课件24张PPT。
第1章 导数及应用
1.1.1 变化率问题变化率问题内容：函数平均变化率的概念,求函数平均变化率的一般步骤.应用求函数在某区间上的平均变化率求函数在某点附近的平均变化率 本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化率的重要性。
在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹，他们分别从运动学和几何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．导数研究的问题 变化率问题 气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么我们来分析一下:当V从0增加到1时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?高台跳水请计算h(t)=-4.9t2+6.5t+10(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运
动状态.计算运动员在 这段时间里的平均速度，
并思考以下问题：虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止．平均变化率定义:若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为这里Δx看作是对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子 表示
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
1.△x是一个整体符号，而不是△与x相乘；
式子中△x 、△ y的值可正、可负，
但△x值不能为0，△y的值可以为0;
因此，平均变化率可正，可负，也可为零；2.若函数f(x)为常函数时，△y=0 3.变式观察函数f(x)的图象平均变化率
表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率54.1【例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，
4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差为 15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感叹．这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”．问题：当自变量表示由3月18日开始计算的天数，表示气温，记函数表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情况应当怎样表示？2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.A口诀：一差、二化、三极限1.函数的平均变化率课件24张PPT。1.1.2 导数的概念导数的概念内容：利用导数的概念求导数应用求函数在某处的导数求函数在某点附近的平均变化率 本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化率的重要性。
在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。平均变化率 一般的，函数 在区间上 的平均变化率为 其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。
复习： 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h
（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系
h=-4.9t2+6.5t+10求ｔ＝2时的瞬时速度？我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.
当△ｔ＜0时，在2之前；
当△ｔ＞0时，在2之后。当△t = – 0.01时,当△t = 0.01时,当△t = – 0.001时,当△t =0.001时,当△t = –0.0001时,当△t =0.0001时,△t = – 0.00001,△t = 0.00001,△t = – 0.000001,△t =0.000001,………… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?１、函数的平均变化率怎么表示？定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即导数的作用：在问题2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；在问题1中，我们用的是平均膨胀率，那么
半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率.导数可以描绘任何事物的瞬时变化率由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的
基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.
自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形
式,Δy也必须选择与之相对应的形式.一差、二商、三极限例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. 求函数在某处的导数例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度. (1)求函数y=x2在x=1处的导数;
(2)求函数 在x=2处的导数.
计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时
变化率，并说明它们的意义。这说明:
在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。1.求物体运动的瞬时速度：
(1)求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
(3)求极限2.由导数的定义可得求导数的一般步骤：
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)
(2)求平均变化率
(3)求极限1803课件25张PPT。
第1章 导数及应用
1.1.3 导数的几何意义导数的几何意义内容：切线的新定义、导数的几何意义及利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程应用根据导数的定义求导数值求曲线在某点处的切线方程 本课主要学习理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解.通过多媒体课件的直观演示，引导学生通过观察，思考，发现并归纳导数的几何意义．通过对例题和练习题的探究完成知识的迁移．并通过设置思考题为学生进一步探讨导数的应用指出方向．重点是理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，体会数形结合、以直代曲的思想．难点是发现、理解及应用导数的几何意义；对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解；运用导数的几何意义解释函数变化的情况．
针对上述内容给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用导数的几何意义的重要性。通过设置难易不同的必做和选做作业题，对不同的学生进行因材施教。1.平均变化率
一般地，函数 在区间上 的平均变化率为 割线的斜率f(x2)-f(x1)=△y2.导数的概念3.求函数 在 处的导数的步骤（1）求平均变化率（2）取极限提出问题 导数的几何意义http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ppt_playVideo.action?mediaVo.resId=54800cd9956ed1ed6016a1c2动画演示02:50-03:40P相切相交PPn割线切线T曲线在点P处切线的定义当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.M△x△y割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？即：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，思考 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 .
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:导数的几何意义 导函数的定义根据导数的几何意义:
当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是上升的，即函数在这点附近是单调递增；
当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是下降的，即函数在这点附近是单调递减．课件21张PPT。
第1章 导数及应用
1.2.1 几个常用函数的导数几个常用函数的导数内容：根据导数的定义求四个常用函数的导数应用根据导数定义求出函数的导数求曲线在某点处的切线方程 本课主要学习根据导数定义求出几个常用函数的导数,利用地球脉动视频引入新课,以“问题引导，探究交流”为主，新知识是学生在已有知识的基础上探究而来，例题的处理非常灵活，变式训练设计合理，过渡有水到渠成之感，整堂课下来充实流畅.
