课件26张PPT。1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第一课时1．通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣；
2．掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能说明两个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题，体现数学实际应用和理论相结合的统一美，经历从特殊到一般的思维过程；
3．经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 本节课是概念原理课的教学典范．拟定采取以退为进的教学策略，采用“情景引入—问题诱导—实例探究—抽象概括—原理应用—归纳总结—拓展铺垫”的探究发现式教学方法，通过典型丰富的实例引导学生归纳出两个计数原理，并能学会初步应用．分成如下五个环节：
一、创设情境，提出问题．从《爸爸去哪儿》热门节目相关问题出发，引出“你会选择入住几号房呢 ”，通过问题设疑，引导学生在不断思考中获取两个计数原理的发现过程；二、实例探究，归纳原理．从以退为进的实例出发，通过先“两类”后“多类”，先“分类”后“分步”，先“加法”后“乘法”的逐步过渡，引导学生在加法与乘法相互转化的过程中提炼归纳两个计数原理；三、巩固提升．从选择两个原理解决计数问题的关键出发，通过“各取”“任取”等关键词的辨别，引导学生真正弄清“完成一件事”的具体含义，领会准确区分“分步”和“分类”的操作要领；四、归纳小结，认知升华．五、课后检测，从引发学生进一步思考出发，通过设置有关高考科目改革的热点思考题，为后继学习排列组合做好铺垫，激发学生进一步学习的欲望．大家看过《爸爸去哪儿》吗？第二季第一期他们来到了重庆的某个农村的村庄，因为明星效应的带动，他们所住过的五家农户已被当地开发成了一个入住式体验的旅游项目。问题：3名同学从5家农户里各选一家入住（可以选同一家），一共有多少种不同的入住方式？问题：3名同学从5家农户里各选一家入住（可以选同一家），一共有多少种不同的入住方式？12345 计数问题：计算完成一件事的方法数的问题问题1：
(1)小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？ 问题1：
(1)小明要从北京到重庆，一天中飞机有4班，火车有3班，一天中乘坐这些交通工具从北京到重庆共有多少种不同的走法？ (3)从班上30名男生、25名女生中任选1名学生担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？ (2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题2:这一类问题有什么共同特征呢？追问:你能举一些生活中类似的例子吗？追问:你能不能把这种解决问题的规律用数学语言来表述呢？分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m 种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有
种不同的方法.每类中的任一种方法都能独立完成这件事情.N=m+n 例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，Ａ，Ｂ两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体如下:A大学
生物学 化学 医学 物理学 工程学B大学
数学 会计学 信息技术学 法学问：如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢?C大学
新闻学
金融学
人力资源学 解：这名同学可以选择A，B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择方法，54+=9+3=125+4 因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择总数为 在B大学中有4种专业选择方法． 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有
种不同的方法.N=m1+m2+…+mn 分类加法计数原理 完成一件事有三类不同方案，在第 1 类方案中有 m1 种不同的方法，在第2类方案中有m2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 m3 种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法.N=m1+m2+m3 问题3：
(1) 小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？ 问题3：
(1) 小明先从北京到成都，飞机有4班，一天后再从成都到重庆，火车有3班。小明乘坐这些交通工具从北京经成都到重庆共有多少种不同的走法？ (3)从班上30名男生、25名女生中选男生、女生各1名担任数学课代表，一共有多少种不同的选法？ (2)用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1，B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题4:这一类问题有什么共同特征呢？追问:你能举一些生活中类似的例子吗？追问:你能不能把这种解决问题的规律用数学语言来表述呢？分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法. 只有各个步骤都完成才算做完这件事情。例2.设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法? 若该班有10名任课老师，要从中选派1名老师作领队，组成代表队，共有多少种不同选法？解：第一步，从30名男生中选出1名，有30种不同选择；
第二步，从24名女生中选出1名，有24种不同选择．
根据分步乘法计数原理，共有30×24=720种不同的选法．10×=720072030×24×10=7200 如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有________________种不同的方法.N=m1×m2×m3 做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有
m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法,……，
