重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(含答案)

重庆市第八中学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知全集,集合,集合,则集合( )
A. B. C. D.
2．设,集合A是偶数集,集合B是奇数集.若命题,,则( )
A., B.,
C., D.,
3．下列各组函数中,表示同一函数的是( )
A., B.,
C., D.,
4．函数的值域为( )
A. B. C. D.
5．已知函数是奇函数,则( )
A. B. C.2 D.-2
6．已知函数在R上单调递增,则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
7．心形代表浪漫的爱情,人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型,呈现出优雅的弧度,心形木屋融入山川,河流,森林,草原,营造出一个精神和自然聚合的空间.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形,这个图形可看作由两个函数的图象构成,则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为( )
A. B.
C. D.
8．已知且,则的最小值为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
二、多项选择题
9．已知定义域为D的函数,若存在正数M,对任意,都有成立,则称函数是定义域D上的有界函数.下列选项中是有界函数的是( )
A. B.
C. D.
10．定义域为的奇函数,满足,下列叙述正确的是( )
A.存在实数k,使关于x的方程有3个不同的解
B.当时,恒有
C.若当时,的最小值为1,则
D.若关于x的方程和的所有实数根之和为0,则或
11．设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,,若,下列叙述正确的是( )
A. B.关于对称
C.关于对称 D.
三、填空题
12．函数的单调递减区间为_______________.
13．已知不等式对于恒成立,则实数a的取值范围是_____________.
14．对于函数,如果存在区间,同时满足下列条件:
①在上是单调的：
②当的定义域是时,的值域是,则称是该函数的“倍值区间”.
若函数存在“倍值区间”,则a的取值范围是_______________
四、解答题
15．已知,.
(1)求M,N.
(2)求,
16．不等式:解集为A.
(1)求集合A;
(2)若不等式的解集为B,且,求a的取值范围.
17．已知.
(1)若函数在上单调递减,求实数a的取值范围:
(2)当,求的最小值.
18．已知定义在区间上的函数满足,且当时,.若.
(1)判断并证明的单调性;
(2)解关于x的不等式:
19．对于在某个区间上有意义的函数,如果存在一次函数使得对于任意的,有恒成立,则称函数是函数在区间上的弱渐近函数.
(1)判断是否是在区间上的弱渐近函数,并说明理由.
(2)若函数是函数在区间上的弱渐近函数,求实数m的取值范围;
(3)是否存在函数,使得是函数在区间上的弱渐近函数 若存在,求出实k的取值范围;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：,,
,,,
故选：A.
2．答案：C
解析：因为全称命题的否定是特称命题,
所以设,集合A是偶数集,集合B是奇数集.
若命题,,则,.
故选：C.
3．答案：D
解析：A.的定义域为R,的定义域为,定义域不同;
B.的定义域为,,的定义域为或,定义域不同;
C.的定义域为R,的定义域为,定义域不同;
D.的定义域为,的定义域为,定义域和解析式都相同,是同一函数.
故选：D.
4．答案：C
解析：函数定义域为,令,,
当时,,所以函数的值域为,
故选：C.
5．答案：A
解析：函数是奇函数,,即,解得,
,
故选：A.
6．答案：C
解析：因为函数在R上单调递增,所以,
解得,
故选：C.
7．答案：C
解析：根据题意,依次分析选项：
A选项:当时,,故A错误;
B选项:记,则,故为奇函数,不符合题意,故B错误;
C选项:记,则,故为偶函数,
当时,,
此函数在上单调递增,在上单调递减,
且,,故C正确;
D选项:记,则,
故既不是奇函数也不是偶函数,不符合题意,故D错误.
故选：C.
8．答案：B
解析：由题意得,,,
令,,则,
由得,故,
当且仅当,,即时取等号,
即,,,时,等号成立,最小值为9.
故选：B.
9．答案：AB
解析：对于A,,则,,故A符合题意;
对于B,,则,,故B符合题意;
对于C,,函数无最大值,故C不符合题意;
对于D,,函数无最小值,故D不符合题意.
故选：AB.
10．答案： ACD
解析：A：当或时,函数与函数的图象有3个交点.当,
函数与函数的图象有2个交点,
当,或,函数与函数的图象有1个交点.
故A正确;
B:当时,函数不是减函数,故B错误;
C:如图所示,直线l与函数图象相交于,,故当的最小值为1时,,故C正确;
D:时,若使得其与所有实根之和为0,则或,
如图:
故D正确;
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：因为为奇函数,所以,关于对称,则,A正确,B错误;
因为为偶函数,则关于对称,则C正确;
因为关于和对称,所以,所以,又因为,所以,所以D正确,
故选：ACD.
12．答案：
解析：由题意,,可得或,函数的定义域为,
令,则在上单调递增,,在上单调递减,在上单调递增,函数的单调递减区间为.
13．答案：
解析：不等式对于恒成立,
即不等式对于恒成立,
令,则,所以不等式对于恒成立,
所以对于恒成立,
令,则,函数在上单调递减,
所以,即,
所以,即实数a的取值范围是.
故答案:
14．答案：
解析：由函数单调递增,且函数存在“倍值区间”,
存在,使得,
设,则,且,所以,
方程在上有两不等根,令,在递减,
递增,,因为与有两个交点,所以
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意得：
或,,
(2)
16．答案：(1)
(2)
解析：(1),,即,
故,解得:,.
(2)由,得,,,
①当时,,不合题意,舍去
②当时,不等式化为:,注意到,
,,,
③当时,不等式可化为：,注意到无论与-1大小关系,均包含趋于部分,一定不符合,舍去;
综上可知：.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)在单调递减,且的对称轴为,,
解得,故实数a的取值范围为.
(2)由题意可得,的对称轴为,
①当时,,
②当时,,
③当时,,故.
18．答案：(1)在上为增函数
(2)
解析：(1)设,则,,
,当时,,,
,在上为增函数.
(2)在中,令,,则.
,不等式,
可转化为,,
由函数在上为增函数,可得.
,原不等式解集为.
19．答案：(1)不是在区间上的弱渐近函数
(2)
(3)不存在,理由见解析
解析：(1),,
因为在区间上单调递增,所以,所以在区间上无最大值,所以不是在区间上的弱渐近函数.
(2)因为函数是函数在区间上的弱渐近函数,
所以在区间上恒成立,
即在区间上恒成立,
整理得：在区间上恒成立,
因为在上的最小值为8,得.
(3)不存在.
假设存在,则有,,
即,对任意成立,
等价于,对任意成立.
等价于,对任意成立
令,令,得,
当时,取得最大值,最大值为;
令,令,得,
易知
可得,不存在.
所以,假设不成立,不存在函数是函数在区间上的弱渐近函数.