在讲述利用导数求切线方程时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过2个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，有利于对不同的学生进行因材施教。1.导数的定义是什么？2.导数的几何意义是什么？地球的变幻—导数与函数的变幻地球脉动函数 y = f (x) =c 的导数y?=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于时间的函数,则y?=0则为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.从几何的角度理解：从物理的角度理解：函数 y= f (x)=x 的导数y?=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,则y?=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.从几何的角度理解：从物理的角度理解： 函数 y = f (x) = x2 的导数y? =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,
说明随着x的变化,切线的斜率也在变化.从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y?=2x表明: 当x<0时,随着x的增加,y=x2减少得越来越慢; 当x>0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快.从几何的角度理解：从物理的角度理解：若y=x2表示路程关于时间的函数,则y?=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x. 函数 y = f (x) = 的导数画出函数 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.例1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?(2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢?(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关?例2．已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程．问题3：如何求这条切线方程？
本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？2．思想：归纳概括思想、类比思想、数形结合的思想．课件26张PPT。第1章 导数及应用
1.2.2 基本初等函数的导数公式
及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则内容：基本初等函数的导数公式及导
数的运算法则应用求函数的导数函数的导数在生活中的应用求复合函数的导数 本课主要学习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.以分形与函数的动画为引子，在复习导数的几何意义、四种常见函数的导数的基础之上，学习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，平时研究的函数不会仅限于基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究导数．层层深入，由易到难，探讨什么是复合函数、复合函数的构成及复合函数的求导法则等．
为了巩固新知识，探究了4个例题，采用例题与变式训练相结合的方法，一例一练。本课内容是导数的关键部分，对后面更深地研究导数起着至关重要的作用。为此，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。
1.导数的几何意义?导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率.2.导数的物理意义?导数的物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.3.导函数的求解公式是什么？ 导函数的求解公式是： . 分形与函数4.四种常见函数的导数及应用： 上述四个函数是
哪类初等函数？
导数有什么规律？思考幂函数基本初等函数的导数公式常函数幂函数 几个基本初等函数的导数的区别
（1）注意区别 与 的导数的区别：
（2） 与 导数的区别与联系：（3）以e为底的指数函数的导数是其本身，以e的对数函数的
导数是反比例函数（这有点特殊）；（5）要特别注意指数函数、对数函数的求导中，以e为底的是以
为底的特例.（4）以 为底的指数函数或对数函数的导数较为难记，要格外注
意它们都有 这个部分，只是对数函数的导数中 在分母上；导数的运算法则法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:由法则2:【例3】求下列函数的导数：(3)函数y＝5log2(2x＋1)可以看成函数y＝5log2u和函数u＝2x＋1的复合函数．1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则；
2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.（一）书面作业
必做题
P18 习题1.2 A组 5,6,7题 B组 2题选做题解：?设切点为 .?因为点 不在曲线 上 课件40张PPT。
第1章 导数及应用
1.3.1 函数的单调性与导数函数的单调性与导数内容：利用导数研究函数的单调性应用利用导函数判断原函数大致图象利用导数求函数的单调区间从导数的角度解释增减及增减快慢的情况有关含参数的函数单调性问题本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题，通过探究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的速度v随时间t变化的函数关系，再结合具体函数，探究函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的情况及含参数的函数单调性问题．重点是利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间．
采用例题与变式练习相结合的方法，通过4个例题探讨利用导数研究函数的单调性问题。随后是5道课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。动画剪纸之对称性 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.
通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?创设情景:复习引入：一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于
区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.(2)作差f(x1)－f(x2) (作商)2．用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2∈D，且x1< x2.(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较)(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)结论
3.研究函数的单调区间你有哪些方法?（1）观察法:观察图象的变化趋势;
（2）定义法: 4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.定义法单增区间：(２，+∞).单减区间：(－∞，２).图象法5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数? 提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?
(2)能用单调性的定义吗?
试一试,提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了?（产生认知冲突）发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．引导：随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小? 如图（1）,它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,
图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数
的图象.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?通过观察图象,我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间
t的增加而增加,
即h(t)是增函数.相应地, ．（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间
t的增加而减少,
即h(t)是减函数.相应地, ．函数的单调性可简单的认为是：说明函数的变化率可以反映函数的单调性，
即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与导数有什么关系呢?
观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系 2.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,
即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.
