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2024-2025学年八年级上期期中模拟试题
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·浙江宁波·八年级校考期中）若，则下列各式正确的是是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】A．∵，∴，故本项错误；B．当，有，故本项错误；
C．∵，∴，故本项正确；D．∵，∴，故本项错误；故选：C．
2．（2024·浙江·八年级校考期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系解答．
【详解】解：A、由1+2<4，故该三条线段不能组成三角形；B、由4+5=9，故该三条线段不能组成三角形；
C、由4+6>8，故该三条线段能组成三角形；D、由5+5<11，故该三条线段不能组成三角形；故选：C．
3．（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案．
【详解】解：点E和点F分别是点D关于和的对称点，，
，，
，故选：A．
4．（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F，在上截取，连接，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明，得到，从而证明是等边三角形，求出的值，即可得到答案．
【详解】解：等边三角形，，，
，，， ， ，
，，
，
， 是等边三角形，，
，，，
，，，
，．故选B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质及等腰三角形性质，熟练掌握外角和定理及全等三角形的判定是解题的关键．
5．（2024·浙江丽水·八年级校考期中）如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的值是（ ）
A．32 B．80 C．38 D．48
【答案】D
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，得出，，再根据，，，，求出的值即可．
【详解】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形，
，，
，，
，
，故选：D．
6．（2023春·辽宁阜新·八年级校联考期中）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值范围，再根据不等式组恰好只有四个整数解，求出实数a的取值范围．
【详解】解：由不等式，可得：，
由不等式，可得：，由以上可得不等式组的解集为：，
因为不等式组恰好只有四个整数解，即整数解为，
所以可得：，解得：，故选A．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分.不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.根据原不等式组恰有4个整数解列出关于a的不等式是解答本题的关键．
7．（23-24八年级·湖南株洲·期末）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为（ ）时，在某一时刻，三点构成的三角形与三点构成的三角形全等．
A．1或 B．1或 C．2或 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，一元一次方程的应用，设点的运动速度是，有两种情况：①，②，，列出方程，求出方程的解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：设点的运动速度是，∵，
∴三点构成的三角形与三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，则，解得：，则，解得：；
②，，则，解得：，故选：A．
8．（2023春·江苏南京·七年级校考期中）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④
【答案】A
【分析】由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④．
【详解】解：∵，的平分线交于点O，
∴，，
∴，
∴，故①正确，
∵平分， ∴， ∵，，
∴， ∴，故②正确；
∵，，，
∴，
∵平分，平分， ∴，， ∴，
∴，故③错误；
∵， ∴，
∵， ∴．故④正确， 综上正确的有：①②④．故选A
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9．（2023·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】如图所示过点作，根据所对边为斜边一半可计算长度，进而可计算的长度．
【详解】解：如图所示过点作于，在中，
，，，
，，，
，，，于，，
，故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形所对的边等于斜边的一半，等腰三角形的性质，在图中构造合适的辅助线的解题的关键．
10．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论正确的有（ ）个．
①；②；③是等腰三角形；④；⑤．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由“”可证，可得，故①正确；由等腰三角形的性质可得，故②正确；由角的数量关系可求，可得，即是等腰三角形，故③正确；由全等三角形的性质可得，则可得，故④正确；由角平分线的性质可得点到的距离等于点到的距离，由三角形的面积公式可求，故⑤正确，即可求解．
【详解】解：，，，
，，，
，，，，
在和中，，，故①正确．
平分，，，
∵，，，，，故②正确，
，，，，
，，，
，是等腰三角形，故③正确．
，，，故④正确；
平分，点到的距离等于点到的距离，，故⑤正确，故选：A．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，，，，与相交于点与相交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查利用三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理求角度，涉及对顶角相等，先由题中所给条件，利用三角形全等的判定定理得到，进而由三角形全等的性质确定，再根据对顶角相等得到，在和中，由三角形内角和定理即可确定答案，熟练掌握三角形全等的性质、三角形内角和定理求角度是解决问题的关键．
【详解】解：在和中， ，，
在和中，，，则由三角形内角和定理可得，
故答案为：．
12．（2024·浙江杭州·八年级校考期中）若关于x的不等式组有解，则写出符合条件的一个a的值 ．
【答案】6(答案不唯一)
【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组有解确定出a的值即可．
【详解】解：解不等式组得： ，由不等式组有解，得到，
则满足题意a的值为6．故答案为：6．
13．（23-24八年级·江苏常州·期中）如图，将沿着折叠，点A的对应点为．已知，当时，的度数为 ．
【答案】/73度
【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
由折叠可得，再由平行线的性质可得，利用补角的定义可求得的度数，即可求的度数．
【详解】解：由折叠可得：，
，，，
，故答案为：．
14．（23-24八年级·上海长宁·期中）我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按这样的规定，如果那么x的值为 .
