沪科版数学八年级下册 第18章勾股定理 综合测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级下册 第18章勾股定理 综合测试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-31 08:45:48 | ||
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文档简介
第18 章综合测试卷
时间:150分钟 满分:150分
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分
得 分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是 ( )
A.1,2,3 B.2,3,4 D.7,24,25
2. 若一个直角三角形的两直角边的长为12 和5，则第三边的长为 ( )
A.13或 B.13或15 C.13 D.15
3. 如图，图形 A 的面积 ( )
A.225 B.144 C.81 D.无法确定
4. 如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.分别以AB,BC,AC为直径作半圆围成两月形，则阴影部分的面积为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起，其中点A'与点A重合，点 C'落在边AB上,连接B'C.若 ，则B'C的长为 ( )
B.6
6. 如图,已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,则A,F两点间的距离是 ( )
A.14 D.10
7. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，如图所示，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2 019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ( )
A.1 B.2 018 C.2 019 D.2 020
8. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,把Rt△ABC沿直线 BC 向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是 ( )
A.15 B.18 C.20 D.22
9. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何 ”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离BC为5尺，问折处高几尺 则AC等于 ( )
A.5尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺
10. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=7,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,则CE的长为 ( )
A.15 B.16 C.17 D.18
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 若等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则其面积为 .
12. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点 D 的位置，此时绳子 CD 的长为10米，则船向岸边移动了 米.
13. 如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD 相交于点 P,那么∠APB 的大小是 .
14. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，连接AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则
三、(本大题共2 小题，每小题8分，满分16分)
15. 学校操场边上一块空地需要绿化,测出CD=6m,AD=8m,BC=24m,AB=26m,AD⊥CD,求需要绿化的面积.
16. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一副直角三角板如图放置，点C 在 FD 的延长线上，点B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,若AC=2,求CD的长.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB 于点 D.以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC 于点 E，连接CD.
(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数.
(2)若BC=3,AC=4,求AD的长.
18. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,AD是边 BC上的中线,点E在AD 的延长线上,AD =ED=6.
(1)求证:△ABD≌△ECD.
(2)求△ABD的面积.
五、(本大题共2 小题，每小题10分，满分20分)
19. 等腰△ABC的面积为30,其中一边AB 的长为10,另外两边为 BC,AC,请你求出 的值.
20. (10分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点 D,. BE 分别交AC,AD 于点E,F.
(1)如图1,若AB=13,BC=10,求AF的长度.
(2)如图2,若AF=BC,求证:
六、(本题满分12分)
21. 如图,长方体的长为20cm,宽为10cm,高为15cm,点B与点C之间的距离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B 去吃一滴蜜糖. 求蚂蚁从点 A 爬到点 B 的最短路程.
七、(本题满分12分)
22. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中. 由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路 CH，测得 千米， 千米， 千米.
(1)试判断 是否为直角三角形，并说明理由.
(2)求新路CH 比原路CA 少多少千米
八、(本题满分14分)
23. 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2 倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗 (填“是”或“不是”).
(2)若某三角形的三边长分别为1， ，2，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据.
(3)在 中，两边长分别为a，c，且 则这个三角形是不是奇异三角形 请做出判断并写出判断依据.
探究:在Rt△ABC中, 且b>a,若 是奇异三角形，求
第18章综合测试卷
1. D 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D 7. D 8. A 9. C 10. C11. 12 12. 9 13. 45° 14. 20
15. 解:如图,连接AC,∵AD⊥CD,CD=6,AD = 8,∴ 由 勾 股 定 理, 得 AC =
在△ABC中, 6
为直角三角形,∠ACB=90°,
∴需要绿化的面积
答：需要绿化的面积为96 m .
16. 解:如图,过点 B 作 BM⊥FD 于点 M,在△ACB 中,∠ACB =90°,∠A =60°,AC=2,∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,
∵AB∥CF,∴∠MCB=∠ABC=30°,
在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,
∴∠EDF=45°,∴∠DBM=45°,
17. 解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=28°,∴∠B=62°.
