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2024-2025学年九年级上期期中模拟试题
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·湖北荆门·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，将抛物线分别向左、向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（河南省南阳市2023-2024学年九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏徐州·九年级统考期中）如图，圆内接正六边形的周长为，则该正六边形的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖南邵阳·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数，若对满足的任意x都有，则实数a的范围为（ ）
A．且 B． C． D．或
9．（2024·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河南郑州·九年级校考期末）抛物线大致如图，顶点坐标为．下列结论，①；②；③方程两根的和为，④当时，方程的所有实数根的和为，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（山东省青岛市2023-2024学年九年级期中）若，则的值为 ．
12．（2023上·湖北襄阳·九年级统考期中）已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为 。
13．（2023上·四川德阳·九年级统考期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
14．（2023秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ．
15．（2023秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，为直径，点C为圆上一点，将沿弦翻折交于点D，连结．若，则 ．
16．（2024·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ．
17．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）如图，，半径为的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 ．
18．（成都市金牛区2022-2023学年九年级上期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发沿运动，同时，点从点出发沿运动．连接，过点作于点，连接，若点的运动速度是点的倍，则在点从点运动到点的过程个，线段的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为．
(1)在x轴下方，画出；(2)直接写出______．
20．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中，
(1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；(3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．
21．（2024·上海·中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．（1）求证：；（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
22．（2024·四川广元·中考真题）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识．为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 27 30 12 6
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
(1)样本容量为______，______；(2)全校1200名学生中，请估计A等级的人数；
(3)全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．
23．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，．(1)求证：平分；并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点，若，圆的半径长为8，求的长．
24．（23-24九年级·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．
(1)求抛物线L的函数解析式；(2)求小球P在x轴上的落点坐标；
(3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数．
25．（23-24九年级·江苏盐城·阶段练面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由；(3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
26．（四川省成都市简阳市2022-2023学年九年级下学期开学学业质量检测数学试题）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形交直线于点H．
【尝试初探】(1)在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
【深入探究】(2)随着E点位置的变化，H点的位置也随之发生变化，当B，C，G共线时，连接，求的数量关系；
【拓展延伸】(3)连接，当的长度为时，求的最小值（用含n和的代数式表示）．
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2024-2025学年九年级上期期中模拟试题
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·湖北荆门·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，将抛物线分别向左、向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可得出答案．
【详解】由抛物线分别向左、向下平移2个单位后得到的抛物线的解析式是：，故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握平移方法是解题的关键．
2．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）如图，扇形中，，，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，根据题意得出，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，
∵ 则四边形是正方形，
，∴，，，
，在中，，
，，
，∴，
，，
，，故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解．
本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵四边形是的内接四边形我 ∴，
，，，
，，，，解得，
，．故选：C
4．（河南省南阳市2023-2024学年九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，将以原点为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换，勾股定理，由勾股定理求出、的值，从而得到相似比，再根据相似三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：，，，，
以原点为位似中心放大后得到，
与的相似比是：，与的面积的比是，故选：C．
5．（2024·江苏徐州·九年级统考期中）如图，圆内接正六边形的周长为，则该正六边形的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】据已知条件先求出正六边形的边长以及对应角度，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出答案.
【详解】解：连接，过点作于点，如图所示，
圆内接正六边形的周长为，圆内接正六边形的边长为：.
，.，，
在中， ，.
正六边形的内切圆半径为：.故选：A.
【点睛】本题考查了正多边形和圆，垂径定理，勾股定理，解题的关键在于正确掌握正六边形的性质.
6．（2024·湖南邵阳·中考真题）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】假设不规则图案面积为x，由已知得：长方形面积为20，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上有：，解得．故选：B．
7．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，相似三角形的的判定和性质，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键．根据点C为线段的黄金分割点，设,则，得到，解得，根据，即可得到答案．
【详解】解：∵五边形为正五边形 ∴，,，
∴，，∴，
∴∴∴
∵点C为线段的黄金分割点，设,则
∴化简得，，∴，∵∴故选：B．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）二次函数，若对满足的任意x都有，则实数a的范围为（ ）
A．且 B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置．当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于．当时，当，时，满足条件；当时，当，，当，时，满足条件，然后分别解不等式组确定实数的范围．
【详解】解：当时，抛物线与轴的交点为，
当，时，满足的任意都有，即，解得；
当时，抛物线与轴的交点为，
当，，且当，时，满足的任意都有，
即且，解得，
综上所述，实数的范围为且．故选：A
9．（2024·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，∴∴，，
∴，则，∴，
∵，∴，∴∴，
在中，，故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．（2024·河南郑州·九年级校考期末）抛物线大致如图，顶点坐标为．下列结论，①；②；③方程两根的和为，④当时，方程的所有实数根的和为，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标（-2，-9a），∴，∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax-5a，∴，故①错误，
∴故②正确；∵抛物线y=ax2+bx+c=ax2+4ax-5a，
当y=0时，ax2+4ax-5a=0，∴方程ax2+bx+c=0的两个根和为：，故结论③正确；
如图，当时，直线y=1与的图象有3个交点，
∴方程的所有实数根的和为，
当时，直线y=1与的图象有2个交点，此时方程的所有实数根的和为，∴当时，直线y=1与的图象有4个交点，此时方程方程的所有实数根的和为-4-4=-8，故④错误；所以正确的结论有2个，故选：B
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（山东省青岛市2023-2024学年九年级期中）若，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
利用比例的基本性质进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，故答案为：2．
12．（2023上·湖北襄阳·九年级统考期中）已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为 。
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式得出，开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性判断即可得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：二次函数，，开口向上，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，，，
，，，，．
13．（2023上·四川德阳·九年级统考期末）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为 ．
【答案】6.