【答案】或
【分析】本题考查方程和不等式，分为和两种情况化简方程解题即可．
【详解】解：当时，即时，，解得；
当时，即时，，解得；故答案为：或.
15．（2024·浙江台州·八年级校考期中）如图，ΔABC的面积为8 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P， 则ΔPBC的面积为 ．
【答案】
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【详解】解：延长AP交BC于E，如图所示：
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
在△APB和△EPB中，∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB=S△EPB，AP=PE，∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=4cm2，故答案为4cm2．
16．（23-24八年级·河北承德·期中）如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 .
【答案】1
【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可．
【详解】过点P作交于点F，如图，
∴，，是等边三角形，∴，
∵，∴；∵，∴，∵，∴，
在和中，∴，∴；∴，，
∵，，∴，
∵，故答案为：
17．（2024·浙江丽水·八年级校考期中）如图，图1是一个儿童滑梯，，，是滑梯的三根加固支架（如图二），且和都垂直地面，是滑道的中点，小周测得米，米，米，通过计算，他知道了滑道长为 米.
【答案】
【分析】连接，过作于，由直角三角形斜边上的中线性质得，再由等腰三角形的性质得米，然后由勾股定理得米，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，过作于，
米，米，（米），
，，是滑道的中点，，
，（米），（米），
在中，由勾股定理得：（米），
在中，由勾股定理得：（米），故答案为：．
18．（2024·浙江台州·八年级校考期中）已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形．
其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③/③①
【分析】①根据等边对等角，可得∠APO=∠ABO、∠DCO=∠DBO、则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，据此即可求解；③证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形．
【详解】解：①如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°∵OP=OC，∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故①正确；
②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，∴∠OPC+∠OCP=120°，∴∠POC=180°-(∠OPC+∠OCP)=60°，
∵OP=OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；故答案为：①③．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级·山东烟台·期末）（1）解不等式：；
（2）解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集．
【答案】（1）；（2），数轴表示见解析．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
在数轴上表示不等式组的解集为：
20．（23-24八年级·河北张家口·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点．
(1)如图1，作出关于直线对称的图形；
(2)如图2，在直线上求作点P，使得．
【答案】(1)图见解析(2)图见解析
【分析】本题考查轴对称作图：
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）作点关于的对称点，连接，与的交点即为所求；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，点点P，即为所求；
由作图可知：
21．（23-24八年级·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
(1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法：______；方法：______；
根据以上信息，可以得到的等式是______；
(2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
(3)在（）的条件下，若，求斜边的值．
【答案】(1)，，；(2)；(3)．
【分析】（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式；
（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到；
（）把代入到（）中的关系式中计算即可求解；
本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键．
【详解】（1）解：方法：，
方法：，
可以得到的等式是：，
故答案为：，，；
（2）解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
（3）解：把代入得，
，
∴．
22．（23-24八年级·甘肃兰州·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点．
(1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由．
(2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）过点作于点，由点在的角平分线上，且于，M，得，，进而证明（），即可得证明；
（2）过点作于点，同（），可证，得，证，得，从而即可得解；
（3）过点作于点，同（），可证，，又证，得，从而即可得解．
【详解】（1）解：．理由：
过点作于点，
∵点在的角平分线上，且于，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴．
（2）解：结论：，理由如下：
如图，过点作于点，
同（），可证，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
如图，过点作于点，
同（），可证，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，垂线定义，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
23．（23-24八年级·安徽安庆·期末）2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元．
(1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
(2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？
(3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
【答案】(1)每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元
(2)该销售店共有3种进货方案，详见解析
(3)进货方案购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元
【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题，一元一次不等式组解决实际问题．
（1）设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据“购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元”即可列出方程，求解即可；