∴∠ACD=90°--∠BCD=90°-59°=31°.
(2)∵∠ACB=90°,BC=3,AC=4,
∵AB=AD+BD,BD=BC=3,∴AD=5-3=2.
18. (1)证明:∵AD是边BC上的中线,∴BD=CD,
在△ABD和△ECD中,
∴ △ABD≌△ECD(SAS).
(2)解:∵△ABD≌△ECD,∴AB=EC=5,∵AE=AD+ED=12,AC=13,CE=5,
是直角三角形，
19. 解:过点C 作 CD⊥AB 于点 D,∵ △ABC的面积为30, AB×CD=30,即 解得CD=6.
①如图1,当AB为底边,CA=CB时,
②如图2,当AB为腰,且△ABC 为锐角三角形,AB = AC = 10时，则 在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得AD = 则 同理，当AB为腰，且△ABC为锐角三角形,AB=BC=10时,
③如图3,当AB 为腰,且△ABC 为钝角三角形,AB =BC = 10时，则 在 Rt△BDC 中,由勾股定理,得 BD =
同理,当AB为腰,且△ABC为钝角三角形,AB=AC=10时,
综上所述， 的值分别为61,61或40,100或100,40 或100,360或360,100.
20. (1)解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠ADB=90°,BD=CD,∵BC=10,∴BD=5,
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=13,BD=5,
在Rt△BDF中,∵∠CBE=45°,∴∠BFD=45°,∴DF=BD=5,∴AF=AD-DF=12-5=7.
(2)证明:如图,在 BF上取一点 H,使 BH=EF,连接CH,CF.
∵ ∠BFD=45°=∠CBE.∠AFE=∠BFD,
∴∠AFE =∠CBE.
在△CHB和△AEF中,
∴△CHB≌△AEF(SAS),
∴AE=CH,∠AEF=∠CHB.∴∠CEF=∠CHE.∴CE=CH,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∴AD垂直平分BC,
∴CF=BF,∴∠BCF=∠CBE=45°,∴∠CFB=90°,
又∵CE=CH,∴EF=FH,在Rt△CFH中,由勾股定理得
21. 解:将长方体沿 CF,FG,GH剪开,向右翻折,使面 FCHG 和面ADCH在同一个平面内,连接AB,如图1,由题意得,BD=BC+CD=5+10=15cm,AD=CH=15cm,在Rt△ABD中,根据勾股定理得
将长方体沿DE,EF,FC剪开,向上翻折,使面DEFC和面ADCH在同一个平面内,连接AB,如图2,由题意得BH=BC+CH=5+15=20( cm),AH=10 cm,在Rt△ABH中,根据勾股定理得
将长方体沿DC,CF,EF剪开,向左翻折,使DCFE 和面ADEI在同一平面内,连接AB,如图3,由题意可得AC=AD+CD=15+10=25( cm),BC=5cm,在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB=
∵15 <10 <5
∴ 蚂蚁从点 A 爬到点 B的最短路程是
图1 图2 图3
22. 解:( 是直角三角形.理由如下：
在 中， 25, 是直角三角形.
(2)设. (千米)，则 米，在 中，由勾股定理得A 解得： (千米).
答:新路CH比原路CA少0.05千米.
23. 解：(1)是.设等边三角形的边长为a，
∴等边三角形一定是奇异三角形.故答案为：是.
.该三角形是奇异三角形.
(3)当c为斜边时， C不是奇异三角形；当b为斜边时，
是奇异三角形.