函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.如果 ,
那么函数 在这个区间内单调递增;
如果 ,
那么函数 在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.结论：在某个区间(a,b)内,函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性的关系是： 一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
则函数在该区间 如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.如果f′(x)<0, 则f(x)在这个区间为增函数;则f(x)在这个区间为减函数.如果f′(x)>0, 函数的单调性与导数的关系: 若f(x)在区间(a,b)上是增函数,
则转化为 在(a,b)上恒成立;
若f(x)在区间(a,b)上是减函数,
则转化为 在(a,b)上恒成立.例1、已知导函数的下列信息：试画出函数f(x)图象的大致形状。 利用导函数判断原函数大致图象解:大体图象为已知导函数的下列信息：试画出函数f(x)图象的大致形状。 利用导数求函数的单调区间例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间． 根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数f′(x)3.解不等式f′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.利用导数判断函数单调性及求单调区间应注意的问题：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间．
（2）在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还有注意在定义域内不连续点和不可导点．
（3）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间中间不能用“ ”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开．例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO 从导数的角度解释增减及增减快慢的情况解: (1)→(B),(2) →(A),(3)→(D),(4) →(C) 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓 . 有关含参数的函数单调性问题 (1)函数的单调性与导数的关系;
如何从导数的角度解释增减及增减快慢的情况;数学知识：(2)求解函数y=f(x)单调区间的步骤:
①确定函数y=f(x)的定义域（养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）;
②求导数f′(x);
③得结论: f′(x)>且在定义域内的为增区间; f′(x)<0且在定义域内的为减区间．
数学思想：数形结合和转化思想．(3)由函数在(a,b)上的单调性,求参数的取值范围:
若f(x)在区间(a,b)上是增函数,
则转化为f′(x)≥0在(a,b)上恒成立;
若f(x)在区间(a,b)上是减函数,
则转化为f′(x)≤0在(a,b)上恒成立.
然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0.必做题1.求下列函数的单调区间： 选做题 课件23张PPT。3.3.1 导数与函数的单调性本课时要求学生理解函数单调性与导数的关系，会求函数的单调区间，而这种关系的基本思想是数形结合。由于学生刚刚接触导数的应用，所以他们在利用导数研究函数的单调性、求单调区间的水平上都还有一定的差距。
学生已有的基础是基本初等函数的图像和性质，之前又学习了导数的概念、计算、几何意义等内容。所以，在知识储备方面，学生已经具备足够的认知基础，因此要充分利用这些基础，本节课的教学思路是由“形”到“数”，再由“数”到“形”的数形结合思想。综上，本节课的教学重点是：利用导数判断函数的单调性，会求函数的单调区间；教学难点是：探索函数单调性与导数的关系.问题1．函数单调性的定义是什么？问题2．导数的定义与几何意义是什么. 几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f?(x0),
就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率.用定义法判断函数单调性的步骤：（1）在给定区间内任取x1（2）作差f(x1)-f(x2);
（3）变形;
（4）判断符号;
（5）下结论。 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，是否有更为简捷的方法呢？
问题1．函数单调性的定义是什么？问题2．导数的定义与几何意义是什么. 几何意义：函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f?(x0),
就是曲线y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率. 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，是否有更为简捷的方法呢？
于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？下面我们就研究单调性与导数有什么关系?（1）自主探究，大胆猜想
分析下列函数的单调性与其导数正负的关系并完成下表：
观察函数 的图像，分析函数单调性与其
导数正负的关系（2）追踪成果，深入探究问题2：还可以用其他方法表示吗？ 问题3：结合上一章的变化率，观察这个式子和变化率有什么联系呢？（3）深入思考，揭示本质问题4：既然是“任取”，那么我们干脆把两个点无限靠近，大家觉得可以得到什么.瞬时变化率，就是某点切线的斜率，也就是区间内任意一点处的导数都大于零. （3）深入思考，揭示本质几何画板演示1. 函数单调性与其导数正负的关系：函数 为常函数.[思路点拨] 利用函数单调性与导数间的关系进行判断．
练习：求下列函数的单调区间.2.利用导数求函数单调区间的一般过程： 先求函数f(x)的定义域
函数单调性决定了函数图像的大致形状，如何根据导数信息来画函数的简图呢？例3、已知函数f (x)的导函数f ' (x)满足下列信息：试画出函数f (x)图像的大致形状. A变式练习1：已知函数f(x)的导函数 的图像如下图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是 ( )A 问题1：函数的单调性与其导函数正负有什么关系？
问题2：我们在探究函数单调性与导数的关系时，
用了哪些思想方法？
问题3：怎样利用导数求函数的单调区间，需要注意什么？
课件33张PPT。1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数内容：函数极值的概念及其与
导数的关系应用求函数的极值给函数的极值求函数的解析式给函数的极值求函数的单调区间 本课主要学习函数的极值与导数。以视频摆锤极限转动最高点引入新课，接着探讨在跳水运动中,运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的函数图象，从图象的增与减定义函数极大值的概念，类似地借助函数图象定义函数极小值的概念，探讨判断函数极值的方法和步骤。重点是理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值，掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法.难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．为了巩固新知识，给出3个例题和变式，通过解决问题说明导数在求函数极值问题中的应用。
在讲述函数的极值与导数时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1探讨求已知函数极值的方法。例2和变式2、例3和变式3都是利用已知的极值点求函数的解析式或函数的单调区间。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解导数在求函数极值中应用。
通过观看视频，大家一起讨论一下摆锤极限转动最高点问题.摆锤极限转动最高点 跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系
h(t)=-4.9t 2+6.5t+10其图象如右.单调递增单调递减对于d点,
函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附
近其他点的函数值都小， =0.在点x=d 附近的左侧 <0
在点x=d 附近的右侧 >0我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点，
f(d)叫做函数y=f(x)的极小值.在点 x=e 附近的左侧 >0
在点 x=e 附近的右侧 <0对于e点，
函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比在其附
近其他点的函数值都大， =0 。我们把点e叫做函数y=f(x)的极大值点，
f(e)叫做函数y=f(x)的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点极小值、极大值统称为极值极大值一定大于极小值吗？不一定观察图像并类比于函数的单调性与导数关系的研究方法,看极值与导数之间有什么关系?f?(x) >0f?(x) =0f?(x) <0极大值f?(x) <0f?(x) =0极小值f?(x) >0请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？左正右负为极大，右正左负为极小函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( )
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值
C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值D例1、求函数f(x)=x3-12x+12的极值.解： =3x2-12=3(x-2)(x+2)令 =0得x=2,或x=-2下面分两种情况讨论：(1)当 >0即x>2,或x<-2时;(2)当 <0即-2 并且极大值为f(-2)=28当x=2时，f(x)有极小值，
并且极小值为f(2)=-4图象如右练习1、求函数f(x)=6+12x-x3的极值. =12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x)一般地,求函数的极值的方法是:
解方程 =0.当 =0时.