（2）根据“购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元”列出不等式组，求出m的取值范围，再结合m为整数，即可解答；
（3）根据（2）分别求出各进货方案的利润，即可解答．
【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价为x元，每个“天宫”模型的进货价为y元，根据题意，得
，
解得：，
答：每个“神舟”模型的进货价为50元，每个“天宫”模型的进货价为40元．
（2）解：根据题意，得
，
解得：，
∵m取整数，
∴，
∴该销售店共有3种进货方案：
①购进“神舟”模型27个，购进“天宫”模型个；
②购进“神舟”模型28个，购进“天宫”模型个；
③购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型个．
（3）解：方案①的利润为：（元）；
方案②的利润为：（元）；
方案③的利润为：（元）；
∴方案③的利润最大，为1345元．
答：进货方案③：购进“神舟”模型29个，购进“天宫”模型51个的利润最大，最大利润为1345元．
24．（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．
(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数；
(3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
【答案】(1)(2)(3)不变，值为2
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理及外角性质，利用数形结合探究角的运算关系是解答的关键．
（1）由平行线的性质得，则；再由角平分线的定义得，结合已知，即可求解；
（2）设交于点H；先求得，由角平分线定义得，则，利用互补关系即可求解；
（3）由角平分线与三角形外角的性质得：，，则可得到结论．
【详解】（1）解：，
，，
即；
平分，
；
，
，
，
即，
即；
（2）解：如图，设交于点H；
由（1）知，且，
；
平分，平分，
，
，
；
（3）解：不变；
，，，
；
同理：；
平分，平分，
，
，
，
；
即的值不变，且为2．
25．（23-24八年级·重庆开州·期末）如图，等腰和等腰如图放置，，，．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，当点B，E，D在同一直线上时，连接，取的中点F，连接，求证：；
(3)如图3，连接，过点A作于点G，的延长线交于点H，若，，直接写出的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6
【分析】（1）证明，即可证出结论；（2）延长至点，使，连接，证明，进一步证明，得到，即可；
（3）过点作于点，过点作于点，分别证明，得到，利用的面积等于的面积加上的面积，计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：延长至点，使，连接，
由（1）知：，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∵
，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
同法可得：，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，等腰三角形的判定，涉及手拉手模型，倍长中线法构造全等三角形，一线三直角全等模型，对学生的思维要求较高，难度较大，属于压轴题，掌握构造全等三角形的辅助线的作法，是解题的关键．
26．（23-24八年级·广东湛江·期末）若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如：图1，在△ABC中，，则为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高
(1)等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
(2)如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明；
(3)如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点D作交于点E．求的值．
【答案】(1)是
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题是三角形综合体，考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股高三角形的定义以及平行线的性质等知识．本题综合性强，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据勾股高三角形的定义即可判断；
（2）由勾股高三角形的定义可得，则有，再由勾股定理得，即可推出；
（3）过点作于点，证明，得，再由平行线的性质得到，，然后证明，得，进而由等腰三角形的性质得，，即可解决问题．
【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，，
，
是边上的高，
等腰直角三角形是勾股高三角形．
故答案为是．
（2），理由如下：
是勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高，
，
，
，
，
．
（3）如图，过点作于点，
是勾股高三角形，，是边上的高，
，，
由（2）可知，，
，
，
在与中，
，
．
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，设，
，
，
．
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2024-2025学年八年级上期期中模拟试题
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·浙江宁波·八年级校考期中）若，则下列各式正确的是是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·八年级校考期中）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11
3．（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F，在上截取，连接，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江丽水·八年级校考期中）如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，图中正方形，正方形，正方形的面积分别记为，，，若，则的值是（ ）
A．32 B．80 C．38 D．48
6．（2023春·辽宁阜新·八年级校联考期中）关于x的不等式组恰好只有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级·湖南株洲·期末）如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为（ ）时，在某一时刻，三点构成的三角形与三点构成的三角形全等．
A．1或 B．1或 C．2或 D．1
8．（2023春·江苏南京·七年级校考期中）在中，，的平分线交于点O，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点D，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④
9．（2023·浙江台州·八年级校联考期中）如图，在中，，，，点在的延长线上，点在边上，且，若，则的长等于( )
A．1 B． C．2 D．
10．（2023秋·陕西西安·八年级校考开学考试）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论正确的有（ ）个．
①；②；③是等腰三角形；④；⑤．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（23-24八年级·江苏南通·期中）如图，，，，与相交于点与相交于点，若，则 ．
12．（2024·浙江杭州·八年级校考期中）若关于x的不等式组有解，则写出符合条件的一个a的值 ．
13．（23-24八年级·江苏常州·期中）如图，将沿着折叠，点A的对应点为．已知，当时，的度数为 ．
14．（23-24八年级·上海长宁·期中）我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按这样的规定，如果那么x的值为 .