探究： 中，
. ,
∵Rt△ABC是奇异三角形,∴2b =a +c ,∴2b =a +a +b ,
时间:150分钟 满分:150分
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 总 分
得 分
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 下列给出的三条线段的长，能组成直角三角形的是 ( )
A.1,2,3 B.2,3,4 D.7,24,25
2. 若一个直角三角形的两直角边的长为12 和5，则第三边的长为 ( )
A.13或 B.13或15 C.13 D.15
3. 如图，图形 A 的面积 ( )
A.225 B.144 C.81 D.无法确定
4. 如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4.分别以AB,BC,AC为直径作半圆围成两月形，则阴影部分的面积为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起，其中点A'与点A重合，点 C'落在边AB上,连接B'C.若 ，则B'C的长为 ( )
B.6
6. 如图,已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°,且AB=CD=3,BC=4,DE=EF=2,则A,F两点间的距离是 ( )
A.14 D.10
7. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，如图所示，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2 019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ( )
A.1 B.2 018 C.2 019 D.2 020
8. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,把Rt△ABC沿直线 BC 向右平移3个单位长度得到△A'B'C'，则四边形ABC'A'的面积是 ( )
A.15 B.18 C.20 D.22
9. 古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何 ”意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离BC为5尺，问折处高几尺 则AC等于 ( )
A.5尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺
10. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=7,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,连接CE,则CE的长为 ( )
A.15 B.16 C.17 D.18
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 若等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则其面积为 .
12. 如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点 D 的位置，此时绳子 CD 的长为10米，则船向岸边移动了 米.
13. 如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD 相交于点 P,那么∠APB 的大小是 .
14. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD，连接AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则
三、(本大题共2 小题，每小题8分，满分16分)
15. 学校操场边上一块空地需要绿化,测出CD=6m,AD=8m,BC=24m,AB=26m,AD⊥CD,求需要绿化的面积.
16. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一副直角三角板如图放置，点C 在 FD 的延长线上，点B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,若AC=2,求CD的长.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB 于点 D.以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC 于点 E，连接CD.
(1)若∠A=28°,求∠ACD的度数.
(2)若BC=3,AC=4,求AD的长.
18. 如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,AD是边 BC上的中线,点E在AD 的延长线上,AD =ED=6.
(1)求证:△ABD≌△ECD.
(2)求△ABD的面积.
五、(本大题共2 小题，每小题10分，满分20分)
19. 等腰△ABC的面积为30,其中一边AB 的长为10,另外两边为 BC,AC,请你求出 的值.
20. (10分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点 D,. BE 分别交AC,AD 于点E,F.
(1)如图1,若AB=13,BC=10,求AF的长度.
(2)如图2,若AF=BC,求证:
六、(本题满分12分)
21. 如图,长方体的长为20cm,宽为10cm,高为15cm,点B与点C之间的距离为5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B 去吃一滴蜜糖. 求蚂蚁从点 A 爬到点 B 的最短路程.
七、(本题满分12分)
22. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中. 由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在同一条直线上)，并新修一条路 CH，测得 千米， 千米， 千米.
(1)试判断 是否为直角三角形，并说明理由.
(2)求新路CH 比原路CA 少多少千米
八、(本题满分14分)
23. 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形. 如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边平方的2 倍的三角形叫做奇异三角形.
(1)根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗 (填“是”或“不是”).
(2)若某三角形的三边长分别为1， ，2，则该三角形是不是奇异三角形，请做出判断并写出判断依据.
(3)在 中，两边长分别为a，c，且 则这个三角形是不是奇异三角形 请做出判断并写出判断依据.
探究:在Rt△ABC中, 且b>a,若 是奇异三角形，求
第18章综合测试卷
1. D 2. C 3. D 4. C 5. A 6. D 7. D 8. A 9. C 10. C11. 12 12. 9 13. 45° 14. 20
15. 解:如图,连接AC,∵AD⊥CD,CD=6,AD = 8,∴ 由 勾 股 定 理, 得 AC =
在△ABC中, 6
为直角三角形,∠ACB=90°,
∴需要绿化的面积
答：需要绿化的面积为96 m .