①如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极小值.即“峰顶”即“谷底”例2、已知函数f(x)=ax3+bx2-2x在x=-2,x=1处取得极值：
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间。解：(1) =3ax2+2bx-2因为f(x)在x=-2,x=1处取得极值，
所以 解得 =3ax2+2bx-2即f(x)=ax3+bx2-2x(2) =x2+x-2由 >0,得x<-2或x>1,
所以f(x)的单调增区间为(-∞,-2) ∪(1,+∞)由 <0,得-2所以f(x)的单调减区间为(-2,1)探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?若寻找可导函数极值点,可否只由
f?(x)=0求得即可?f?(x)=3x2 当f?(x)=0时，x=0，而x=0不是该函数的极值点.f?(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数f(x)的极值点 f?(x0) =0注意：f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件导数值为0的点一定是函数的极值点吗？例3:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:(1)设a>0,列表如下:由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a<0,列表如下:由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值
为10,求a、b的值.解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得 或当a=-3,b=3时, ,此时f(x)在x=1处无
极值,不合题意.当a=4,b=-11时,当-11/31时, ,此时x=1是极值点.从而所求的解为a=4,b=-11.一般地,求函数的极值的方法是:
解方程 =0.当 =0时.
①如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极小值.即“峰顶”即“谷底”A注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别必做题:2.函数 在 时有极值10，
则a，b的值为（ ）
A. 或
B. 或
C.
D. 以上都不对 C注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验 3.求下列函数的极值: 1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，
又有极小值，则a的取值范围为 .注意：导数与方程、不等式的结合应用选做题:略解：(1)由图像可知：(2)注意：数形结合以及函数与方程思想的应用课件34张PPT。1.3.3 函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数内容：利用导数研究函数的最大（小）值应用:1.求函数的最大值和最小值2.已知函数的最值求函数的解析式3.利用导数和不等式恒成立问题求参数的取值范围. 本课主要学习利用导数研究函数的最大（小）值。以视频世界上最长的荡秋千线最高、最低点引入新课。通过合作交流，使学生发现并掌握极值与最值的区别与联系，感受领会从数到形的探究过程。接着讲述某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件。针对定理所解决的三类问题给出4个例题和变式，通过解决问题巩固新知，强调利用导数研究函数最值问题的重要性。
在讲述利用导数研究函数最值时，采用例题与变式结合的方法，通过例1、例2和变式巩固掌握求已知函数在闭区间的最值的方法。例3及变式，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力；而例4是与函数最值有关的恒成立问题，说明思路的由来过程，开阔了学生的思路．通过观看视频，大家一起讨论一下荡秋千线最高、最低点问题.世界上最长的荡秋千线最高、最低点f '(x)>0f '(x)<0问题1：函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，f(x)为增函数f(x)为减函数问题2：函数的极大（小）值的概念设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称 为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点
（1）确定函数的定义域
（2）求函数的导数f’(x)
（3）求方程f’(x)=0的根,找到临界点
（4）解不等式并列成表格
（5）求出极值
问题3:求函数的极值的方法与步骤左正右负极大值，左负右正极小值问题4: 观察下列图形,你能找出函数的极值吗？观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值.在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.问题1：这个函数f(x)在区间[a,b]上有极值吗？
问题2：指出它的极值点有哪些，并分别说明是极大值点还是极小值点．
问题3：f(x)在[a,b]上存在最值吗？你觉得它的最小值和最大值分别在哪里取得？
问题4：你是如何得出最大（小）值的？观察下面一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)的图象．观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 例如:已知函数 ，求f(x)在
区间[0,3]上的最大值和最小值．例如:已知函数 ，求f(x)在
区间[0,3]上的最大值和最小值．问题1：你能否自己画出这个函数的图象，再通过画出的图象确定函数的最值呢？
问题2：你的作图是否准确无误呢？如果作图出现较大的误差，会不会影响到你的判断？
问题3：假设你的作图准确度很高，你觉得每次都这么去作图是否很方便？
问题4：有没有更好的办法，使我们不用作图就能准确的求出任意一个函数的最值呢？
问题1：你是如何理解“连续不断的曲线”的？
问题2：给定函数的区间[a,b]能否改为(a,b)？通过以上的思考，你能否给出某函数在一个确定的闭区间上存在最值的条件呢？观察下列图形,你能找出函数的最值吗？在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值问题3：你能说出函数的极值与最值有什么区别与联系吗？
(1)“最值”是整体概念，而“极值”是个局部概念．
(2)从个数上看，一个函数在给定定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一，也可能没有．
(3)若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．
