沪科版第17章一元二次方程单元测试B卷
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文档简介
八年级数学下册第17章
《一元二次方程》单元测试B卷
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．若4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根是 _________ ．
2．一元二次方程（m-2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m= _________ ．
3．关于x的一元二次方程2x2+4x+kx﹣1=0的两根的平方和为2，则k= _________
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，依题意得方程 _________ ．
5．某服装的进价为每件x元，售价为每件100元，若打6折销售，仍可获利两成，则x= _________ 元．
6．设方程x2﹣3x﹣5=0的两个实数根为x1、x2，则x1-x2= _________ ．
7．已知关于x的方程x2﹣6x+m=0的一个根是另一个根的5倍，则m的值为 _________ ．
8．已知关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0两根互为倒数，则k= _________ ．
9．若a，b是方程x2+2015x﹣1=0的两个实数根，则a2b+ab2﹣ab的值是 _________ ．
10．已知方程（k-3）x2-kx﹣4=0的一个根为xl=2，则另一个根x2= _________ ，k= _________ ．
二、选择题（每题3分，共30分）
11．已知实数a，b，c满足（a2+b2+c2）（a2+b2+c2﹣1）=2，则a2+b2+c2=（ ）
A． 2 B． ﹣1 C． 2或﹣1 D． ﹣2或1
12．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x=1有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． m≠1 B． m≥ C． m≥且m≠1 D． m为任何实数
13．一元二次方程（m+1）x2﹣mx+x-1=0的根的情况是（ ）
A． 有两个相等的实数根 B． 有一个实数根
C． 有两个不相等的实数根 D． 没有实数根
14．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（ ）
A．
x1=x2=1
B．
x1=1+，x2=﹣1﹣
C．
x1=1+，x2=1﹣
D．
x1=﹣1+，x2=﹣1﹣
15．方程(x-1)（x+1）2=4（x﹣1）2的解是（ ）
A．无实数根 B． x1=-1，x2=3 C． x1=1，x2=-1,x3=3 D． x=1
16．一元二次方程(m-3)x2+2mx+m2=9有一根为零的条件是（ ）
A． m=±3 B． m=-3 C． m=9 D． m=3
17．方程x4﹣3x2-4=0的实数根是（ ）
A． -1，2 B． 2，-2 C．1,-2 D． 无法确定
18．等腰△ABC中，AB=9，AC、BC的长是关于x的方程x2-8x+k=0的两根，则k=（）
A. 16 B. 9 C. 9或 -16 D.16或-9
19．用一张90cm长，宽为50cm的硬纸片，在4个角上剪去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为2100cm2的没有盖的长方体纸盒，根据题意列方程为（ ）
A．(90-2x)(50-2x) =2100 B． x2+70x+600=0 C． x2﹣70x﹣600=0 D． (90-2x)(50-2x)=90×50-2100
20．若关于x的方程(a+3)x2-(a-2)x =1有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． a≥-4 B． a≥-4 C． a≠-3 D． 全体实数
三、解答题（共40分）
21．（8分）解方程
（1）25（x﹣1）2-12=4
（2）x2﹣3x﹣=0
（3）x3﹣9x2+20x=0
（4）x2﹣4x-3=0（用配方法）
22．（6分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（3m﹣1）x+m2=0的两个实数根且（x1+3）（x2+3）=22+m，求m的值．
23．（12分）关于x的一元二次方程x2-9x+a=0。
(1)若方程有实数根，求a的取值范围。
(2)若方程的两个实数根为x1，x2且3 x1+ x2=13，求a的值。
24．（14分）从一张长方形硬纸片的四个角上剪去一些长方形或正方形（虚线部分），然后沿实线折起，做成一个有盖的长方体纸盒，如图所示(单位：cm)．
（1）若此纸盒的高为xcm，底面积为1200cm2，问纸盒的高为多少？；
（2）这个纸盒的底面积是否可以为300cm2？若存在，请求出纸盒相应的高；若不存在，请说明理由．
解析
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．若4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根是 _-2________ ．
考点：
一元二次方程的根的定义
分析：
将条件与方程相联系相比较，试根尝试．
解答：
解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当x=-2时，显然有
4a-2b+c=0
所以方程ax2+bx+c=0必有一根为-2．
点评：
本题先将方程转化为完全平方的形式，再开方．要注意
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
2．一元二次方程（m-2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m= ___1______ ．
考点：
一元二次方程的解．
分析：
本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=0代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解答：
