课件32张PPT。
第二章 推理与证明
2.1 演绎推理1、什么是演绎推理？
2、什么是三段论？
3、合情推理与演绎推理有哪些区别？
4、能举出一些在生活和学习中有关演绎
推理的例子。内容：应用:1、计算
2、用三段论的形式写出演绎推理
3、证明 本课主要学习演绎推理.从小故事出发,调动学生学习的积极性,让学生初步感受演绎推理的过程;重点是了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理.难点是掌握演绎推理的基本方法.另外,从问题入手,引导学生思考探究,在得到演绎推理相关概念的同时又与合情推理做了对比,这样学生的理解和记忆将会更深刻,既突出了重点又突破了难点.
为了巩固新知识，探究了3个例题，例题设置难易适度,每个例题后有针对性的变式训练,便于学生巩固和掌握.另外题型涉及到用演绎推理的概念、一般模式去求解问题,培养学生分析问题和解决问题的能力。通过设置难易不同的必做和选做作业，对不同的学生进行因材施教。 歌德是18世纪德国的一位著名的文艺大师.有一位与其文艺思想相左的文艺批评家,生性古怪,态度傲慢.—天,歌德与他“狭路相逢”,不期而遇.这位文艺批评家见歌德迎面走来,不仅没有有礼貌地打招呼,反而目中无人,高傲地往前直走,并卖弄聪明地大声说:“我从来不给傻子让路!”面对这十分尴尬的情景,歌德镇定自若、笑容可掬,谦恭地闪避一旁,并机智而礼貌地答道:“呵呵,我可恰恰相反.”故作聪明的文艺批评家顿时怔然,讨了个没趣,只得默然离去. 在这故事里,无论是文艺批评家还是歌德,各自都只说了一句,而且话语非常简练,极为深刻,话中有理,语中有刺.他们的对话,体现了演绎推理的三段论法.(一)复习回顾:合情推理.归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理是由特殊到特殊的推理.
.一般过程:从具体问题出发 观察、分析、比较、联想 归纳、类比 提出猜想.
.合情推理的结论不一定成立. 合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。 合情推理的应用 数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。 证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向1.所有的金属都能导电, 2.一切奇数都不能被2整除, 3.三角函数都是周期函数, 4.全等的三角形面积相等 所以铜能够导电.因为铜是金属, 所以(2100+1)不能被2整除.因为(2100+1)是奇数,所以是tan 周期函数因为tan 三角函数,那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等,观察上述例子有什么特点？ 1、演绎推理：由一般到特殊的推理。2007不能被2整除冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行铜能导电进一步观察上述例子有几部分组成？各有什么特点？大前提小前提结论2007不能被2整除冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行铜能导电 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．演绎推理的定义:演绎推理的模式:“三段论”是演绎推理的一般模式；M……P（M是P)S……M (S是M)S……P (S是P)大前提---已知的一般原理；小前提---所研究的特殊对象； 结论---据一般原理，对特殊
对象做出的判断．若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。所有的金属(M)都能够导电(P)
铜(S)是金属(M)
铜(S)能够导电(P)M……PS……MS……P用集合的观点来理解:三段论推理的依据
（1）因为指数函数 是增函数，
而 是指数函数，
所以 是增函数。错因：大前提是错误的，所以结论是错误的。 演绎推理的结论一定正确吗？（2）如图：在△ABC中，AC>BC,CD是AB边上的高，求证∠ACD＞∠BCD。证明：
在△ABC中，
因为CD⊥AB，AC＞BC
所以AD>BD,
于是∠ACD＞∠ BCD。错因：偷换概念（3）因为金属铜、铁、铝能够导电（大前提），而金是金属（小前提），所以金能导电（结论）错因：推理形式错误。因为演绎推理是从一般到特殊的推理，铜、铁、铝 是特殊事例，从特殊到特殊的推理不是演绎推理。
2007不能被2整除冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行铜能导电大前提小前提结论（3）在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。大前提：刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的，使用暴力、胁迫或其他方法，强行劫取公私财物的行为。其刑事责任年龄起点为14周岁，对财物的数额没有要求。小前提：小明超过14周岁，强行向路人抢取钱财50元。结论：小明犯了抢劫罪。小明是一名高二年级的学生，17岁，迷恋上网络，沉迷于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用，便向亲戚要钱，但这仍然满足不了需求，于是就产生了歹念，强行向路人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了50元，这应该不会很严重吧？？如果你是法官，你会如何判决呢？ 演绎推理的特点:1．演绎推理的前提是一般性原理，演绎所得的的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴含于前提之中，因此演绎推理是由一般到特殊的推理；
2、在演绎推理中，前提于结论之间存在着必然的联系，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确。因此演绎推理是数学中严格的证明工具。3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性，但却具有条理清晰、令人信服的论证作用，有助于科学论证和系统化。 合情推理与演绎推理的区别合情推理归纳推理类比推理由部分到整体、个
别到一般的推理。由特殊到特殊
的推理。 结论不一定正确，有待进一步证明。演绎推理由一般到特殊的
推理。在大前提、小前提
和推理形式都正确
的前提下，得到的
结论一定正确。 合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎
推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。1、下面说法正确的有（ ）
（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；
（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；
（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；