15．（2024·浙江台州·八年级校考期中）如图，ΔABC的面积为8 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P， 则ΔPBC的面积为 ．
16．（23-24八年级·河北承德·期中）如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 .
17．（2024·浙江丽水·八年级校考期中）如图，图1是一个儿童滑梯，，，是滑梯的三根加固支架（如图二），且和都垂直地面，是滑道的中点，小周测得米，米，米，通过计算，他知道了滑道长为 米.
18．（2024·浙江台州·八年级校考期中）已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：
①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形．
其中正确的是 ．（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（23-24八年级·山东烟台·期末）（1）解不等式：；
（2）解不等式组，并在数轴上表示此不等式组的解集．
20．（23-24八年级·河北张家口·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点．
(1)如图1，作出关于直线对称的图形；(2)如图2，在直线上求作点P，使得．
21．（23-24八年级·广西南宁·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
(1)如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法：______；方法：______；
根据以上信息，可以得到的等式是______；
(2)如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
(3)在（）的条件下，若，求斜边的值．
22．（23-24八年级·甘肃兰州·期末）已知：点是平分线上一点，点在射线上，作，交直线于点，作于点．
(1)观察猜想：如图，当时，写出和的数量关系，并说明理由．
(2)探究证明：如图，当时，写出，和之间的等量关系，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图，当，点在射线的反向延长线上时，请直接写出线段、和之间的数量关系．
23．（23-24八年级·安徽安庆·期末）2024年4月25 日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，将航天员叶光富、李聪和李广苏顺利送入太空，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进3个“神舟”模型和4个“天宫”模型一共需要310 元；购进4个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要280 元．
(1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格；
(2)该销售店老板计划购进两种模型共80个，设购进“神舟”模型m个，如果购进“天宫”模型的数量不超过“神舟”模型数量的2倍，并且总费用不超过3490元，那么该销售店共有几种进货方案？
(3)该销售店计划每个“神舟”模型的售价为70 元，每个“天宫”模型的售价为55 元，在(2)的条件下，全部售完后，哪种进货方案获得的利润最大？ 最大利润是多少元？
24．（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，D、E分别在边AB、AC上，的角平分线交于点F．
(1)如图1，求的度数．
(2)如图2，如果的角平分线与交于G点，，求的度数；
(3)如图3，H点是边上的一个动点（不与B、C重合），交于M点，的角平分线交于N点，当H点在上运动时，的值是是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值．
25．（23-24八年级·重庆开州·期末）如图，等腰和等腰如图放置，，，．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，当点B，E，D在同一直线上时，连接，取的中点F，连接，求证：；
(3)如图3，连接，过点A作于点G，的延长线交于点H，若，，直接写出的面积．
26．（23-24八年级·广东湛江·期末）若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如：图1，在△ABC中，，则为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高
(1)等腰直角三角形 勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
(2)如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明；
(3)如图3，等腰△ABC为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点D作交于点E．求的值．
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