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人教版八年级上册期中聚优全能练考卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ）
A．abc B．4ab2 C．ab2 D．4ab2c
2．平面直角坐标系中，点P（4，5）关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（4，5） D．（4，﹣3）
3． 在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
4．如果，且，那么代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．6
9．有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
10．△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）
A．67.5° B．22.5°
C．45° D．67.5°或22.5°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是 ．
12．分式方程 的解是 ．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 个．
14．如图，中，，D是BA延长线上一点，且，则 ．
15．如图所示，图①是边长为1的等边三角形纸板，周长记为，沿图①的底边剪去一块边长为的等边三角形，得到图②，周长记为， 然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的），得图③④…，图n的周长记为， 若，则 ．
16．如图，在锐角 中，AC＝10， ，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一棵树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米.
（1）河的宽度是 米.
（2）请你说明他们做法的正确性.
18．如图，已知：AB=AD，BC=CD，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．
求证：
（1）∠B=∠D；
（2）AE=AF．
19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
20．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
21．如图，在等边 中，点D是边 上一点，E是 延长线上一点， ，连接 交 于点F，过点D作 于点G，过点D作 交 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求出 的面积．
22．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题.
例如：若，求的值.
解：因为
所以
所以
得.
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，则 ；
（3）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
23．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2 +2ab + b2＝(a+b)2．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图C．
（1）根据图B完成因式分解： ；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ；
（3）现要拼出一个面积为 的长方形，则需要 号卡片 张， 号卡片 张， 号卡片 张．
（4）比较图A中的两个正方形面积之和 与两个长方形面积之和 的大小关系，并说明理由 ．
24．在 中， ， ， 是 的角平分线， 于点E.
（1）如图，连接 ，求证： 是等边三角形；
（2）点M是线段 上的一点（M与不点C，D复合），以 为一边，在 的下方作 ， 交 延长线于点G.请你在图2中画出完整图形，试猜想 ， 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图，点N是线段 上的一点，以 为一边，在 的下方作 ， 交 延长线于点G.请直接写出 ， 与 数量之间的关系，不必说明理由.
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人教版八年级上册期中聚优全能练考卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（ ）
A．abc B．4ab2 C．ab2 D．4ab2c
【答案】B
【知识点】公因式的概念
【解析】【解答】多项式8a3b2+12ab3c的公因式是：4ab2．
故答案为：B．
【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案．
2．平面直角坐标系中，点P（4，5）关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（4，5） D．（4，﹣3）
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
∴点P（4，5）关于y轴的对称点坐标为（-4，5）.
故答案为：A.
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案.
3． 在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∴∠A=∠B=，∠C=，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：D.
【分析】利用三角形的内角和及∠A：∠B：∠C＝1：1：2，求出三角形三个内角的度数，再判断即可.
4．如果，且，那么代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】解：原式
，
，
，
原式，
故答案为：B
【分析】结合平方差公式进行通分化简，由题意可得，再整体代入即可求出答案.
5．如图，在中，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】 ∵在中，，
∴∠B=∠ADB=70°，∠DAC=∠C，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，即∠ADB=2∠C=70°，
∴∠C=35°，
∴=180°-∠B- ∠C=180°-70°-35°=75°。
故答案为：A.
【分析】 在中，的度数=180°-∠B- ∠C，根据已知信息 ， ，可得 ∠C=35°，所以=75°。
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A．，故选项A正确；
B．，故选项B错误；
C．，故选项C错误；
D．，故选项D错误．
故答案为：A．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．将分子或分母利用平方差公式分解因式，约分得到结果.
7．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD S△AOE＝S△ADB S△ABE＝S△ADH S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝4.5．
故答案为：C
【分析】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O，根据角之间的关系可得∠ABD＝∠H，根据等边对等角可得∠CDA＝∠CAD，则∠CDH＝∠H，即CD＝CH＝AC，再根据两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大，即可求出答案.