（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个C例2：用三段论的形式写出下列演绎推理。
（1）三角形内角和180°，等边三角形内角和180° （1）分析：省略了小前提：等边三角形是三角形”。： 是有理数。(2)分析：省略了大前提：“所有的循环小数都是有理数。” 小前提： 是循环小数。解(1)三角形内角和180°，(大前提）所以等边三角形内角和是180°。（结论）等边三角形是三角形。（小前提）结论（2） 是有理数。2、下列几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A、5和 可以比较大小；
B、由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；
C、东升高中高二级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人；
D、预测股票走势图。A例3：证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。大前提：增函数的定义；小前提结论例3：证明函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。函数f(x)=-x2+2x在(-∞,1)是增函数。大前提：在某个区间（a,b）内若 ，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；小前提结论 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是垂足,用演绎推理“三段论”格式证AB的中点M到D,E的距离相等. (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900所以△ABD是直角三角形同理△ABE是直角三角形大前提小前提结论证明:(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线所以 DM= AB同理 EM= AB所以 DM = EM大前提小前提结论演绎推理的一般模式——三段论.3、演绎推理错误的主要原因是：
①大前提不成立；②小前提不符合大前提的条件；③推理形式错误.课件24张PPT。第二章 推理与证明
2.2.1 综合法与分析法1、了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明题目.
2、了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目.
3、能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明过程.应用:
1、证明不等式
2、证明等式内容： 本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例出发,引入综合法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的区别与联系,为在实际问题中分析问题寻找解题方法做好铺垫.重点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点,选择适当的证明方法.
本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用，另外,第二个例题可以用综合法，也可以用分析法,从而锻炼学生灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解综合法与分析法的应用。通过观看视频，大家一起讨论一下我们应该如何测的恒星之间的距离呢？如何测的恒星之间的距离复习
合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明.数学中证明的方法有哪些呢？引例一:证明不等式:证法1:由证法2:由 证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.
------ 综合法
引例二:求证分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接
从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.在本例中,由于我们很难想到从“ 21<25”入手,所以用综合法证明比较困难.
以上采用的证明方法就是分析法.
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.则综合法用框图表示为:…综合法是由一个个推理组成的.特点：由因索果 综合法概念
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．
这个明显成立的条件可以是：
已知条件、定理、定义、公理等则分析法用框图表示为: 分析法概念(1)区别:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件.
(2)优缺点:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法,两种方法各有优缺点,综合法从条件推出结论,能较简捷地解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁. 1. 综合法:要点:顺推证法;由因导果．2. 分析法:
要点:逆推证法;执果索因．3.综合法与分析法的区别及优缺点综合法与分析法的比较【分析法】 从结论出发，寻找结论成立的充分条件
直至最后，把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件.要证：??
只要证：??
只需证：??
??显然成立
上述各步均可逆
所以 结论成立格 式分析基本不等式： (a>0,b>0)的证明.证明:
因为;
所以
所以
所以 成立证明:要证
只需证
只需证
只需证
因为 成立
所以 成立还原成综合法：
证明:
因为;
所以
当且仅当a=b时取等号
所以
所以 成立证明:要证
只需证
只需证
而
当且仅当 成立
所以 成立综合法：
证明：方法一（分析法）证明:要证
只需证
只需证
只需证
即只需证
而由已知条件可知
显然成立，所以命题得证.
方法二（综合法）证明:
即
即
由条件可知
即 ，
所以命题得证.
例2：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．证明：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．1.知识与技能:
(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.
(2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）.
(3)综合法与分析法的区别：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.
2.思想与方法: 顺推与逆推的思想.
