第18章勾股定理检测B卷(含答案)
图片预览
文档简介
第18章勾股定理检测B卷
一、选择题（每小题5分）
1．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．3cm
D．6cm
2.如图，有一块边长为80米的正方形农田四周为小路，不少学生上学时常走斜超路AB，践踏庄稼，但也才少走 （ ）米。
A.25 B.16 C.82 D.28
3.如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC，沿最长边AB翻转180°得到△ABC‘，则CC’的长为 ( )
A.1 B.1.2 C.2.4 D.4.8
4．△ABC的三边分别为下列各组值, 其中不是直角三角形三边的是( )
A．a=41, b=40, c=9 B．a=1.2, b=1.6, c=2
C．a=, b=, c= D．a=, b=, c=1
5．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A．4 B．6 C．16 D．55
6．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ( )
A．2.5 B．2
C. D.
7．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为
A、49 B、 25 C、13 D、 1
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
9．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（ ）
A、4 B、3 C、5 D、4.5
二、选择题（每小题5分）
11．已知等腰三角形的底边长为，腰长为，则这个三角形的面积为 .
12．已知，Rt△ABC的周长为4＋2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为________________．
13．如果三角形的三边之比为5:12:13，且周长为60厘米，那么这个三角形的面积为
。
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝ .
15．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为 .
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（ ）．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，若AB＝6，BC＝8，则点D到AC的距离为 .
18．一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了______________米.
三、解答题
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形，若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)．
20．已知：如图，四边形ABCD中，∠B，∠D是Rt∠，∠A=45°，若DC=2cm，AB=5cm，求AD和BC的长
21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，且4EB=AB，F为BC的中点.试判断△AEF的形状并说明理由.2·1·c·n·j·y
22.如图，在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB于点D，交BC于点E，且D为AB的中点.求证： AC2 =BC(BE-CE).www-2-1-cnjy-com
23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE= ，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．
24．如图，已知△ABC的周长为，，.
（1）判断△ABC的形状；
（2）若D是AB上一点，且=AD,，的平分线交于点，交于点，连结.求证：. 参考答案
1．D
【解析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=6，
故选：D．
2．B
【解析】根据两点之间线段最短，沿AB走确实近，由勾股定理计算出AB的长再与AC+BC比较即可。
3.D
【解析】由折叠可知点C与C‘关于AB对称，即CC’被AB垂直平分，所以连结CC‘．
解：连结CC‘，交点为O，则CC’被AB垂直平分，CC‘=2OC。
因为32+42=52，所以AC⊥BC
因为S△ABC=AC●BC=OC●AB，所以AC●BC=OC●AB
所以OC=3×4÷5=2.4，所以CC‘=2OC=4.8。
故选D。
4．C．
【解析】
试题分析：A、因为92+402=412，所以是直角三角形；
B、因为1.22+1.62=22，所以是直角三角形；
C、因为（）2+（）2=≠（）2，所以不是直角三角形；
D、因为（）2+（）2=12，所以是直角三角形．
故选C．
考点: 勾股定理的逆定理．
5．C
【解析】∵∠ACB＋∠ECD＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，
∴△ABC≌△CDE，∴BC＝DE.
∴(如上图)，根据勾股定理的几何意义，
b的面积＝a的面积＋c的面积，∴b的面积＝a的面积＋c的面积＝5＋11＝16.故选C.
6．D
【解析】在Rt△OAB中，∵OA＝2，AB＝1，
由勾股定理知OB＝＝.
7．A．
【解析】
试题分析：∵大正方形的面积25，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形的面积和是25﹣1=24，即4×ab=24，
即2ab=24，a2+b2=25，
∴（a+b）2=25+24=49．
故选A．
考点：勾股定理．
8．A.
【解析】
试题分析：过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离AD=3．
故选A．
考点: 勾股定理的证明.
9．B．
【解析】
试题分析：根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=，
∵()2+()2＝()2，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ACB=45°．
故选B．
考点: 1.等腰直角三角形；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理．
10．B
【解析】
试题分析：根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面积为10，DA=5，
∴DA?BC=10，
∴BC=4，
∴，
故选B．
考点：本题考查的是勾股定理
点评：此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长．
11．12
【解析】
试题分析：作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．
解：如图，
作底边BC上的高AD，
则AB=5cm，BD=×6=3cm，
∴AD=，
∴三角形的面积为：×6×4=12．
考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质.
12．1
【解析】
试题分析：设AC=a，BC=b，
∴，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，
∴ab=2，
∴Rt△ABC的面积为ab=×2=1．
故答案为：1．
考点：勾股定理及完全平方公式
13．120cm2．
【解析】
试题分析：根据已知条件可求得三边的长，再判断这个三角形是直角三角形，即可求得面积．
试题解析：∵三边长的比为5：12：13，它的周长是60cm，
∴三边长分别为：60×=10cm，60×=24cm，60×=26cm，
∵102+242=262，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是：10×24÷2=120cm2．
考点: 1.勾股定理的逆定理；2.三角形的面积.