(4)极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．一般的如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。由上面函数f(x)的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了. 例1.已知函数 ,求f(x)在区间[0,3]上的
最大值和最小值． (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个最小值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；1.求出所有导数为0的点；2.计算；3.比较确定最值。 求函数的最大值和最小值求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:令 ,解得x=-1,0,1.当x变化时, 的变化情况如下表:从上表可知,最大值是13,最小值是4.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值).例3.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最小值-37,
(1)求a的值；
（2）求f(x)在[-2,2]上的最大值．已知函数f(x)=ax3-6ax2+b，问是否存在实数a、b，
使f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29？若存
在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由． 例4．设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(t>0)
（1）求f(x)的最小值h(t)；
（2）若h(t)<-2t+m对(0本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？
学生作答：
1．知识：
（1）极值与最值的区别与联系：
（2）利用导数求函数的最值的步骤：
2．思想：归纳概括思想、数形结合思想．
教师总结：在学习新知时也用到了前面所学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．DAA必做题:4.函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的最大值为（ )
(A)-4 (B)0 (C)16 (D)20C1.函数 y = x3 + 3 x2－9x在 [－4 , 4 ]上的最大值为 ,
最小值为 .分析: (1) 由 f ′(x)=3x2 +6x－9=0,(2) 区间[－4 , 4 ]端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－576-5当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：比较以上各函数值，可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为
f (4) =76，最小值为 f (1)=－5选做题:反思：本题属于逆向探究题型
其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 3. 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值. 故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3，
最大值为11，最小值为2 解法二:f ’(x)=2x-4令f ’(x)=0，即2x-4=0，得x=2-+3112解法一:将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理课件26张PPT。1.4 生活中的优化问题举例（1）生活中的优化问题举例
内容：生活中的优化问题应用:1.海报版面尺寸的设计2.圆柱形饮料罐的容积为定值时,所用材料最省问题 3.饮料瓶大小对饮料公司利润有影响 本课主要学习生活中的优化问题。以生活中的实际问题引入新课。本节课设计从易到难，由浅入深地发现身边的“数学”，特别是对采用一题多解，一题多变的变式教学，有利于培养学生思维的广阔性与深刻性。遵循“提出问题----分析问题----解决问题”的思维过程，注重引导学生，了解背景、思考推理、数学建模等活动。本课给出3个例题和变式，通过解决这些问题，培养学生数学建模的能力。
采用例题与变式结合的方法，通过例1探讨如何设计海报的尺寸，使空白面积最小；例2是饮料罐的容积为定值时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省；例3是饮料的利润最大问题．通过这些问题的解决，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将实际问题转化为数学问题的能力.问题1:学校宣传海报比赛，要求版心面积128dm左右边距1dm上下边距2dm，请问你将如何设计？ 问题2：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们的价格如下表所示，则
（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？运用什么知识解决优化问题 一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的
曲线，则求f (x) 的最值的步骤是：（1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较，
其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点，
则这个极值一定是最值。例1：海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？图3.4-1 因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，
当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。解法二：由解法(一)得练习1.一条长为 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，
要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？则两个正方形面积和为由问题的实际意义可知：例2:某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解 :设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为 又 ( 定值),即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答 ：罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?