8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线yx上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6 B．4 C．8 D．6
【答案】C
【知识点】平行线的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，
由直线yx可知，∠MOA＝60°，
∴∠MOA＝∠OAM＝60°，
∴△OAM是等边三角形，
∴OA＝OM，
∵△APQ是等边三角形，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴∠OAQ＝∠MAP，
∴△OAQ≌△MAP（SAS），
∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，
∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，
过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值，
此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°，
∴∠OBA＝30°，
∴AB＝2OA＝8.
故答案为：C.
【分析】如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM，易证△OAM是等边三角形，根据等边三角形的性质得OA＝OM，AQ＝AP，∠PAQ＝60°，从而利用SAS证明△OAQ≌△MAP，根据全等三角形的性质得∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO，从而得出PM∥x轴，即点P在直线PM上运动，再根据轴对称最值问题，作点O关于直线PM的对称点B，连接AB，根据含30度角直角三角形的性质，求出AB的长即可．
9．有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：设正方形 A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得
由图乙可得：
即
，
，
图丙的阴影部分面积为：
.
故答案为：B.
【分析】设正方形A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得 ，由图乙可得： ，从而求出，，，图丙的阴影部分面积为，然后整体代入计算即可.
10．△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）
A．67.5° B．22.5°
C．45° D．67.5°或22.5°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当△ABC是锐角三角形时，
∵CD⊥AB，且△ADC为等腰三角形，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵AB=AC，
∴ ，
∴ .
②如图2，当△ABC是钝角三角形时，
∵CD⊥AB，且△ADC为等腰三角形，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵AB=AC，
∴ ，
∴ .
故
【分析】△ABC是等腰三角形，由AB边上的高为CD，则△ABC的顶角A是锐角或钝角，分两种情况画出图形求解即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点 关于 轴对称的点的坐标是 .
故答案为： .
【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可.
12．分式方程 的解是 ．
【答案】x=﹣1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：去分母得：x﹣1=2x，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
故答案为：x=﹣1
【分析】根据解分式方程的步骤去分母、移项、合并同类项、检验即可求解。
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有 个．
【答案】8
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．
故答案为：8．
【分析】建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．
14．如图，中，，D是BA延长线上一点，且，则 ．
【答案】50°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：50°
【分析】利用等边对等角的性质可得，再结合，可得。
15．如图所示，图①是边长为1的等边三角形纸板，周长记为，沿图①的底边剪去一块边长为的等边三角形，得到图②，周长记为， 然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉等边三角形纸板边长的），得图③④…，图n的周长记为， 若，则 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
，
，
，
，
……
，，
若，则.
故答案为：.
【分析】
根据等边三角形的性质求出每个图形的周长，再根据周长的变化规律求解即可.
16．如图，在锐角 中，AC＝10， ，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是
【答案】5
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在AC上取一点E，使 ，连接ME，
是 的平分线，
，
在 和 中， ，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】在AC上取一点E，使AE=AN，连接ME，由角平分线的概念可得∠EAM=∠NAM，证明△AEM≌△ANM，得到ME=MN，由两点之间线段最短得：当点B、M、E共线时，BM+ME取最小值，最小值为BE，然后由三角形的面积公式求出BE即可.
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一棵树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米.
（1）河的宽度是 米.
（2）请你说明他们做法的正确性.
【答案】（1）5
（2）解：由作法知，BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△EDC中， ，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
即他们的做法是正确的.
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：(1)由题意知，DE=AB=5米，即河的宽度是5米，
故答案是：5；
【分析】（1）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；
（2）首先利用ASA判断出△ABC≌△EDC，再根据全等三角形对应边相等解答.
18．如图，已知：AB=AD，BC=CD，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．
求证：
（1）∠B=∠D；
（2）AE=AF．
【答案】（1）证明：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B=∠D
（2）证明：∵△ABC≌△ADC，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，
∴AE=AF
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）用边边边可证
△ABC≌△ADC， 根据全等三角形的性质可得∠B=∠D；
（2）由（1）中的全等三角形可得对应角相等： ∠ACB=∠ACD， 再根据角平分线的性质可得结论。
19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）解：如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 EB＝EA， 再求出 EM＝DM， 最后证明求解即可；
（3）先求出 CD＝BD ，再求解即可。
20．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）解：方程两边同时乘以得
解得
经检验，是原分式方程的解.