14．13cm
【解析】
试题分析：先根据直角三角形的面积公式求出另一条直角边AC，再根据勾股定理即可求得结果。
，
，得，
则
考点：本题考查的是直角三角形的面积公式，勾股定理
点评：解答本题的关键是掌握好直角三角形的面积公式，灵活运用勾股定理解决问题。
15．3
【解析】
试题分析：根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
设CN=xcm，则DN=（8x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8x）cm，
而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8x）2=16+x2，
整理得16x=48，所以x=3．
考点：1.勾股定理；2.翻折变换（折叠问题）.
16．（4，0）
【解析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC-AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标．
解：∵点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8），
∴AO=6，BO=8，
∴AB==10，
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
∴AB=AC=10，
∴OC=AC-AO=4，
∵交x正半轴于点C，
∴点C的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
17．3
【解析】如图，过点D作DB′垂直AC于点B′.
∴∠AB′D＝∠B＝90°，AB′＝AB＝6，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∴B′C＝AC－AB′＝10－6＝4，
设BD＝B′D＝x，则CD＝BC－BD＝8－x，
在Rt△CDB′中，CD2＝B′C2＋B′D2，
即：（8－x）2＝x2＋16，
解得：x＝3，∴BD＝3.
18．3
【解析】桥长、偏离桥南头的距离、实际行驶的路程构成一个直角三角形，利用勾股定理，可得实际行驶的路程的平方=152+92=306，所以实际行驶了3米.
19．6＋2
【解析】∵△ABD是等边三角形，
∴∠B＝60°，∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝180°－90°－60°＝30°，∴BC＝2AB＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝＝＝2，
∴△ABC的周长是AC＋BC＋AB＝2＋4＋2＝6＋2.
20．AD=（）cm，BC =（）cm.
【解析】
试题分析：延长BC和AD交于点E，构造两个等腰直角三角形，在等腰直角三角形中求出相应的线段的长即可．
如图，延长BC和AD交于点E，
∵∠B，∠D是90°，∠A=45°，
∴∠E=∠ECD=45°，∠EDC=90°，
∵AB=5，DC=2cm，
∴EC=AB=5cm，DC=ED=2cm，
在Rt△ABC和Rt△EDC中，
由勾股定理得：，
，
∴AD=AE-DE=（）cm，BC=BE-EC=（）cm.
考点：本题考查了勾股定理的应用
点评：在解题时延长四边形的两边构造直角三角形是解决本题的关键．
21．解：直角三角形。理由如下：设BE=a,则AD=DC=4a,AE=3a,BF=FC=2a,
∵ DE2=AE2+AD2=(3a)2+(4a)2=25a2,
EF2=BE2+BF2=a2+(2a)2=5a2,
DF2=DC2+FC2=(4a)2+(2a)2=20a2,
∴EF2+DF2=DE2，
∴△DEF是直角三角形。
22.证明：连接AE，
∵ED⊥AB，D为AB的中点，∴AE=BE，
∴在Rt△ACE中，AC2=AE2-CE2
=BE2-CE2
=(BE+CE)(BE-CE)
=BC(BE-CE).
23．2
【解析】解：过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，
∴EH=DH，
∵EH2+DH2=ED2，
∴EH2=1，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，
∴DC=2，HC=，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，
BE=2，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+=3+，
∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．
利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．
24．（1）△ABC是直角三角形；（2）讲明见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据△ABC的周长和两边的长，可求得AB的长，根据三边的关系判断△ABC的形状；
（2）此题要想求得面积，应该先求DE=BD=CD=AB，可过点C作CM⊥AB交AB于M，得CM∥DE，通过角的关系证得．
解：（1）△ABC是直角三角形．
∵△ABC的周长是4+2，AB=4，AC=+，
∴BC=（4+2）4（+）=?，
∵(+)2+(?)2＝42，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于M，
∵DE⊥AB，
∴CM∥DE，
∴∠DEF=∠MCF，
又∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠BCM=∠A，
∴∠ACD=∠BCM，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠DCF=∠MCF，
∴∠DCF=∠DEF，
∴DC=DE=AB=2，
考点：1.勾股定理的逆定理；2.三角形的面积；3.等腰三角形的判定与性质．
一、选择题（每小题5分）
1．将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）
A．3cm
B．6cm
C．3cm
D．6cm
2.如图，有一块边长为80米的正方形农田四周为小路，不少学生上学时常走斜超路AB，践踏庄稼，但也才少走 （ ）米。
A.25 B.16 C.82 D.28
3.如图，将三边长分别为3，4，5的△ABC，沿最长边AB翻转180°得到△ABC‘，则CC’的长为 ( )
A.1 B.1.2 C.2.4 D.4.8
4．△ABC的三边分别为下列各组值, 其中不是直角三角形三边的是( )
A．a=41, b=40, c=9 B．a=1.2, b=1.6, c=2
C．a=, b=, c= D．a=, b=, c=1
5．如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A．4 B．6 C．16 D．55
6．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ( )
A．2.5 B．2
C. D.
7．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为
A、49 B、 25 C、13 D、 1
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
9．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，且DA=DB=5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（ ）
A、4 B、3 C、5 D、4.5
二、选择题（每小题5分）
11．已知等腰三角形的底边长为，腰长为，则这个三角形的面积为 .
