2024-2025学年重庆十八中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年重庆十八中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则平面的一个法向量( )
A. B. C. D.
2.两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是( )
A. 平行 B. 斜交 C. 垂直 D. 重合
3.在四面体中，点，满足，，若，则( )
A. B. C. D.
4.下列四个命题，其中真命题是( )
A. 若向量与向量，共面，则存在实数，，使
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 若直线的方向向量，平面的法向量为，则直线
D. 若，，则点到直线的距离为
5.若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为( )
A. B. C. D.
6.如图，平行六面体各棱长为，且，动点在该几何体内部，且满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.长方体，，，点在长方体的侧面上运动，，则二面角的平面角正切值的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于，在与之间从向滑动，但与和均不重合在任一确定位置，将四边形沿直线折起，使平面平面，则下列选项中错误的是( )
A. 的角度不会发生变化 B. 二面角先变大后变小
C. 与平面所成的角变小 D. 与所成的角先变小后变大
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，下列说法正确的是( )
A. 点关于坐标平面的对称点的坐标为
B. 点在平面面上
C. 点，的中点坐标是
D. 两点，间的距离为
10.如图，圆锥的内切球和外接球的球心重合，且圆锥的底面直径为，则( )
A. 设圆锥的轴截面三角形为，则其为等边三角形
B. 设内切球的半径为，外接球的半径为，则
C. 设圆锥的体积为，内切球的体积为，则
D. 设，是圆锥底面圆上的两点，且，则平面截内切球所得截面的面积为
11.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，，，平面，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在一点，使得
C. 动点的轨迹长度为
D. 五面体的外接球半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，，过的直线不垂直于轴与线段相交，则直线斜率的取值范围是______．
13.如图，两条异面直线，所成角为，在直线上，分别取点，和点，，使且，已知，，，则线段的长为______．
14.已知三棱锥的四个面是全等的等腰三角形，且，，为中点，，则二面角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若，求；
若，求．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点．
证明：平面；
若，求二面角的余弦值．
17.本小题分
如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且，在线段、、、分别取、、、四点且，，，求：
证明：，，，四点共面；
面；
直线与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
在底面是菱形的四棱锥中，已知，，过作侧面的垂线，垂足恰为棱的中点．
在棱上是否存在一点，使得侧面，若存在求的长；若不存在，说明理由；
求二面角的平面角的余弦值．
19.本小题分
如图所示，矩形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图的四棱锥，为中点．
求证：平面；
若平面平面，求直线与平面所成角的大小；
设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
参考答案
1.
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10.
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13.或
14.
15.解：因为，．
，，
由，得到，解得；
若，
则，解得．
16.解：证明：三棱柱为直三棱柱，面，
，，又，且，面，
又，故A面，
面，，即，
又，四边形为正方形，故AB，
，面；
由题意，可以以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
设面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，故，
面，可取面的一个法向量为，
，，
二面角的余弦值为．
17.证明：因为，
，
所以，
故A，
所以，，，四点共面；
证明：因为，
所以
，
故，即，
又因为，，
得，则，
又，
所以，
又因为、平面，且，
故AC平面；
解：由可得是平面的法向量，
设直线与平面所成角为，则，，
又，
所以
，，
所以，
，
故，．
18.解：连接，，是的中点，，
面，，又，、平面，平面．
过作于，则，平面，，又，、平面，面．
在中，，，
，．
．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
，，，，
，，．
由知，，，平面．
平面的一个法向量，
设平面的一个法向量是，
则，令，则，．
．
，
由图可知，二面角为钝角，
故二面角的平面角的余弦值为．
19.证明：取中点，连接，，
由为中点，得，，
依题意，，，
则，，
于是四边形是平行四边形，则，
而平面，平面，
所以平面；
解：取中点，连接，由，得，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，
过作，则平面，
又，平面，于是，，
在矩形中，，，则，
以点为原点，，，所在直线分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成角的大小为；
解：连接，由，得，
而，则为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，
，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过作于点，则平面，
设，而，
则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
设平面的一个法向量为，
因为，，
则，令，得，
设平面和平面的夹角为，
则
，
令，则，
即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
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