2024北京昌平一中八年级（上）期中数学（pdf版，含答案）

2024北京昌平一中初二（上）期中
数 学
2024.10
本试卷共 4 页，4 道大题，29 个小题，满分 110 分。考试时间 120 分钟。考生务必将答案填涂或书写在答
题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请交回答题卡。
一.选择题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）
第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只．有．一个．
1. 9 的算术平方根是
（A）3 （B）±3 （C）81 （D）±81
3a
2．若分式 有意义，则 a 的取值范围是
a 2
（A）a≠2 （B）a≠0 （C）a＜2 （D）a≥2
3．下列计算错．误．的是
（A） 3 ( 3)3 = 3 （B） 3 2 = 6 (C) 3 + 2 = 5 (D) 6 3 = 2
3x
4．若将分式 中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值
x + 2y
1
（A）不改变 （B）缩小为原来的
10
1
（C）缩小为原来的 （D）扩大为原来的 10 倍
100
5．下列各式从左到右变形正确的是
n n +1 n n2 n m n m 3x2 x
（A） = （B） = （C） = （D） =
m m +1 m m2 m n mn 6x 2
x 6
6． 成立的条件是
x
（A）0≤x＜6 （B） 0≤x≤ 6 （C）x≥6 （D）x＞6 且 x≠0
7．若最简二次根式 3 与 2b a + b 是同类二次根式，则 a 的平方根是
（A）a=2 （B）a=±2 （C） 2 （D） 2
x n
8．对于分式 （ m, n 为常数），若当 x≥0 时，该分式总有意义；当 x = 0 时，该分式的值为负数. 则
x m
m, n 与 0的大小关系正确的是
（A） 0 n m （B）m 0 n （C） 0 m n （D） n 0 m
二.填空题（共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）
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9． 若 a 2 有意义，则实数 a 的取值范围是 ．
1 x
10．若分式 的值为 0，则 x= .
2x +1
11．比较大小： 2 6 5（填“>”，“=”或“<”）．
2
12．已知 a，b 是有理数，且满足 (a +1) + b 3 = 0 ． 那么 a b = .
2 a
13．关于 x 的方程 =1+ （a 为常数）无解，则 a= .
x 1 x 1
2 2
14．实数m在数轴上的位置如图所示，则化简 （m 3） + m 的结果为 ．
0 m 1
15．如图所示，点 F、O、D、A 是数轴上四个点，O 与原点重合，边长为 3 的正方形 OABC 被分成形状、
大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，OD=2，DE=DF.则小正方形的边长 DE= ，点 F 表
示的数是 ．
16.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中曾记载了宋代行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携一斗，
人食日二升．其大意为，在行军过程中，民夫可以背负六斗（60 升）米，士兵可以自己背一斗（10 升）
米，民夫（士兵）每人一天行军会消耗 2 升米．若每个士兵雇佣 4 个民夫随其一同行军，则在没有其他粮
食补充的情况下，背负的米支持行军的天数为
天；若每个士兵雇佣 n个民夫随其一同行军，则在没有其他粮食补充的情况下，背负的米支持行军
的天数为 （用含有 n的代数式表示）.
三.解答题（本题共 13 道小题，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27、28 题，每小
题 7 分，共 68 分）
17．计算： 8+ 18 3 8 .
1
18.计算：（ 4 ）2 + 2 6 3 .
3
2x 3 x 1 y 2 2x
19．计算：（1） . （2）（ ） y.
x 2 x 2 x y
2x 1
20．计算： + .
x2 4 2 x
1 2
21.解方程： = .
x x +3
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x 3
22.解方程： + =1.
x 1 x +1
2 1

2
23.学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题： x 1 x 1，甲、乙两位同学的解答过程分别如下：
甲同学： 乙同学：
2 1
2 1
x2 1 x 1 x2 1 x 1
2 1
= ① 2 1
( = ① x +1)(x 1) x 1 (x +1)(x 1) x 1
2 1
= ② 2 x +1
( )( = ② x +1 x 1) (x +1)(x 1) (x +1)(x 1) (x +1)(x 1)
2 1
= ③ = 2 (x +1) ③
(x +1)(x 1)
=1 x ④
1
= ④
(x +1)(x 1)
老 师发现这两位同学的解答过程都有错误．
请 你从两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮 助他分析错因，并加以改正．
（ 1）我选择 同学的解答过程进行分析；（填“甲”或“乙”）
（ 2）该同学的解答从第 步开始出现错误；（ 填序号）
（ 3）请写出正确解答过程．
24 .已知 x = 3 + 2, y = 3 2 ，求代数式 x
2
-3xy+y
2的值.
m2
5 m 3
25.已知 + 3m 4 = 0，求代数式 m+ 2 的值． 2 m ；：2 m 2m
26；.： 列 方程解应用题.