解：∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得m2﹣3m+2=0，解此方程得到m1=1，m2=2；
又∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数m-2≠0，即m≠2；
综合上述两个条件，m=1，
点评：
本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
3．关于x的一元二次方程2x2+4x+kx﹣1=0的两根的平方和为2，则k= ___-2或-6______
考点：
一元二次方程根与系数的关系．
分析：
一元二次方程化成一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）后，有x1+x2=-,x1x2=．
解答：
解：由韦达定理，得x1+x2=-=-2-0.5k,x1x2==-0.5
又x12+x22=2，
所以（x1+x2）2-2 x1x2=2
所以k2+2k+5=2
所以k1=-2,k2=-6
故答案为-2或-6．
点评：
要看清一元二次方程2x2+4x+kx﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项．
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，依题意得方程
___100（1﹣x）2=81．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题．
分析：
若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可
解答：
解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为100（1﹣x）2=81．
点评：
本题主要考查列一元二次方程，关键在于读懂题意，找出合适的等量关系列出方程．
5．（3分）某服装的进价为每件x元，售价为每件100元，若打6折销售，仍可获利两成，则x= __50_____ 元．
考点：
一元一次方程的应用．
专题：
销售问题．
分析：
实际售价为：100×60%，按进价提高20%为（1+20%）x，为获利20%，两式相等．
解答：
解：依题意得：（1+20%）x=100×60%
解得x=50（元）．
点评：
本题考查了进价与获利，标价与降价之间的等量关系，是近年来中考常考题型，需要熟练掌握．
6．（3分）设方程x2﹣3x﹣5=0的两个实数根为x1、x2，则x1-x2= ___±______ ．
考点：
根与系数的关系．
专题：
计算题．
分析：
设方程x2﹣3x﹣5=0的两个实数根为x1、x2，所以直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
解答：
解：∵方程x2﹣3x﹣5=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=3,x1x2=-5
∴(x1-x2)2= (x1+x2)2-4 x1x2=32-2×(-5)=29
∴x1-x2=±
故答案为：±
点评：
此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，比较简单，直接利用结论即可求解．
7．已知关于x的方程x2﹣6x+m=0的一个根是另一个根的5倍，则m的值为 _5________ ．
考点：
根与系数的关系．
分析：
设方程x2﹣6x+m=0的两根是a，b，又a=5b，根据它和根与系数的关系可以得到关于a，b，m的方程，解方程即可求出m的值．
解答：
解：设方程x2﹣6x+m=0的两根是a，b，
又a=5b，
∴a+b=6b=6，
可得b=1，则a=5．
故a?b=m=5．
故填空答案：5．
点评：
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．
8．已知关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0两根互为倒数，则k= __±1_______ ．
考点：
韦达定理．
专题：
计算题．
分析：
根据方程两根互为倒数，由韦达定理得到x1x2=k2=1即可求出k的值．
解答：
解：∵方程两根互为倒数
∴x1x2=k2=1，
∴k=±1．
故答案为：±1．
点评：
此题考查了韦达定理，熟练掌握韦达定理是解本题的关键．
9．若a，b是方程x2+2015x﹣1=0的两个实数根，则a2b+ab2﹣ab的值是 _____2016____ ．
考点：
根与系数的关系．
分析：
由根与系数的关系，求得两根之和与两根之积，代入a2b+ab2﹣ab，求其值．
解答：
解：∵a，b是方程x2+2015x﹣1=0的两个实数根，∴a+b=﹣2015，ab=﹣1，
∴a2b+ab2﹣ab=ab（a+b）﹣ab=ab（a+b﹣1）=﹣1×（﹣2015﹣1）=2016．
点评：
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单，是基础知识，要识记．
10．已知方程（k-3）x2-kx﹣4=0的一个根为xl=2，则另一个根x2= _—________ ，k= ___8___ ．
考点：
一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析：
已知方程(k-3)x2-kx﹣4=0的一个根为xl=2，设另一根是x2，运用根与系数的关系即可列方程组，求解即可．
解答：
解：已知方程(k-3)x2-kx﹣4=0的一个根为xl=2，设另一根是x2，
则4(k-3)-2k-4=0
所以k=8
又由韦达定理，得x2?x1=即2x2==—
所以另一个根x2=—．
点评：
本题主要考查了韦达定理（根与系数的关系），即两根之和等于一次项的相反数；两根之积等于常数项，是一个基础题．
二、选择题（每题3分，共30分）
11．已知实数a，b，c满足（a2+b2+c2）（a2+b2+c2﹣1）=2，则a2+b2+c2=（ ）
考点：
换元法解一元二次方程．
分析：
设a2+b2+c2=m，用换元法将原方程转化为关于m的一元二次方程，解方程求x即可．
解答：
解：设a2+b2+c2=m，则原方程可化为m（m﹣1）=2
m2﹣m﹣2=0，
解得m1=2，m2=﹣1，
