第十二章全等三角形单元测试（含解析）
图片预览
文档简介
第十二章 全等三角形 单元测试2024-2025学年八年级人教版数学
一、单选题
1．如图，是一个任意角，在边，上分别取移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，做法用得到三角形全等的判定定方法是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形的中线相等 D．全等三角形的角平分线相等
3．如图所示，两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0.8
5．如图，是的中线，E，F分别在上和延长线上，且，连接，，下列结论不正确的是（ ）
A． B．和面积相等
C． D．
6．如图，，，，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，，则图中可证明为全等三角形的有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．7对
8．如图，是的中线，E、F分别在和延长线上，且，连接，下列结论：①②和周长相等③④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图所示，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为49，40，则的面积为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．9 D．10
10．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．则下列说法：①；②和面积相等；③； ④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知，，则的度数为 °．
12．如图，平面上有与，其中与相交于点P，若AC=BC，，，，，，则的度数为 ．
13．如图，，，．点沿线段由点向点运动，点沿线段由点向点运动，、同两点时出发，它们的运动时间记为秒．已知点的运动速度是，如果顶点是、、的三角形与顶点是、、的三角形全等，那么点的运动速度为 ．
14．如图，，为、的平分线的交点，于，且，，则与之间的距离等于 ．
15．在中，，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则的长 ．
三、解答题
16．如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：．
17．如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证：
(1)；
(2)．
18．如图，已知和都是等腰三角形，交于点F，连接．
(1)说明与的关系并证明；
(2)求的度数．
19．小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度．
20．如图，在四边形中，，连接．若，求四边形的面积．
21．利用全等的知识解答下面两题
(1)如图，与交于点，，．求证：．
(2)如图已知，，，求证；
22．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______；
（2）探究问题：
①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果）
/ 让教学更有效 精品 |
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．根据作图过程可得，，再利用可判定．
【详解】解：根据题意可知，在和中
故选：B．
2．B
【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质，注意“对应”两个字的含义，即只有相对对应的两个相同部分才相等．根据全等三角形的对应边、对应边上的高和中线，对应角分别相等，对应角的角平分线分别相等，逐一判断即可．
【详解】解：A、全等三角形的对应边上的高相等，故本选项错误；
B、全等三角形的面积相等，故本选项正确；
C、全等三角形的对应边的中线相等，本选项错误；
D、全等三角形的对应角的角平分线相等，故本选项错误；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据图形得出根据全等三角形的性质得出，即可得出选项．
【详解】解：如图，
∵
又∵和全等，
故选：D．
4．C
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．利用得三角形全等，得到，由，即即可求出的长．
【详解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
则．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查三角形中线、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和角平分线的定义，根据题意得，利用即可证明；利用的边和的边上的高相同，和面积相等；由于不一定是的角平分线，则和不一定相等；由于，则有．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，选项A正确，不符合题意；
∵，
的边和的边上的高相同，
∴和面积相等，选项B正确，不符合题意；
∵是的中线，
∴不一定是的角平分线，
∴和不一定相等，选项C不正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，选项D正确，不符合题意，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的不同判定方法，本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明，即可解题．
【详解】解：∵，，
∴，
A、，无法证明，
故本选项正确；
B、∵，
∴，则和中，
，
∴，
故本选项错误；
C、，则和中，
，
∴，
故本选项错误；
D、，则和中，
，
∴，
故本选项错误；
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由，可证；由，，，可证；由，，，可证．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∵，，，
∴；
∵，，，
∴；
∴图中可证明为全等三角形的有3对，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等，根据可证，从而判断①；根据三角形中线的定义可判断②；根据三角形中线、角平分线的定义可判断③；根据可得，进而可判断④．
【详解】解：是的中线，
，
又，，
，故①正确；
不一定等于，
不一定等于，
和周长不一定相等，故②错误；
现有条件不能得出，故③错误；
，
，
，故④正确；
综上可知，正确的有2个，
故选B．
9．B
【分析】根据题意作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，构造全等三角形利用全等三角形的判定及性质以及角平分线的性质进行分析求解.