16. 解:如图,过点 B 作 BM⊥FD 于点 M,在△ACB 中,∠ACB =90°,∠A =60°,AC=2,∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,
∵AB∥CF,∴∠MCB=∠ABC=30°,
在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,
∴∠EDF=45°,∴∠DBM=45°,
17. 解:(1)∵∠ACB=90°,∠A=28°,∴∠B=62°.
∴∠ACD=90°--∠BCD=90°-59°=31°.
(2)∵∠ACB=90°,BC=3,AC=4,
∵AB=AD+BD,BD=BC=3,∴AD=5-3=2.
18. (1)证明:∵AD是边BC上的中线,∴BD=CD,
在△ABD和△ECD中,
∴ △ABD≌△ECD(SAS).
(2)解:∵△ABD≌△ECD,∴AB=EC=5,∵AE=AD+ED=12,AC=13,CE=5,
是直角三角形，
19. 解:过点C 作 CD⊥AB 于点 D,∵ △ABC的面积为30, AB×CD=30,即 解得CD=6.
①如图1,当AB为底边,CA=CB时,
②如图2,当AB为腰,且△ABC 为锐角三角形,AB = AC = 10时，则 在 Rt△ACD 中,由勾股定理,得AD = 则 同理，当AB为腰，且△ABC为锐角三角形,AB=BC=10时,
③如图3,当AB 为腰,且△ABC 为钝角三角形,AB =BC = 10时，则 在 Rt△BDC 中,由勾股定理,得 BD =
同理,当AB为腰,且△ABC为钝角三角形,AB=AC=10时,
综上所述， 的值分别为61,61或40,100或100,40 或100,360或360,100.
20. (1)解:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠ADB=90°,BD=CD,∵BC=10,∴BD=5,
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=13,BD=5,
在Rt△BDF中,∵∠CBE=45°,∴∠BFD=45°,∴DF=BD=5,∴AF=AD-DF=12-5=7.
(2)证明:如图,在 BF上取一点 H,使 BH=EF,连接CH,CF.
∵ ∠BFD=45°=∠CBE.∠AFE=∠BFD,
∴∠AFE =∠CBE.
在△CHB和△AEF中,
∴△CHB≌△AEF(SAS),
∴AE=CH,∠AEF=∠CHB.∴∠CEF=∠CHE.∴CE=CH,
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD,∴AD垂直平分BC,
∴CF=BF,∴∠BCF=∠CBE=45°,∴∠CFB=90°,
又∵CE=CH,∴EF=FH,在Rt△CFH中,由勾股定理得
21. 解:将长方体沿 CF,FG,GH剪开,向右翻折,使面 FCHG 和面ADCH在同一个平面内,连接AB,如图1,由题意得,BD=BC+CD=5+10=15cm,AD=CH=15cm,在Rt△ABD中,根据勾股定理得
将长方体沿DE,EF,FC剪开,向上翻折,使面DEFC和面ADCH在同一个平面内,连接AB,如图2,由题意得BH=BC+CH=5+15=20( cm),AH=10 cm,在Rt△ABH中,根据勾股定理得
将长方体沿DC,CF,EF剪开,向左翻折,使DCFE 和面ADEI在同一平面内,连接AB,如图3,由题意可得AC=AD+CD=15+10=25( cm),BC=5cm,在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB=
∵15 <10 <5
∴ 蚂蚁从点 A 爬到点 B的最短路程是
图1 图2 图3
22. 解:( 是直角三角形.理由如下：
在 中， 25, 是直角三角形.
(2)设. (千米)，则 米，在 中，由勾股定理得A 解得： (千米).
答:新路CH比原路CA少0.05千米.
23. 解：(1)是.设等边三角形的边长为a，
∴等边三角形一定是奇异三角形.故答案为：是.
.该三角形是奇异三角形.
(3)当c为斜边时， C不是奇异三角形；当b为斜边时，
是奇异三角形.
探究： 中，
. ,
∵Rt△ABC是奇异三角形,∴2b =a +c ,∴2b =a +a +b ,