因为a2+b2+c2=m≥0，
所以a2+b2+c2=2．
故选A．
点评：
本题考查了换元法解方程的思想，要注意所求代数式的意义，把a2+b2+c2看作一个整体，求得两个值2和﹣1，要注意把不合题意的值舍去．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x=1有实数根，则m的取值范围是（ ）
考点：
一元二次方程的根的判别式．
分析：
一元二次方程：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），当△≥0时有实数根但是又不能忽略a≠0．
解答：
解：根据题意得m-1≠0且△=1-4（m-1）×(-1)≥0
解得：m≥且m≠1．
故选C．
点评：
本题主要考查两个知识点：一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
13．一元二次方程（m+1）x2﹣mx+x-1=0的根的情况是（ ）
A． 有两个相等的实数根 B． 有一个实数根
C． 有两个不相等的实数根 D． 没有实数根
考点：
根的判别式．
分析：
要判断方程（m+1）x2﹣mx+x-1=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解答：
解：∵a=m+1，b=﹣m+1，c=-1，
∴△=(-m+1)2﹣4(m+1)×(-1)=(m+1)2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选C．
点评：
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
14．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（ ）
A．
x1=x2=1
B．
x1=1+，x2=﹣1﹣
C．
x1=1+，x2=1﹣
D．
x1=﹣1+，x2=﹣1﹣
考点：
解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．
专题：
计算题．
分析：
根据一元二次方程的不同特征灵活选择不同的求解方式会给计算带来简便．
解答：
略
选C
点评：
本题用配方法及求根公式法都很简便。
15．方程(x-1)（x+1）2=4（x﹣1）2的解是（ ）
A．无实数根 B． x1=-1，x2=3 C． x1=1，x2=-1,x3=3 D． x=1
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
分析：
移项后因式分解求解．
解答：
解：原方程可化为：(x-1)（x+1）2=4（x﹣1）2，
(x-1)（x+1）2-4（x﹣1）2=0，
(x-1)[（x+1）2-4（x﹣1）]=0
(x-1)[（x-1）2+4]=0
因为[（x-1）2+4]≥4≠0，
所以x-1=0
即x=1
故选D．
点评：
解一元二次方程的基本思想是降次，就是把二次方程转化为一元一次方程．
16．一元二次方程(m-3)x2+2mx+m2=9有一根为零的条件是（ ）
A． m=±3 B． m=-3 C． m=9 D． m=3
考点：
一元二次方程的解．
分析：
将x=0代入已知方程，求得m=±3．
解答：
解：根据题意知，x=0满足关于x的一元二次方程(m-3)x2+2mx+m2=9，则m=±3．
又由于m-3≠0，所以m≠3。
故选B．
点评：
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
17．方程x4﹣3x2-4=0的实数根是（ ）
A． -1，2 B． 2，-2 C．1,-2 D． 无法确定
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
专题：
换元法．
分析：
设x2=t，即可把原方程转化为关于t的一元二次方程，把原方程化为两个一元二次方程，然后逐一进行解答．
解答：
解：设x2=t，则原方程可以变形为t2﹣3t-4=0，
解得t=-1或4．
∵x2=t≥0
∴x2=4．
解得x=±2．
故选B．
点评：
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．本题中要注意是个四次方程，应通过换元降次，再要注意根的取舍．
18．等腰△ABC中，AB=9，AC、BC的长是关于x的方程x2-8x+k=0的两根，则k=（）
A. 16 B. 9 C. 9或 -16 D.16或-9
考点：
等腰三角形与一元二次方程的解及根的判别式
专题：
等腰三角形与一元二次方程综合
分析：
分为AB=9作腰及不作腰两种情况：（1）AB作腰时则AC、BC中必有一边长为9，即9为方程x2-8x+k=0的根；（2）AB不作腰时则AC、BC中必为腰，则AC=BC，即方程x2-8x+k=0有两个相等的实数根，所以△=0．
解答：
解：（1）AB作腰时则AC、BC中必有一边长为9，即9为方程x2-8x+k=0的根；
∴92-8×9+k=0
∴k=-9
（2）AB不作腰时则AC、BC中必为腰，则AC=BC，即方程x2-8x+k=0有两个相等的实数根，所以△=0．
∴82-4k=0
∴k=16
故选D．
点评：
本题考查了等腰三角形与一元二次方程的解及根的判别式．
19．用一张90cm长，宽为50cm的硬纸片，在4个角上剪去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为2100cm2的没有盖的长方体纸盒，根据题意列方程为（ ）
A．(90-2x)(50-2x) =2100 B． x2+70x+600=0 C． x2﹣70x﹣600=0 D． (90-2x)(50-2x)=90×50-2100
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
几何图形问题．
分析：
本题设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则可得出长方体的盒子底面的长和宽，根据底面积为2100cm2，即长与宽的积是2100cm2，列出方程化简．
解答：
解：设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，
则得出长方体的盒子底面的长为：90﹣2x，宽为：50﹣2x，
又底面积为2100cm2
所以（90﹣2x）（50﹣2x）=2100，
