2024-2025学年重庆市九龙坡区杨家坪中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市九龙坡区杨家坪中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足：其中是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.中国古代数学著作主要有周髀算经九章算术海岛算经四元玉鉴张邱建算经，若从上述部书籍中任意抽取部，则抽到周髀算经的概率为( )
A. B. C. D.
4.空间中有三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的是( )
A. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
B. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C. 点为平面上一点，且，则
D. 非零向量，，若，则为锐角
10.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角为
B. 直线的其中一个直线方向向量是
C. 若直线经过第三象限，则，
D. 方程表示的直线都经过点
11.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点含端点，，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得异面直线与所成的角为
C. 三棱锥体积的最大值是
D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，，则 ______．
13.已知，，若点在线段上，则的取值范围是______．
14.已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，是该正方体表面上的一点，且若，则直线与平面所成角的大小为______，若，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，直线：，根据下列条件分别求实数的值：
与相交；
与平行；
与重合．
16.本小题分
如图，在四面体中，平面，平面，为的中点，．
设，，，用表示；
若，
求；
求．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点．
求异面直线与所成角的余弦值；
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
如图所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图的四棱锥，为中点．
求证：平面；
若平面平面，求直线与平面所成角的大小；
设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点，若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为．
已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的正弦值；
已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；
若集合，，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积；
若集合，，，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面有公共棱所成二面角的大小．
参考答案
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15.解：已知：，直线：，
若与相交，则，即，解得且，
故的取值范围为且；
已知：，直线：，
若与平行，则，即，解得．
已知：，直线：，
若与重合，则，即，解得．
16.解：连接，，如图所示，
可得，
所以，
所以；
因为平面，平面，且，平面，平面，
所以，，，
所以，
；
因为，
所以
．
17.解：由题意可知、、两两垂直，
如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，，
即，
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为；
由知：，
设面的一个法向量为，
则由，，有，
取，可得，，即，
所以点到平面的距离为；
由知：，
设面的一个法向量为，
则由，，有，
取，可得，，即，
设平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值．
18.证明：取中点，连接，，
由为中点，得，，
依题意，，，
则，，
于是四边形是平行四边形，则，
而平面，平面，
所以平面；
解：取中点，连接，由，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，
过作，则平面，
又，平面，于是，，
在矩形中，，，则，
以点为原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的大小为；
解：连接，由，得，
而，则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，
，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，
则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，
因为，，
则，令，得，
设平面和平面的夹角为，
则
，
令，则，
即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
19.解：由题意得，由于直线的标准式方程为，平面的点法式方程为，
因此直线的方向向量为，平面的法向量，
因此，
因此平面与直线所成角的正弦值为；
由于平面的点法式方程为，
因此平面的法向量为，
令点为平面上一点，
所以，
令，因此，所以点是平面上一点，
因此，
因此点到平面的距离．
建立空间直角坐标系，
先分别画出平面，
得到几何体为
由于集合，，令集合中所有点构成的几何体为，
因此为高为，底面为边长为的正方形的长方体，
因此的体积为．
根据第一小问可知，，，的图象是完全对称图象，因此只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，
此时，，，
解得，，，，，，
作出第一卦限的图象，
其二面角为钝角，
计算平面，得出二面角的值，
因此两个平面的法向量分别为，
因此二面角的余弦值为，因此二面角为．
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