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】圆锥的底面周长cm，
设圆锥的母线长为，则： ，解得，故答案为．
14．（2023秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，随机闭合4个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ．
【答案】
【分析】利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有：，共8种，∴能使小灯泡L发光的概率为．故答案为：．
15．（2023秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）如图，为直径，点C为圆上一点，将沿弦翻折交于点D，连结．若，则 ．
【答案】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据，计算即可得解．
【详解】解：如图，连接，是直径，，
，．
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，，
，，．故答案为：．
【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，三角形的外角定理，难度适中．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．（2024·福建·中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ．
【答案】8
【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。
【详解】解： 把y=0代入得：，
解得：，，
把y=0代入得：，
解得：，，
∵，∴，∴，
即，
，令，则，解得：，，
当时，，解得：，
∵，∴不符合题意舍去；当时，，解得：，
∵，∴符合题意；综上分析可知，n的值为8．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．
17．（2023上·浙江台州·九年级台州初级中学校考阶段练习）如图，，半径为的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理；设半径为的与角的两边相切于，，连接，，延长交于，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，如图，延长交于，推出与是直角三角形，根据直角三角形的性质得到，，求得，当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，根据正方形的性质得到，求得；如图，当与相切且点在圆心的，左侧时，有最小值，同理可得于是得到结论．
【详解】解：设半径为的与角的两边相切于，，如图，连接，，延长交于，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
如图，延长交于，
，，
，
，
，
与是直角三角形，
，，
，
当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，
连接，
则四边形是正方形，
，，
(；
如图，当与相切且点在圆心的左侧时，有最小值，
同理可得(；
故的取值范围是，
故答案为：．
18．（成都市金牛区2022-2023学年九年级上期末）如图，在矩形中，，，动点从点出发沿运动，同时，点从点出发沿运动．连接，过点作于点，连接，若点的运动速度是点的倍，则在点从点运动到点的过程个，线段的最小值是 ．
【答案】
【分析】如图，延长交的延长线于，证明，，可得，由，可得在以为直径的圆上运动，而，设的中点为，则，过作，由，则在上，可得，，，当，，三点共线时，最小，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长交的延长线于，
∵点的运动速度是点的倍，∴，
∵矩形，∴，∴，
∴，，，
又在以为直径的圆上运动，而，
设的中点为，则，
过作，由，则在上，∴，
则，，，
当，，三点共线时，最小，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查的是矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，证明在以为直径的圆上运动是解本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，与关于坐标原点O位似，且相似比为．
(1)在x轴下方，画出；(2)直接写出______．
【答案】(1)画图见解析(2)
【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键．
（1）分别确定关于的位似对应点，再顺次连接即可；
（2）由位似图形的性质可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
．
（2）由位似图形的性质可得：．
20．（2024·浙江杭州·模拟预测）在二次函数中，
(1)若该二次函数图象经过，求该二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)求证：不论取何值，该二次函数图象与轴总有两个公共点；
(3)若时，点，，都在这个二次函数图象上且，求的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标
(2)见解析
(3)
【分析】（1）二次函数的图象经过，即可求得，得到抛物线为，解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
（2）依据题意，由，又对于任意的都有，从而可以判断的大小，进而可以得解；
（3）依据题意，由，在二次函数图象上，从而对称轴直线，故，即，又抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，再结合可得 ，再分类讨论即可得解．
【详解】（1）解：二次函数图象经过，
，
，
抛物线为，
，
顶点坐标为；
（2）证明：
∴二次函数图象与轴总有两个公共点；
（3）解：对称轴直线，
∴即．
∵，
∴，
∵抛物线过，
∴，即，
∵，
∴，
解得，即
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
∵，
∴，
当，解得（不合题意舍去）；
当，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
21．（2024·上海·中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．
（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;
（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．
【详解】证明：（1）连结，
∵M、N分别是和的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在中，，
，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
，
，
∴，