整理得：x2﹣70x+600=0
故选：A．
点评：
本题要注意读清题意，找出等量关系．
20．若关于x的方程(a+3)x2-(a-2)x =1有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． a≥-4 B． a≥-4 C． a≠-3 D． 全体实数
考点：
一元二次方程根的判别式及一元一次方程
分析：
（1）本题当(a+3)x2-(a-2)x =1看作是一元二次方程时，显然须满足a+3≠0且△≥0；（2）本题未声明是一元二次方程，所以也可以看作是一元一次方程，即a+3=0时，所方程为5x=1,也有实数根。
解答：
解：（1）本题当(a+3)x2-(a-2)x =1看作是一元二次方程时，显然须满足a+3≠0且△≥0； 即a≠-3且
[-（a-2）]2-4(a+3)×(-1) ≥0
∴a≠-3且a2=16 ≥0
∴a≠-3
（2）本题未声明是一元二次方程，所以也可以看作是一元一次方程，即a+3=0时，所方程为5x=1,也有实数根。
∴a=3
故选D．
点评：
本题看清题意，看清关键词，准确理解区分“方程有实数根”与“一元二次方程有实数根”很重要。
三、解答题（共40分）
21．（8分）解方程
（1）25（x﹣1）2-12=4
（2）x2﹣3x﹣=0
（3）x3﹣9x2+20x=0
（4）x2﹣4x-3=0（用配方法）
考点：
解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．
专题：
计算题．
分析：
（1）转化为a(x+b)2=c的形式，利用平方根的定义直接开平方来求解；
（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解；
（3）方程左边提取x变形后，分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（4）常数项移到右边，两边加上4变形后，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解．
解答：
解：（1）
25（x﹣1）2=16
（x﹣1）2=
开方得：x﹣1=±，
∴x1=，x2=．
（2）这里a=1，b=-3，c=﹣，
∵△=（-3）2-4×1×（-）=16，
∴x=
∴x1=，x2=-；
（3）分解因式得：x（x2﹣9x+20）=0，
即x（x﹣4）（x-5）=0，
∴x1=0，x2=4，x3=5；
（4）x2﹣4x-3=0，
变形得：x2﹣4x+4﹣4-3=0，
即（x﹣2）2=7，
∴x﹣2=，
∴x1=2+，x2=2﹣．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握解方程的方法是解本题的关键．
22．（6分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（3m﹣1）x+m2=0的两个实数根且（x1+3）（x2+3）=22+m，求m的值．
考点：
根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．
分析：
欲求m的值，代数式（x1+3）（x2+3）=x1x2+3（x1+x2）+9，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于m的方程，即可求m的值．
解答：
解：∵x1、x2是方程x2+（3m﹣1）x+m2=0的两个实数根，
∴x1+x2=1﹣3m，x1?x2=m2，
∵（x1+3）（x2+3）=22+m，
∴x1x2+3（x1+x2）+9=22+m，
∴m2+3（1﹣3m）+9=22+m，
即9m2﹣37m﹣40=0，
解得m1=5，或m2=-．
又∵△=（3m﹣1）2﹣4×m2=1﹣6m≥0，
∴m≤
∴m=5不合题意，舍去．
∴m=﹣．
点评：
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
23．（12分）关于x的一元二次方程x2-9x+a=0。
(1)若方程有实数根，求a的取值范围。
(2)若方程的两个实数根为x1，x2且3 x1+ x2=13，求a的值。
考点：
一元二次方程根与系数的关系；根的判别式，解一元二次方程的解的意义．
分析：
（1）一元二次方程有实数根须△≥0，从而可以得到一个关于a的不等式即可求出a的取值范围．（2）由韦达定理可得x1+ x2=9，代入3 x1+ x2=13可求出x1，再把x1代入方程中即可求出a。
解答：
解：（1）∵一元二次方程有实数根
∴△≥0，∴（-9）2-4a≥0
∴（-9）2-4a≥0
∴a≤；
（2）由韦达定理可得x1+ x2=9，代入3 x1+ x2=13，得
2 x1+（x1+ x2）=13
2 x1+9=13
∴x1=2
再把x1=2代入方程x2-9x+a=0中，得22-9×2+a=0
∴a=14。
点评：
（2）具有灵活性，设法得到x1=2。
24．（14分）从一张长方形硬纸片的四个角上剪去一些长方形或正方形（虚线部分），然后沿实线折起，做成一个有盖的长方体纸盒，如图所示(单位：cm)．
（1）若此纸盒的高为xcm，问纸盒的高为多少时底面积为1200cm2？；
（2）这个纸盒的底面积是否可以为300cm2？若存在，请求出纸盒相应的高；若不存在，请说明理由．
考点：
一元二次方程的应用．
分析：
（1）底面积的长易列出（50-2x）；根据底面与上盖的宽相等这个隐含条件可以列出底面的宽为（100-2x）÷2=50-x,再根据底面积为1200cm2可列出方程；
（2）设这个纸盒的底面积可以为300cm2，从而列出一元二次方程，然后看看它的解的情况就可判定是否存在。
解答：
解：（1）由题意可知底面积的长为（50-2x），宽为（100-2x）÷2=50-x,再根据底面积为1200cm2可列出方程：（50-2x）（50-x）=1200,∴2x2-150x+1300=0
解之，得x1=65(不合题意，舍去),x2=10，
∴x=10
即纸盒的高为10cm时底面积为1200cm2.
（2）设这个纸盒的底面积可以为300cm2,则（50-2x）（50-x）=300,
∴2x2-150x+2200=0
∴x2-75x+1100=0
∵△=(-75)2-4×1100=1225>0,
∴方程有实数根，x1=55(不合题意，舍去),x2=20，
∴这个纸盒的底面积可以为300cm2，纸盒的高为20cm时底面积为300cm2.