是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们
的价格如下表所示，则
（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？例3： 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，
（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ -+减函数↘增函数↗-1.07p解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增，
即半径越大，利润越高；
当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减，
即半径越大，利润越低．1.半径为２cm 时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，
此时利润是负值。２.半径为６cm时，利润最大。由上述例子，我们不难发现，解决优化问题的基本思路是：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。优化问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案解决优化问题的一般步骤：(1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，
找出问题的主要关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，
建立相应的数学模型；(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数
学方法求解； (4)对结果进行验证评估，定性定量分析，做出正确的
判断，确定其答案。注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。习题1.4
A组 2, 5, 6必做题:
1.已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为, 价格p与产量q的函数关系式为 ,求产量 q 为何值时，利润 L 最大？选做题:分析:
法一:这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决. 法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决课件24张PPT。1.4 生活中的优化问题举例（2）生活中的优化问题举例
内容：生活中的优化问题应用:1.磁盘的最大储存量问题2.成本最省问题 本课主要学习生活中的优化问题。以复习上节课内容引入新课。通过合作交流，使学生发现如何使磁盘的储存量最大、成本最省问题，感受生活中的数学问题。本课给出2个例题和变式，通过解决这些问题，使学生熟悉利用导数解决生活中最优化问题的一般方法。突破将实际问题转化为数学问题，根据实际利用导数解决生活中的优化问题这一难点。
本课采用例题与变式结合的方法巩固新知，例1是磁盘的最大储存量问题；例2是成本最省问题。通过学习使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，尝试数学建模的方法和导数在解决实际问题中的作用，体会导数的工具性．通过对生活中优化问题的探究过程，培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣．问题1：上节课我们学习过的海报板面设计问题、利润,问通常采取什么方法解决这一类问题呢？
问题2：这些问题的共同点是什么？
问题3：这些实际生活的问题能否用数学方法来解决？与哪部分数学知识有关？
问题4：求函数最值的方法和步骤是什么？要用到哪些工具？
问题5：在实际问题中求函数的最值还应该注意什么？磁盘的最大存储量问题问题：
（1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？
（2）你知道磁盘的结构吗？
（3）如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？
下面我们就来研究一下磁盘的最大存储量问题．成本最省问题变式训练2：一艘船的燃料费与船速度的平方成正比，如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费是80元．已知船航行时其他费用为480元/小时，在20km航程中，船速多少时船行驶总费用最省？此时每小时费用等于多少？1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？3．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大 课件47张PPT。1.5.1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积内容：应用求曲边梯形的面积四个步骤“以直代曲”和“无限逼近”思想 本课主要学习曲边梯形面积的求法及“以直代曲”和“无限逼近”思想。以金门大桥的图片引入新课。给出了曲边梯形的定义，体会割圆术的基本思想。通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤: 分割→近似代替→求和→取极限。在求曲边梯形面积的过程中，通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
本课属于概念课，通过探索求曲边梯形面积的四个步骤，深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。本课在讲了一个经典案例之后给出一个课堂检测，巩固曲边梯形面积的求法。金门大桥 （美国）微积分在几何上有两个基本问题:1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。直线几条线段连成的折线曲线？和曲线 所围成的图形称为曲边梯形. 曲边梯形的定义：由直线 概念形成 看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？∟∟思维导航不规则的几何图形可以分割成
若干个规则的几何图形来求解魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?思维导航-----割圆术魏晋时期的数学家刘徽的割圆术“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”——刘徽刘徽的这种研究方法
对你有什么启示?
“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到——刘徽刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
以“直”代“曲”
无限逼近案例探究 如何求由直线 与抛物线
所围成的平面图形的面积 S？思考1：怎样“以直代曲”？
能整体以“直”代“曲吗？
思考2：怎样分割最简单？
方案1方案2方案3为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲”. y = f(x)用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得A ? A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得A ? A1+ A2 + ? ? ? + An 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为分割越细，面积的近似值就越精确.当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程分割把区间[0，1]等分成n个小区间：过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作 近似代换求和取极限分割近似代换求和取极限分割，求和，取极限 当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值点击演示通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细，各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大，这就是一个求极限的过程.
（1）在分割时一定要等分吗？不等分影响结果吗？
（2）在近似代替时用小区间内任一点处的函数值影响结果吗 ？
（3）总结一般曲边梯形面积的表达式？两个结论1.在分割时，不管采用等分与不等分，结果一样。 2.在近似代替时，用小区间内任 一点处的函数值作为近似值，结果也是一样的。一般曲边梯形的面积的表达式 以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：1.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积.(2)近似替代
以每个区间的左端点的函数值为高作n个小矩形,当n很大时,用这n个小矩形的面积和近似替代曲边梯形的面积S;(3)求和(4)取极限即曲边梯形的面积为求一个具体曲边梯形的面积 方案一、方案二、方案三 分割、近似代替、求和、求极限 “以直代曲”和“无限逼近”思想 有位成功人士曾说过：“做事业的过程就是在求解一条曲线长度的过程。每一件实实在在的小事就是组成事业曲线的直线段。”想想我们的学习过程、追求理想的过程又何尝不是这样？希望大家能用微积分的思想去学习、去做事！
观察以下演示，注意当分割加细时，
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矩形面积和与曲边梯形面积的关系。返回课件26张PPT。1.5.2 汽车行驶的路程汽车行驶的路程内容：汽车行驶的路程应用:1.求汽车行驶的路程2.“以不变代变”和“无穷逼近”思想 本课主要学习求汽车行驶的路程过程步骤：分割、近似代替、求和、取极限。以汽车行驶的图片引入新课。通过合作交流，对求汽车行驶的路程过程的“四步曲”这一过程和“以不变代变”这一思想的理解.探寻将变速问题转化为小区间上的匀速问题，及“以不变代变”和“无穷逼近”的数学思想的运用.探索如何运用每个小区间上的任一点处的速度代替整个小区间上的速度.