做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有____________________种不同的方法.N=m1×m2×…×mn 分步乘法计数原理（1）从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?（2）从5名同学中选出正、副班长各一名，共有多少种不同的选法？（6）某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？（4）从一个装有4个不同白球的盒子里或装有3个不同黑球的盒子里取1个球，共有多少种不同的取法？题组训练：（5）某校高一有6个班，高二有8个班，从中选择1个班级担任周一早晨的升旗任务，一共有多少种不同选法？（3）有不同颜色的5件上衣与3件不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法有多少种？用来计算完成一件事的方法种数每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）相加相乘类类独立步步相依不重不漏缺一不可分类、分步、问题5：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和不同点是什么? 书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(2)从书架中任取1本书,有多少种不同取法?有3类方法：第一类取计算机书有4种，第二类取文艺书有3种，第三类取体育书有2种．根据分类加法计数原理，共有N=4+3+2=9种.(1)从书架第1,2,3层各取1本书,有多少种不同取法?分3步完成：第一步在第1层取书有4种，第二步在第2层取书有3种，第三步在第3层取书有2种．根据分步乘法计数原理，共有N=4×3×2=24种.解题要点：弄清完成一件事的要求至关重要，只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．练习1 书架第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.解题关键：弄清完成一件事的要求至关重要，只有这样才能正确区分“分类”和“分步”。（3）从书架中取2本不同种类的书，有多少种不同的取法？变式取计算机书和文艺书计算机书有4
种不同的取法体育书有2
种不同的取法计算机书有4
种不同的取法4×3=124×2=82×3=612+8+6
=26（种）文艺书有３
种不同的取法体育书有２
种不同的取法文艺书有３
种不同的取法取计算机书和体育书取体育书和文艺书 神十的国际编号为2013-029A .
国际上人造天体的编号规则：
1）发射年份+四位编码;
2）四位编码前三位为阿拉伯数字，第四位为英文字母;
3）前三位数字不能同时为0；
4）英文字母不得选用I，O.
按照这样的编号规则, 2013年发射的人造天体，所有可能的编码有多少种?
23976练21.解决计数问题的基本方法：
2.选择两个原理解题的关键是：根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要，只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．列举法、两个计数原理“考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物等科目中自主选择．”2017高考改革方案③思考题： ①阅读作业：阅读教材P6—P10
②书面作业：课后练习P061，2； P101如果按照这样的报考要求，某位考生可以有多少种不同的选择？课后作业课件22张PPT。1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第二课时 计数原理的综合应用1．通过分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解决一些生活中的实际问题。
2．掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理，能说明两个计数原理的不同之处，能根据具体问题的特征、选择恰当的原理解决一些简单的实际问题，体现数学实际应用和理论相结合的统一美，经历从特殊到一般的思维过程；
3．体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 本节课是练习课的教学典范．通过典型丰富的实例，如汽车号码排序，DNA核糖核酸排序问题，电子计算机模块排序，二进制问题等引导学生在不断思考中利用两个计数原理解决问题；然后通过实例探究，归纳原理．得出先“两类”后“多类”，先“分类”后“分步”，先“加法”后“乘法”的逐步过渡，然后归纳小结引导学生在加法与乘法原理相互转化的过程中灵活运用两个计数原理.
最后，通过设置有关高考科目改革的热点思考题，为后继学习排列组合做好铺垫，激发学生进一步学习的欲望．1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法…，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法…，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.不同点：分类加法计数原理与分类有关，
分步乘法计数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题用来计算完成一件事的方法种数每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）相加相乘类类独立步步相依不重不漏缺一不可分类、分步、例1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？ 例2.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母A ～ G或U ～ Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：
第一步，选首字符；解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法 根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。例3.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据。……解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有种不同的RNA分子.例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由８个二进制位构成，问
（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？
（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？……如00000000，10000000，
11111111.解：（1）用图来表示一个字节.一个字节共有8位，每个字节上有两种选择.根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示2x2x2x2x2x2x2x2=28=256个不同的字符.