;
（2）设OG交MN于E，
，
∴，
∴，即，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．
22．（2024·四川广元·中考真题）广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识．为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 27 30 12 6
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
(1)样本容量为______，______；
(2)全校1200名学生中，请估计A等级的人数；
(3)全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．
【答案】(1)90，15；
(2)200；
(3)．
【分析】（1）利用C等级的人数及其扇形圆心角度数求出总人数，用总人数减去其他等级的人数即可得到m的值；
（2）用总人数1200乘以抽样调查中的A等级的比例即可得到A等级的人数；
（3）画树状图求解即可．
【详解】（1）解：样本容量为，，
故答案为：90，15
（2）（名）
答：全校1200名学生中，估计A等级的人数有200名．
（3）设七年级学生为A，八年级学生为，，九年级学生为，
画树状图如下：
由树状图可知一共有20种等可能的结果，其中两人来自同一个年级的结果有4种，
∴P（选择的两人来自同一个年级）．
【点睛】此题考查了扇形统计图与统计表，画树状图求概率，利用个体比例求总体中的数量，正确理解统计图表得到相关信息是解题的关键．
23．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，圆内接四边形的对角线交于点平分，．
(1)求证：平分；并求的大小；
(2)过点作交的延长线于点，若，圆的半径长为8，求的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、角平分线的判定与性质、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由圆周角定理结合得出，即可得出平分，由角平分线的定义得出，再由圆内接四边形的性质得出，即可得解；
（2）证明出是等边三角形，得出，从而得出，再由圆内接四边形的性质求出，从而即可得解．
【详解】（1）证明：，
，
平分，
平分，
，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知：，，
是圆的直径，，
，，
，
是等边三角形，
，
又平分，
，
，
，
，
，
∵四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
．
24．（23-24九年级·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．
(1)求抛物线L的函数解析式；(2)求小球P在x轴上的落点坐标；
(3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数．
【答案】(1)抛物线L的函数解析式为；
(2)小球P在x轴上的落点坐标为；
(3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可；
（2）对于，令，求解一元二次方程，据此计算即可求解；
（3）由题意先求出，当和时，求得对应的值，再设竖直摆放的回收箱有个，根据题意得出关于的不等式组，求出的整数解即可．
【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2，
∴顶点坐标为，
∴设抛物线L对应的函数解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线L对应的函数解析式为；
（2）解：对于，
令，则，
解得，，
∴小球P在x轴上的落点坐标为；
（3）解：∵，，
∴，对于，
当时，；
当时，；
设竖直摆放的回收箱有个，
则，
解得，
∵是正整数，
∴可以是3或4或5或6或7，
答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个．
25．（23-24九年级·江苏盐城·阶段练面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，请说明理由；(3)如图，点M是直线上的一个动点，连接，是否存在点M使最小，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)存在，，，，；
(3)存在点M使最小，
【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入函数解析式，求出解析式，即可求出点A，C的坐标；
（2）设，根据勾股定理分情况进行讨论，列出方程求解即可；
（3）作点关于的对称点，连接交于点，连接，求出直线的解析式，直线的解析式，联立方程即可．
【详解】（1）解：将代入，
即，
解得，
，
令，，
令，，
解得，
；
（2）解：存在点P，使是直角三角形，
，对称轴为直线，
设，
，
，
，
，
①当时，，
，
解得；
②当，，
，
解得；
③当，，
，
解得或，
综上所述，或或或；
（3）解：存在
作点关于的对称点，连接交于点，连接，
由对称性可知，，
，
当三点共线时，有最小值，
，
，
，
由对称性可知，，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
设直线解析式为，
，
解得，
故直线解析式为，
联立方程组，
解得．
故．
26．（四川省成都市简阳市2022-2023学年九年级下学期开学学业质量检测数学试题）如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形交直线于点H．
【尝试初探】(1)在点E的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
【深入探究】(2)随着E点位置的变化，H点的位置也随之发生变化，当B，C，G共线时，连接，求的数量关系；
【拓展延伸】(3)连接，当的长度为时，求的最小值（用含n和的代数式表示）．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】（1）先说明，再说明即可证明结论；
（2）由可得，再证明可得即，然后易证可得，代入即可证明结论；（3）如图，连接BD，BG，再分别说明和可得即，易得进而得到，最后在中运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：∵四边形和四边形是矩形，∴，
∴，∴，
∵矩形矩形，∴，∴，
∴在点E的运动过程中，与始终保持相似关系．
（2）解：如图，∵，∴，D、C、F三点共线，即F点在DC的延长线上，∴，
在和中，，∴，
又∵，∴，
∴，∴，易证，∴，∴．
（3）解：如图，连接BD，BG，∵矩形矩形，∴，
∴，∴，
∵矩形矩形，∴，∴，
∴，即恒等于90°，
∴当时，有最小值，易证，∴，∴，
在中，由勾股定理得，∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理是解题的关键．
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