课件18张PPT。2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反 证 法反证法内容：反证法的概念、步骤应用:1.直接证明难以下手的命题2.“至少”、“至多” 型命题3.否定性命题4.某些存在性命题 本课主要学习反证法。反证法是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的结论.本课以视频王戎的故事引入新课，从生活实例抽象出反证法的概念、步骤.让学生感受到了反证法处处可在，也从这些具体的例子中更加熟悉反证法的步骤.并能利用反证法解决简单的问题.证明方法的选择，以及如何发现证明思路是本课的难点.由于学生的实际情况不同，且本节内容涉及过多以往知识点的应用，建议教师在使用本课件时灵活掌握.
在讲述反证法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1,让学生明白:当直接证明命题难以下手时，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。通过例2和例3,告诉学生:“至少”、“至多” 型命题常用反证法.采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解和巩固反证法的运用方法.1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论 已知条件 路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某天，他和小伙伴在路边玩，看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的，我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎：“这就怪了！你又没吃怎么知道李子是苦的啊？”
王戎说：“如果李子是甜的，树长在路边，李子早就没有了！李子现在还这么多，所以啊，肯定李子是苦的，不好吃！”
王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗？是什么方法？反证法是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今天我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用.反证法路边苦李（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.这与B撒谎矛盾.把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明注：反证法是最常见的间接证法，
反证法：假设命题结论的反面成立,经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法.（归谬法）反证法的思维方法：正难则反 例1：求证： 是无理数。解析：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从反面进行思考，问题可能解决得十分干脆。 例1：求证： 是无理数。证明：假设 是有理数则存在互质的整数m,n使得反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，
即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
肯定原结论成立。归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理， ````````得出矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件
否定结论导 致
逻辑矛盾反设
不成立结论
成立证明:因为所以例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法 不妨设方程的两根分别为证：由于 ，因此方程至少有一个根假设方程 至少存在两个根。则：与已知 矛盾，故假设不成立，结论成立。例3：已知x>0,y>0，x + y >2，
求证： 中至少有一个小于2。分析：所谓至少有一个,就是不可能没有,要证“至少有一个”只要证明它的反面“所有都”不成立即可.注:“至少”、“至多” 型命题常用反证法 常见否定用语是－－－不是 有－－－没有
等－－－不等 成立－－不成立
都是－－不都是，即至少有一个不是
都有－－不都有，即至少有一个没有
都不是－部分或全部是，即至少有一个是
唯一－－至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都 应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论．
(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；
(4)结论为 “唯一”类命题；正难则反!三个步骤：反设—归谬—存真归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立）， 经过正确的推理，最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法已知：整数a的平方能被2整除，
求证：a是偶数。证明：假设a不是偶数，
则a是奇数，不妨设a=2n+1(n是整数)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1
∴a2是奇数，与已知矛盾。
∴假设不成立，所以a是偶数。课件36张PPT。2.3 数学归纳法 （2）内容：应用:1、用数学归纳法证明等式与不等式2、用数学归纳法证明整除性与几何问题?数学归纳法重点: 用数学归纳法证明一些简单的数学问题.
难点:数学归纳法证明不等式时第二步的放缩.1.掌握数学归纳法证题的两个步骤;
2.初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式,不等式及整除问题等)． 3、用数学归纳法归纳、猜想、证明? 本课主要学习数学归纳法。以两个小问题引入新课，对数学归纳法的步骤分析准确、详细，精心选择三道例题, 分别是用数学归纳法证明等式与不等式、用数学归纳法证明整除性与几何问题、归纳、猜想、证明在实际问题中的应用.题目新颖，难度由浅入深，与数列、解析几何、导数、方程等知识融合交汇，体现证明等式、不等式等高考常考内容，计算量不大，答案详细，分析准确.
在讲述数学归纳法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1巩固掌握用数学归纳法证明等式与不等式.通过例2和变式2掌握用数学归纳法证明整除性与几何问题。通过例3用数学归纳法归纳、猜想、证明。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解数学归纳法的应用。问题1:请回顾数学归纳法的步骤. 证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: 2．使用数学归纳法证明不等式的难点在第二个步骤上,这时除了一定要用到归纳假设外,还要较多的运用不等式证明的方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设的联系是问题的突破口.注意:在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.”用数学归纳法证明等式与不等式
【典例1】(1)已知n为正偶数，用数学归纳
法证明 时，
若已假设n=k(k≥2，且为偶数)时命题为真，则还需要用归纳
假设再证n=( )时等式成立( )
A.k+1 B.k+2 C.2k+2 D.2(k+2)?(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任
意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1,b,r均为常数)
的图象上.
①求r的值.