（2）所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用2个字节表示 .例5.计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？分析：整个模块的任意一条路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束。而第步可由子模块1或子模块2或子模块3来完成；第二步可由子模块4或子模块5来完成。因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测试的次数为：3 2=6。
如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。这样，测试整个模块的次数就变为
172+6=178（次）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172。例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现，３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照?分析：按照新规定，牌照可以分为两类，
即字母组合在左和字母组合在右.
确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤.解：牌照可以分为两类即字母组合在左和字母组合在右2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。 1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步，按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的基本方法。升华提高：1.将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_____种.练习解：1号方格里可填2,3,4三个数字，有3种填法.1号方格填好后，再填与１号方格内数字相同的号的方格，又有3种填法，其余两个方格只有1种填法.
所以共有3×3×1=9种不同的方法.（1）解：完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：
第一步 选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；
第二步 选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；
第三步 选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；
第四步 选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；
由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有
N=5×4×3×2=120（个）
2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？
（2）四位数？
（3）四位奇数？ （2） 解：完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：
第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种不同的选取方法；
第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字做百位数字，有4种不同的选取方法；
第三步 从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字，有3种不同的选取方法；
第四步 从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字，有2种不同的选取方法；
由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有
N=4×4×3×2=96（个）
2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？
（2）四位数？
（3）四位奇数？ (3)解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，
可以分四个步骤：
第一步 确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字, 有2种不同的选取方法；
第二步 确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法；
第三步 确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法；
第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法；
由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有
N=2×3×3 ×2 =36（个）.
2.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：
（1）银行存折的四位密码？
（2）四位数？
（3）四位奇数？ 2.其次分类要不重不漏，分步要步骤完整。
应用两个基本计数原理解题时应注意的问题：1.首先必须明确怎样就“完成这件事”？3.还须注意特殊元素（或特殊位置）优先安排以及是否重复等。课件34张PPT。1.2.1 排 列 首先通过2015年北京田径世锦赛在男子4 ×100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，他们四人上颁奖台有多少种站法引入本课内容，然后通过教材“从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动,其中1名参加上午的活动,其中1名参加下午的活动,有多少种不同的方法? ”引出课题。接着引出排列，排列数，排列数公式，阶乘等重难点内容，最后进行例题总结及练习。
知识掌握上，很多学生原有的知识储备不够，所以该课的内容应予以简单明白，深入浅出的分析，使学生更易理解知识.积极采用形象生动，形式多样的教学方法和学生广泛的积极主动参与的学习方式，定能激发学生兴趣，有效地培养学生能力，促进学生个性发展. 2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子4 ×100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，这也是亚洲队伍在世界大赛中取得最好成绩！讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？ 第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法根据分步计数原理：3×2=6 即共6种方法。把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１就可以叙述为： 从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb问题2：从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
第１步，确定百位上的数字，有4种方法
第２步，确定十位上的数字，有3种方法
第３步，确定个位上的数字，有2种方法
根据分步乘法计数原理，共有 4×3×2＝24 种不同的排法。如下图所示
有此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。同样，问题2可以归结为：
从４个不同的元素a，b，c，d中任取３个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;
bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;
cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;
dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.思考？上述两个问题的共同特点是？能否推广到一般？(1)有顺序的
(2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等推广到一般
排列：一般的，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列。排列问题实际包含两个过程：（1）先从n个不同元素中取出m个不同的元素。（2）再把这m个不同元素按照一定的顺序排成一列。注意：1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”。例1.下列问题中哪些是排列问题？（1）10名学生中抽2名学生开会（2）10名学生中选2名做正、副组长（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除（5）20位同学互通一次电话（6）20位同学互通一封信（7）以圆上的10个点为端点作弦（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线（9）有10个车站，共需要多少种车票？（10）安排5个学生为班里的5个班干部，每人一个职位？www.jkzyw.com哪些是全排列？√√√√√√2、排列数：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；“排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，记为 ,问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为 ，已经算出（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1．
（2）最后一个因数是n－m＋1．
（3）共有m个因数．观察排列数公式有何特征：排列数公式（1）：就是说，ｎ个不同元素全部取出的排列数，
等于正整数１到ｎ的连乘积，
正整数１到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，
用ｎ!表示，
所以ｎ个不同元素的全排列数公式可以写成 ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有另外，我们规定 0!＝1排列数公式（2）：说明：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。小结：【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定的顺序排成一列.