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，长方体的侧面展开图，要有空间想象力，从而找出其中的数量关系．
《一元二次方程》单元测试B卷
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．若4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根是 _________ ．
2．一元二次方程（m-2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m= _________ ．
3．关于x的一元二次方程2x2+4x+kx﹣1=0的两根的平方和为2，则k= _________
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，依题意得方程 _________ ．
5．某服装的进价为每件x元，售价为每件100元，若打6折销售，仍可获利两成，则x= _________ 元．
6．设方程x2﹣3x﹣5=0的两个实数根为x1、x2，则x1-x2= _________ ．
7．已知关于x的方程x2﹣6x+m=0的一个根是另一个根的5倍，则m的值为 _________ ．
8．已知关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0两根互为倒数，则k= _________ ．
9．若a，b是方程x2+2015x﹣1=0的两个实数根，则a2b+ab2﹣ab的值是 _________ ．
10．已知方程（k-3）x2-kx﹣4=0的一个根为xl=2，则另一个根x2= _________ ，k= _________ ．
二、选择题（每题3分，共30分）
11．已知实数a，b，c满足（a2+b2+c2）（a2+b2+c2﹣1）=2，则a2+b2+c2=（ ）
A． 2 B． ﹣1 C． 2或﹣1 D． ﹣2或1
12．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x=1有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． m≠1 B． m≥ C． m≥且m≠1 D． m为任何实数
13．一元二次方程（m+1）x2﹣mx+x-1=0的根的情况是（ ）
A． 有两个相等的实数根 B． 有一个实数根
C． 有两个不相等的实数根 D． 没有实数根
14．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（ ）
A．
x1=x2=1
B．
x1=1+，x2=﹣1﹣
C．
x1=1+，x2=1﹣
D．
x1=﹣1+，x2=﹣1﹣
15．方程(x-1)（x+1）2=4（x﹣1）2的解是（ ）
A．无实数根 B． x1=-1，x2=3 C． x1=1，x2=-1,x3=3 D． x=1
16．一元二次方程(m-3)x2+2mx+m2=9有一根为零的条件是（ ）
A． m=±3 B． m=-3 C． m=9 D． m=3
17．方程x4﹣3x2-4=0的实数根是（ ）
A． -1，2 B． 2，-2 C．1,-2 D． 无法确定
18．等腰△ABC中，AB=9，AC、BC的长是关于x的方程x2-8x+k=0的两根，则k=（）
A. 16 B. 9 C. 9或 -16 D.16或-9
19．用一张90cm长，宽为50cm的硬纸片，在4个角上剪去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为2100cm2的没有盖的长方体纸盒，根据题意列方程为（ ）
A．(90-2x)(50-2x) =2100 B． x2+70x+600=0 C． x2﹣70x﹣600=0 D． (90-2x)(50-2x)=90×50-2100
20．若关于x的方程(a+3)x2-(a-2)x =1有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． a≥-4 B． a≥-4 C． a≠-3 D． 全体实数
三、解答题（共40分）
21．（8分）解方程
（1）25（x﹣1）2-12=4
（2）x2﹣3x﹣=0
（3）x3﹣9x2+20x=0
（4）x2﹣4x-3=0（用配方法）
22．（6分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（3m﹣1）x+m2=0的两个实数根且（x1+3）（x2+3）=22+m，求m的值．
23．（12分）关于x的一元二次方程x2-9x+a=0。
(1)若方程有实数根，求a的取值范围。
(2)若方程的两个实数根为x1，x2且3 x1+ x2=13，求a的值。
24．（14分）从一张长方形硬纸片的四个角上剪去一些长方形或正方形（虚线部分），然后沿实线折起，做成一个有盖的长方体纸盒，如图所示(单位：cm)．
（1）若此纸盒的高为xcm，底面积为1200cm2，问纸盒的高为多少？；
（2）这个纸盒的底面积是否可以为300cm2？若存在，请求出纸盒相应的高；若不存在，请说明理由．
解析
一、填空题（每小题3分，共30分）
1．若4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根是 _-2________ ．
考点：
一元二次方程的根的定义
分析：
将条件与方程相联系相比较，试根尝试．
解答：
解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0，当x=-2时，显然有
4a-2b+c=0
所以方程ax2+bx+c=0必有一根为-2．
点评：
本题先将方程转化为完全平方的形式，再开方．要注意
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”；
（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体；
（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
2．一元二次方程（m-2）x2+3x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m= ___1______ ．
考点：
一元二次方程的解．
分析：
本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=0代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．