12．已知，Rt△ABC的周长为4＋2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为________________．
13．如果三角形的三边之比为5:12:13，且周长为60厘米，那么这个三角形的面积为
。
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝ .
15．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为 .
16．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为（ ）．
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，若AB＝6，BC＝8，则点D到AC的距离为 .
18．一座垂直于两岸的桥长15米,一艘小船自桥北头出发,向正南方向驶去,因水流原因,到达南岸后,发现已偏离桥南头9米,则小船实际行驶了______________米.
三、解答题
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形，若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)．
20．已知：如图，四边形ABCD中，∠B，∠D是Rt∠，∠A=45°，若DC=2cm，AB=5cm，求AD和BC的长
21.已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC上的点，且4EB=AB，F为BC的中点.试判断△AEF的形状并说明理由.2·1·c·n·j·y
22.如图，在△ABC中，∠C=90°，ED⊥AB于点D，交BC于点E，且D为AB的中点.求证： AC2 =BC(BE-CE).www-2-1-cnjy-com
23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE= ，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．
24．如图，已知△ABC的周长为，，.
（1）判断△ABC的形状；
（2）若D是AB上一点，且=AD,，的平分线交于点，交于点，连结.求证：. 参考答案
1．D
【解析】过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
解：过点C作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=6，
故选：D．
2．B
【解析】根据两点之间线段最短，沿AB走确实近，由勾股定理计算出AB的长再与AC+BC比较即可。
3.D
【解析】由折叠可知点C与C‘关于AB对称，即CC’被AB垂直平分，所以连结CC‘．
解：连结CC‘，交点为O，则CC’被AB垂直平分，CC‘=2OC。
因为32+42=52，所以AC⊥BC
因为S△ABC=AC●BC=OC●AB，所以AC●BC=OC●AB
所以OC=3×4÷5=2.4，所以CC‘=2OC=4.8。
故选D。
4．C．
【解析】
试题分析：A、因为92+402=412，所以是直角三角形；
B、因为1.22+1.62=22，所以是直角三角形；
C、因为（）2+（）2=≠（）2，所以不是直角三角形；
D、因为（）2+（）2=12，所以是直角三角形．
故选C．
考点: 勾股定理的逆定理．
5．C
【解析】∵∠ACB＋∠ECD＝90°，∠DEC＋∠ECD＝90°，
∴∠ACB＝∠DEC，∵∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，
∴△ABC≌△CDE，∴BC＝DE.
∴(如上图)，根据勾股定理的几何意义，
b的面积＝a的面积＋c的面积，∴b的面积＝a的面积＋c的面积＝5＋11＝16.故选C.
6．D
【解析】在Rt△OAB中，∵OA＝2，AB＝1，
由勾股定理知OB＝＝.
7．A．
【解析】
试题分析：∵大正方形的面积25，小正方形的面积是1，
∴四个直角三角形的面积和是25﹣1=24，即4×ab=24，
即2ab=24，a2+b2=25，
∴（a+b）2=25+24=49．
故选A．
考点：勾股定理．
8．A.
【解析】
试题分析：过D点作DE⊥BC于E．
∵∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴，
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，
∴点D到BC的距离AD=3．
故选A．
考点: 勾股定理的证明.
9．B．
【解析】
试题分析：根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=，
∵()2+()2＝()2，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ACB=45°．
故选B．
考点: 1.等腰直角三角形；2.勾股定理；3.勾股定理的逆定理．
10．B
【解析】
试题分析：根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面积为10，DA=5，
∴DA?BC=10，
∴BC=4，
∴，
故选B．
考点：本题考查的是勾股定理
点评：此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长．
11．12
【解析】
试题分析：作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．
解：如图，
作底边BC上的高AD，
则AB=5cm，BD=×6=3cm，
∴AD=，
∴三角形的面积为：×6×4=12．
考点：1.勾股定理；2.等腰三角形的性质.