【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)
2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)
【排列数】所有排列总数排列数公式：常用于计算含有数字的排列数的值常用于对含有字母的排列数的式子进行变形和论证例2. 计算：=6！=6×5×4×3×2×1=720例3.解方程:（1）n=3 (2)m=6例4. 求证下列各式： 你能用学过的方法，举一实际的例子说明（1）、（2）吗？课堂练习:2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有 种不同的种植方法？244．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有（ ）
A.1种 B.3种 C.6种 D.27种3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有 种不同的方法？60C例5.某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是例 6.(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ = 5×4×3= 60被选元素可重复选取，不是排列问题！5×5×5= 125“从5个不同元素中选出3并按顺序排列”例7.用0到9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 特殊位置“百位”，特殊元素“0”特殊位置优先安排特殊元素优先考虑正难则反（间接法） 对于有限制条件的排列问题，必须遵循“特殊元素优先考虑，特殊位置优先安排”，并注意“合理分类，准确分步”，做到“不重不漏，步骤完整” ，适当考虑“正难则反” 。变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？有约束条件的排列问题排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列． 2015年北京田径世锦赛进入到第八比赛日的争夺。在男子4 ×100米接力决赛中，由莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌组成的中国队创历史的以38秒01的成绩获得亚军，这也是亚洲队伍在世界大赛中取得最好成绩！讨论：莫有雪、谢震业、苏炳添和张培萌上颁奖台有多少种站法？课件20张PPT。1.1.2 组合（1）使学生正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；???
（2）使学生掌握组合数的计算公式、组合数与排列数之间的关系；???
（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力； 本节课的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式。难点是解组合的应用题。本节课采用教材上的内容及编排顺序进行教学，突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的掌握和应用，并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。
为了突出重点、突破难点、实现教学目标，根据学生对事物的认识是从特殊到一般的认知规律，我将采取比较的教学方法。引导学生得到组合、组合数的概念，并理解排列与组合的区别与联系，使学生清楚地认识到，一个排列的问题的解决，可以化归为一个先组合，再全排列的问题，从而顺理成章地得到排列数与组合数之间的关系，并推导组合数公式，在这里体现转化的数学思想方法。在教学过程中，按照“实践－认识－再实践”认识过程，让学生通过“学习－练习－反馈－小结”的方式，使教学目标得以强化和落实。
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙 3有
顺
序无
顺
序 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 排列与组合的概念有什么共同点与不同点？ 组合定义:组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关. 组合是选择的结果，排列
是选择后再排序的结果.判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题组合是选择的结果，排列
是选择后再排序的结果.1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab , ac , bc 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合. ab , ac , ad , bc , bd , cd(3个)(6个) 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:组合数:探究：
与 有什么区别与联系？我们从具体问题分析 1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。abc ， abd ， acd ， bcd .组合排列abc bac cab
acb bca cbaabd bad dab
adb bda dbaacd cad dac
adc cda dcabcd cbd dbc
bdc cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？组合数公式: 排列与组合是有区别的，但它们又有联系．根据分步计数原理，得到：因此： 组合数公式: 从 n 个不同元中取出m个元素的排列数 例1：一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?例2：(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?（2)列出所有冠亚军的可能情况.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：变式练习2按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；课堂练习：2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。99CD排列课件31张PPT。1.1.3 排列组合的应用
（一）（1）使学生掌握组合数的计算公式、组合数???
（2）会用排列数公式和组合数公式解决实际问题.???
（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力. 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.