随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如
下的宣传：
根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量.
27.小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
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下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
1 2 1 1 2 2 5 2 2 (5 1) 2
① 1 = = ， ② 2 = = = 2 ，
2 2 2 5 5 5 5
3 3 10 3 3 (10 1) 3 4 4
③ 3 = = = 3 ， ④ 4 = 4 ，
10 10 10 10 17 17
5
⑤ 5 = （填写运算结果）．
26
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果 n为正整数，用含 n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）证明你的猜想．
（4）应用运算规律．
10 202
①化简： 10 = ；
101 5
a 7
②若 a = 7 （ a ， b 均为正整数），则 a + b 的值为 ．
50 b
2
28. 我们已经学过 (x-a)(x-b) = x -(a +b) x + ab,如果关于 x 的分式方程满足
ab
x + = a + b （a,b 分别为非零整数），且方程的两个跟分别为 x1=a, x2 = b .
x
我们称这样的方程为“十字方程”.
2 1 2
例如： x + =3 可化为 x + =1+ 2=3 ∴ x1=1, x2 = 2
x x
6 (-2) (-3)
再如： x + =-5 可化为 x + = -2-3=-5 ∴ x1=-2, x2 = -3
x x
应用上面的结论解答下列问题：
8
（1）“十字方程” x + = -6，则 x1= , x2 =
x ;
2 1 1
（2）“十字方程” x- = -1的两个解分别为 x1 = a, x2 = b，求 + 的值；
x a b
n2 + n
（3）关于 x 的 “十字方程” x + = 2n+ 4 的两个解分别为 x1, x2 (x1 x2 )，
x 3
x
求 2 的值.
x1 +1
四、附加题（10 分）
29. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 a＞0，b＞0 时，
∵（ a － b ）2＝a－2 ab ＋b≥0，∴a＋b≥2 ab ，当且仅当 a＝b 时取等号．请利用上述结论解决
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以下问题：
1 1
（1）当 x＞0 时，x＋ 的最小值为 ；当 x＜0 时，x＋ 的最大值为 ；
x x
x2 +3x +16
（2）当 x＞0 时，求当 x 取何值，y＝ 有最小值，最小值是多少？
x
（3）如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，△AOB、△COD 的面积分别为 4 和 9，则四边形
ABCD 的面积的最小值为 .
D
A
O
B C
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参考答案
一、选择题（本题共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C A D C D B
二、填空题（本题共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16
30n + 5
答案 a≥2 1 ＜ -1 2 3 5 ， 2+ 5 25, n +1
三、解答题（本题共 12道小题，第 17-22题，每小题 5分，第 23-26题，每小题 6分，第 27、
28 题，每小题 7 分，共 68 分）
17．原式 ＝2 2 + 3 2 2 ………………………………………………3 分
＝5 2 2. ………………………………………………………5 分
3
18. 解：原式 ＝4 + 2 3 3 ………………………………………………3 分
3
＝4 + 2 3 3 ……………………………………………………4 分
＝4 + 3 . …………………………………………………5 分
（2x 3） （x 1）
19. 解：（1）原式=
x 2
2x 3 x +1
= …………………………………………… 1 分
x 2
x 2
=
x 2
=1 ……………………………………………2 分
y2 2x 1
（2）原式= ……………………………………… 4 分
x2 y y
2
= . …………………………………………………5 分
x
2x 1
20. 原式 = ……………………………… 1 分
(x + 2)(x 2) x 2
2x x + 2
= ……………………………… 2 分
(x + 2)(x 2) (x + 2)(x 2)
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2x x 2
= ……………………………………………… 3 分
（x + 2)(x 2)
x 2
= ……………………………………………… 4 分
(x + 2)(x 2)
1
= . ……………………………………………… 5 分
x + 2
21.解：去分母，得： x + 3= 2x ……………………………………2 分
移项，得： x - 2x = - 3
合并同类项，得： -x = -3 ………………………………………3 分
系数化 1，得： x = 3. ……………………………………………4 分
经检验：x = 3 是原方程的解. ………………………………………… 5 分
∴原方程的解是 x = 3．
22．解：去分母，得： x（x+1）+3（x-1）= （x+1）（x-1） …………………1 分
去括号，得： x2+x+3x-3= x2 -1 ……………………2 分
移项并合并同类项，得： 4x = 2 ……………………………3 分
1
系数化为 1，得： x = . ……………………… 4 分
2
1
经检验： x = 是原方程的解. …………………………………………… 5 分
2
1
∴原方程的解是 x = ．
2
23．解：（1）甲（或乙）． ………………………………1 分
（2）②（或③）． …………………………………………………2 分
2 1
（3）
x2
1 x 1
2 1
=
(x +1)(x 1) x 1
2 x +1
= …………………………3 分
(x +1)(x 1) (x +1)(x 1)
2 x 1
= …………………………………………4 分
(x +1)(x 1)
1 x
= …………………………………………5 分
(x +1)(x 1)
1
= ………………………………………………6 分
x +1
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24．解：（解法 1）
∵ x = 3 + 2, y = 3 2
∴x y =（ 3 + 2） （ 3 2）=2 2. …………………………1 分
∴xy =（ 3 + 2）（ 3 2）=1. …………………………2 分
∴x2 3xy + y2
= (x y)2-xy
…………………………4 分
=（2 2）2 1
= 7.