12．1
【解析】
试题分析：设AC=a，BC=b，
∴，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，
∴ab=2，
∴Rt△ABC的面积为ab=×2=1．
故答案为：1．
考点：勾股定理及完全平方公式
13．120cm2．
【解析】
试题分析：根据已知条件可求得三边的长，再判断这个三角形是直角三角形，即可求得面积．
试题解析：∵三边长的比为5：12：13，它的周长是60cm，
∴三边长分别为：60×=10cm，60×=24cm，60×=26cm，
∵102+242=262，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是：10×24÷2=120cm2．
考点: 1.勾股定理的逆定理；2.三角形的面积.
14．13cm
【解析】
试题分析：先根据直角三角形的面积公式求出另一条直角边AC，再根据勾股定理即可求得结果。
，
，得，
则
考点：本题考查的是直角三角形的面积公式，勾股定理
点评：解答本题的关键是掌握好直角三角形的面积公式，灵活运用勾股定理解决问题。
15．3
【解析】
试题分析：根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
设CN=xcm，则DN=（8x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8x）cm，
而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8x）2=16+x2，
整理得16x=48，所以x=3．
考点：1.勾股定理；2.翻折变换（折叠问题）.
16．（4，0）
【解析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC-AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标．
解：∵点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8），
∴AO=6，BO=8，
∴AB==10，
∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，
∴AB=AC=10，
∴OC=AC-AO=4，
∵交x正半轴于点C，
∴点C的坐标为（4，0），
故答案为：（4，0）．
17．3
【解析】如图，过点D作DB′垂直AC于点B′.
∴∠AB′D＝∠B＝90°，AB′＝AB＝6，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∴B′C＝AC－AB′＝10－6＝4，
设BD＝B′D＝x，则CD＝BC－BD＝8－x，
在Rt△CDB′中，CD2＝B′C2＋B′D2，
即：（8－x）2＝x2＋16，
解得：x＝3，∴BD＝3.
18．3
【解析】桥长、偏离桥南头的距离、实际行驶的路程构成一个直角三角形，利用勾股定理，可得实际行驶的路程的平方=152+92=306，所以实际行驶了3米.
19．6＋2
【解析】∵△ABD是等边三角形，
∴∠B＝60°，∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝180°－90°－60°＝30°，∴BC＝2AB＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝＝＝2，
∴△ABC的周长是AC＋BC＋AB＝2＋4＋2＝6＋2.
20．AD=（）cm，BC =（）cm.
【解析】
试题分析：延长BC和AD交于点E，构造两个等腰直角三角形，在等腰直角三角形中求出相应的线段的长即可．
如图，延长BC和AD交于点E，
∵∠B，∠D是90°，∠A=45°，
∴∠E=∠ECD=45°，∠EDC=90°，
∵AB=5，DC=2cm，
∴EC=AB=5cm，DC=ED=2cm，
在Rt△ABC和Rt△EDC中，
由勾股定理得：，
，
∴AD=AE-DE=（）cm，BC=BE-EC=（）cm.
考点：本题考查了勾股定理的应用
点评：在解题时延长四边形的两边构造直角三角形是解决本题的关键．
21．解：直角三角形。理由如下：设BE=a,则AD=DC=4a,AE=3a,BF=FC=2a,
∵ DE2=AE2+AD2=(3a)2+(4a)2=25a2,
EF2=BE2+BF2=a2+(2a)2=5a2,
DF2=DC2+FC2=(4a)2+(2a)2=20a2,
∴EF2+DF2=DE2，
∴△DEF是直角三角形。
22.证明：连接AE，
∵ED⊥AB，D为AB的中点，∴AE=BE，
∴在Rt△ACE中，AC2=AE2-CE2
=BE2-CE2
=(BE+CE)(BE-CE)
=BC(BE-CE).
23．2
【解析】解：过点D作DH⊥AC，
∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，
∴EH=DH，
∵EH2+DH2=ED2，
∴EH2=1，
∴EH=DH=1，
又∵∠DCE=30°，
∴DC=2，HC=，
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，
BE=2，
∴AB=AE=2，
∴AC=2+1+=3+，
∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．
利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．
24．（1）△ABC是直角三角形；（2）讲明见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据△ABC的周长和两边的长，可求得AB的长，根据三边的关系判断△ABC的形状；
（2）此题要想求得面积，应该先求DE=BD=CD=AB，可过点C作CM⊥AB交AB于M，得CM∥DE，通过角的关系证得．
解：（1）△ABC是直角三角形．
∵△ABC的周长是4+2，AB=4，AC=+，
∴BC=（4+2）4（+）=?，
∵(+)2+(?)2＝42，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）过点C作CM⊥AB交AB于M，
∵DE⊥AB，
∴CM∥DE，
∴∠DEF=∠MCF，
又∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠BCM=∠A，
∴∠ACD=∠BCM，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠DCF=∠MCF，
∴∠DCF=∠DEF，
∴DC=DE=AB=2，
考点：1.勾股定理的逆定理；2.三角形的面积；3.等腰三角形的判定与性质．