解答：
解：∵x=0是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得m2﹣3m+2=0，解此方程得到m1=1，m2=2；
又∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数m-2≠0，即m≠2；
综合上述两个条件，m=1，
点评：
本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣2≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
3．关于x的一元二次方程2x2+4x+kx﹣1=0的两根的平方和为2，则k= ___-2或-6______
考点：
一元二次方程根与系数的关系．
分析：
一元二次方程化成一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）后，有x1+x2=-,x1x2=．
解答：
解：由韦达定理，得x1+x2=-=-2-0.5k,x1x2==-0.5
又x12+x22=2，
所以（x1+x2）2-2 x1x2=2
所以k2+2k+5=2
所以k1=-2,k2=-6
故答案为-2或-6．
点评：
要看清一元二次方程2x2+4x+kx﹣1=0的二次项系数、一次项系数及常数项．
4．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，依题意得方程
___100（1﹣x）2=81．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题．
分析：
若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为100（1﹣x）元，第二次降价后价格为100（1﹣x）（1﹣x）=100（1﹣x）2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可
解答：
解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：
x满足方程为100（1﹣x）2=81．
点评：
本题主要考查列一元二次方程，关键在于读懂题意，找出合适的等量关系列出方程．
5．（3分）某服装的进价为每件x元，售价为每件100元，若打6折销售，仍可获利两成，则x= __50_____ 元．
考点：
一元一次方程的应用．
专题：
销售问题．
分析：
实际售价为：100×60%，按进价提高20%为（1+20%）x，为获利20%，两式相等．
解答：
解：依题意得：（1+20%）x=100×60%
解得x=50（元）．
点评：
本题考查了进价与获利，标价与降价之间的等量关系，是近年来中考常考题型，需要熟练掌握．
6．（3分）设方程x2﹣3x﹣5=0的两个实数根为x1、x2，则x1-x2= ___±______ ．
考点：
根与系数的关系．
专题：
计算题．
分析：
设方程x2﹣3x﹣5=0的两个实数根为x1、x2，所以直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
解答：
解：∵方程x2﹣3x﹣5=0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=3,x1x2=-5
∴(x1-x2)2= (x1+x2)2-4 x1x2=32-2×(-5)=29
∴x1-x2=±
故答案为：±
点评：
此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，比较简单，直接利用结论即可求解．
7．已知关于x的方程x2﹣6x+m=0的一个根是另一个根的5倍，则m的值为 _5________ ．
考点：
根与系数的关系．
分析：
设方程x2﹣6x+m=0的两根是a，b，又a=5b，根据它和根与系数的关系可以得到关于a，b，m的方程，解方程即可求出m的值．
解答：
解：设方程x2﹣6x+m=0的两根是a，b，
又a=5b，
∴a+b=6b=6，
可得b=1，则a=5．
故a?b=m=5．
故填空答案：5．
点评：
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．
8．已知关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0两根互为倒数，则k= __±1_______ ．
考点：
韦达定理．
专题：
计算题．
分析：
根据方程两根互为倒数，由韦达定理得到x1x2=k2=1即可求出k的值．
解答：
解：∵方程两根互为倒数
∴x1x2=k2=1，
∴k=±1．
故答案为：±1．
点评：
此题考查了韦达定理，熟练掌握韦达定理是解本题的关键．
9．若a，b是方程x2+2015x﹣1=0的两个实数根，则a2b+ab2﹣ab的值是 _____2016____ ．
考点：
根与系数的关系．
分析：
由根与系数的关系，求得两根之和与两根之积，代入a2b+ab2﹣ab，求其值．
解答：
解：∵a，b是方程x2+2015x﹣1=0的两个实数根，∴a+b=﹣2015，ab=﹣1，
∴a2b+ab2﹣ab=ab（a+b）﹣ab=ab（a+b﹣1）=﹣1×（﹣2015﹣1）=2016．
点评：
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，比较简单，是基础知识，要识记．
10．已知方程（k-3）x2-kx﹣4=0的一个根为xl=2，则另一个根x2= _—________ ，k= ___8___ ．
考点：
一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析：
已知方程(k-3)x2-kx﹣4=0的一个根为xl=2，设另一根是x2，运用根与系数的关系即可列方程组，求解即可．
解答：
解：已知方程(k-3)x2-kx﹣4=0的一个根为xl=2，设另一根是x2，
则4(k-3)-2k-4=0
所以k=8
又由韦达定理，得x2?x1=即2x2==—
所以另一个根x2=—．
点评：
本题主要考查了韦达定理（根与系数的关系），即两根之和等于一次项的相反数；两根之积等于常数项，是一个基础题．
二、选择题（每题3分，共30分）
11．已知实数a，b，c满足（a2+b2+c2）（a2+b2+c2﹣1）=2，则a2+b2+c2=（ ）
考点：
换元法解一元二次方程．
分析：