②当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N*),证明:对任意的n∈N*,不
等式 成立. 【规范解答】(1)选B.因为n=k为偶数,所以下一个与之相邻的偶数为n=k+2.
(2)①由题意,Sn=bn+r,
当n≥2时,Sn-1=bn-1+r.
所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1).
由于b>0且b≠1,
所以n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列.
又a1=b+r,a2=b(b-1),
所以②由①及b=2知an=2n-1,
因此bn=2n(n∈N*),
所证不等式为
(ⅰ)当n=1时，左式=
左式>右式，所以结论成立.(ⅱ)假设n=k(k≥1,k∈N*)时结论成立，即
则当n=k+1时，
要证当n=k+1时结论成立，
只需证
即证
由基本不等式得 成立，
故 成立，
所以，当n=k+1时，结论成立.
由(ⅰ)(ⅱ)可知，n∈N*时，不等式
成立. 【规律方法】运用数学归纳法证明问题时应注意的四个问题
(1)由假设n=k成立证n=k+1时,要推导详实,并且一定要运用n=k成立的结论.
(2)要注意n=k到n=k+1时增加的项数.
(3)n=n0时成立.要弄清楚命题的含义.
(4)对于不等式在证明由n=k变化到n=k+1时,除了应用综合法外还可用分析法、反证法、求差、求商比较法及放缩法等加以证明. 若本例(1)中将n改为正奇数,若已知n=2k-1 (k∈N*)时命题为真.则下一步证明,n= 时等式成立.
【解析】由题意可知n为正奇数,取n=2k-1的下一个奇数为n=2k+1.
答案:2k+1用数学归纳法证明整除性与几何问题?
【典例2】(1)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(n∈N)能被8整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( )
A.56·34k+1+25(34k+1+52k+1)
B.34·34k+1+52·52k
C.34k+1+52k+1
D.25(34k+1+52k+1)
(2)用数学归纳法证明:凸n边形的对角线的条数为f(n)=
n(n-3)(n∈N,n≥3).【规范解答】(1)选A.n=k+1时,
34(k+1)+1+52(k+1)+1=25(34k+1+52k+1)+56·34k+1,
由n=k时,能被8整除,即(34k+1+52k+1)能被8整除,而56·34k+1也能被8整除,故n=k+1时成立.(2)①因为三角形没有对角线,
所以n=3时,f(3)=0,命题成立.
②假设n=k(k≥3)时,命题成立,即f(k)= k(k-3),
则当n=k+1时,凸k边形由原来的k个顶点变为k+1个顶点,对角线条数增加k-1条.
所以f(k+1)=f(k)+k-1= k(k-3)+k-1
= (k+1)[(k+1)-3].
所以当n=k+1时命题成立,由①,②可知对任何n∈N且n≥3,命题恒成立. 【易错警示】关于几何问题的变化情况
本例(2)中由n=k变换到n=k+1时,对角线条数不会求,或根本看不清其变化情况导致错解.【规律方法】证明整除性与几何问题的关键
(1)证明整除问题的关键——“凑项”
证明整除问题的关键是“凑项”,即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题获证.(2)证明几何问题的关键——“找项”
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k个变成k+1个时,所证的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析;事实上,将n=k+1和n=k分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧. 【典例3】是否存在常数a、b,使得等式:
对一切正整数n都成立,并证明你的结论.点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明:
归纳、猜想、证明(2)假设当n=k时结论正确,即:
则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.①已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),
其中r为有理数,且0②试用①的结果证明如下命题:
设a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数,若b1+b2=1,则
≤a1b1+a2b2.
③请将②中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.
注:当α为正有理数时,有求导公式(xα)′=αxα-1. 【解答】①f′(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f′(x)=0,解得x=1.
当0当x>1时,f′(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)内是增函数.
故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.
②由①知,当x∈(0,+∞)时,有f(x)≥f(1)=0,即xr≤rx+(1-r).(ⅰ)
若a1,a2中至少有一个为0,则 ≤a1b1+a2b2成立; 若a1,a2均不为0,又b1+b2=1,可得b2=1-b1,于是
在(i)中令x= ,r=b1,可得 ≤b1· +(1-b1),
即 ≤a1b1+a2(1-b1),亦即 ≤a1b1+a2b2.
综上,对a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数且b1+b2=1,总有
≤a1b1+a2b2. (ⅱ)
③②中命题的推广形式为:
设a1,a2,…,an为非负实数,b1,b2,…,bn为正有理数.