【详解】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵DE=DG，DM=DE，
∴DM=DG，
∵DN⊥AC，
在Rt△DGN和Rt△DMN中，
∴Rt△DGN≌Rt△DMN（HL），
在Rt△DFA和Rt△DNA中，
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL），
∴Rt△AED≌Rt△AMD，
∵△ADG和△AED的面积分别为49和40，
∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=49-40=9，
S△DNM=S△DEF=S△MDG=×9=4.5．
故选：B.
【点睛】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积进行求解．
10．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
根据三角形中线的定义可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确；
∴，故①正确，
∴，故③正确；
∵，点A到的距离相等，
∴和面积相等，故②正确，
综上所述，正确的是①②③④，共4个．
故选：D．
11．66
【分析】根据全等三角形的对应角相等即可作答．
【详解】∵，，
∴，
故答案为：66．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形中对应角相等是解答本题的关键．
12．/50度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．先证明，得出，，证明，根据，，得出，进而求出，再证明，即可得到．
【详解】解：在与中，
，
∴，
∴，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
13．或1
【分析】此题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．设运动的时间为，点的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设运动的时间为，点的运动速度是，
，
、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
则，
解得：；
②，，
则，，
解得：，，
故答案为：或1．
14．18
【分析】本题考查角平分线的性质，平行线之间的距离，关键是由角平分线的性质推出，．过作于，交于，推出，由角平分线的性质推出，，因此，即可得到与之间的距离．
【详解】解：过作于，交于，
，
，
平分，，
，
同理：，
，
与之间的距离等于18．
故答案为：18．
15．
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据可证明，得出，则可求出答案．
【详解】解：∵
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
16．见解析
【分析】由题意可得出，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即．
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
（1）由“”可证；
（2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴在与中，
，
；
（2）证明：由（1）知，
，
∵，，
，
在与中，
，
，
，
，
．
18．(1)，，证明见解析
(2)，
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理：
（1）先证明，再证明，得到，，再导角证明，即可得到；
（2）作于，于，由全等三角形的性质得到，则由角平分线的判定定理可得平分，据此可得答案．
【详解】（1）解：，，证明如下：
设交于O，
，
∴
，
在与中，
，
，
，，
，
，
；
∴， ；
（2）解：如图，作于，于，
，
，
∵，，
平分，
．
19．路灯的高度是．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，根据三角形的内角和定理易得，进行得到和全等，再利用全等三角形的性质求解，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
答：路灯的高度是．
20．32
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．
过A作，交的延长线于E，证明，则，得到的面积的面积，则到四边形的面积的面积，即可求出答案．
【详解】解：过A作，交的延长线于E，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
在与中，
∴，
∴，的面积的面积，
∴四边形的面积的面积，
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）结合对顶角相等，证明，即可得到结论；
（2）由可得，即可证明结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：，
，即，
在和中，
，
．
22．（1）；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；（3）或或．
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等角的余角相等，内角和定理等．
（1）利用平角得定义即可求解；
（2）①先证明出，得出即可得出结果；②证明出，得出即可得出结论；
（3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，可知，而的表示由的位置决定，所以需要对的位置分别讨论继而得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）①解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意得，根据点所在的位置分情况讨论：
①当在上时，在上时，即，
∵点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，，，设运动时间为，
∴，，
∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，
∴，
∴，解得：；
②当在上时，在上时，即，
∴，，
∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，
∴，
∴，解得：；
③当到达时，在上时，即，
∴，，
∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，
∴，
∴，解得：，
综上所述：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．如图，是一个任意角，在边，上分别取移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线，做法用得到三角形全等的判定定方法是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的面积相等