…………………………6 分
（解法 2）
∵ x = 3 + 2, y = 3 2
∴x2 =（ 3 + 2）2 = 5+ 2 6. …………………………2 分
∴y2 =（ 3 2）2 = 5 2 6. …………………………4 分
∴xy =（ 3 + 2）（ 3 2）=1. …………………………5 分
∴x2 3xy + y2
= 5+ 2 6-3+ 5 2 6 …………………………6 分
= 7.
m2 4 5 m2 2m
25.解：原式= …………………………………………2 分
m 2 m 3
(m+3)(m 3) m(m 2)
= ……………………………………………4 分
m 2 m 3
= m2 + 3m …………………………………………………5 分
∵m2 + 3m 4 = 0，
∴m2 + 3m = 4 ，
∴原式= 4 …………………………………………6 分
26.解：设新型机器人每天搬运的货物量为 x吨，
则旧型机器人每天搬运的货物量为 (20 x) 吨. ………………………1 分
根据题意，得
960 720
= ……………………………………3 分
x x 20
解得 x =80 . …………………………………4 分
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检验：当 x =80时， x(x 20) 0且符合实际问题的意义. ……………………………5 分
所以，所列分式方程的解为 x =80 .
答：新型机器人每天搬运的货物量为 80 吨. …………………………6 分
5
27．（1）5 ． ………………………… 1 分
26
n n
（2） n = n （ n为正整数）． ………………………… 3 分
n2 +1 n2 +1
n(n2 +1) n n(n2 +1 1) n n2
（3）证明：左边 = = = ．
n2 +1 n2 +1 n2 +1
∵ n为正整数，
n n
∴左边 = n = n ． ………………………… 5 分
n2 +1 n2 +1
n
又∵右边 = n ，
n2 +1
∴左边=右边．
n n
即 n = n ．
n2 +1 n2 +1
（4）① 20；②57 ． ………………………… 7 分
28.（1） x1 = -2, x2 = -4; ……………………………… 2 分
2
(2)解： ∵ x = 1
x
2
∴ x + = 1
x
1 ( 2)
∴ x + =1+ ( 2) = 1
x
∴ x1 = a =1， x2 = b = 2
1 1 a +b 1 1
∴ + = = = ……………………………… 4 分
a b ab 2 2
n2 + n
（3）解：∵ x + = 2n+ 4为关于 x 的“十字方程”
x 3
n2 + n
∴ (x 3)+ = 2n+1
x 3
n(n+1)
∴ (x 3)+ = n+ (n+1)
x 3
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∴ x 3 = n或 x 3 = n +1 ……………………………… 6 分
∵ x1 x2
∴ x1 = n + 3或 x2 = n + 4
x2 n+ 4 n+ 4∴ = = =1 ……………………………… 7 分
x1 +1 n+3+1 n+ 4
四、附加题（10 分）
29.（1）2；-2； ……………………………… 4 分
x2 +3x +16 16
（2）y＝ = x + +3, ……………………………… 6 分
x x
∵x＞0
16 16
∴x + +3≥2 x +3 =11,
x x
……………………………… 8 分
∴当 x=4 时 y 的最小值为 11.
……………………………… 10 分
（3）25.
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