若b1+b2+…+bn=1,则 ≤a1b1+a2b2+…+anbn. (ⅲ)用数学归纳法证明如下:
(1°)当n=1时,b1=1,有a1≤a1,(ⅲ)成立.
(2°)假设当n=k(k≥1,且k∈N*)时,(ⅲ)成立,即若a1,a2,…,
ak为非负实数,b1,b2,…,bk为正有理数,且b1+b2+…+bk=1,则
≤a1b1+a2b2+…+akbk.
当n=k+1时,已知a1,a2,…,ak,ak+1为非负实数,b1,b2,…,bk,bk+1
为正有理数,且b1+b2+…+bk+bk+1=1,此时00,于是
因 由归纳假设可得
从而
又因(1-bk+1)+bk+1=1，由(ⅱ)得
从而 ≤a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1.故当n=k+1时,(ⅲ)成立,
由(1°)(2°)可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.正确运用数学归纳法
用数学归纳法证明的关键在于两个步骤,要做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.因此必须注意以下三点:
(1)验证是基础.
数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一个数n0,这个n0就是要证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.(2)递推乃关键.
数学归纳法的实质在于递推,所以从“k”到“k+1”的过程,必须把归纳假设“n=k”作为条件来导出“n=k+1”时的命题,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次. (3)寻找递推关系的方法.
①在第一步验证时,不妨多计算几项,并争取正确写出来,这样对发现递推关系是有帮助的.
②探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律,观察n处在哪个位置.
③在书写f(k+1)时,一定要把包含f(k)的式子写出来,尤其是f(k)中的最后一项,除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚.
提醒:在求由“k”到“k+1”时函数f(x)变化的项时,一般把n=k,n=k+1分别代入,将两式作差求得.课件18张PPT。2.3 数学归纳法（1）内容：应用:1、用数学归纳法证明等式数学归纳法的原理:
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立;【归纳奠基】
（2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.【归纳递推】2、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.数学归纳法 本课主要学习数学归纳法。以三个小例子引入新课，接着观看视频,思考多米诺骨牌游戏的原理是什么?引出数学归纳法的原理和概念.明确用数学归纳法证明命题的两个步骤.会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学恒等式.注意:在验证命题的正确性时,极易脱离归纳假设.
在讲述数学归纳法的应用时，采用例题与变式结合的方法，通过例1和变式1巩固掌握掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题,明确由n=k到n=k+1的增项问题.通过例2和变式2明确:在验证命题的正确性时,极易脱离归纳假设。采用一讲一练针对性讲解的方式，重点理解数学归纳法的应用。问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是
绿色的？ 问题2:完全归纳法 不完全归纳法 问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 …… ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法归纳法通过观看视频，大家一起讨论一下:一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）多米诺骨牌有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ ⑴ 第一块骨牌倒下；⑵ 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下?两个条件的作用：条件⑴：奠基；
条件⑵：递推关系 对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题，我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立;【归纳奠基】
（2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
证明当n=k+1时命题也成立.
这种证明方法叫做 数学归纳法数学归纳法【归纳递推】框图表示例1.用数学归纳法证明1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+…(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，
当n＝1时，左边所得项是 ；
当n＝2时，左边所得项是 ；1+2+31+2+3+4+5A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3C例2 用数学归纳法证明：
证明 （1）当n=1时，等式左边
等式右边 所以等式成立.
（2）假设 n=k（k ∈ N+）时等式成立，
那么当n=k+1时，即n=k+1时等式成立.由（1）（2）可知，对任意n ∈ N+等式均成立 用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n?1)=n2
证明: (1) 当n=1时
左＝1，右＝12＝1
∴n=1时，等式成立
(2) 假设n=k时，等式成立，即1+3+5+…+(2k?1)=k2
那么，当n=k+1时
左＝1+3+5+…+(2k?1)＋[2(k+1)-1]
=k2+2k+1
=(k+1)2=右
即n=k+1时命题成立
由(1)、(2)可知等式对任何n?N*都成立递推基础递推依据D 2. 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则an = a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。 1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: 【归纳奠基】（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确 （3）由（1）、（2）得出结论【归纳递推】重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。布置课后作业, 巩固延伸铺垫 (1) 课本第64页练习第1, 2题；第67页习题2.1第2题．
(2) (辨析与思考)
1.用数学归纳法证明 1+2+22+23+…+2n－１ = 2n－1 (n∈ N*)时, 其中第二步采用下面的证法：
设n＝k时等式成立, 即1+2+22+23+…+2k－1=2k－1, 则
当n＝k＋1时, ,
即n＝k＋1时等式也成立． 2.求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1)