设a2+b2+c2=m，用换元法将原方程转化为关于m的一元二次方程，解方程求x即可．
解答：
解：设a2+b2+c2=m，则原方程可化为m（m﹣1）=2
m2﹣m﹣2=0，
解得m1=2，m2=﹣1，
因为a2+b2+c2=m≥0，
所以a2+b2+c2=2．
故选A．
点评：
本题考查了换元法解方程的思想，要注意所求代数式的意义，把a2+b2+c2看作一个整体，求得两个值2和﹣1，要注意把不合题意的值舍去．
12．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x=1有实数根，则m的取值范围是（ ）
考点：
一元二次方程的根的判别式．
分析：
一元二次方程：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），当△≥0时有实数根但是又不能忽略a≠0．
解答：
解：根据题意得m-1≠0且△=1-4（m-1）×(-1)≥0
解得：m≥且m≠1．
故选C．
点评：
本题主要考查两个知识点：一元二次方程的定义和二次根式有意义的条件，特别要注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了．
13．一元二次方程（m+1）x2﹣mx+x-1=0的根的情况是（ ）
A． 有两个相等的实数根 B． 有一个实数根
C． 有两个不相等的实数根 D． 没有实数根
考点：
根的判别式．
分析：
要判断方程（m+1）x2﹣mx+x-1=0的根的情况就要求出方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
解答：
解：∵a=m+1，b=﹣m+1，c=-1，
∴△=(-m+1)2﹣4(m+1)×(-1)=(m+1)2+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选C．
点评：
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
14．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（ ）
A．
x1=x2=1
B．
x1=1+，x2=﹣1﹣
C．
x1=1+，x2=1﹣
D．
x1=﹣1+，x2=﹣1﹣
考点：
解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．
专题：
计算题．
分析：
根据一元二次方程的不同特征灵活选择不同的求解方式会给计算带来简便．
解答：
略
选C
点评：
本题用配方法及求根公式法都很简便。
15．方程(x-1)（x+1）2=4（x﹣1）2的解是（ ）
A．无实数根 B． x1=-1，x2=3 C． x1=1，x2=-1,x3=3 D． x=1
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
分析：
移项后因式分解求解．
解答：
解：原方程可化为：(x-1)（x+1）2=4（x﹣1）2，
(x-1)（x+1）2-4（x﹣1）2=0，
(x-1)[（x+1）2-4（x﹣1）]=0
(x-1)[（x-1）2+4]=0
因为[（x-1）2+4]≥4≠0，
所以x-1=0
即x=1
故选D．
点评：
解一元二次方程的基本思想是降次，就是把二次方程转化为一元一次方程．
16．一元二次方程(m-3)x2+2mx+m2=9有一根为零的条件是（ ）
A． m=±3 B． m=-3 C． m=9 D． m=3
考点：
一元二次方程的解．
分析：
将x=0代入已知方程，求得m=±3．
解答：
解：根据题意知，x=0满足关于x的一元二次方程(m-3)x2+2mx+m2=9，则m=±3．
又由于m-3≠0，所以m≠3。
故选B．
点评：
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
17．方程x4﹣3x2-4=0的实数根是（ ）
A． -1，2 B． 2，-2 C．1,-2 D． 无法确定
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
专题：
换元法．
分析：
设x2=t，即可把原方程转化为关于t的一元二次方程，把原方程化为两个一元二次方程，然后逐一进行解答．
解答：
解：设x2=t，则原方程可以变形为t2﹣3t-4=0，
解得t=-1或4．
∵x2=t≥0
∴x2=4．
解得x=±2．
故选B．
点评：
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．本题中要注意是个四次方程，应通过换元降次，再要注意根的取舍．
18．等腰△ABC中，AB=9，AC、BC的长是关于x的方程x2-8x+k=0的两根，则k=（）
A. 16 B. 9 C. 9或 -16 D.16或-9
考点：
等腰三角形与一元二次方程的解及根的判别式
专题：
等腰三角形与一元二次方程综合
分析：
分为AB=9作腰及不作腰两种情况：（1）AB作腰时则AC、BC中必有一边长为9，即9为方程x2-8x+k=0的根；（2）AB不作腰时则AC、BC中必为腰，则AC=BC，即方程x2-8x+k=0有两个相等的实数根，所以△=0．
解答：
解：（1）AB作腰时则AC、BC中必有一边长为9，即9为方程x2-8x+k=0的根；
∴92-8×9+k=0
∴k=-9
（2）AB不作腰时则AC、BC中必为腰，则AC=BC，即方程x2-8x+k=0有两个相等的实数根，所以△=0．
∴82-4k=0
∴k=16
故选D．
点评：
本题考查了等腰三角形与一元二次方程的解及根的判别式．
19．用一张90cm长，宽为50cm的硬纸片，在4个角上剪去4个相同的边长为xcm的小正方形，然后做成底面积为2100cm2的没有盖的长方体纸盒，根据题意列方程为（ ）
A．(90-2x)(50-2x) =2100 B． x2+70x+600=0 C． x2﹣70x﹣600=0 D． (90-2x)(50-2x)=90×50-2100
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
几何图形问题．
分析：
本题设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，则可得出长方体的盒子底面的长和宽，根据底面积为2100cm2，即长与宽的积是2100cm2，列出方程化简．
解答：
解：设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，