对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
3.排列数公式:4.组合数公式:1.排列的定义:排列与组合的区别与联系:与顺序有关为排列问题,与顺序无关的为组合问题. 有限制条件的排列组合综合问题是主要考查方向．解决此类问题要遵循“谁特殊谁_______”的原则，采取分类或分步，或用间接法处理；对于选排列问题可采用先____后______的方法，分配问题的一般思路是先__________再分配．有限制条件的排列组合问题优先选排选取有限制条件的排列组合问题常用方法一、直接法1.优限法：先特殊后一般2.捆绑法：元素相邻3.插空法：元素不相邻二、间接法（排除法）4.其它方法：元素限制条件多一、直接法有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为“优限法”.画龙点睛：特殊元素和特殊位置优先策略1.优限法：例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字
五位奇数. 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字
五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,
以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有________ 然后排首位共有______最后排其它位置共有_______位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。 （1）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。 （1）若其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？（2）若前排站三人，后排站四人，其中的A.B两小孩必须站前排且相邻，有多少种不同的排法？例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。变式1. 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（ ）.
（A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种解： 7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？练习题1例2. 七个家庭一起外出旅游，若其中四家是一个男孩，三家是一个女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。(3)若三个女孩要站在一起，有多少种不同的排法？捆绑法例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。(4)若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一起，有多少种不同的排法？相邻一、直接法2.捆绑法：用于解决元素相邻问题例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.变式1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻,
共有多少种不同的排法.
解：
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
捆绑法来解决问题.练习1.5个男生3个女生排成一排,3个女生
要排在一起,有多少种不同的排法? 例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（5）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？插空法例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。（5）若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？（6）若三个女孩互不相邻，四个男孩也互不相邻，有多少种不同的排法？互不相邻例2.七个家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，现将这七个小孩站成一排照相留念。一、直接法3.插空法：元素不相邻宜采用插空法变式1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 不同的方法,
由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种.
元素不相邻问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端变式1.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,
舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 . 30练习1:（1）三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？（2）三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？捆绑法：插空法：课堂练习:（3）用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有___________个．（用数字作答） （4）七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（ ）种.
(A)960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种解：另解：（5）学校组织老师学生一起看电影，同一排电影票12张。8个学生，4个老师，要求老师在学生中间，且老师互不相邻，共有多少种不同的坐法？解 先排学生共有 种排法,然后把老师插入学生之间的空档，共有7个空档可插,选其中的4个空档,共有 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 种.结论 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待.所涉及问题是排列问题.实际问题转化排列问题求排列数（建模）求数学模型的解得实际问题的解以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.有限制的排列问题限制条件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：(1)直接法1.优限法：先特殊后一般2.捆绑法：元素相邻3.插空法：元素不相邻（有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为“优限法” ）4.其它方法：元素限制条件多4.其它方法：元素限制条件多(1).定序问题倍缩空位插入策略(2).重排问题求幂策略(3).排列组合混合问题先选后排策略(4).元素相同问题隔板策略(5).平均分组问题除法策略(7).构造模型策略(8).实际操作穷举策略(6).合理分类与分步策略课件33张PPT。1.1.3 排列组合的应用
(二)（1）使学生掌握组合数的计算公式、组合数???
（2）会用排列数公式和组合数公式解决实际问题.???
