即可求出与的函数关系．
（2）结合第一问的结果，发现与的函数关系是分段函数，当时，是二次函数，当时，是一次函数，根据描点法即可画出图像，根据图像即可分析出函数图像的性质．
（3）根据等量关系的面积等于面积的，列关于的方程，解出即可．
【详解】（1）解：，，，
．
当时，
，，
，．
，
当时，，
综上所述，．
故答案为：．
（2）解：函数图象如图所示：
观察图形可知，当时，随都是增大而增大，当时，随的增大而减小．
故答案为：当时，随都是增大而增大，当时，随的增大而减小．
（3）解：，，，
．
的面积等于面积的，
或，
或，
，
或．
故答案为：当或时，的面积等于面积的．
【点睛】本题是一道函数和几何综合题，考查了函数的图像性质，函数的表达，三角函数，一元二次方程和一元一次方程的求解，解题的关键在于根据点运动轨迹求出与的函数关系．
20．(1)；4；1；补全该函数的图象见解析
(2)①当或时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小；②当或2时，函数值有最大值，为5
(3)
【分析】（1）选取两点代入函数关系式，求解方程组即可得出a，b的值，把代入函数关系式可求出c的值，最后描点连线画出函数图象即可；
（2）根据图象描述出该函数的两条性质即可；
（3）根据函数与函数的图象交点个数可得结论．
【详解】（1）解：选取两点代入，得，
，
解得，
把代入，得，，即：
补全该函数的图象如图，
故答案为：；4；1；
（2）由图象知：
①当或时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小；
②当或2时，函数值有最大值为5；
故答案为：①当或时，y随x的增大而增大；当或时，y随x的增大而减小；②当或2时，函数值有最大值为5．
（3）如图，
当直线过点时，直线与函数有两个交点，即；
当直线过点时，直线与函数有三个交点，即；
故直线与函数有四个交点时，，
所以，关于x的方程有四个实数解，则实数k的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新函数的函数值求法，新函数图象的画法及其增减性，最值问题，新函数值与一次函数值的大小关系．
21．（1）y=x2+2x﹣3；（2）x＜﹣2或x＞1
【详解】试题分析：（1）利用待定系数法求解即可得；
（2）结合图象即可进行判断出x的取值范围.
试题解析：（1）把A（1，0）代入y=x+k中，得k=﹣1，
∴y=x﹣1，令x=0，得点B坐标为（0，﹣1），
∵OB=BC，OB=1，∴BC=2，∴OC=3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又CD∥x轴，
∴点D的纵坐标为﹣3代入y=x﹣1得x=﹣2，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣3），
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
将A（1，0），C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3）代入，得
，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；
（2）∵直线与抛物线交于D（﹣2，﹣3），A（1，0）两点，抛物线开口向上，
∴当x＜﹣2或x＞1时，一次函数值小于二次函数值．
22．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）先求出B、C两点的坐标，然后代入二次函数解析式求解即可；
（2）过点向轴作垂线交直线于点，设，，得到PQ与t的关系式，再根据二次函数的性质计算即可；
（3）设，直角三角形的性质分类讨论即可；
【详解】解：（1）∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，3）
将B（3，0），C（0，3）代入，
可得，
解得，
所以抛物线的解析式为，
（2）过点向轴作垂线交直线于点Q，
直线的解析式为，
设，，
，
当时，PQ最大=，
∴PQ最大时，三角形PBC的面积最大，最大面积为，此时P(,)；
（3）设，
∵，，
∴，，，
当时，
解得：
∴，；
当时，,
解得：，
∴；
当时，，
解得：，
∴；
综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，它们分别为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合，两点距离公式，准确分析判断是解题的关键．
答案第1页，共2页
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