则得出长方体的盒子底面的长为：90﹣2x，宽为：50﹣2x，
又底面积为2100cm2
所以（90﹣2x）（50﹣2x）=2100，
整理得：x2﹣70x+600=0
故选：A．
点评：
本题要注意读清题意，找出等量关系．
20．若关于x的方程(a+3)x2-(a-2)x =1有实数根，则a的取值范围是（ ）
A． a≥-4 B． a≥-4 C． a≠-3 D． 全体实数
考点：
一元二次方程根的判别式及一元一次方程
分析：
（1）本题当(a+3)x2-(a-2)x =1看作是一元二次方程时，显然须满足a+3≠0且△≥0；（2）本题未声明是一元二次方程，所以也可以看作是一元一次方程，即a+3=0时，所方程为5x=1,也有实数根。
解答：
解：（1）本题当(a+3)x2-(a-2)x =1看作是一元二次方程时，显然须满足a+3≠0且△≥0； 即a≠-3且
[-（a-2）]2-4(a+3)×(-1) ≥0
∴a≠-3且a2=16 ≥0
∴a≠-3
（2）本题未声明是一元二次方程，所以也可以看作是一元一次方程，即a+3=0时，所方程为5x=1,也有实数根。
∴a=3
故选D．
点评：
本题看清题意，看清关键词，准确理解区分“方程有实数根”与“一元二次方程有实数根”很重要。
三、解答题（共40分）
21．（8分）解方程
（1）25（x﹣1）2-12=4
（2）x2﹣3x﹣=0
（3）x3﹣9x2+20x=0
（4）x2﹣4x-3=0（用配方法）
考点：
解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．
专题：
计算题．
分析：
（1）转化为a(x+b)2=c的形式，利用平方根的定义直接开平方来求解；
（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解；
（3）方程左边提取x变形后，分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（4）常数项移到右边，两边加上4变形后，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程来求解．
解答：
解：（1）
25（x﹣1）2=16
（x﹣1）2=
开方得：x﹣1=±，
∴x1=，x2=．
（2）这里a=1，b=-3，c=﹣，
∵△=（-3）2-4×1×（-）=16，
∴x=
∴x1=，x2=-；
（3）分解因式得：x（x2﹣9x+20）=0，
即x（x﹣4）（x-5）=0，
∴x1=0，x2=4，x3=5；
（4）x2﹣4x-3=0，
变形得：x2﹣4x+4﹣4-3=0，
即（x﹣2）2=7，
∴x﹣2=，
∴x1=2+，x2=2﹣．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握解方程的方法是解本题的关键．
22．（6分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（3m﹣1）x+m2=0的两个实数根且（x1+3）（x2+3）=22+m，求m的值．
考点：
根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．
分析：
欲求m的值，代数式（x1+3）（x2+3）=x1x2+3（x1+x2）+9，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于m的方程，即可求m的值．
解答：
解：∵x1、x2是方程x2+（3m﹣1）x+m2=0的两个实数根，
∴x1+x2=1﹣3m，x1?x2=m2，
∵（x1+3）（x2+3）=22+m，
∴x1x2+3（x1+x2）+9=22+m，
∴m2+3（1﹣3m）+9=22+m，
即9m2﹣37m﹣40=0，
解得m1=5，或m2=-．
又∵△=（3m﹣1）2﹣4×m2=1﹣6m≥0，
∴m≤
∴m=5不合题意，舍去．
∴m=﹣．
点评：
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
23．（12分）关于x的一元二次方程x2-9x+a=0。
(1)若方程有实数根，求a的取值范围。
(2)若方程的两个实数根为x1，x2且3 x1+ x2=13，求a的值。
考点：
一元二次方程根与系数的关系；根的判别式，解一元二次方程的解的意义．
分析：
（1）一元二次方程有实数根须△≥0，从而可以得到一个关于a的不等式即可求出a的取值范围．（2）由韦达定理可得x1+ x2=9，代入3 x1+ x2=13可求出x1，再把x1代入方程中即可求出a。
解答：
解：（1）∵一元二次方程有实数根
∴△≥0，∴（-9）2-4a≥0
∴（-9）2-4a≥0
∴a≤；
（2）由韦达定理可得x1+ x2=9，代入3 x1+ x2=13，得
2 x1+（x1+ x2）=13
2 x1+9=13
∴x1=2
再把x1=2代入方程x2-9x+a=0中，得22-9×2+a=0
∴a=14。
点评：
（2）具有灵活性，设法得到x1=2。
24．（14分）从一张长方形硬纸片的四个角上剪去一些长方形或正方形（虚线部分），然后沿实线折起，做成一个有盖的长方体纸盒，如图所示(单位：cm)．
（1）若此纸盒的高为xcm，问纸盒的高为多少时底面积为1200cm2？；
（2）这个纸盒的底面积是否可以为300cm2？若存在，请求出纸盒相应的高；若不存在，请说明理由．
考点：
一元二次方程的应用．
分析：
（1）底面积的长易列出（50-2x）；根据底面与上盖的宽相等这个隐含条件可以列出底面的宽为（100-2x）÷2=50-x,再根据底面积为1200cm2可列出方程；
（2）设这个纸盒的底面积可以为300cm2，从而列出一元二次方程，然后看看它的解的情况就可判定是否存在。
解答：
解：（1）由题意可知底面积的长为（50-2x），宽为（100-2x）÷2=50-x,再根据底面积为1200cm2可列出方程：（50-2x）（50-x）=1200,∴2x2-150x+1300=0
解之，得x1=65(不合题意，舍去),x2=10，
∴x=10
即纸盒的高为10cm时底面积为1200cm2.
（2）设这个纸盒的底面积可以为300cm2,则（50-2x）（50-x）=300,
∴2x2-150x+2200=0
∴x2-75x+1100=0
∵△=(-75)2-4×1100=1225>0,
∴方程有实数根，x1=55(不合题意，舍去),x2=20，
∴这个纸盒的底面积可以为300cm2，纸盒的高为20cm时底面积为300cm2.
点评：
本题考查了一元二次方程的应用，长方体的侧面展开图，要有空间想象力，从而找出其中的数量关系．