（3）通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力. 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。
同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。
有限制的排列问题限制条件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：直接法1.优限法：先特殊后一般2.捆绑法：元素相邻3.插空法：元素不相邻（有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为“优限法” ）4.其它方法：元素限制条件多4.其它方法：元素限制条件多(1).定序问题倍缩空位插入策略(2).重排问题求幂策略(3).排列组合混合问题先选后排策略(4).元素相同问题隔板策略(5).平均分组问题除法策略(7).构造模型策略(8).实际操作穷举策略(6).合理分类与分步策略(1).定序问题倍缩空位插入策略例1.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种
不同的排法？ 解：（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种方法。 1思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再
把其余4四人依次插入共有 方法4×5×6×7练习题：期中安排考试科目9门,语文要在数学之前考,有多少种不同的安排顺序? (倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插入模型处理.(2).重排问题求幂策略例2.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分法，依此类推,由分步计数原理共有 种不同的排法。7 一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为 种. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们
到各自的一层下电梯,下电梯的方法
练习题:(3).排列组合混合问题先选后排策略例3.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少
装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有 种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有 种方法.根据分步计数原理装球的方法共有 .解决排列组合混合问题,先选后排是最基本
的指导思想.练习题:一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种.192(4).元素相同问题隔板策略例4.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,
有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用 块隔板，插入n个元素排成一排的 个空隙中，所有分法数为 .m-1n-1练习题: 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个，有多少装法？(5).平均分组问题除法策略例5. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解: 分三步取书得 种方法,
但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF.
若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF,
该分法记为(AB,CD,EF),则 中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB) (EF,CD,AB),
(EF,AB,CD)共有 种取法 ,
而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,
故共有 种分法。平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。1. 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为 . 练习题: 练习题:3.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 ?（1540）(6). 合理分类与分步策略例6.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能够唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员 种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有 种，由分类计数原理共有 种。
本题还有如下分类标准：
1.以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
2.以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
3.以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素
的性质进行分类，按事件发生的连续过程分
步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不
漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的
始终。 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 .34 练习题:(7).构造模型策略例7.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有_______种.一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决.练习题:某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右
两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120(8).实际操作穷举策略例8.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法?解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2 种.
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用
公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状
图会收到意想不到的结果.练习题:1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后
每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的
分配方式有多少种？(9)2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 种.721.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，
若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法
共有 . 34 练习题:2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.27二、间接法（排除法）（先不考虑限制条件，算出所有的排列数，再从中减去不符合条件的排列数）例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三 个数，
使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？画龙点睛：正难则反总体淘汰策略例9.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法.这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有 ,只含有1个偶数的取法有 ,和为偶数的取法共有 .
再淘汰和小于10的偶数共 .符合条件的取法共有 .9有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.变式1：用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复
数字的三位数，其中1不在个位的数共有_______种。对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的减去，此时应注意既不能多减又不能少减。变式2:某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?解:43人中任抽5人的方法有 种,正副班长,团支部书记都不在内的抽法有 种,所以正副班长,团支部书记至少有1人在内的抽法有 种.结论——去杂法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中排除.分析:此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化计算过程.（1）三个男生，四个女生排成一排，甲不在最左，乙不在最右，有几种不同方法？练习：间接（2）五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙 不站第二个位置，那么不同的站法有（ ）.
A.120 B.96 C.78 D.72 （3）6个同学和2个老师排成一排照相， 2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？”实际问题转化排列问题求排列数（建模）求数学模型的解得实际问题的解有限制的排列问题限制条件：某位置上不能排某元素或只能排某元素常用方法：(1)直接法（2）间接法（排除法）1.优限法：先特殊后一般2.捆绑法：元素相邻3.插空法：元素不相邻（有特殊元素或特殊位置，通常先排特殊元素或特殊位置，称为“优限法” ）（先不考虑限制条件，算出所有的排列数，再从中减去不符合条件的排列数）4.其它方法：元素限制条件多4.其它方法：元素限制条件多(1).定序问题倍缩空位插入策略(2).重排问题求幂策略(3).排列组合混合问题先选后排策略(4).元素相同问题隔板策略(5).平均分组问题除法策略(7).构造模型策略(8).实际操作穷举策略(6).合理分类与分步策略课件21张PPT。1.1.1 二项式定理
第一课时1.理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。
2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。 本节课从若干天后是星期几这个问题导入，其间贯穿启发式教学原则。以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。
授课对象是高二学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，不应只重视定理、公式的结论，而应该重视其形成过程。(1)今天是星期一，那么7天后的这一天是星期几呢?(2)如果是15天后的这一天呢？（星期二）（星期一）问题：回顾：展开下面式子(a+b)2＝ (a+b) (a+b)
展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数.