本课选用了一个例题和一个练习，以次来巩固求汽车行驶的路程过程步骤和“以不变代变”和“无穷逼近”的数学思想，为由求变速直线运动的路程问题探寻定积分的概念做好铺垫.1.用极限逼近思想求曲边梯形面积的基本步骤是什么？ 分割→近似代替→求和→取极限2.若已知物体的运动路程s与时间t的函数关系：s＝f(t)，如何求物体在某时刻t0的瞬时速度？ v＝f ′(t0)3.若已知物体的运动速度v与时间t的函数关系：v＝f(t)，那么f ′(t0)的含义是什么？ f ′(t0)表示加速度 反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体的速度的问题 汽车以速度v作匀速直线运动，经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽车作变速直线运动，那么在相同时间内所行驶的路程相等吗？ s＝vt 不相等汽车行驶的路程 已知汽车作变速直线运动，在时刻t(单位：h)的速度为v(t)＝－t2＋2 (单位：km/h)，那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s是多少？ 上图中:所有小矩形的面积之和,其极限就是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2所围成的曲边梯形的面积.即路程S. 在每个小区间上，如果认为汽车近似于以右端点时刻对应的速度作匀速直线运动，那么汽车在前述各时段内行驶的路程的近似值分别为多少？汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程如何计算？其结果是什么？ 由直线t＝0，t＝1，v＝0和曲线v＝－t2＋2围成一个曲边梯形，那么图中各小矩形的面积有什么物理意义？汽车在各时段内行驶的路程的近似值. 汽车在0≤t≤1时段内行驶的路程，在数值上与这个曲边梯形的面积有什么关系？ 相等 1.求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可以用“以匀代变”和“极限逼近”的数学思想求解，其操作步骤仍然是：分割→近似代替→求和→取极限. 2.在平面直角坐标系中，若横轴表示时间，纵轴表示速度，那么求变速直线运动的物体在某时段内所走过的路程，可转化为求曲边梯形的面积，二者对立统一. 2. P50 A组 2课件30张PPT。1.5.3 定积分的概念定积分的概念内容：应用求定积分利用定积分求不规则图形的面积定积分的几何意义 本课主要学习定积分的概念、几何意义及定积分的性质.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程,了解定积分的背景，从求曲边梯形的面积和变速运动行驶的路程出发,让学生自己感受这两类问题都是共同的特点:特定形式和的极限,从而引导学生学习定积分的概念,再结合图像理解定积分的几何意义和掌握定积分的运算性质就容易理解和掌握了.设置了3个例题，通过解决具体问题巩固定积分的概念。
例题设置难易适度,每个例题后有针对性的练习,便于学生巩固和掌握.另外题型涉及到用定积分的概念、运算性质和几何意义去求解问题,培养学生分析问题和解决问题的能力。微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。直线几条线段连成的折线曲线？知识回顾：用 “以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：分割以曲代直作和逼近求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法: (2)以直代曲:任取xi?[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi), 宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为 (3) 作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1xixi(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小
区间: 每个小区间宽度⊿x
如果当n?+∞时，Sn 就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作：从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:
分割---以直代曲----求和------逼近. 1.曲边梯形面积问题;
2.变力作功问题;
3.变速运动的距离问题.我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义
它们都归结为:分割、近似求和、取逼近值问题情境: 定积分的定义一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为 ,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和
如果 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,
记作: .定积分的相关名称：
? ———叫做积分号，
f(x)dx —叫做被积表达式，
f(x) ——叫做被积函数,
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限，
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。积分下限积分上限按定积分的定义，有：
(1)由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2)设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为 (3)设物体在变力F=F(r)的方向上有位移，则F在位移区间[a, b]内所做的功W为注 ：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为 . 中,积分上限是 ,积分下限是 ,
积分区间是 .2-2[-2,2]3.定积分 = .8函数在区间[a,b]上的定积分能否为负的?定积分 定积分 = .定积分的几何意义当 f (x) ≥ 0，定积分
的几何意义就是
曲线 y = f (x)，直线 x = a、 x = b、 y = 0 所围成的曲边梯形的面积当函数 f (x) ? 0 ， x?[a, b] 时
定积分 几何意义就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 用定积分表示下列阴影部分面积： S=______;S=______;S=______;当函数 f (x)在 x?[a, b] 有正有负时,
定积分 几何意义就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号) 定积分的几何意义： 在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积). 例1：计算下列定积分.
求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决. 定积分的基本性质 性质1. 性质2. 定积分关于积分区间具有可加性性质3. 例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积解：0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1解：0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例3.解：xyf(x)=sinx1-1１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．2．定积分的思想和方法：求近似以直（不变）代曲（变）取逼近3.定积分的几何意义及简单应用1.利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号.利用定积分的几何意义，说明下列各式.