（2）解：设？为，
方程两边同时乘以得
由于是原分式方程的增根，
所以把代入上面的等式得
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先将分式方程转换为整式方程，再根据方程的增根为，将其代入整式方程求出m的值即可。
21．如图，在等边 中，点D是边 上一点，E是 延长线上一点， ，连接 交 于点F，过点D作 于点G，过点D作 交 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求出 的面积．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，
∴ ；
（2）证明：∵DH∥BC，
∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF＝EF；
（3）解：∵△ADH是等边三角形，DG⊥AC，AD＝DH，
∴AG＝GH，DH=AH
∵△DHF≌△ECF，
∴HF＝CF，
∵CF＝CE，DH＝CE，
∴HF＝DH=AH，
∴GF＝3AG，
∵△DGF和△ADG等高，
∴S△DGF＝3S△ADG＝6．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）由等边三角形ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得；
（2）根据已知条件可得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF；
（3）由△ADH是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得到△DHF≌△ECF，可得HF=CF，GF=3AG，根据△DGF和△ADG等高，即可得到结论。
22．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题.
例如：若，求的值.
解：因为
所以
所以
得.
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）若，则 ；
（3）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积.
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）17
（3）解：设AC的长为a，BC的长为b，
∴AB=AC+BC=a+b=6，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形BCFG是正方形，
∴CF=CB，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴，，
∴，
故答案为：17；
【分析】（1）由可得，利用完全平方公式展开后再代入计算即可求解；
（2）由，然后代入计算即可；
（3）设AC的长为a，BC的长为b，可得AB=a+b=6，即得，结合 可求出，利用正方形的性质可得CF=CB，由于S阴影=AC·CF=AC·BC=ab，据此计算即可.
23．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2 +2ab + b2＝(a+b)2．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图C．
（1）根据图B完成因式分解： ；
（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ；
（3）现要拼出一个面积为 的长方形，则需要 号卡片 张， 号卡片 张， 号卡片 张．
（4）比较图A中的两个正方形面积之和 与两个长方形面积之和 的大小关系，并说明理由 ．
【答案】（1）2a（a+b）
（2）a+2b
（3）1；3；4
（4）解：根据题意得： ， ，则
理由：
∵
∴
即 ．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：（1）根据图形可知图形面积为： ，
故答案为： （2）如图，
，
∴正方形边长为a+2b，
故答案为：a+2b．（3）如图，
根据图形可知： =
故答案为：1，3，4
【分析】（1）观察图像可知大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形面积之和；（2）观察图像可知大长方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形面积之和；（3）根据所给图像画出图形即可；（4）由完全平方公式的非负性求解即可。
24．在 中， ， ， 是 的角平分线， 于点E.
（1）如图，连接 ，求证： 是等边三角形；
（2）点M是线段 上的一点（M与不点C，D复合），以 为一边，在 的下方作 ， 交 延长线于点G.请你在图2中画出完整图形，试猜想 ， 与 之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图，点N是线段 上的一点，以 为一边，在 的下方作 ， 交 延长线于点G.请直接写出 ， 与 数量之间的关系，不必说明理由.
【答案】（1）解：在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形；
（2）解： ，
理由如下：如图，延长 使得 ，连接 ，
∵ ， ， 是 的角平分线， 于点E，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：结论： ，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】（3）证明：如图，延长BD至H，使得DH=DN，
由（1）知 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【分析】(1)先由直角三角形性质得到 ， ， 接着通过角平分线性质得到∠DBC=∠DBA=∠A，接着得到DA=DB，然后根据等腰三角形的三线合一得出 ， 进故BC=BE，而通过有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形即可得证；
(2) 延长ED 使得DW=DM ，连接MW ， 由等腰三角形的得到∠ADE=∠BDE，AD=BD，进而通过有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形得△WDM 是等边三角形， 接着用ASA得△WMG≌△DBM，进而即可得到关系；
(3) 如图，延长BD至H，使得DH=DN， 先由三个角为60°的三角形为等边三角形得到 是等边三角形， 进而得出 ， 接着通过ASA得到，进而即可得到关系.
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