考虑b:
每个都不取b的情况有C20 种,则a2前的系数为C20
恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21
恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22对(a+b)2展开式的分析尝试二项式定理的发现:尝试二项式定理的发现:尝试二项式定理的发现:每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,则an前的系数为Cn0
恰有1个取b的情况有Cn1种，则an-1b前的系数为Cn1
恰有2个取b的情况有Cn2 种，则an-2b2前的系数为Cn2
......
恰有k个取b的情况有Cnk 种，则an-kbk前的系数为Cnk
......
恰有n个取b的情况有Cnn 种，则bn前的系数为Cnn尝试二项式定理的发现:将(a+b)n展开的结果是怎样呢？ 发现规律：对于归纳提高 引出定理，总结特征展开式二项式系数r+1n+1二项式定理 2.系数规律：3.指数规律：（1）各项的次数均为n；即为n次齐次式
（2）a的次数由n逐次降到0，
b的次数由0逐次升到n.1.项数规律：展开式共有n+1个项二项式定理 特别地: 1、把b用-b代替对定理的再认识2、令a=1，b=x尝试二项式定理的应用：例1：思考： 尝试二项式定理的应用：解:（1）例2. 用二项式定理展开下列各式：例3.求（x+a)12的展开式中的倒数第4项.解:二项式定理的应用：课堂练习:课堂练习:解:3.课堂练习: ①项数：共n+1项,是关于a与b的齐次多项式
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。-1）注意二项式定理 中二项展开式的特征2）区别二项式系数，项的系数3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项课件34张PPT。1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质1.了解杨辉三角的简单历史，理解二项式系数的性质，应用性质解决一些简单问题． 2.根据本节课的内容和学生的实际水平，通过对二项式系数表（杨辉三角）的观察猜想、归纳出二项式系数的性质. 为了实现本节课的教学目标，在教法上采用“观察、猜想、归纳、论述、证明、合作交流”的方法。多给学生一点空间、时间, 由学生观察、探究与交流. 提高归纳猜想能力及表达能力,使学生获得较全面的发展。让学生通过对低阶杨辉三角的观察,猜想并归纳出二项式系数的性质。 本节课从杨辉三角出发，直观地认识二项式性质，构造函数 . 利用函数的思想理解二项式系数的对称性、增减性及最大值，并加以严格的证明，按知识的逻辑关系来编排内容。二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn展形式的第k+1项为Tk+1=Cnkan-kbk计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表：对称性议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?a).表中每行两端都是1。b).除1外的每一个数都等
于它肩上两个数的和。4+6=10当n不大时，可用该表来求二项式系数。总结提炼1:对称总结提炼2: 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大知识探究3:①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1
②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1杨辉三角《九章算术》杨辉《详解九章算法》中记载的表杨辉三角 类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角.在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.二项式系数的性质①对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．图象的对称轴：二项式系数的性质②增减性与最大值 由于：二项式系数的性质由： 二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 ②增减性与最大值 二项式系数的性质②增减性与最大值 二项式系数的性质③各二项式系数的和 这是组合总数公式． 二项式系数的性质例1.证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。特值法1.( 1-x ) 13 的展开式中系数最小的项是( )
(A)第6项 (B)第7项 （C）第8项 (D)第9项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 （ ）
(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 － 1CD练习4或5例2例2例2-2-10941093练习:小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和
可以先赋值，然后解方程组整体求解例3:在(3x -2y)20的展开式中，求系数最大的项;杨辉三角的其它规律第0行 11、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 11第n行11…… ……… ……………… … … 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 杨辉三角的第2k-1行(k是正整数)的各个数字都是奇数（质数的积）第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 11第n行11…… ……… ……………… … … 第7行 1 7 21 35 35 21 7 12、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有数，则行数P是 质数(素数)思考1求证:证明：∵倒序相加法 试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法.思考1: 求证:思考2 1.当n?10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;
2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;
3.常用赋值法解决二项式系数问题.