C．全等三角形的中线相等 D．全等三角形的角平分线相等
3．如图所示，两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0.8
5．如图，是的中线，E，F分别在上和延长线上，且，连接，，下列结论不正确的是（ ）
A． B．和面积相等
C． D．
6．如图，，，，下列条件中不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，，则图中可证明为全等三角形的有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．7对
8．如图，是的中线，E、F分别在和延长线上，且，连接，下列结论：①②和周长相等③④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图所示，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为49，40，则的面积为（ ）
A．3.5 B．4.5 C．9 D．10
10．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接．则下列说法：①；②和面积相等；③； ④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．已知，，则的度数为 °．
12．如图，平面上有与，其中与相交于点P，若AC=BC，，，，，，则的度数为 ．
13．如图，，，．点沿线段由点向点运动，点沿线段由点向点运动，、同两点时出发，它们的运动时间记为秒．已知点的运动速度是，如果顶点是、、的三角形与顶点是、、的三角形全等，那么点的运动速度为 ．
14．如图，，为、的平分线的交点，于，且，，则与之间的距离等于 ．
15．在中，，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则的长 ．
三、解答题
16．如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：．
17．如图，中，为上一点，为延长线上一点，且，过点作于点，过点作交的延长线于点，且，连交边于．求证：
(1)；
(2)．
18．如图，已知和都是等腰三角形，交于点F，连接．
(1)说明与的关系并证明；
(2)求的度数．
19．小明利用一根长的竿子来测量路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点，使，并测得，然后把竖直的竿子在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度．
20．如图，在四边形中，，连接．若，求四边形的面积．
21．利用全等的知识解答下面两题
(1)如图，与交于点，，．求证：．
(2)如图已知，，，求证；
22．（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______；
（2）探究问题：
①如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果）
/ 让教学更有效 精品 |
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的判定，掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．根据作图过程可得，，再利用可判定．
【详解】解：根据题意可知，在和中
故选：B．
2．B
【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质，注意“对应”两个字的含义，即只有相对对应的两个相同部分才相等．根据全等三角形的对应边、对应边上的高和中线，对应角分别相等，对应角的角平分线分别相等，逐一判断即可．
【详解】解：A、全等三角形的对应边上的高相等，故本选项错误；
B、全等三角形的面积相等，故本选项正确；
C、全等三角形的对应边的中线相等，本选项错误；
D、全等三角形的对应角的角平分线相等，故本选项错误；
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据图形得出根据全等三角形的性质得出，即可得出选项．
【详解】解：如图，
∵
又∵和全等，
故选：D．
4．C
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．利用得三角形全等，得到，由，即即可求出的长．
【详解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
则．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查三角形中线、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和角平分线的定义，根据题意得，利用即可证明；利用的边和的边上的高相同，和面积相等；由于不一定是的角平分线，则和不一定相等；由于，则有．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，选项A正确，不符合题意；
∵，
的边和的边上的高相同，
∴和面积相等，选项B正确，不符合题意；
∵是的中线，
∴不一定是的角平分线，
∴和不一定相等，选项C不正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，选项D正确，不符合题意，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的不同判定方法，本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明，即可解题．
【详解】解：∵，，
∴，
A、，无法证明，
故本选项正确；
B、∵，
∴，则和中，
，
∴，
故本选项错误；
C、，则和中，
，
∴，
故本选项错误；
D、，则和中，
，
∴，
故本选项错误；
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由，可证；由，，，可证；由，，，可证．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∵，，，
∴；
∵，，，
∴；
∴图中可证明为全等三角形的有3对，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等，根据可证，从而判断①；根据三角形中线的定义可判断②；根据三角形中线、角平分线的定义可判断③；根据可得，进而可判断④．
【详解】解：是的中线，
，
又，，
，故①正确；
不一定等于，
不一定等于，
和周长不一定相等，故②错误；
现有条件不能得出，故③错误；
，
，
，故④正确；
综上可知，正确的有2个，
故选B．
9．B
【分析】根据题意作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，构造全等三角形利用全等三角形的判定及性质以及角平分线的性质进行分析求解.