成立：1）．2）.1）．2）.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积.0yxy=x2120xy=g(x)aby2.面积值为圆的面积的课件27张PPT。1.6 微积分基本定理微积分基本定理
内容：应用:1.计算简单函数的定积分2.计算复合函数的定积分 本课主要学习微积分基本定理.复习定积分的定义、几何意义及性质，引入新课,先让学生得到基本的公式雏形，再利用定义进行证明.而不是避过证明，进行大量的计算练习，这样既在课堂上体现思想方法的构建过程，让学生去尝试，经历挫折，讨论调整，选择更合理的解题思路.有体现了教材的编写意图,同时培养了学生分析、抽象、概括、逻辑推理的能力和运用数形结合思想解决问题的能力．设置了2个例题，通过解决具体问题，理解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
例1是简单函数定积分求解，难度控制较好，例2的教学加深了对复合函数定积分求法的理解，也为后续学习做好了铺垫.例2及变式，既注重了与原问题的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解题能力,开阔了学生的思路．复习：1、定积分是怎样定义？设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：把区间[a,b]等分成n个小区间，则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)
记作积分上限积分下限 1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：
定积分 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 2、定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。复习：2、定积分的几何意义是什么？曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值定积分的简单性质题型1：定积分的简单性质的应用
点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差.
题型2：定积分的几何意义的应用8问题1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试.变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为问题2：从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？物体的位移是函数在两个端点处的函数值之差，即
从几何意义上看，由导数的几何意义知
求和得近似值
取极限，由定积分的定义得
进而得出微积分基本定理.
另一方面，从导数角度来看：如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a)，所以又有 由于 ，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a). 从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为微积分基本定理：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，
并且F’(x)＝f（x)，则，这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。基本初等函数的导数公式例1 计算下列定积分 解:(1)练习1:例2.计算定积分 解:微积分基本定理定积分公式：1.求 原式2.设 , 求 . 解：解：3.求 解：解：面积5.求 解:由图形可知课件26张PPT。1.7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 定积分在几何中的应用
内容：应用:1.不必分割的图形面积求解2.需分割的图形面积求解 3.利用图形面积求参数 本课主要学习定积分在几何中的应用。以一段视频引入新课，接着复习定积分的几何意义、微积分基本定理为利用定积分求平面曲边图形的面积做准备。能够应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．求解不规则的平面图形的面积时，在不同的积分区间选择恰当的函数边界，表示曲边图形的面积.
在讲述定积分在几何中的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1探讨不必分割的图形面积求解；通过例2和变式2掌握需分割的图形面积的求解方法；通过例2和变式2掌握需分割的图形面积的求解方法。例3和变式3是利用图形面积求参数，有一定的难度.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解定积分在几何中的应用.
定积分的几何意义是什么？面积 即：. 问题1:求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,
x=b(a被积函数是 ,
积分区间由公共 位置确定 上边界函数减去下边界函数 交点思考1：曲线y2=x与y=x2所围成的图形是什么？例1：计算由两条抛物线y2=x与y=x2所围成的图形的面积.解：两曲线的交点作出y2=x,y=x2的图象如图所示:例1：计算由两条抛物线y2=x与y=x2所围成的图形的面积.求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.作图象(弄清相对位置关系);2.求交点的横坐标,定出积分上、下限;3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.变式1：计算由曲线y=x2-2x+3和直线y=x+3所围成的图形的面积. 需分割的图形面积求解 (一)求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1. 作图象;2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.（二）常见的曲边梯形面积的计算方法：类型一：不必分割的图形面积求解：在公共的区间上，用曲边梯形的上边界函数减去下边界函数构造被积函数，求其定积分即可. 类型二：需分割的图形面积求解：当曲边梯形无法一次性用定积分表达出来，需要分割图形后，在不同的区间上选择合适上下边界确定被积函数，进而计算其定积分即可.试用定积分表示下面各平面图形的面积值:图4.如图思考2：所围成的图形有什么特点？怎样求出它的面积？ 思考3：你有几种分割方案？又怎样各自进行表示？两曲线的交点为直线与x轴交点为(4,0)S1S2解:作出y=x-4, 的图象如图所示:484解:两曲线的交点1.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：所以：2. 计算由直线y＝2－x， 和曲线
所围成的平面图形的面积.xyO32Dy＝2－x1CAB1－1(一)求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1. 作图象;2. 求交点的横坐标,定出积分上、下限;3. 确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4. 用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.（二）常见的曲边梯形面积的计算方法：类型一：不必分割的图形面积求解； 类型二：需分割的图形面积求解.
(一)必做题：
第58页练习第(2)题, 第60页习题1.7 A组第1(1)题.
(二)选做题：
第60页习题1.7 B组第1、3题.