【详解】解：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，
∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
∵DE=DG，DM=DE，
∴DM=DG，
∵DN⊥AC，
在Rt△DGN和Rt△DMN中，
∴Rt△DGN≌Rt△DMN（HL），
在Rt△DFA和Rt△DNA中，
∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL），
∴Rt△AED≌Rt△AMD，
∵△ADG和△AED的面积分别为49和40，
∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=49-40=9，
S△DNM=S△DEF=S△MDG=×9=4.5．
故选：B.
【点睛】本题考查角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积进行求解．
10．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等底等高的三角形的面积相等、平行线的判定等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
根据三角形中线的定义可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确；
∴，故①正确，
∴，故③正确；
∵，点A到的距离相等，
∴和面积相等，故②正确，
综上所述，正确的是①②③④，共4个．
故选：D．
11．66
【分析】根据全等三角形的对应角相等即可作答．
【详解】∵，，
∴，
故答案为：66．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形中对应角相等是解答本题的关键．
12．/50度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．先证明，得出，，证明，根据，，得出，进而求出，再证明，即可得到．
【详解】解：在与中，
，
∴，
∴，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
13．或1
【分析】此题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．设运动的时间为，点的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：设运动的时间为，点的运动速度是，
，
、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，，
则，
解得：，
则，
解得：；
②，，
则，，
解得：，，
故答案为：或1．
14．18
【分析】本题考查角平分线的性质，平行线之间的距离，关键是由角平分线的性质推出，．过作于，交于，推出，由角平分线的性质推出，，因此，即可得到与之间的距离．
【详解】解：过作于，交于，
，
，
平分，，
，
同理：，
，
与之间的距离等于18．
故答案为：18．
15．
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据可证明，得出，则可求出答案．
【详解】解：∵
∴，
∵为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
16．见解析
【分析】由题意可得出，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，即．
在和中，，
∴．
【点睛】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
（1）由“”可证；
（2）先由（1）可知，证，从而由三角形全等的性质可得，然后由线段的和差即可得证．
【详解】（1）证明：∵，，
∴在与中，
，
；
（2）证明：由（1）知，
，
∵，，
，
在与中，
，
，
，
，
．
18．(1)，，证明见解析
(2)，
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理：
（1）先证明，再证明，得到，，再导角证明，即可得到；
（2）作于，于，由全等三角形的性质得到，则由角平分线的判定定理可得平分，据此可得答案．
【详解】（1）解：，，证明如下：
设交于O，
，
∴
，
在与中，
，
，
，，
，
，
；
∴， ；
（2）解：如图，作于，于，
，
，
∵，，
平分，
．
19．路灯的高度是．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，根据三角形的内角和定理易得，进行得到和全等，再利用全等三角形的性质求解，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
答：路灯的高度是．
20．32
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．
过A作，交的延长线于E，证明，则，得到的面积的面积，则到四边形的面积的面积，即可求出答案．
【详解】解：过A作，交的延长线于E，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
在与中，
∴，
∴，的面积的面积，
∴四边形的面积的面积，
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
（1）结合对顶角相等，证明，即可得到结论；
（2）由可得，即可证明结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
；
（2）解：，
，即，
在和中，
，
．
22．（1）；（2）①，理由见解析；②，理由见解析；（3）或或．
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等角的余角相等，内角和定理等．
（1）利用平角得定义即可求解；
（2）①先证明出，得出即可得出结果；②证明出，得出即可得出结论；
（3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，可知，而的表示由的位置决定，所以需要对的位置分别讨论继而得到答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）①解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由题意得，根据点所在的位置分情况讨论：
①当在上时，在上时，即，
∵点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，，，设运动时间为，
∴，，
∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，
∴，
∴，解得：；
②当在上时，在上时，即，
∴，，
∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，
∴，
∴，解得：；
③当到达时，在上时，即，
∴，，
∵以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，
∴，
∴，解得：，
综上所述：当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页